北 京 林 业 大 学 2014学年—2015学年第2学期计算机网络安全实验报告书 专 业：计算机科学与技术 班 级： 计算机12-2 姓 名： 侯 丹 学 号： 120824227 实验地点： N01 任课教师：蒋东辰 实验题目：传统加密算法

实验环境：Windows 操作系统，Visual C++ 实验要求：

阅读传统加解密算法，巩固对传统加解密算法原理和流程的理解。

1.编程实现凯撒加密算法Caesar_Encrypt：指定TXT明文文件和秘钥Key，输出指定文件名的TXT密文文件。

2.编程实现凯撒解密算法Caesar_Decrypt,指定TXT密文文件和秘钥Key，输出指定文件名的TXT明文文件。

3.编程实现换位加密算法Trans_Encrypt,指定TXT明文文件、分组长度n和数组秘钥Key，输出指定文件名的TXT密文文件。

4.编程实现换位解密算法Trans_Decrypt,指定TXT密文文件、分组长度n和数组秘钥Key，输出指定文件名的TXT明文文件。

实验内容：编程实现凯撒算法和换位加解密算法。 实验总结：

a) 分别给出凯撒加密/解密程序中每一个函数的完整声明，并说明该函数的功能。

b) 你是如何实现凯撒加密的字符转换的？

if(ch >= 'a'&&ch <= 'z') { num = ch - 'a'; num = (num + n + 26)%26; ch1 = 'a' + num ; cout<<ch1; fputc(ch1,fout); } else { if(ch >= 'A'&&ch <= 'Z') { num = ch - 'A'; num = (num + n + 26)%26; ch1 = 'A' + num; cout<<ch1; fputc(ch1,fout); } else { cout<<ch; fputc(ch,fout); } }

c) 自行选择明文(TXT文件中保存的英文语句)和秘钥，进行凯撒加密，写出获得的密文；验证解密算法看是否能够解密。

原文： 加密：

解密： d) 分别给出换位加密/解密程序中每一个函数的完整声明，并说明该函数的功能。

e) 你是如何实现分组内字符的换位的？

将读入的字符：

ch = fgetc(fin);

while(!feof(fin))

{

for(i = 1;i<=n;i++)

{

if (feof(fin))

{

fputc('0',fout);

}

else

{

fputc(ch,fout);

ch = fgetc(fin);

}

}

}

加密时：

while(!feof(fin)) { for (i=1;i<=n;i++)//对分组进行交换 { b[i] = ch; ch = fgetc(fin); } for(i = 1;i<=n;i++) {

} } c[i] = b[a[i]]; fputc(c[i],fout);

解密时：

while(!feof(fin)) { for (i=1;i<=n;i++)//对分组进行交换 { b[i] = ch; c[a[i]] = b[i]; ch = fgetc(fin); } for(i = 1;i<=n;i++) { fputc(c[i],fout); } }

f) 自行选择明文(TXT文件中保存的英文语句)和秘钥，进行换位加密，写出获得的密文；验证解密算法看是否能够解密。

明文： 加密： 解密： g) 如何利用这两个现有加解密程序构造更复杂的加密算法？写

出你的思路。

将两个凯撒加密和分组换位加密算法联合使用。

 

第二篇：网络安全中加密算法的研究

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舟童郁鹰坐碧

硕士学位论文论文题目网络安全中加密算法的研究学生姓名

举夷泓颂０５１４２９号

指导教师王锁萍教授

计算机应用技术学科专业

研究方向计算Ｏｔ（ｉ！通信ｔ州ｉ向应Ⅲ淹史提变“期

柯京邮电人学硕十研究，上论文摘要

摘要

随着计算机技术的发展和Ｉｎｔｅｍｅｔ的广泛应用，人类生活越来越密切地依赖于网络，与此同时，各种网络安全问题层出不穷。如何防范来自网络的威胁，成为人们关注的焦点。在各种网络安全技术中，加密技术是最核心的一种技术，是解决网络信息安全最直接、最有效和最重要的途径。

论文在研究网络安全问题的基础上，对加密技术进行了深入的探讨。首先，研究了目前的两种加密体制（对称加密和公钥加密）各自的代表ＤＥＳ算法和椭圆曲线加密（ＥＣＣ）算法，分别对其思想、特点和安全性进行了讨论；其次，详细研究了基于素数域Ｃ上的椭圆曲线密码算法的具体实现问题，特别是重点讨论了椭圆曲线上点乘运算，在已有算法的基础上，给出了另一种改进的ｍ进制算法，同时进一步地改进了现有滑动窗口算法的滑动方式，提出了一种新的基于滑动窗口的点乘算法，使得算法更加灵活；最后，结合混合加密思想，设计了基于三重ＤＥＳ（３ＤＥＳ）算法和ＥＣＣ算法的混合加密系统，并且仿真实现了该系统。此外，通过对混合加密系统进行效率、复杂度和安全性的分析，论证了混合加密的合理性和可行性。

本文的创新点在于：１）对ＥＣＣ算法点乘运算中ｍ进制算法作了进一步改进，在一定程度提高算法效率的同时，大大降低了算法的预计算量以及存储量，使算法能够适应如智能仁等内存受限的环境：２）进一步地改进了现有滑动窗口算法的滑动方式，提出了一种新的基于滑动窗口的点乘算法，使得算法更加灵活，对于各种应用环境具有更好的适应性；３）采用了３ＤＥＳ以及ＥＣＣ算法来设计混合加密系统。关键词：对称密码，公钥密码，ＤＥＳ，ＥＣＣ，混合加密

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南京邮电人学硕士研究生论文缩略ｉ可农

缩略词表

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ＤａｔａＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＳｔａｎｄａｒｄＤｉｇｉｔａｌＳｉｇｎａｔｕｒｅＡｌｇｏｒｉｔｈｍＥｌｌｉｐｔｉｃＣｕｒｖｅｓＣｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＤａｔａＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＯｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎｆｏｒ

数字加密标准数字签名算法椭圆曲线公钥密码

Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

国际数据加密算法

Ｓｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎ国际标准化组织

高级加密标准三重数据加密算法

Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ美国国家标准技术研究所

安全电了商务协议椭圆曲线离散对数问题每秒百万条指令三重数字加密标准极小型加密算法

ＡｄｖａｎｃｅｄＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＳｔａｎｄａｒｄＴｒｉｐｌｅＤａｔａＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＮａｔｉｏｎａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅ

Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

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ｏｆＳｔａｎｄａｒｄｓ

ＳｅｃｕｒｅＥｌｅｃｔｒｏｉｎｃＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ

ＥｌｌｉｐｔｉｃＣｕｒｖｅＤｉｓｃｒｅｔｅＬｏｇａｒｉｔｈｍＰｒｏｂｌｅｍ

ＭＩＰＳ

３ＤＥＳＴＥＡ

ＭｉｌｌｉｏｎＩｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＰｅｒＳｅｃｏｎｄ

ＴｒｉｐｌｅＤａｔａＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎ

Ｓｔａｎｄａｒｄ

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南京邮电大学学位论文独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

研究生签名：焘踅组日期：龇龟

南京邮电大学学位论文使用授权声明

南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留（包括刊登）论文的全部或部分内容。论文的公布（包括刊登）授权

研究生签名：盘邀研究生签名：农：协导师签名：本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布南京邮电大学研究生部办理。

向京邮电人。≯硕十研究，上论文第‘带绪论

第一章绪论

１．１论文的背景及意义

随着计算机技术的发展和Ｉｎｔｅｍｅｔ的广泛应用，计算机信息系统和公众．瓦联网已经渗入了生活的各个领域，基于Ｉｎｔｅｍｅｔ的电子商务、电子政务的蓬勃发展，更引起了人类牛活方式的全面改观——我们己经进入了网络时代和信息时代。但是，随着互联网络进一步国际化、社会化、开放化和个性化，网络在给人们带来“技术共享”、“信息共享”等方便的同时，也带来了一些不安全的阴影。由于计算机网络和信息系统的开放性和脆弱性，其信息资源和软、硬件资源客观的存在着已知的或潜在的各种威胁。例如，在银行、保险公司、证券公司等金融机构，国内外有关网络犯罪的报道屡见不鲜；各企事业单位内部的商业秘密不胫而走；计算机网络病毒的泛滥与侵扰等等。因此，网络安全问题显得越来越重要。

网络安全是涉及面很广的问题，不仅涉及到计算机科学一门学科，也涉及到数学、饩：理、法律等学科，主要包括数据保密、访问控制、身份认证、不可否认和信息完整性等问题。其中首要的是数据保密，要保证被保密处理的数据不能被非法用户获取以及解密从而得到相关信息。而访问控制，是指系统对用户和资源分配不同的权限，根据各自的权限，系统可以分配用户资源，可以控制用户对资源的访问。身份认证是在网络中实现对对方身份的数据核实。数字签名则是用来防止签署方否认或抵赖。完整性则是指用户获取的数据没有被非法篡改过。

信息加密技术是保障信息安全最基本、最核心的技术措施。信息加密丰要是通过对数据的加密和数字签名来实现的，其中对数据的加密处理主要是为了防止数据不会被窃听。如果使用非对称加密算法，它还可以保证发送方和接收方身份的确认。而数字签名实际上是由牛成摘要和牛成数字签名两部分构成。其中摘要可以防止文件被篡改，从而保证信息的完整性；而数字签名则是为了保障数据的不可否认性，从而使数据具有法律上的意义。对数据进行加密和数字签名的理论基础是加密算法，对加密算法的研究由来已久，它的基本思想是对原始数据进行复杂的变换，以使非法接收者很难从中破译出原始的信息，而合法用户则可以利用密钥解密密文。

南京邮电人学硕十研究生论文第‘节绪论１．２密码学的发展

信息加密作为一种保障数据安全的技术源远流长，可以追溯到几千年前。在密码学的发展中，曾出现过一些加密技术的经典的应用，比如ＪｕｌｉａｓＣａｅｓａｒ（恺撒大帝）用于战争的恺撒密码。以往关于密码的应用基本上都是出现于战争中，包括美国独立战争，美国内战和两次世界大战。最广为人知的是二战期间德国人用来加密信息的编码机器ＧｅｒｍａｎＥｎｉｇｍａ机。当初计算机的研究就是为了破解德国人的密码，人们并没有想到计算机的发展给今天所带来翻天覆地的变化…。

１９４９年，现代信息论的创始人香农（ｓｈａｎｎｏｎ）在“保密系统通信理论”一文中，提出了一整套如今被称为是信息论的基础理论的概念和方法，并且用来度量密码体制的保密性。他首次用概率统计的观点对信息源、密钥源、接收和截获得密文进行了数学描述和定量分析，用不确定性和唯一解距离度量密码体制的保密性，阐明了密码系统、完善保密性、纯密码、理论保密性和实际保密性等重要概念，标志着密码学研究开始走上了科学的轨道。

香农密码体制表示如图１．１所示。

图１－１ｓｈａｎｎｏｎ保密系统的简化模型

上世纪六十年代，由于计算机的广泛应用，促使人们提出了对私人机密和数字化数据进行保护的迫切要求。由ＩＢＭ公司在七十年代发起，最终成为美国联邦信息处理标准ＤＥＳ（ＤａｔａＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＳｔａｎｄａｒｄ）力ｆｌ密算法是当时世界上著名的对称加密算法。

美国国家标准局即现在的国家标准技术研究所（ＮＩＳＴ）在１９９９年发布了一个新版本的ＤＥＳ标准（ＦＩＰＳＰＵＢ４６．３），该标准指出ＤＥＳ仅能用于遗留的系统，同时３ＤＥＳ将取代ＤＥＳ成为新的标准。３ＤＥＳ有两个显著的优点，确保了其能在未来得到广泛的应用。首先它的密钥长度是１６８位，故能克服ＤＥＳ所面临的穷举攻击问题。其次，３ＤＥＳ的底层加密算法与ＤＥＳ的加密算法相同，该加密算法比任何其他加密算法比任何其他加密算法受到分析的时间长得多，也未能发现有比穷举攻击更有效的、基于算法本身的密码分析攻击方法。相应地，３ＤＥＳ对密码分析攻击有很强的免疫力。如果仅考虑算法安全，３ＤＥＳ能成为未来数十年加密算法标准的合２

