1：数列极限 手册P13

1.01：求极限时候，函数中有阶乘且趋近于无穷大，要用级数法，即证明函数是收敛的（可以用根值，比值），故趋近于无穷大为0.

1.02：已知，则，

1.1：奇+奇=奇，偶+偶=偶，

1.2：f(x)为周期函数，，不一定是周期函数，但是f（x）如果是奇函数，这个就成立了。且为奇函数时候。

1.3：判断函数有无上下界，用绝对值放缩或导数最大最小，文登P3

1.305：奇函数的原函数一定是偶函数。

1.31：，一般把g（x）给分段

1.4：证明连续：

1.5：这个让原本不是交错级数的变成了交错级数。

1.6： xlny=xln（y-1+1),于是等价无穷小于x（y-1）前提是y趋近于1

1.7：

1.8：测试函数：

（1）x大于0,为1，小于0为-1  （有界不收敛）

（2）x=sinn，y=1/n（x发散，y收敛，无穷大时xy=0）

（3）x（n）在n为奇数时为n，为偶数时为0，y（n）反过来，xy都是无界，但是xy=0

1.9：文登P26.1.55   P23.1.49

1.91：证连续就是要证，左值=右值=等于该点值，证可导是左导数等于右导数即可。

1.92：看到导数大于小于0的时候，不仅有递增递减，还可以写出导数的极限表达式，然后利用保号性可以通过极限分式下半部的正负性决定上半部的正负性。注意在x0的左右两个领域内，正负不一，而决定的正负，模拟卷1.1

1.93：对于一阶导数的方程，由一阶导数方程的<0知道一阶导数恒大于0或者恒小于0，知原函数恒增或恒减   模拟卷1.4

1.94：不连续点求导用极限求  模拟卷3.9

2：收敛数列三性质（唯一性，有界性，保号性）手册P14

3：函数极限 手册P15

4：函数极限三性质（唯一性，局部有界性，局部保号性）手册P17

5：无穷大  手册P19

6：k阶无穷小  手册P21

7：3个等价无穷小的原始形式  手册P21

8：单调有界定理  手册P24

9：连续函数有界性  手册P26

10：最值，介值，零点定理  手册P27

11：导数定义  手册P29

11.1：利用微分公式，可以把一个f（x+y）的在y->0时候化为f（x）

11.2：周期函数的导数也具有周期性

11.3：证明一个式子的时候，如，则想到

11.4：表达式为连乘，乘方，开方，商形式求导，用对数微分法，化为加减

11.5：求高阶导就是要把乘积化为加减，会用到三角函数的积化和差，并且在时用可以减少项。而且，高阶导数就是要把乘积化为加减，或者化为简单的乘积，这个时候用到多项式除法  文登P53

11.6：

11.7：导数定义中有极限，会涉及到极限的保号性，

11.8：

12：可微，可导，连续之间的关系  手册P32

13：可微定义  手册P37

14：    手册P41

15：罗尔，拉格，柯西  手册P2

15.001：泰勒级数活用：

15.01：拉格朗日另一种形式

15.1：闭区间上存在，使关于的关系式成立，先设m，M，再用介值定理

15.2：开区间上存在，使关于的关系式成立，做辅助函数F(X)，若F(X)中无积分运算，则验证F(X)满足零值定理，若F(X)中有积分运算，验证F(X)满足罗尔定理

15.3：证明给出函数满足某中值定理，要证连续，证可导，然后把两个端点值带入求出 。然后反找出。

15.4：证明某个函数恒等于一个常数，也就是证明=0

15.5：证明=0，可以证明为的极值。

15.6：要证明在区间（a，b）内有两个点怎么怎么的，需要在区间内找到一个c，然后在（a,c）(c,b)内分别找。但是c找不到怎么办，

15.7：证至少存在一点使得，或者由构成的代数式。一定要做辅助函数F(X)，方法一：单纯原函数法：无论是拉格朗日还是柯西，都是要把，然后做出F(X)，就和拉格朗日定理证明一样简单的构造。

