高中数学必修1知识点总结

第一章  集合与函数概念

  （1）集合的概念： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法：表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.

（3）集合与元素间的关系：对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.

（4）集合的表示法 ①自然语言法②列举法.③描述法④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类：①含有限个元素的集合叫有限集.②含无限个元素的集合叫无限集.③不含任何元素的集合叫空集().

（6）子集、真子集、集合相等

（7）集合有个元素，则有个子集，有个真子集，有个非空子集，有非空真子集.

（8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

二、函数及其表示

（1）函数的概念

①设、是两个非空数集，按照对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数．

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧复合函数：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

     ①观察法：对于比较简单的函数，可以通过观察直接得到值域或最值．

   ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

   ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调性法．

（5）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法

  （6）映射的概念

①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．

②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象

三、函数的基本性质

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．

（2）函数的图象与性质

分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．

（3）最大（小）值定义

     ①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；

      （2）存在，使得．那么，我们称是函数       的最大值，记作．

②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数为奇函数，且在处有定义，则．

③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗

①平移变换

②伸缩变换

 

③对称变换

             

            

 

第二篇：高中必修一数学复习教案(第一章 集合与函数概念 总结)

高中数学必修一复习课件（4）

——公式和总练习题

一、集合

1、含义与表示：

（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性

（2）集合的分类；有限集，无限集 

（3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法

2、集合间的关系：子集：对任意，都有 ，则称A是B的子集。记作                       

   真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，                      

记作AB          

集合相等：若：,则

3. 元素与集合的关系：属于  不属于：   空集：

4、集合的运算：

并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为                     

交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为

5．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；

【必记】 6.常用数集：自然数集：N 正整数集： 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R二、函数的奇偶性

1、定义：

奇函数  <=>  f (– x) = – f ( x)

偶函数  <=>  f (–x) = f ( x)（注意定义域）

2、性质：

（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；

（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；

（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；

（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

二、函数的单调性

1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x₁, x₂∈D，且x₁ < x₂

①  f ( x₁ ) < f ( x ₂ )  <=>   f ( x₁ ) – f ( x₂ ) < 0  <=>  f ( x )是增函数

②  f ( x₁ ) > f ( x ₂ )  <=>   f ( x₁ ) – f ( x₂ ) > 0  <=>  f ( x )是减函数

三、二次函数y = ax² +bx + c（）的性质

1、顶点坐标公式：， 对称轴：，最大（小）值：

2.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式;  (2)顶点式;

(3)两根式.

习题：

1.已知集合，.若，求实数的值.

2.求下列函数的定义域：

（1）；

（2）.

3.已知函数，求：

（1）；   （2）.

4.设，求证：

（1）；   （2）.

5.已知函数在上具有单调性，求实数的取值范围.

【选做，计算量较大】6.证明：

（1）若，则；

（2）若，则.

答案：

1．解：显然集合，对于集合，

       当时，集合，满足，即；

       当时，集合，而，则，或，

                  得，或，

       综上得：实数的值为，或．

       则.

2．解：（1）要使原式有意义，则，即，

           得函数的定义域为；

      （2）要使原式有意义，则，即，且，

           得函数的定义域为．

3．解：（1）因为，

           所以，得，

           即；

       （2）因为，

           所以，

           即．

4．证明：（1）因为，

            所以，

            即；

         （2）因为，

              所以，

              即.

5．解：该二次函数的对称轴为，

       函数在上具有单调性，

则，或，得，或，

即实数的取值范围为，或．

6．证明：（1）因为，得，

             ，

             所以；

         （2）因为，

得，

             ，

因为，

即，

所以.