白束邮也人学硕十研究，上论文第。‘章绪论适选择。

１９７６年Ｄｉｆｆｉｅ和Ｈｅｌｌｍａｎｎ的“密码学的新方向”一文【２】导致了密码学上的一场革命。他们首次证明了在发送端和接收端无密钥传输的保密通信是可能的，从而开创了非对称密码学的新纪元。非对称密码学的诞生，使密码学发生了历史上而且也许是唯一真正的革命。在过玄４０００年间几乎所有密码编码系统都建立在替代和置换等机制的基础上。公开密钥密码编码学则与以前的所有方法都截然不同：一方面它基于数学函数，另一方面它用到两个不同的密钥，而非对称常规加密的一个密钥。

１９７７印由麻省理工学院的Ｒｉｖｅｓｔ、Ｓｈａｍｉｒ和Ａｄｌｅｍａｎ提出了第一个比较完善的非对称密码算法，即著名的ＲＳＡ算法【３】，从此ＲＳＡ方案作为唯一被广泛接受并实现的通用公开密钥加密方式而受到推崇。此后，人们基于不同的计算问题，提出了大量的非对称密码算法。

目前比较流行的公钥密码体制主要有三大类【４】：一类是基于大整数因了分解问题，其中最典型的代表是ＲＳＡ体制；另一类是基于离散对数问趔５１，如ＥＩＧａｍａｌ公钥密码体制和ＤＳＡ（ＤｉｓｔａｌＳｉｇｎａｔｕｒｅＡｌｇｏｒｉｔｈｍ）公钥密码体制；还有一类是基于椭圆曲线上的离散对数问题，它较通常的离散对数问题更为困难，称为椭圆曲线公钥密码体制。椭圆曲线加密算法自从诞牛之日起，它的安全性和实现效率就被众多的数学家和密码学家所广泛研究。所得的结果表明，较之ＲＳＡ算法，椭圆曲线加密算法具有更大的优越性，因此它有望取代ＲＳＡ，成为通用的公钥加密算法。国际上制定了椭圆曲线公钥密码标准ＩＥＥＥＰｌ３６３，ＲＳＡ等一些公司声称他们已开发出符合该标准的椭圆曲线公钥密码。我国学者也提出了一些公钥密码，另外在公钥密码的快速实现方面也做了一定的工作，比如在ＲＳＡ的快速实现和椭圆曲线公钥密码的快速实现方面都有所突破。公钥密码的快速实现是当前公钥密码研究中的一个热点，包括算法优化和程序优化。另一个人们所关注的问题是椭圆曲线公钥密码的安全性论证问题。

１．３两种密码体制

１．３．１对称密码体制

对称密码加密也称为常规加密、保密密钥或单密钥加密，它是２０实际７０年代后期公钥加密体制出现之前使用的唯一一种加密体制，是现在最常用的两种加密类型之一。这种体制的特点是：发送方和接收方使用相同的密钥分别进行加密和解密。常规密码体制中，发送方３

南京邮电人訾硕十研究生论文第节绪论把明文Ｐ，也就是要传送的文件，利用密钥Ｋ通过规定的加密算法加密为密文Ｃ：而接收方则利用与发送方相同的密钥足对密文Ｃ进行解密，从而得到原来的明文Ｐ。换而言之，即加密和解密是瓦为逆变换的关系，具体的变换由变换参数密钥Ｋ控制，密钥Ｋ必须通过于密文信道不同的保密信道来进行传送。

对称密码体制通常使用的加密算法比较简便高效，密钥简短，数学运算量小，加密与解密速度极快。另外，对称密码体制的密钥不能与密文一起传送，而必须在另外一个保密的安全信道里传送。由于系统的安全性依赖于密钥的安全性，泄漏密钥就意味着任何人都能对加密信息进行解密。所以，在公开的计算机网络上安全地传送和保管密钥是一个严峻的问题。ＤＥＳ算法是目前最为典型的对称密钥密码系统算法，除此之外，比较有代表性的算法还有３ＤＥＳ，ＩＤＥＡ［６Ｊ算法等。

１．３．２公钥密码体制

如果一个保密系统能够把加密过程和解密过程分开，并且加密和解密分别使用两个不同的密钥实现，并且由加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的，则该系统所采用的就是公钥密码体制（非对称密钥密码体制）【‘７１。采用公钥密码体制的每个用户都有一对选定的密钥：其中一个是可以公开的，一个由用户自己秘密保存。图１．２是一般公钥密码的示意图。

其中，图中Ｅ（ｅ。，ｍ）表示使用用户Ｂ的公开密钥％对明文ｍ进行加密，Ｄ（九，ｃ）表示用户占使用自己保存的秘密密钥以对密文ｃ进行解密（有时也使用Ｂ表示给用户口发送秘密消息时所使用的加密变换，即％＝Ｅ（ｅ占，?），使用见表示用户丑的解密变换，且ｌＪ岛＝Ｄ（ｄ疗，?）。

图１．２公钥密码体制

公钥密码的加密变换Ｅ（ｅ岸，所）与解密变换Ｄ（ｄ口，ｃ）应满足下列要求：

（１）Ｄ（ｄ何，ｃ）是Ｅ（ｅ曰，ｍ）的逆变换，目Ｕ对于任意明文ｍ，均有４

卣京邮电人宁硕十研究生论文第‘章绪论

Ｄ（ｄ占，Ｃ）＝Ｄ（ｄ占，Ｅ（ｅ口，肌））＝ｍ；

（２）在己知加密密钥ｅ。时，Ｅ（ｅ。，ｒｌ，１）的计算不难；在己知解密密钥ｄ８时，Ｄ（９８，Ｃ）计算也不难：

（３）如果不知道ｄａ，那么即使知道％，具体的加密与解密算法过程以及密文Ｃ，确定明文的计算是不可行的。

因此，只要妥善保箭好解密密钥ｄ占，即使把用于加密的加密密钥ｅ。公开，也能够保证密码体制的安全性，因为要从加密密钥％推出解密密钥ｄ口在实际上是不可行的。所以加密密钥可以公开进行分配，这样，在常规密码体制中最为棘手的密钥秘密分配和管理问题在公钥密码体制中就完全不存在了。

