第一章  数与式 

知识点

一、实数的有关概念

1、 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数和为0.

2、 倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a的倒数为.注意:0没有倒数.

3、 绝对值:a的绝对值为|a|,|a|=

4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

5、 实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小

6、 无理数：无限不循环小数

7、 实数分类：实数

8、 科学记数法：把一个数写成a×的形式（其中1≤ a＜10，n是整数）

9、 近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

10、  非负数：指 a≥0，非负数有|a|，，.注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数为0.

二、实数的有关计算

1、 六种基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方

2、 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减。如果有括号，就先算括号；同级运算应从左到右；如果符合运算律，可以变更运算顺序，简便计算。

3、 运算律：

（1）   加法交换律：a+b=b+a

（2）   加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

（3）   乘法交换律：ab=ba

（4）   乘法结合律：(ab)c=a(bc)

（5）   乘法对于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc

三、代数式有关概念

1、 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意：单独一个数或字母也是代数式

2、 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫代数式的值。

3、 代数式分类：代数式

四、整式

1、 整式定义：没有除法运算，或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。

2、 整式运算：

（1）整式的加减法：实质是去括号后合并同类项

①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫同类项

②合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

     注意：不是同类项不能合并。

③去括号法则： a+(b+c)=a+b+c     a-(b+c)=a-b-c

④添括号法则：a+b+c=a+(b+c)      a-b-c=a-(b+c)

(2)整式的乘、除法：

①幂的运算法则：

      （a≠0）                 （ b ≠0）           （a ≠0）      （a≠0）

②乘法公式：平方差公式 

完全平方公式

③单项式乘以（或除以）单项式

④单项式乘以多项式： 

⑤多项式乘以多项式：

⑥多项式除以单项式：

五、因式分解

1、概念：把一个多项式化成几个多项式的积的形式叫因式分解

2、因式分解方法与步骤：

一提（公因式）：

二用（公式）：平方差公式 

完全平方公式

三试（十字相乘）

四查：检查每一个因式都不能分解为止

六、分式

1、 分式；除式中含有分母的有理式叫分式

2、 分式基本性质：   （m≠0）

3、 约分和通分：约分，通分→

4、 分式运算

①分式的加减法：同分母    异分母

②分式的乘除、乘方：      

注意：分式运算时先把分子和分母能因式分解的都因式分解，然后进行约分和通分。

七、根式

1、 方根的有关概念

（1）   平方根： a的平方根（a≥0），注意：负数没有平方根

（2）   算术平方根： a的算术平方根（a≥0）

（3）   立方根： a 的立方根（a为全体实数）

2、 二次根式

（1）式子（a≥0）叫二次根式

（2）二次根式的性质：①（a≥0）    ②|a|=

③     ④（a≥0，b＞0）

（3）最简二次根式：被开方数中每一个因式的指数都小于2，并且被开方数不含分母的二次根式叫最简二次根式

（4） 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式

3、 二次根式的运算：

（1）   加减法：把各个二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式

（2）   乘除法：（a≥0，b＞0）

（3） 分母有理化：把分母中根号去掉叫分母有理化：

，   

 

第二篇：北师大版初中数学知识点分类：数与式

数与式

一、有理数及其运算（七年级上册第二章）

1. 数怎么不够用了

①借助生活中的实例，理解有理数的意义，体会负数引入的必要性。②会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。

⑴正数与负数的意义：像5，1.2，1/2，…这样的数叫做正数，它们都比0大；在正数的前面加上“－”号的数叫做负数，如，－10，－3，…

0既不是正数，也不是负数。

正数与负数的引入，是为了表示生活中相反意义的量。引入负数后，“0”的意义不仅仅表示“没有”了，它还是“正数”“负数”的分界线，是“基准”。

⑵有理数的意义：正整数、零、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数，整数与与分数统称为有理数。

2. 数轴

①通过与温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数。②借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系。③能用数轴比较有理数的大小。