方法二：常数k值法，用于常数部分可以被分离出来的，

方法三：微分方程法：但是微分方程法不仅仅是解微分方程，要根据题意来，比如题目给出

不能单纯的解二阶微分方程，而要利用，弄出的关系式  文登P142

15.8：移到一端弄出G(X)，首先看能不能用零值定理，如果不能，再用,有的时候，F(X)弄出来有x作分母，这时候F(0)要用到lim

15:9：证明，先把要证的关系式中分离到等号两边

15.91：题目中给出连续可导，且f（a）=0或f（b）=0，则先用拉格处理，

16：三种渐近线    手册P51

17：曲率的两种形式  手册P53

18：原函数存在定理  手册P55

18.1： ，别忘了绝对值！

18.2：万能公式

18.3：如果出现高次的ln和arc，则用u=高次ln或arc

18.4：

18.5：18.6：分段函数求不定积分时候C的问题

19：  手册P58

20：周期函数积分三等式  手册P60

21：   手册P61

21.1：定积分的估值：被积函数的最大小值代入积分来放缩

21.2：求定积分的极限的时候，可以放缩出一个大于和小于定积分的便于求出来的极限夹逼。

21.3：被积函数的分母为两项，而分子为其中一项，这种大部分用2I法

21.35：积分时候，被积函数分母有，要上下乘以

21.4：积分中出现f（g（x）），则立即用u=g（x）代换

21.5：证明积分上下限中必有一点，移项后形成G(X)，不着急写出,有时，又有G(a)>0，G(b)<0，

21.6：仅告知被积函数连续，要用辅助函数，即将要证明的结论中积分限取一个作为x，然后移项，然后判断单调性，然后判断端点值。

21.7：已知被积函数一阶可导，又至少有一个端点的函数值为0，则写出含这个端点的拉格朗日。然后用最大小等放缩。

一般来说，这个最大M和最小m是被积函数的最大小。

21.8:已知被积函数f（x）二阶及其以上可导，又知道最高阶导数的符号，用泰勒公式。

22：    手册P63

23：柯西不等式  手册P67

24：  手册P71

24.1：极值点包括不存在的点，最值点还包括边界点

24.2：证根存在，如果f（x）只知道连续，不知道可导，则用零值定理，或用辅助函数罗尔定理。证出根存在以后，证单调，可以知道根唯一。

24.3：已知三点坐标，求三角型面积公式

24.4：

24.5

    

24.6：同一侧，水平渐近线和斜渐近线不同时存在

24.7：球缺体积：

24.8：极坐标化为直角坐标，24.9：参数给出的曲线的曲线积分公式，模拟卷1.12

24.10：极坐标下平面图形的面积

24.11：边界“直线”为参数方程的图形的面积

25：向量夹角范围  手册P73

26： 

27：矢量积的右手规则    手册P84

27.1：

27.2：

27.3：参数方程的在XOY面上投影，就把Z直接变0就可

27.4：证两直线共面，就是两直线上各取一点，组成第三条直线，构成3*3行列式，判断是不是为0，若0 ，则共面

27.5：求两直线交点，直线由标准式给出，把L1化为参数方程t，带入L2，求出t，带回L1即可。

27.6：平行四边形面积=

27.7：空间曲线化为参数方程，要用到三角函数，不是每个都能化的。

27.8：直线在一平面上的投影，就是求过该直线形成的垂直于该平面的平面A，两个平面联立就是投影直线，平面A的法向量同时垂直于直线和该平面法向量，求出A的法向量，然后直线上找一点即可。

