说起考研数学，你觉得最难的是哪个?据调查，数学中求极限的问题一直困扰着广大考生，海文考研专门为大家梳理了16种求极限的方法，相信肯定对考数学的学子有帮助。

解决极限的方法如下：

1、等价无穷小的转化

只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小

2、洛必达法则

(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!

当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指

数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式

(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、无穷大比上无穷大

面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!

5、无穷小于有界函数

无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理

主要对付的是数列极限!这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用

对付数列极限(q绝对值符号要小于1)

8、各项的拆分相加

(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

9、求左右极限的方式

(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用

这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

11、趋近于无穷大

还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

12、换元法

换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

13、四则运算

假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、数列极限

还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15、单调有界

单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!

16、导数的定义

直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!

【求极限的一般题型】

1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的!

2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!

解决办法：

1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1：积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的!!!!问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决?

解决1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!

解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!)

3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减)，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了!

4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。

解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小，否则极限为无穷，还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。

 

第二篇：考研数学求极限方法小结

一．求极限方法小结

极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.

有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.1.知识要点

（1）利用极限的定义求极限.

（2）利用极限运算法则求极限.

（3）利用不等式求极限.

（4）利用变量代换法求极限.

（5）利用两个重要极限求极限.

（6）利用单调有界准则求极限.

（7）利用函数的连续性求极限.

（8）利用等价无穷小代换求极限.

（9）利用单侧极限求极限.

（10）利用罗必达法则求极限.

（11）利用导数定义求极限.

（12）

（13）利用定积分定义求极限.利用Taylor公式求极限.

2．典型例子

例1：设x1=2,x2=2+11,?,xn+1=2+,?x1xn求证：limxn存在，并求其值.n→∞

(答案：1+2)

例2：求lim??1?11?++?+?222n→∞?n+2n+n??n+1

?????（答案：1）??111例3：求lim?++?+11n→∞n+1?(n2+1)2(nn+1)n?

例4：求（答案：1）1?3?5?(2n?1)

n→∞2?4?6?2nlim

??1??lim?x?x2ln?1+??x→∞x????

（答案：0）例5：求（答案：1）212例6：lim+x→0cosx

xc（答案：e?）?x+c?2t例7：求常数c，使lim??=∫tedtx→∞x?c???∞（c=5）2

例8：已知x1=1,x2=1+xx1,?,xn=1+n?1,?,证明数列{xn}收敛，并求出x1+1xn?1+1此数列的极限.?1+5????2???

3(1+xn)(n≥0)，求limxnn→∞3+xn（答案：3）例9：设x0>0,xn+1=

例10：求limx→0+tanx??tanxex?1（答案：1）

ln(1+x+x2)+ln(1?x+x2)例11：求limx→0secx?cosx

1??x2+esinx?lim?+4x→0?x?x???1+e?（答案：1）:例1212:（答案：1）

x2

例13：设f(x)=

同阶无穷小量.

例14：lim?∫tan02tdt,g(x)=x7+sin6x，证明：当x→0时，f(x)与g(x)是?1?2?cotx?x→0x2??（答案：2）3

2π?π?sinsin?++?+sinπ?例15：求lim??n→∞n+111?n+n+??2n???（答案：2）π

12n??1sin2sinnsin??nnn16例：求lim?2+2+?+2?（答案：sin1?cos1）n→∞n+n+1n+n+2n+n+n??????

例17：设f(x)在原点的邻域内二次可导，且lim??sin3xf(x)?+2?=0，求3x→0x??x

9）2f(x)??3f(0),f'(0),f"(0)及lim?2+2?x→0xx??（答案：?3,0,9,

例18：设f(x)在x=0的某邻域内具有二阶导数，且lim?1+x+

1

x?x→0?f(x)?3?=e，求x?1xf(x)??f(0),f'(0),f''(0)及lim?1+?.（答案：f(0)=0,f'(0)=0,f''(0)=4，x→0x??

f(x)??2lim?1+?=e）x→0x??

例19：设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且liman=0，limbn=1，limcn=∞，n→∞n→∞n→∞1x则必有

(A)an<bn对任意n成立；

(C)极限limancn不存在；n→∞(B)bn<cn对任意n成立；(D)极限limbncn不存在.n→∞

（20xx年数学一）

2arctanx?ln

例20：已知limx→0xp1+x=c≠0，求p,c（答案：p=3,c=?4）3例21：设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f'(0)≠0，f''(0)≠0.证明：存在惟一的一组实数λ1,λ2,λ3，使得当λ→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)?f0)是比h2高阶的无穷小.

例22：求极限lim???11?（答案：?1）?2x→0??2?ln(x++x)ln(1+x)?

x2

例23：已知当x→0时x2?cost2dt与Axk是等价无穷小，求常数A和k.（答案：∫0

A=1,k=10）10

例24：设函数f(x)在(?∞,+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是

(A)若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛.(B)若{xn}单调，则{f(xn)}收敛.

(C)若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛.

(答案：B)（20xx年数学一）

例25：求极限lim(D){f(xn)}若单调，则{xn}收敛.1）（20xx年数学一）6[sinx?sin(sinx)]sinxx→0x4（答案：

例26：(I)证明:对任意的正整数n,都有(II)设an=1+111<ln(1+<n+1nn11+?+(n=1,2,?),证明数列{an}收敛.2n

（20xx年数学一、二）翡翠棋牌收集