（一）、方程的有关概念

1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.

例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. （例1）

3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

（二）、等式的性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c

等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

ab 等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么 cc

（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）

（四）、去括号法则

1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

（五）、解方程的一般步骤（例4）

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2. 去括号(按去括号法则和分配律)

3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

b5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=). a

一．列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案．

二、一元一次方程的实际应用

1. 和、差、倍、分问题：

增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率??”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现. 例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？ 解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，

则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．

由题意，得2×（9+x）=15+x

18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18

∴x=-3

答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．

（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3?年后

具有相反意义的量）

1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程__________.

2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方

形的长和宽各是_______、________.面积是_______.

2. 等积变形问题：

（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积.

（2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝?rh

②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc

例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80?毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内

径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，． ?≈3.14）

解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得 ? ·（22002）x=300×300×80 2

1. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了＿＿＿＿㎝.

3. 工程问题：

工程问题：工作量＝工作效率×工作时间

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，

甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

11x解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(+)×3+=1 151212

1. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队

的2倍少1m，若5天完工，两队每天各挖几米？

4.行程问题：

路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480

解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600

解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600

解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480

解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480

例4.1. 已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________。

1. A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？

5. 商品销售问题

商品利润

（1）商品利润率＝商品成本价×100%

（2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：商品售价=商品标价×折扣率

（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

解：设该工艺品每件的进价是x元,标价是（45+x）元.依题意，得:

8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

6. 储蓄问题

⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵ 利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

（3）利润＝每个期数内的利息×100% 本金

例6. 国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息×20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%，某储户取出1年到期的本金及利息时，扣除了利息税31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？

1. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

7. 数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数

之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

例7．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多l0．求原来的两位数．

 

第二篇：北师大版七年级上册第五章一元一次方程知识点总结

一元一次方程知识点总结

（一）、方程的有关概念

1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.

2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.

  例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. （例1）

3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. （例2）

注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.

    ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.

（二）、等式的性质

    等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.

    等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c

  等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

  等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么=

（三）、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）

（四）、去括号法则

1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．

（五）、解方程的一般步骤（例4）

1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)

2. 去括号(按去括号法则和分配律)

3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=).

一．列一元一次方程解应用题的一般步骤

   （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

二、一元一次方程的实际应用

1. 和、差、倍、分问题：

增长量＝原有量×增长率     现在量＝原有量＋增长量

  （1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

  （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

例1：兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

      解：设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，

      则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．

      由题意，得2×（9+x）=15+x

          18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18

           ∴x=-3

      答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．

（点拨：-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）

1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程__________.

2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_______、________.面积是_______.

2. 等积变形问题：

（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

 ①形状面积变了，周长没变；

②原料体积＝成品体积.

（2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

    ①圆柱体的体积公式       V=底面积×高＝S·h＝

②长方体的体积           V＝长×宽×高＝abc

   例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内

 径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．

解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得      ·（）²x=300×300×80

 1. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了＿＿＿＿㎝.

3. 工程问题：

工程问题：工作量＝工作效率×工作时间   

完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

 例3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(+)×3+=1　　　　　　　

 1. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m，若5天完工，两队每天各挖几米？

4.行程问题：

路程＝速度×时间   时间＝路程÷速度   速度＝路程÷时间

  （1）相遇问题：  快行距＋慢行距＝原距

  （2）追及问题：  快行距－慢行距＝原距

  （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

                 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

   抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

例4. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480

    解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600

    解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600

解：设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480

解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480

例4.1. 已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是__________。

  1. A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？

2、（环型跑道问题）一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。

（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？变式：几分钟后两人二次相遇？

（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？又经过几分钟两人二次相遇？

例题4、（顺、逆水问题）一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？

例题5、（错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，两列车错车的时间是多长时间？

5.商品销售问题

（1）商品利润率＝×100%

 （2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

 （3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：商品售价=商品标价×折扣率

（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价

例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元.依题意，得:

 8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元

等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15

解：设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125

6. 储蓄问题

⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

⑵ 利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

（3）利润＝×100%   

  例6. 国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息×20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%，某储户取出1年到期的本金及利息时，扣除了利息税31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？

1. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

分析：等量关系：本息和=本金×（1+利率）

解：设半年期的实际利率为x，

250（1+x）=252.7，

x=0.0108

所以年利率为0.0108×2=0.0216

7. 数字问题

   （1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．

    十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.

例7．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多l0．求原来的两位数．

8. 比例分配问题：

    这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。

    常用等量关系：各部分之和＝总量。

   例4. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？

    解：设一份为x，则三个数分别为x，2x，4x

    分析：等量关系：三个数的和是84

   

 9. 劳力调配问题：

    这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

    （1）既有调入又有调出；

    （2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

    （3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

   例3. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

    分析：列表法。

    等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍

    解：设分别安排x名、名工人加工大、小齿轮

   

    

   

10、日历问题：

日历中的数量关系

1.       在日历表中，一个月的日期按从星期日至星期六的顺序排列的，最小数为1，最大数由各月决定，一般为30或31，二月是28或29.

2.       日历中每一横排数字之间的规律: 每一横排相邻两个数字之间相差1.

3.       日历中每一竖排数字之间的规律: 每一竖排相邻两个数字之间相差7.

4.       日历中从左向右斜（左斜）一列之间的规律：左斜的一列相邻数字之间相差8.

5.       日历中从右向左斜（右斜）一列之间的规律：右斜的一列相邻数字之间相差6.

例题1、在某张月历中， 一个竖列上相邻的三个数的和是60，求出这三个数.

变式1：在某张月历中， 一个竖列上相邻的四个数的和是50，求出这四个数.

变式2：小彬假期外出旅行一周，这一周各天的日期之和是84，小彬几号回家？

变式3：爷爷的生日那天的上、下、左、右4个日期的和为80， 你能说出我爷爷的生日是几号吗？