27.9：四面体体积，也就是三边都垂直，体积为1/6（abc）

27.91：求两直线间距离 ，先化成参数方程，有两个参数s，t，然后按照公式写出距离公式，然后就是二元函数求无条件极值  两平行直线间距离

28：混合积   手册P87

29：共线，共面判别 手册P88

30：平面4种，直线4种  手册P91

31：平面和直线夹角  手册P96

32：点到平面距离，点到直线距离  手册P97

33：过直线的平面束方程 手册P98

34：柱面定义，准线，母线  手册P101

35：空间曲线在坐标面上投影  手册P103

36：任意准线，任意母线的柱面  手册P105 模拟卷6.17

38：一阶偏导数的概念  手册P115

39：可微与偏导数存在的关系  手册P119

39.1：二元函数连续定义：

或者，在区域x0，y0时候的极限等于f（x0，y0）

39.11：可微的定义：，则可微，比如，就是的高阶无穷小，，说明在（0,0）点可微。

39.12：二元函数在极值点，两个偏导数的一阶偏导都=0，二阶偏导在极大值时候都小于0，极小值的时候都大于0

39.14：多元函数求最值的时候，别忘了边界还有边界值。

39.13：模拟题10.6

39.2：

39.3：文登P276

40：四种求偏导  文登P276

41：切线，法平面，切平面，法线  手册P131

41.1：切线的方向角：参数方程给出的，在t0点的切线的方向角就是，，而求方向导数的时候常用到方向角这个概念，模拟4.16

41.2：向量取模，也就是绝对值，很多时候计算要通过平方来脱去绝对值，传统意义上的乘法，是，不是a*b 模拟卷  5.15

42：五种场论 文登P323

42.1：斯克托斯公式 文登P332

42.2：处理不可导点的集中方法（1）极限法:做球体或圆的时候，半径为。做直线的时候，把（x，y）中随便一个取（x+，y）（2）替代法：把使函数在该点不存在的分母变成1，比如分母为，在（1,0）处不存在，令，改变积分上下限以后带入xy。

42.3：求曲面曲线时候，有的时候所给曲面非常麻烦，根本积不出来，如果这个时候高斯或格林=0，即偏导数都相等，这个时候一般有一个点使被积函数不存在，那么围绕这个点坐一个面，一般是球，半径是，直接代入被积函数，容易积分。（注意，一个大球面包A着一个小球面B，小球面的半径是无穷小，那么直接对A-B进行高斯，A=（A-B）+B

42.3：曲线积分和曲面积分的时候，积分线和面可以带入被积函数，这样

42.4：：43：无条件极值三步   手册P141

44：多元函数求最值  手册P143

45：二重积分存在定理  手册P147

46：二重积分中值定理  手册P149

46.1：不仅

46.2：带绝对值的积分，要分段积分，

46.3：若区域关于x=y对称，则交换xy后积分不变

46.4：交换积分次序可以把二重积分变成一重，46.5：级数里面可以用到等价无穷小

47：二重积分对称性    手册P151

48：曲面面积公式      手册P161

49：平面/空间 薄片的质心，转动惯量，  文登P295

50：比较审敛法，极限比较审敛法，比值审敛法，根值审敛法，极限审敛法，莱布尼茨判别法 手册P201

51：P级数，几何级数，调和级数，交错级数  手册P201

52：阿贝尔定理  手册P208

52.1：收敛区间是关于x=-2对称的，此时x在0处收敛，-4处发散，即（x+2）在2处收敛，-2处发散。

所以时候，x在 上收敛，所以时候，x在上收敛。

53：收敛半径求法  手册P212

54：六种级数

55：傅里叶最原始形式  手册P221

55.1：比根可以推收敛，收敛不能推比根

55.2：不满足莱布尼茨的不一定不收敛，莱布尼茨如果不能用（1）把级数拆分开成两项相加减，然后发现其中一项是发散的，得出原级数发散，或两个都收敛，则原级数收敛（2）拆分后然后前项后项相消，55.3：无论是判级数还是幂级数，都要拆项，尤其是求幂级数，不要随意把分母凑成平方项，然后用，应该把分母拆分，把函数化为两项相加，然后各自求幂级数，然后把两个幂级数合并。