公钥算法相对于对称加密算法有许多优点，通信双方不需要事先交换密钥，保密性好，在密钥毹；理及分配上有自己的优越性；另外公钥密码可以实现数字签名，保证传输信息的不可否认性。但是，公钥密码是基于数学难题的，在加、解密运算时，在计算上的开销相对于对称加密来说是非常巨大的。特别是在消息明文较大的情况下，更是显现出公钥算法的缺陷。１．４本文的主要工作

本文在讨论网络安全技术的基础上，着重研究了当前网络安全中的加密技术：系统的研究分析了对称加密体制的ＤＥＳ算法和公钥加密体制的Ｆ．，ＣＣ算法；利用用对称加密算法来加密要传输信息的内容，用公钥加密算法来加密会话密钥的混合加密思想设计了基于ＥＣＣ和３ＤＥＳ算法的混合加密系统；在此基础上对ＥＣＣ算法中点乘运算实现作了部分改进。具体的工作如下：

（１）研究了目前各种网络安全技术中的加密技术，特别是研究了目前流行的两类加密体制的代表一对称加密算法ＤＥＳ和公钥加密算法ＥＣＣ，对其实现原理和过程进行了详细的描述和分析；

（２）本文详细研究了基于大素数域Ｃ上的椭圆曲线密码体制算法，其中包括：椭圆曲线域参数的选取、有限域Ｆ上的基本运算、椭圆曲线算术运算等算法的实王见问题。

（３）本文重点讨论了椭圆曲线上的点乘运算，在已有算法的基础上，给出了本文改进的肌进制算法，该算法虽然在一定程度上增加了点加运算，但大大减少了预计算量和存储量，同时进一步地改进了现有滑动窗口算法的滑动方式，提出了一种新的基于窗口的点乘算法，使５

椅京邮电人学硕十研究，上论文第‘章绪论得窗口算法更加灵活，对于各种应用环境具有更好的适应性。

（４）在分析和比较的基础上，针对对称加密中密钥管理的问题和公钥加密中算法过于复杂的问题，利用混合加密思想，设计了基于３ＤＥＳ和ＥＣＣ算法的混合加密系统，并在Ｃ＋＋平台下进行仿真实现。

１．５论文的结构安排

本文的结构安排如下：

第一章：绪论。介绍了本文的研究背景，阐述了目前网络安全中的一些问题，介绍了密码学的发展，介绍了当前的两种加密体制；综述了研究工作以及论文的组织结构。

第二章：着重对数据加密标准ＤＥＳ密码算法进行研究，详细讨论该算法的设计原理，并对ＤＥＳ的安全性进行详尽的比较分析，并且针对ＤＥＳ算法密钥短的缺点，讨论了３ＤＥＳ算法。

第二章：对椭圆曲线密码体制ＥＣＣ这一非对称加密算法进行探讨，阐述实现该算法的数学基础及其依赖的数学难题，探讨ＥＣＣ加密体制的设计原理，分析ＥＣＣ的安全性能。

第四章：对基于大素数域Ｃ上的椭圆曲线密码算法的具体实现展开了较详细的研究，重点研究讨论了椭圆曲线上的点乘运算，在已有点乘算法的基础上，给出了本文的改进的ｍ进制算法，该算法使预计算量以及存储量大为降低，同时给出一种新的基于滑动窗口的点乘算法，新算法更加灵活，对于各种应用环境具有更好的适应性。

第五章：在讨论混合加密的基础上，设计了基于３ＤＥＳ和ＥＣＣ算法的混合加密系统，并在Ｃ抖平台下进行仿真实现，最后对该系统进行了细致的分析。

第六章：总结。总结了本文的研究工作，对于存在的问题和不足做了总结，提出了进一步的工作方向。６

南京邮电人学硕十研究生论文第‘：章数据加密标准ＤＥＳ密码算法

第二章数据加密标准ＤＥＳ密码算法

本章的目的在于阐明现代对称密码的基本原理，主要探讨了使用最广泛的对称密码：数字加密标准（ＤＥＳ），并分析了其安全性及脆弱性。尽管目前ＤＥＳ之后涌现出大量的对称密码，而且它注定要被高级加密标准代替，ｆｕＤＥＳ依然是一个极其重要的算法，并且仍然在广泛的应用中。

２．１ＤＥＳ密码系统

ＤＥＳ密码系统是由ＩＢＭ公司的沃尔特?塔奇曼（Ｗ．Ｔｕｃｈｍａｎ）和卡尔?迈歇尔（Ｃ．Ｍｅｙｅｒ）于１９７１至１９７２年研制成功的。该算法于１９７５年３月公开发表，于１９７７年被美国国家标准局（ＮＢＳ）批准作为美国数据加密标准（Ｄａｔａ

提出的数据加密四个要求：ＥｎｃｒｙｐｔｉｏｎＳｔａｎｄａｒｄ）【引。ＤＥＳ算法完全符合美国国家标准局

（１）提供高质量的数据保护，防止数据未经授权的泄漏和未被察觉的修改；

（２）具有相当高的复杂性，使得破译的开销超过可能获得的利益，同时又要便于理解和掌握：

（３）ＤＥＳ密码体制的安全性应该不依赖于算法的保密，其安全性仅以加密密钥的保密为基础：

（４）实现经济，运行有效，并且适用于多种完全不同的应用。

２．２ＤＥＳ算法加，解密过程

ＤＥＳ算法的分组长度为６４ｂｉｔ，密钥Ｋ也是６４ｂｉｔ，但只有５６ｂｉｔ有效，其他８位是奇偶校验位。算法主要包括初始置换、１６轮迭代的乘积变换、逆初始置换以及１６个子密钥产生。６４位一组的明文从算法的一端输入，６４位的密文从另一端输出。下面我们给出ＤＥＳ加密／解密算法迭代过程的流程图如图２．１所示：７

