人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

? 相关概念及定义

b，c是常数，a?0）的函数，? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，

c叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，

? 二次函数各种形式之间的变换

? 二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中22b4ac?b2

h??，k?. 2a4a

? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c. 22

? 二次函数解析式的表示方法

? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；

? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

? 二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

? 五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.

c?、以及?0，c?关于对称轴对称一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，

c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于的点?2h，

对称轴对称的点）.

? 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

? 二次函数y?ax的性质

2

1

? 二次函数y?ax2?c的性质

? 二次函数

y?ax?h的性质：

? 二次函数

y?ax?h?k的性质

? 抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

? a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

? 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??by轴记作直线x?0. .特别地，2a

b4ac?b2

（?）? 顶点坐标： 2a4a

? 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物

线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

? 抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系

? 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之

a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

? 一次项系数b 2

2

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在a?0的前提下，

b当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a

b当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a

⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a

b当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

? 常数项c

⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，

? 求抛物线的顶点、对称轴的方法

b?4ac?b2?2? 公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是??2a4a??

bb4ac?b2

（?），对称轴是直线x??. 2a2a4a

2? 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得

到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.

? 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式

? 一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. ? 顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 222

? 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

y?a?x?x1??x?x2?.

? 直线与抛物线的交点

?

y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c). 3

? 与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点

(h,ah?bh?c).

? 抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐

标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切；

③没有交点???0?抛物线与x轴相离.

? 平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.

? 一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像222

?y?kx?nG的交点，由方程组 ?的解的数目来确定：①方程组有两组不同2y?ax?bx?c?

的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

? 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为

A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故

bcx1?x2??,x1?x2?aa

AB?x1?x2?x1?x22?x1?x22b2?4ac??b?4c?4x1x2??????? aaa?a?2

? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表

达

? 关于x轴对称

y?ax2?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

? 关于y轴对称

y?ax2?bx?c关于y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； 22

y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；

? 关于原点对称

y?ax2?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；

y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；

? 关于顶点对称 2222

b2

y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?； 2a

22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k． 22

4

? 关于点?m，n?对称

n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，22

? 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

? 二次函数图象的平移

? 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?；

⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位【或左(h<0)】?

平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。

? 三点式。

1，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线2

的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

? 顶点式。

1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

? 交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=

? 定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??222２1a(x-2a)(x-b)的解析式。 2125?ax?x?2a?2经过x 轴上一22

5

定点Q，直线y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。

? 平移式。

1， 把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线

y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。

2， 抛物线y??x2?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. ? 距离式。

1，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

? 对称轴式。

1、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

2、 已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=2222222223OC，求此抛物线的解析式。 4

? 对称式。

1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于

E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。 2， 求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。

? 切点式。

1，已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 ? 判别式式。

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x+(m+1)x+3解析式。

2、 已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。

3、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

22222222

6

 

第二篇：九年级数学下册 26-3 《实际问题与二次函数》 课件 人教新课标版