55.4：等价无穷小可以用在级数中用到

55.5：已知函数，展成幂级数，先展开，再求收敛域。

      已知幂级数，求和函数，先求收敛域，再求

55.6：求出和函数以后，如果其中有不存在的点，但是却存在于收敛域中，要判断这个点的连续性，如果不连续，和函数还要写成分段函数。

55.7：，同理

55.8：在求和函数的时候，常常积分和求导，，很多时候f(0)=0,容易被忽略，但是有的时候f(0)不等于0

56：（1）伯努利方程

      （2） 全微分方程

（3） 

（4）

注意此方程中，第一次积分是p和y的积分，得出p和y的方程，然后p变成dy/dx，再有y和x的积分

（5）二阶齐次，

(6)二阶非齐次

（7）欧拉方程

57：韦达定理，算术平均值，几何平均值，圆锥侧面积。体积，积化和差，和差化积，

57.2：从一个特解中看出特征方程的三个根，不要一个个的去式ABCD，若根为，则。

58：逆序数   文登P365

59：范德蒙行列式及其证法
59.1：逆序数求出来是n（n-1）/2，要分n=4k，n=4k+1,

n=4k+2，n=4k+3

59.2：

59.3：求所有代数余子式之和，用逆矩阵求出伴随矩阵，再伴随矩阵所有元素相加

59.4：观察因子法  文登P376

59.5：反对称矩阵两性质  

60：

61：的秩及其证法

61.1：根据，可以用A去乘以ABCD四个选项，判断哪个是转置

62：分块矩阵的转置  手册P273

63：四种分块矩阵求逆  手册P278

63.1：

63.2：对于任意矩阵，且秩不变

64：两个矩阵的秩关系链  （5,2）手册P277

64.05：A+B=KE，则r（A）+r（B）大于等于n

64.06：反对角分块矩阵A为m阶B为n阶，则矩阵的行列式值为：

64.1：

文登 P392 例2.9

64.2：求矩阵的高次：相邻相消，数学归纳法（文登P393.例2.13），对角化后再来

64.3：证可逆要么证明AB=E，要么证明，只不过AB=0可以证明，而只能证明A可逆，

64.4：文登P400 例2.30，31

65：任何n+1个n维向量都是线性相关的

66：B能由A线性表出，则R(B)《R(A)

66.05：两组向量等价，则秩相同，即R(A)=R(A|B)=R(B|A)=R(B)

66.1：，r（A）=m 表示行向量线性无关，r（A）=n表示列向量组线性无关

66.2:向量个数大于向量维数，一定线性相关

66.3：已知AX=0，若证出A无关，则X一定为0

66.4：

67：无关向量组不能由比它个数少的向量组表出且t>s，则线性相关

68：短相关则长相关，长无关则短无关

69：行向量线性无关，列向量线性无关概念  手册P288

70：P，Q是可逆，

71：施密特，规范正交基，

72：Ax=b无解，则R（A）不等于R（A|b），R(A)+1=R（A|b）

72.1：AX=b有唯一解，可以推出AX=0，但是反之不行，因为r（A）=n推不出R(A|b)=n，同理Ax=b有无穷多解，可以推出AX=0有非零解，反之不可以。

72.2：基础解析有n-r个解向量，其中n是未知数个数。是系数矩阵的列向量的个数。

72.3：给出非齐次方程中有参数判断有无解，不要一上来就用（A|b），可以先求|A|，当|A|不等于0时，有唯一解，当|A|=0时候，再把参数带入，看看是无解还是无穷解。

72.4：解空间的维数，也就是基础解析所含向量的个数。

72.5：看到有的题目，又有|A|=0，则，此时都可以看做是x ，一般是看A的。

72.6：非齐次有n-r+1个线性无关的解向量

72.7：对于三元齐次方程，增广矩阵有唯一解，即三个平面有唯一交点，有无穷解，就是交于一条线，无解就是交与多条线。

72.71：非齐次方程三个线性无关的解，是齐次的两个线性无关的解，得出，齐次方程系数矩阵的秩是n-2（n是未知数个数）

72.75：当a为何值时，该方程组有唯一解，并求，用克莱姆法则、

72.8：若AX=0的解都是BX=0的解，则

73：公共解：（1）联立方程组（2）把两个方程组的通解化等号，然后假设两个方程组的通解有K1，K2，K3，K4四个任意常数，则现在把这四个数看做未知量，来求  手册P300