钉京邮电人学硕十研究生论文第．二章数据加密标准ＤＥＳ密码算法

图２—１ＤＥＳ加密过程

要进７７Ｄｒｌ密的一组数据，先要经过初始置换铲的处理，并且要通过一系列的运算，然后经过初始置换的逆置换俨一，给出加密结果１９１。

（１）初始置换伊：首先对６４位的明文按初始置换俨表进行换位。

（２）将置换输出的６４位数据分成芹右两半，左一半称为厶，右一半称为Ｒ，各３２位。（３）计算函数的１６次迭代。由加密函数厂实现了密钥Ｋ。对Ｒ的加密，结果为３２位数据组／（Ｒ，Ｋ），厂（％，墨）再与厶模２相加，又得到一个３２位的数据组厶＠ｆ（Ｒｏ，Ｋ。），以厶０ｆ（Ｒｏ，Ｋ。）作为第二次加密迭代的Ｒｌ，以Ｒ作为的二次加密的迭代的Ｌ。，第一次加密迭代过程结束。第二次迭代至第１６次加密迭代分别用予密钥Ｋ２，…，Ｋｉ。进行，其过程与第一次加密迭代相同。

加密过程可用如下数学公式描述：

厶＝Ｒ中

墨＝厶一。ｏ／（墨小Ｋ），ｉ＝ｌ，２，…，１６ｆ函数将在后面描述，每～个长度为４８的比特串Ｋ，Ｋ２，…，Ｋ。。是作为密钥髟的函数而计

Ｉ村京邮电人学硕十研究，上论文第：幸数据加密｝，Ｊ：准ＤＥＳ密码算法

算出来的，实际上，每一个Ｋ，是Ｋ中比特置换后的选择，Ｋ。，Ｋ，…，Ｋ。。组成了密钥编排。

（４）最后一次的迭代厶。放在右边，墨。放在左边。

（５）再经逆初始置换俨～，把数据打乱重排，产生６４位密文。

ＤＥＳ在算法结构上采用迭代结构，从而使其结构紧凑，条理清楚，而且算法为对合运算，便于实现。而且它的解密过程和加密过程完全类似，只不过将１６圈的予密钥序列Ｋ．，心，…，Ｋ。。的顺序倒过来，即第一圈用第１６个子密钥墨。，第二圈用墨，，其余类推。

２．２．１初始置换Ｉ

Ｐ

初始置换和逆初始置换是简单的移位操作。其中初始置换护在第一轮迭代运算之前进

行，对输入６４位分组实施如表２．１所示的变换。例如，初始置换把明文的第５８位换到第１位的位置，把第５０位换到第２位的位置，把第４２位换到第３位的位置等等。

逆初始置换俨。１是初始置换ＩＰ的逆过程，表２．２列出了该置换。在最后一轮的ＤＥＳ迭代中，寿半部分和右半部分并不交换，而是将足。。和‘。并在一起形成一个分组作为置换伊一的输入，置换的输出为最终结果。

５８６０６２６４５７５９６１６３

５０５２５４５６４９５１５３５５

４２４４４６４８４１４３４５４７

３４３６３８４０３３３５３７３９

２６２８３０３２２５２７２９３１

１８２０２２２４１７１９２１．２３

１０１２１４１６９１１１３１５

２４６８ｌ３５７

４０３９３８３７３６３５３４３３

８７６５４３２１

４８４７４６４５４４４３４２４１

１６１５１４１３１２１１１０９

５６５５５４５３５２５１５０４９

２４２３２２２１２０１９１８１７

６４６３６２６１６０５９５８５７

３２３１３０２９２８２７２６２５

表２．１初始置换三Ｐ

衰２－２逆初始置换妒一

２。２．２

ＤＥＳ子密钥的生成

在ＤＥＳ密码系统的设计中，将６４ｂｉｔ的密钥中的５６ｂｉｔ用于加密过程，其余８ｂｉｔ（在位置８，１６，…，６４上的８＂卜ｂｉｔ）用于奇偶校验。在ＤＥＳ的每一轮迭代中，经过循环左移和压缩置换，

９

由京邮电人学硕十研究生论文

第二章数据加密标准ＤＥＳ密码算法

从５６ｂｉｔ密钥中产生出不同的１６１ｆ－４８ｂｉｔ子密钥Ｋ．，Ｋ２，…，Ｋｌ。。子密钥的生成丰要过程如下：

（１）首先密钥Ｋ经过如表２．３的ＰＣ一１的置换，将初始密钥的８个奇偶效验位剔除掉，而留下的５６位才是真正的初始密钥：

（２）将置换后的５６ｂｉｔ的密钥进行分组，分为左右两部分Ｃｏ和Ｄｏ，ｃ０和Ｄ０各为２８ｂｉｔ；（３）对分组后的密钥Ｃｏ和哦按照表２－４进行循环左移，得到了Ｇ和４厶起来５６ｂｉｔ数据；（４）每次循环中，ｃ：一．和口一。分别经过表２—４确定的ｌ位或２位的循环左移，这些经过循环的

值作为下一次循环的输入，这样得到１６组５６ｂｉｔ的数据：

（５）将这１６组５６ｂｉｔ的数据依次经过如表２．５的ＰＣ一２的置换，得到１６个４８ｂｉｔ了密钥Ｋ。，Ｋ：，…，Ｋ…其生成过程如图２?２：

图２．２子密钥的产生

５７１１０１９６３７１４２１

４９５８２１１５５６２６１３

４１５０５９３４７５４６１５

３３４２５１６０３９４６５３２８

２５３４４３５２３１３８４５２０

１７２６３５４４２３３０３７１２

９１８２７３６１５２２２９４

１４３２３１６４１３０４４４６

１７２８１９７５２４０４９４２

１１１５１２２７３１５１３９５０

２４６４２０３７４５５６３６

１２１２６１３４７３３３４２９

５１０８２５５４８５３３２

袁２．３ＰＣ～１置换表表２．５ＰＣ一２置换表

ｌＯ

南京邮电人学硕十研究生论文第。：章数据加密标准ＤＥＳ离码算法

迭代顺序

左移位数１１２１３２４５２６２７２８２９１ｌＯ２１ｌ２１２１３１４１５１６２２２２２１

表２－４循环左移表

举例如下：假设Ｃ３＝Ｃ］Ｃ：…Ｃ２８Ｂ＝西以…吐。，我们查表可知第四次迭代应该左移循环两次，则Ｃ４＝Ｃ３Ｃ４…Ｃ２８Ｃｌｃ２，Ｂ＝名ｄ４…ｄ２８啊以。

ＤＥＳ算法的厂函数２．２．３

一．加密函数／

ＤＥＳ算法中最重要的部分是／函数，而其中的重点又是Ｓ盒（ＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎＢｏｘ）替代运算。下图２．３是／函数的计算过程结构。