⑴数轴：原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

数轴是一个非常有用的数学工具，它使数与数轴上的点建立起对应关系，可以用它提示数与形之间的内在联系，是数形结合的基础。

⑵相反数：如果两个数只是符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，零的相反数是零。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

⑶有理数大小的比较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3. 绝对值

①助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，比较两个负数的大小。②应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。

⑴绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。例如，+2的绝对值等于2，记作|+2|=2，－3的绝对值等于3，记作|－3|=3。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0绝对值是0。

⑵负数大小的比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

负数大小的比较，除了用绝对值的方法比较以外，还可以运用数轴进行比较。

4. 有理数的加法

①经历探索有理数加法法则和运算过程，理解有理数的加法法则和运算律；②能熟练进行整数加法运算，并能运用运算律简化运算。

⑴有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数同0相加，仍得这个数。

⑵在有理数运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。

、、为任意有理数。

加法的交换律：；

加法的结合律：。

5. 有理数的减法

①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则；②能熟练进行整数减法的运算。

有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

6. 有理数的加减混合运算

①能进行包括小数或分数的加减混合运算；②能根据具体问题，适当运用运算律简化运算。

在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算。

7. 水位的变化

能综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。

8. 有理数的乘法

①经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察归纳、猜测、验证等能力；②会进行有理数的乘法运算，能运用乘法律简化计算。

⑴有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；②任何数与0相乘，积仍为0。

几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个因数为0，积就为0。

⑵倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。

在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律仍然成立。

、、为任意有理数。

乘法的交换律：

乘法的结合律：

乘法对加法的分配律：

9. 有理数的除法

①理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算；②会求有理数的倒数。

有理数除法的法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0的数都得0。

注意：0不能作除数。

除以一个数等于乘于这个数的倒数。

10. 有理数的乘方

①在现实背景中，理解有理数乘方的意义；②能进行有理数乘方运算；③通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。

乘方的概念

一般地，n个相同的因数a相乘，即

。

这种求n个相同因数a的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）。

11. 有理数的混合运算

①掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的运算；②在运算中合理地运用运算律简化运算。

有理数混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，先算括号里面的。

有理数的混合运算中，可以合理地运用加法律、乘法律简化运算。

12. 计算器的使用

①会使用计算器进行有理数加、减、乘、除、乘方运算；②经历运用计算器探求规律的活动，发展合情合理的推理能力；③能运用计算器进行实际问题的复杂计算。

二、字母表示数（七年级上册第三章）

1. 字母能表示什么

①经历探索规律并用代数式表示规律的过程；②能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式；③体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。

字母可以表示任何数。如，我们可以用字母表示数的运算律；在面积公式中，我们可以用字母表示圆的半径，长方形的长宽高等。

用字母表示数，渗透了从具体数向字母过渡的抽象概括的思维方法，形式简单，使用方便。

2. 代数式

①在具体情境中，进一步理解字母表示数的意义；②能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感；③在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义。

代数式：像4+3（x－1），a+b，ab，2(m+n)，a3，s/t等式子都是代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。根据问题的要求，用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。

注意代数式的书写要求：字母与字母相乘，数字与字母相乘（数字应写在前面），乘号通常写作“· ”或者省略不写，如x·y，2a，ab等。但为避免误会，数与数相乘时仍用“×”号，不宜用“· ”号，更不能省略。

在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来书写，如3ab÷5写成。带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数。

实际问题中需用单位时，若代数式的最后结合含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。如（x+y）天。

3. 代数式求值

①会求代数式的值；②会利用代数式求值推断代数式所反映的规律；③能解释代数式值的实际意义。

4. 合并同类项

①在现在情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；②在具体情境中了解合并同类项的法则，能进行合并同类项运算。

在代数式1.5v 中，字母前面的数1.5叫做它的系数。代数式ab－mn－3πn2，是ab，－mn，－3πn2三项的和，系数分别是1，－1，－3π。

代数式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

5. 去括号

①在具体情境中体会去括号的必要性，能运用运算律去括号；②总结去括号的法则，并能利用法则解决简单的问题。

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号不改变；

括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

6. 探索规律

经历探索数量关系、运算符号表示规律、通过运算验证规律中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。