73.1：过渡矩阵：AP=B，A过渡到B

73.2：如果看到AB=0，就可以把B的每列当做x来处理

74 ：相似的表示符号  AB相似，则转置，逆，次方，伴随都是相似的  手册P302

75： 不同特征值特征向量线性无关

75.1：x为A的某特征值的特征向量，x一定是非零向量，且对于非零常数K，KX也是对于该特征值的特征向量

76：伴随矩阵的特征值与原特征值关系  手册P307

76.1：转置矩阵和原矩阵特征值相同，特征向量不同，但是矩阵都与A的特征值相对应，且x是属于的特征向量，也是属于对应特征值的特征向量。

76.2：若r（A）=1，则，

76.3：如果|A|=0，则0为其特征值，Ax=0的基础解析就是x=0的线性无关的特征向量。

76.4：实对称矩阵 不同特征值的特征向量正交。

76.5：若r（A）=1，则一定可以分为一个列和一个行相乘，由此可以引发求A的高次

76.6：证明相似就是证明有相同的特征值

76.65：等价，就是行变换左乘，列变换右乘。

76.7：求很容易，但是怎么求？先求,则

76.8：3为A的二重根，A为三阶方程，则

76.9：对于正交矩阵有，则

76.7：是二重根的特征向量，则为其属于的所有特征根。

77：

78：正交变换法第七步  手册P313

79：（1）正定，则大于0，

（2）A和B都正定，则A+B正定，但是AB不一定正定

（3）各阶顺序主子式都大于0

（4）A正定，存在可逆矩阵P，有

79.1：正负惯性指数决定了表示什么曲面。

80：判断正交矩阵：（1）列向量是单位向量（2）所有列向量两两正交（3）|P|=1

80.1：合同：，前提是A，B都是实对称，证合同就是证明A,B的标准型有相同的正负惯性指数。

80.2：A正定，则转置，逆，伴随都正定

80.3：文登 P496例6.10

80.4：正定的最原始定义：对于任意非0的x都有

80.5：已知B正定，要证A正定，就是要对A进行变换，变换到B，比如

80.6：已知证明A正定，就是证明A的特征值全部大于0，而满足方程的特征值只有1，所以正定

80.7：A,B正定，A+B正定，AB不一定

80.8：不含平方项的二次型的配方法

81：互斥和对立  手册P325

82：德摩根律  手册326

82.1：A发生B必然发生，则图形上，A在B内部。

83：加法公示   手册P329

84：P（A-B）=P(A)-P(AB)  手册P333

84.1：排列组合

84.2：

85：

86：二项分布 泊松分布  指数分布  均匀分布 正态分布

87：分布函数四性质   手册P338

88：概率密度六性质   手册P340

89：  手册P344

90：概率积分

91：离散型随机变量分布函数为阶梯间断函数，连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定处处可导

92：存在既非离散，也非连续的随机变量

93：二维随机变量分布函数四性质  手册P347

94：二维随机变量边缘分布函数求法  手册P348

95：二维随机变量的独立性，不但有还有

96：二维连续型随机变量概率密度四性质  手册P352

97：二维正态分布概率密度公式   手册P355

98：二维正态分布四性质  手册P359

98.1：（1）：n球放N盒，每盒至多一球

（2）N产品中D个次品，取n件，有K件次品的概

（3）15人中3个优秀，分三班，每班分一优的概率

3优在一班

99：若XY独立，则

99.1：多为正态分布的两个一维正态分布的任一线性组合都服从于一维正态分布

99.1：相互独立，则P(AB)也可以不为0

99.2：P(A|B)=1，意味着A包含B

100：

101.1，

 

101：列维——林德伯格定理

101.2：。

101.3：条件概率的定义域为x的范围

101.4，

101.5：边缘分布时候，连续用积分，离散用级数。

 102：样本均值，样本方差，分位数，  8个正态总体下常用统计量性质，6个重要公式  文登P605

103：无偏性，有效性，一致性  文登P614

104：7个参数估计公式，7组假设检验公式

105：注意置信度是用1-a给出的，

106：最大似然估计中，如果L本身就是单调函数，比如

，越小 ,L越大，但是必须大于，所以，=中的最大的 也就是

107：统计量的替代，比如求  模拟卷5.23

108：，可以根据这个算式求出的相关数据

109：离散和连续的结合：X服从N(0，1)，Y服从p=0.5的0-1分布，Z=XY，则110：x是总体，，，，

，

111：