（Ｅ

１，：

…ｖｉ，、Ｊ

ｋ／１

１ｒ

┃┃ＩｌＩ

ｓｌＴｓ２﹢ｉ

－３数的计算过程

函数厂是ＤＥＳ的核心部分，它的作用在于在第ｉ次加密迭代中用子密钥Ｋ对Ｒ一。进密。在第ｉ次加密迭代中选择置换运算Ｅ（表３．６）对３２位的Ｒｆ一，的各位进行选择和排列，一个４８位的结果，此结果与予密钥Ｋ模２相加，然后送入选择函数组Ｊ５－盒中，结果得到３２位的数据组。此结果再经过置换运算尸（表３．７），将其各位打乱重排。置换运算尸的输为加密函数的输出／（Ｒ小墨）。

７ｒ的执行步骤如下：

）选择置换。首先３２位的Ｒ一。经过选择置换Ｅ扩展成长度为４８位的比特串，Ｅ（忍一，）由．的３２个比特以特定方式排列产牛，其中１６个比特出现两次：

南京邮电大学硕士研究生论文第二章数据加密标准ＤＥＳ密码算法

（２）选择置换Ｅ的４８ｂｉｔ为输出，与Ｋ作二进制加法（异或操作）；（３）将输出的４８ｂｉｔ进行分组，作为输入送入选择函数组Ｓ盒中；（４）根据输入计算Ｓ盒函数；

（５）通过Ｓ盒的变换生成３２ｂｉｔ的输出；（６）对Ｓ盒输出的３２ｂｉｔ的串进行Ｐ变换。

３２

４

１５９１３１７２１２５２９

２６ｌＯ１４１８２２２６３０

３

７

４

５９１３１７２１２５２９１

１６２９１５２３２１９２２

７１２１５１８８２７１３

１ｌ

２０２８２３３１２４３３０

４

２１

１７

８１２１６２０２４２８３２

８１２１６２０２４２８

１１１５１９２３２７３１

２６１０１４９６２５

表２－６Ｅ选择置换表表２—７Ｐ置换衷

二．选择函数组Ｓ

选择函数组由８个选择函数（也称Ｓ盒）组成，８个选择函数分别记为墨，是，Ｓ，墨，Ｓ，＆，品和Ｓ。选择函数组输入是一个４８位的数据串，从第１位到第４８位依次加到Ｓ—Ｓ的输入端。

每个选择函数有６个输入，４个输出。每个选择函数有一个选择矩阵，规定了其输出与输入的选择规则。选择矩阵有４行１６列，每行都是０—１５这１６个数字，但每行的数字的排列都不相同。而且８个选择矩阵彼此也不同。每个选择函数的６位输入组成一个６位二进制数字串。选择的规则是：输入二进制数字串中的第１和第６两位所组成的二进制数值代表所选中的行号，其余４位所组成的二进制数值代表选中的列号，而处在被选中的行和列的交点处的数字便是选择函数的输出（以二进制形式输出）。

举例如下：下面我们仅给出Ｓ表中的Ｓ表，如表２－８所示：

ＯＯ

１

１

４

２１３

７

３１

４

４２１４１３４

５１５２６９

６１１１３２１

７８１１１７

８３１０１５５

９１０６１２１ｌ

１０６１２９３

１１１２１１７１４

１２５９３１０

１３９５１００

１４０３５６

１５７８Ｏ１３

１４Ｏ４１５

１５ｌ１２

２３

１４８

８２

表２－８

１２

Ｓ表

Ｉ订京邮电人，誓硕十研究生论文第：章数据加密标准ＤＥＳ密码算法我们假定Ｓ盒的６个输入端为６１６２６３６４良玩，在Ｓ表中找出６Ｊ６６行，６２６３６４良列的元素，该元素就是Ｓ盒的输出。例如Ｓ的输入为１１００１０，则岛＝１，６６＝ｏ，ｂ＃ｏ＝（１０）：＝２，ｂ，ｂ３ｂＡ＝（１００１）：＝９，由Ｓ，表可以查得Ｓ（２，９）＝１２，故Ｓ，的输出为（１２）２＝１１００，依次类推可以查得别的输出。２．３ＤＥＳ安全性分析

ＤＥＳ算法的安全强度及脆弱性２．３．１

ＤＥＳ算法的设计目标是设计足够复杂的操作，使攻击者不可能找出明文和密文之间、密钥和密文之间的相互联系。ＤＥＳ综合运用了置换、代替等多种密码技术，在算法结构上采用迭代结构，便于实现，实现效率也高。ＤＥＳ使用了初始置换护和逆初始置换炉。｜各一次，置换Ｐ１６次。安排使用这二个置换的目的是把数据彻底打乱重排．。它们在密码学意义上作用不大，因为它们与密钥无关，置换关系固定，一旦公开后便无多大密码意义。选择置换Ｅ一方面把数据打乱重排，另一方面把３２位输入扩展为４８位。算法中除了选择函数组Ｓ是非线性变换外，其余变换均为线性变换，所以保密性的关键是选择函数组Ｓ。这个非线性变换的本质是数据压缩，它把６位输入压缩成４位输出。选择函数的输入中任意改变数位，其输出至少变化２位。因为算法中使用了１６次迭代，从而使得即使是改变明文或者密钥中的１位，密文都会发牛约３２位的变化，大大提高了保密性。ＤＥＳ的子密钥产生与使用上也很有特色，它确保了原密钥中各位的使用次数基本上相等。实验表明，即使明文之间只有一个比特的差别，加密后的密文变化却非常大而且是随机的。经过多年的研究和应用，人们认为ＤＥＳ算法的保密性良好，而且由于可以用硬件实现，其效率也比较高。由于ＤＥＳ算法是公开的，因此其安全性完全取决于密钥本身。同时，人们在研究中也发现了若干ＤＥＳ算法的弱点，但这些弱点尚未严重削弱ＤＥＳ算法的有效性。对于ＤＥＳ的脆弱性，通常有以下观点：