三、整式的运算（七年级下册第一章）

1. 整式

在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；了解整式产生的背景了整式的概念，能求出整式的次数。

像等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式。几个单项式的和叫做多项式。单项式与多项式统称为整式。

一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

2. 整式的加减

①经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；②会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

进行整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

3. 同底数幂的乘法

①经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理地表达能力；②了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即

4. 幂的乘方与积的乘方

①经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力；②了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。即

积的乘方等于每个因式的乘方的积。

5. 同底数幂的除法

①经历探索同底数幂的除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；②了解同底数幂的除法，并能解决一些实际问题。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

我们规定：

6. 整式的乘法

①经历探索整式乘法运算法则的过程，会进行简单的整式乘法运算；②理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配率的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语方表达能力。

⑴单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

⑵单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑶多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

7. 平方差公式

①经历探索平方差公式过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；②会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；③了解平方差公式的几何背景。

平方差公式：。两数和与这两数差的积，等于它父的平方差。

8. 完全平方公式

①经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；②会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；③了解公式的几何背景。

完全平方公式：

9. 整式的除法

①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式，并且结果都是整式）；②理解整式除法运算的算理，发展有条理思考及表达能力。

⑴单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

单项式相除，可以用类似于分数约分的方法来计算。

⑵多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

四、实数（八年级上册第二章）

1. 数怎么又不够用了

①通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；②借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的意思；③会判断一个数是有理数还是无理数。

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何无限小数或无限循环小数也都是无理数。

无限不循环小数叫做无理数。

2. 平方根

①了解数的算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根；②了解开方与乘方互为逆运算，会运用互逆运算求某些非负数的算术平方根与平方根。

算术平方根：一般地，如果一个正数x平方根等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0。

平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。

一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，记作；0的平方根是0；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

根据平方根的定义，可以得出：

3. 立方根

①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；②能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三次方根），记做。

正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a就叫做被开方数。

根据立方根的定义，可以得出：

4. 公园有多宽

①能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小；②掌握估算方法，形成估算意识，发展学生的数感。

5. 用计算器开方

①会用计算器求平方根和立方根；②经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。

6. 实数

①了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；②了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用；③能利用化简对实数进行简单的计算。

⑴有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。

实数还可分为正实数、0、负实数。

⑵在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

⑶实数和数轴上的点是一一对应的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

⑷实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。

⑸二次根式的运算法则：

五、分解因式（八年级下册第二章）

1. 分解因式

①经历从分解因数到分解因式的类比过程；②了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系；③感受分解因式在解决相关问题中的作用。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

分解因式与整式的乘法是互逆的关系。

2. 提公因式法

①经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能够确定多项式的公因式；会用提公因式法把多项式分解因式；②进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维，并渗透化归的思想方法。

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

提公因式法的依据是逆用乘法分配率。即

3. 运用公式法

①经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；②会用公式法分解因式。

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

形如的式子称为完全平方式。

六、分式（八年级下册第三章）

1. 分式

①能用分式表示现实情境中的数量关系，进一步发展符号感；②了解分式的概念，明确分式与整式的区别，掌握分式的性质，分化简分式。

⑴分式的概念：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。

⑵分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式（即化简结果中，分子和分母没有公因式）或者整式。

2. 分式的乘除法

①经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性；②会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力；③能解决一些与分式乘除相关的简单实际问题。

⑴两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；

⑵两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

3. 分式的加减法

①经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理；②会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力；③能解决一些简单的实际问题，进一步体会模型的作用。

⑴同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

⑵根据分式的基本性质，异分分的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。

异分母的分式相加减，先通分，分为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。

4. 分式方程

能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用；分解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

由于解分式方程的时候，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式，因此可能产生增根，所以解分式方程必须验根。