求极限的计算方法总结

 

第二篇：求极限的方法总结__小论文

高数论文

                                  10物本常杰

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求数列极限的方法总结

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.

例1: 按定义证明.

解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

      令1/n<,则让n>即可,

         存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,

所以.

2.利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.

例2:  求,其中.

解:  分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限

,

原式=,

3. 利用夹逼性定理求极限

  若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且,则有.

例3:求{}的极限.

  解:  对任意正整数n,显然有

                 ,

               而,,由夹逼性定理得

                       .

4．换元法

通过换元将复杂的极限化为简单.

例4.求极限，此时

解：若　有　，令 则

5.单调有界原理

例5.证明数列有极限，并求其极限。

证：　令 ，易知｛｝递增，且

我们用归纳法证明　≤2. 　显然。

若≤２　则。

故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在　 中两边取极限得　 　　即　
解之得　=２　或　=-１　明显不合要求，舍去，

从而　　　

6.先用数学归纳法,再求极限.

  例6:求极限

      解:

         S=

          设=   则有S<

          S²=S*S<S*=

          而,再由夹逼性定理,得

          =0

7.利用两个重要极限,.

例7:求

     解: 原式=

8.利用等价无穷小来求极限

  将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.

  例8:求

      解:当的时候,,.

而此时,,所以

         原式=

9.用洛必达法则求极限.适用于

  例9:求

      解:  是待定型.

=

10.积分的定义及性质

   例10:求

解: =

    设,则在[0,1]内连续,

   

    所以,

    所以原式=

11.级数收敛的必要条件.

设据必要条件知所求表达式的极限为0.

例11:求

      解:设,则

         所以该级数收敛,所以=0

12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。

例12. 求

  解：

法一：原式=

法二：原式=

13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。

例13：求的值

  解：奇数列为=0

      偶数列为=0

      所以=0

14．利于泰勒展开式求极限。

例14.求

  解：原式=(令t=)

          ===

15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。

  利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。

例15：求的值

  解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以

      还是无穷小量，即

      =0

16.利用数列的几何、算术平均值求极限。

  数列{}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。

例16：求的值

  解：==

     设=，因为知=1

     所以，所求原式的极限就等于{}的极限

     即原式==

17.绝对值中的极限                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

  若,则

例17：求的值

  解：==0

18.利用黎曼引理

例18：求（a>0）

  解：原式=

数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举。本文在写作过程中得到了****老师多次精心指导，在此表示感谢。

参考文献

1.  欧阳光中、朱学炎、金福临等，数学分析第三版上册，高等教育出版社，1978年