（１）弱密钥和半弱密钥

在ＤＥＳ算法中，如果１６次循环中每次使用的子密钥要都相同的话，将会削弱它的加密强度。在这种情况下，加密和解密运算不存在差别，也就是说加密操作等效于解密操作。具有上述特征的密钥我们称为弱密钥。另外，还有一些加密密钥具有类似的特征，它们是成对出王见的，在每一对这样的加密密码中，子密钥相同，而且是倒序的。因此，用其中一个加密密钥进行运算，然后再用另外一个加密密钥对上述加密运算的结果进行加密，就能恢复出明文。

南京邮电大学硕士研究生论文第二章数据加密标准ＤＥＳ密码算法这种密钥我们称为半弱密钥。

在ＤＥＳ中存在着这样一些脆弱的密钥，因此我们应该避免选择这些密钥。在ＤＥＳ中，存在着４个弱密钥和１２个半弱密钥。因为它的数量小，在选择密钥时可以有意识的避免。真正对ＤＥＳ算法构成威胁的是差分密码分析与线性密码分析。

（２）ＤＥＳ算法采用６４ｂｉｔ的固定分组，这种短组模式不利于有一定长度的明文块加密，由于可能造成密文信息的重复组块，从而有利于攻击者采用统计方法来破译。

（３）在ＤＥＳ算法的设计过程中将一个实际上５６ｂｉｔ的密钥分解成１６个４８ｂｉｔ子密钥序列，每个了密钥在一次迭代或循环运算过程中只作为４８ｂｉｔ的参数参加一次模２加法，这种机制功能有限，且过于简单，大大降低了密钥参与运算结果的控制性和有效性。

（４）迄今为止，ＤＥＳ算法中的．５，盒８个选择函数矩阵的设计原理因美国政府方面的干预，不予公布。从这一方面严格地讲ＤＥＳ算法并不是一个真正的公开加密算法。Ｓ盒设计中利用了重复因了，致使加密或解密变换的密钥具有多值性，造成使用ＤＥＳ合法用户的不安全性。而且，在ＤＥＳ／Ｊｎ密算法的所有部件中，Ｓ盒是唯一的具有差分扩散功能的部件（相对于逐位异或），其它都是简单的位置交换，添加或删减等功能，毫无差分扩散能力。这样，ＤＥＳ的安全性几乎全部依赖于Ｓ盒，攻击者只要集中力量对付Ｓ盒就行了。

（５）密钥的长度人们普遍认为ＤＥＳ算法的密钥不够长。随着计算机技术的飞速发展，攻击者的破译能力也日益增强，用户实际使用的密钥长度为５６ｂｉｔ，理论上最大加密强度为２５６，将难以抵抗穷举攻击。因此，有必要增加算法的密钥长度。

２．３．２ＤＥＳ的变形－－３ＤＥＳ

对称加密算法ＤＥＳ的加密速度相当快，但是其密钥长度相对太短，只有５６ｂｉｔ。随着计算机技术的飞速发展，这么短的密钥已经不再安全。因此，密码学家对其进行了改进。

３ＤＥＳ是ＤＥＳ的一个更安全的变形。它以ＤＥＳ为基本模块，通过组合分组方法设计出分组加密算法，其具体实现如下：在加密信息时，先对明文Ｐ使用密钥毛进行ＤＥＳ加密，随后使用密钥ｋ，对加密的结果进行解密，接着再对解密后的结果使用缸进行第二次加密，最终得到我们所需的结果密文Ｃ。在此使用了三个密钥，把密钥长度变为原来的二倍。设Ｅ（）和皿（）代表ＤＥＳ算法的加密和解密过程，３ＤＥＳ加密过程可表示为：

Ｃ＝巨，（俄．（毛．（Ｐ）））；１４

｝｛！ｉ京邮电人。学硕十研究生论文第’：章数据加密标准ＤＥＳ密码算法

其加密过程如图２．４所示。

文Ｃ明

图２．４３ＤＥＳ加密流程图

接下来我们来分析一下３ＤＥＳ算法的解密过程，如图２．５所示。其解密过程与加密过程恰恰相反，首先对密文Ｃ使用密钥１，３进行解密，随后对解密结果使用密钥岛进行加密，接着对加密结果使用密钥ｋ。进行第二次解密，最终解密出明文Ｐ。３ＤＥＳ解密过程为：

Ｐ＝Ｂ．（气（ｑ，（ｃ）））。

密文Ｐ

图２．５３ＤＥＳ解密流程图

Ｋ．，足：，坞决定了算法的安全性，若三个密钥互不相同，本质上就相当于用一个长为１６８位的密钥进行加密，在对付强力攻击时是比较安全的。若数据对安全性要求不那么高，令Ｋ，＝Ｋ３。在这种情况下，密钥的有效长度为ｌ１２位。在本文实现的混合加密系统中，采用的就是ｌｌ２位密钥的３ＤＥＳ。

２．４本章小结

本章主要针对基于对称密码体制的数据加密标准ＤＥＳ进行了探讨。ＤＥＳ是一个分组加密算法（即将数据分块），它用５６位的密钥对６４位分组对数据加密，其算法具有相当高的复杂性，而且密码体制的安全性不依赖于算法的保密，其安全性仅以加密密钥的保密为基础。同时在此基础上，针对其密钥太短的缺点，研究了它的一种变形３ＤＥＳ算法。ＤＥＳ算法运算速度快，实现简单，作为非机要文件的加密，仍不失为一种好的方案。

南京邮电入学硕十研究生论文第二章椭圆ｌ井｝线公钥密码体制

第三章椭圆曲线公钥密码体制

本章的目的在于阐明现代公钥密码体制的基本原理，主要探讨目前最流行的公钥密码算法：椭圆曲线加密算法。椭圆曲线加密是本文重点研究的加密方法。本章对有限域，有限域上椭圆曲线的定义，以及有限域上的加法定义，进行了非常详细的阐述，并在此基础上，给出了椭圆曲线公钥密码体制的基本原理，包括椭圆曲线密码体制的域参数，椭圆曲线公钥密码体制加解密过程，以及椭圆曲线密码体制的数字签名算法等。

