分式

知识点一：分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（）

②分式无意义：分母为0（）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（）  (x取何值，分式的值为0 )

④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

      ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

化简

    

知识点五：分式的通分

①       分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②       分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

通分

   和   

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

①       分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

②       分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

③       分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④       分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

知识点六整数指数幂

①       引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即

★                          ★

★                           ★  （）

★                            ★       （）

★      （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。

知识点七分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

知识点八列分式方程

基本步骤

①       审—仔细审题，找出等量关系。

②       设—合理设未知数。

③       列—根据等量关系列出方程（组）。

④       解—解出方程（组）。注意检验

⑤       答—答题。

反比例函数

一、反比例函数的概念：

知识要点：1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k为常数，k≠0；

（2）解析式有三种常见的表达形式：

（A）y = （k ≠ 0），  （B）xy = k（k ≠ 0）（C）y=kx^-1（k≠0）

 （3）中分母x的指数为1；

  (4)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．

 例题讲解：有关反比例函数的解析式

1下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。

2.关于y= (k为常数)下列说法正确的是（）

 A．一定是反比例函数

B．k≠0时，是反比例函数

 C．k≠0时，自变量x可为一切实数

 D．k≠0时, y的取值范围是一切实数

3.若函数y=是反比例函数，则k=___

4.已知函数 y=（m²－1），当m=_____时，它的图象是双曲线．

5.有一面积为100的梯形，其上底长是下底长的，若上底长为x，高为y，则y与x的函数关系式为_________-.

6.如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（  　）

    A．反比例函数  　B．正比例函数  　 C．一次函数  　 D．反比例或正比例函数

二、反比例函数的图象和性质：

知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置与增减性：①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交

5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点对称（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y =  和y = ）来说，它们是关于x轴，y轴对称。

 

第二篇：十六章分式知识点总结.(第一课时)doc

第十六章  分式期末复习学案（第一课时）

一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

例1.下列各式，，x+y，，-3x²，0中，是分式的有（   ）个。

二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】

分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】

分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0  即子零母不零】

例2.下列分式，当x取何值时有意义。（1）；            （2）。

例3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（  ）。

A．     B．     C．     D．

例4．当x______时，分式无意义。当x_______时，分式的值为零。

例5.已知-=3，求的值。

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。               （）

四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

例6.不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（  ）。

例7.不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（    ）。

例8.分式，，，中是最简分式的有（  ）。

例9.约分：（1）；                  （2）

例10.通分：（1），；               （2），

例11.已知x²+3x+1=0，求x²+的值．

例12.已知x+=3，求的值．

五、分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：  分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

例13.当分式--的值等于零时，则x=_________。 

例14．已知a+b=3，ab=1，则+的值等于_______。

例15.计算：-。

例16.计算：-x-1

例17.先化简，再求值:-+，其中a=。