(一)、方程的有关概念
1. 方程:含有未知数的等式就叫做方程.
2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.
例如: 1700+50x=1800, 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程. (例1)
3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. (例2)
注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.
⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
(二)、等式的性质
等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质(1)用式子形式表示为:如果a=b,那么a±c=b±c
等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,
ab 等式的性质(2)用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么 cc
(三)、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.(例3)
(四)、去括号法则
1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.
(五)、解方程的一般步骤(例4)
1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2. 去括号(按去括号法则和分配律)
3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)
b5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=). a
一.列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题:弄清题意.(2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,?然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,?是否符合实际,检验后写出答案.
二、一元一次方程的实际应用
1. 和、差、倍、分问题:
增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量
(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率??”来体现.
(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现. 例1:兄弟二人今年分别为15岁和9岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍? 解:设x年后,兄的年龄是弟的年龄的2倍,
则x年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x.
由题意,得2×(9+x)=15+x
18+2x=15+x,移向得:2x-x=15-18
∴x=-3
答:3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.
(点拨:-3年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的3年,是与3?年后
具有相反意义的量)
1.一个数的3倍比它的2倍多10,若设这个数为x,可得到方程__________.
2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形,且这个长方形的长比宽多10厘米,则这个长方
形的长和宽各是_______、________.面积是_______.
2. 等积变形问题:
(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积.
(2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S·h=?rh
②长方体的体积 V=长×宽×高=abc
例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80?毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内
径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米,. ?≈3.14)
解:设圆柱形水桶的高为x毫米,依题意,得 ? ·(22002)x=300×300×80 2
1. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水,现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中,当玻璃杯装满水时,试管中的水的高度下降了____㎝.
3. 工程问题:
工程问题:工作量=工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
例3. 一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,
甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
11x解:设乙还需x天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,(+)×3+=1 151212
1. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟,甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队
的2倍少1m,若5天完工,两队每天各挖几米?
4.行程问题:
路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间
(1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距
(2)追及问题: 快行距-慢行距=原距
(3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 例4. 甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
解:设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480
解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140+90)x+480=600
解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600
解:设x小时后快车追上慢车。 由题意得,140x=90x+480
解:设快车开出x小时后追上慢车。由题意得,140x=90(x+1)+480
例4.1. 已知轮船逆水前进的速度为m千米/时,水流速度为2千米/时,则轮船在静水中的速度是__________。
1. A、B两地相距30千米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米,经过2.5小时两人相遇,求甲、乙两人的速度?
5. 商品销售问题
商品利润
(1)商品利润率=商品成本价×100%
(2)商品销售额=商品销售价×商品销售量
(3)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.有关关系式:商品售价=商品标价×折扣率
(5)商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
解:设该工艺品每件的进价是x元,标价是(45+x)元.依题意,得:
8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x
1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
6. 储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率(20%)
(3)利润=每个期数内的利息×100% 本金
例6. 国家规定存款利息的纳税方法是:利息税=利息×20%,储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%,某储户取出1年到期的本金及利息时,扣除了利息税31.68元,则银行向该储户支付的现金是多少元?
1. 某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)
7. 数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c. 十位数可表示为10b+a, 百位数可表示为100c+10b+a. 然后抓住数字间或新数、原数
之间的关系找等量关系列方程(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)
(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.
例7.一个两位数,十位上的数字与个位上数字和是8,将十位上数字与个位上数字对调,得到新数比原数的2倍多l0.求原来的两位数.
数学
(一)、方程的有关概念
1. 方程:含有未知数的等式就叫做方程.
2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程. 例如: 1700+50x=1800, 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程. (例1)
3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. (例2)
注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.
⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
(二)、等式的性质
等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质(1)用式子形式表示为:如果a=b,那么a±c=b±c
等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,
ab 等式的性质(2)用式子形式表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么 cc
(三)、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.(例3)
(四)、去括号法则
1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.
(五)、解方程的一般步骤(例4)
1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2. 去括号(按去括号法则和分配律)
3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)
b5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=). a
一.列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题:弄清题意.(2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,?然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,?是否符合实际,检验后写出答案.
二、一元一次方程的实际应用
1. 和、差、倍、分问题:
增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量
(1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率??”来体现.
(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现. 例1:兄弟二人今年分别为15岁和9岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?
解:设x年后,兄的年龄是弟的年龄的2倍, 则x年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x. 由题意,得2×(9+x)=15+x
18+2x=15+x,移向得:2x-x=15-18 ∴x=-3
答:3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍.
(点拨:-3年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的3年,是与3?年后
具有相反意义的量)
1.一个数的3倍比它的2倍多10,若设这个数为x,可得到方程__________.
2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形,且这个长方形的长比宽多10厘米,则这个长方
形的长和宽各是_______、________.面积是_______
2. 等积变形问题:
(1)“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积.
(2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S·h=?rh
②长方体的体积 V=长×宽×高=abc
例2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80?毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内
径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米,. ?≈3.14)
解:设圆柱形水桶的高为x毫米,依题意,得 ? ·(22002)x=300×300×80 2
1. 一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水,现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中,当玻璃杯装满水时,试管中的水的高度下降了____㎝.
3. 工程问题:
工程问题:工作量=工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
例3. 一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,
甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
11x解:设乙还需x天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,(+)×3+=1 151212
1. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟,甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队
的2倍少1m,若5天完工,两队每天各挖几米?
4.行程问题:
路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间
(1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距
(2)追及问题: 快行距-慢行距=原距
(3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.
例4. 甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙
站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
解:设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480
解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140+90)x+480=600
解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600
解:设x小时后快车追上慢车。 由题意得,140x=90x+480
解:设快车开出x小时后追上慢车。由题意得,140x=90(x+1)+480
例4.1. 已知轮船逆水前进的速度为m千米/时,水流速度为2千米/时,则轮船在静水中的速度是__________。
1. A、B两地相距30千米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米,经过2.5小时两人相遇,求甲、乙两人的速度?
5. 商品销售问题
商品利润
(1)商品利润率=商品成本价×100%
(2)商品销售额=商品销售价×商品销售量
(3)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
(4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.有关关系式:商品售价=商品标价×折扣率
(5)商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
解:设该工艺品每件的进价是x元,标价是(45+x)元.依题意,得:
8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x
1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
6. 储蓄问题
⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵ 利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率(20%)
(3)利润=每个期数内的利息×100% 本金
例6. 国家规定存款利息的纳税方法是:利息税=利息×20%,储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%,某储户取出1年到期的本金及利息时,扣除了利息税31.68元,则银行向该储户支付的现金是多少元?
1. 某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)
7. 数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c. 十位数可表示为10b+a, 百位数可表示为100c+10b+a. 然后抓住数字间或新数、原数
之间的关系找等量关系列方程(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)
(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.
例7.一个两位数,十位上的数字与个位上数字和是8,将十位上数字与个位上数字对调,
得到新数比原数的2倍多l0.求原来的两位数.
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