３．１引言

椭圆曲线公钥密｛ｉ－ｑ（ｅｌｌｉｐｔｉｃｃｕｒｖｅｓｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，ＥＣＣ）最早于１９８５年由Ｍｉｌｌｅｒ［１０】和Ｋｏｂｌｉｔｚ【…分别独立地提出。它是利用有限域上椭圆曲线的有限点群代替基于离散对数问题密码体制中的有限循环群所得到的一类密码体制。与ＲＳＡ密码系统相比，椭圆曲线密码体制有着巨大的安全性和技术优势。利用椭圆曲线建立密码体制具有两大潜在的优点：一是有取之不尽的椭圆曲线可用于构造椭圆曲线有限点群：二是不存在计算椭圆曲线有限点群的离散对数问题的亚指数算法。因此椭圆曲线密码系统被认为是下一代最通用的公钥密码系统。安全的电予商务协议ＳＥＴ（ＳｅｃｕｒｅＥｌｅｃｔｒｏｉｎｃＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ）的制定者已经把椭圆曲线密码体制作为下一代ＳＥＴ协议中默认的公钥密码算法，几个国际标准化组织也把椭圆曲线密码体制作为新的信息安全标准。我国也已经将椭圆曲线密码体制作为“十五”期间的重点研究课题。

３．２椭圆曲线密码体制的数学基础

有限域的运算和椭圆曲线上点的运算是ＥＣＣ的数学基础。这里首先论述群和域的概念，然后介绍椭圆曲线的概念，对实数域、Ｃ上的椭圆曲线群及其基本运算进行定义。

３．２．１群论

定义３．１假定Ｇ是具有有限个或无限个元素的集合，在Ｇ的元素间给出了一个代数运算１６

南京邮电人学硕十研究生论文第二章椭圆曲线公钥密码体制幸（加、乘或其它运算），使得

（１）封闭性，即：对任意的ｎ，ｂ∈Ｇ，有ａ堆ｂ∈Ｇ；

（２）结合律，即：对任何口，ｂ，Ｃ∈Ｇ，有ａ木６牛ｃ＝（ａ?６）木ｃ＝ａ奉（６唯ｃ）；

（３）单位元，即：存在一个元素ｅ∈Ｇ（称为单位元），对任意元素ａ∈Ｇ，有口幸ｅ＝ｅ半日＝ａ；（４）逆元，即：对任意ａ∈Ｇ，存在一个元素ａ一∈Ｇ（称为逆元），使得

ａ幸ａ～＝ａ—Ｉ幸口＝ｅ：

把满足上面性质的代数系统称为群，记作（Ｇ，奉）。

定义３．２如果群（Ｇ，幸＞满足交换律，即对任何以，ｂ∈Ｇ，有ａ幸６＝ｂ＊ａ，则称Ｇ为交换群（或Ａｂｅｌ群、加法群等）。

群具有以下性质【‘２ｌ：

（１）群中的单位元是惟一的：

（２）消去律成立，即对任意的口，ｂ，ｃ∈Ｇ，如果ａ幸ｂ＝ａ，ＩＣ，则ｂ＝Ｃ，如果ｂ木ａ＝ｃ，＃ａ，则ｂ＝ｃ：

（３）群中的每一元素其逆元是惟一的。

定义３．３群的阶，用ＩＧｌ来表示，表示群中元素的个数。元素个数为无限的叫做无限群，元素个数为有限的叫做有限群。

群的一些例子【１２】【１３Ｊ：

（１）所有正有理数集对于乘法形成一个群。

（２）所有整数集对于加法形成一个Ａｂｅｌ群。

（３）有理数系Ｑ对加法构成群，它是无限群。

（４）实数系尺对加法构成群，它是无限群。

定义３．４对于任意一个元素ｇ∈Ｇ，满足９７＝ｅ的最小的正整数，，称为元素ｇ的阶用ｌ表示。ｇ

３．２．２有限域理论

定义３．５域是一个代数系统，它由一个（至少包含两个元素的）非空集合Ｆ组成，在集合Ｆ上定义有两个二元运算：加法（用符号＋表示）与乘法（用符号木表示，有时可以将ａ幸６简写为幻），并满足下面条件：

南京邮电人学硕十研究生论文第二章椭圆曲线公钥密码体制

（１）Ｆ的元素关于加法“＋”成交换群，记其单位元为“０”（称为域的零元）；

（２）Ｆ＼｛０｝关于乘法“掌，，成交换群，记其单位元为“１”（仍然称其为域的单位元）；

（３）乘法在加法上满足分配律，即：对任意的口，ｂ，ｃ∈Ｆ，

ａ牛（６＋Ｃ）＝ｔ＇ｔ宰ｂ＋口幸Ｃ

（口＋６）丰Ｃ＝ａ幸ｃ＋６幸ｃ；

把满足上面性质的代数系统称为域Ｆ，并记为＜，，＋，幸）。

域的几个例掣１３】：

（１）定义了普通的加法与乘法运算的复数集合。

（２）定义了普通的加法与乘法运算的实数集合。

（３）定义了普通的加法与乘法运算的有理数集合。

定义３．６如果集合Ｆ只包含有有限个元素，则称这时的域Ｆ为有限域，也称为伽罗华域或Ｇａｌｏｉｓ域。

定义３．７域Ｆ的阶就是域Ｆ中的元素个数。

定义３．８有限域的特征值用ｃｈａｒ（Ｆ）来表示，它是一个最小的正整数／，使得

１＋１＋…＋ｌ＝０（／次）‘

定义３．９任何阶为素数的整数次方的有限域都是唯一存在的。这些域可以用ＧＦ（ｐ”）来表示，这里Ｐ是Ｌ个素数，ｍ为正整数。在加密系统，通常采用两种类型的有限域，它们是素数有限域和二进制有限域，下面分别介绍这两种有限域。

一、素数有限域

当ｍ＝１，Ｐ是一个＞３的素数时，称有限域为素数有限域。

有限域的特征值可以用ｃｈａｒ（Ｆ）＝Ｐ＞３来表示。

ｅ＝｛Ｏ，１，２，…，ｐ－ｌ｝，，在素数有限域上的加法运算和乘法运算都是对Ｐ取模的。加密时所采用的素数Ｐ应该足够的大，使得在有限域Ｃ上，ＥＣＤＬＰ（椭圆曲线离散对数问题）是不可能解决的。随着对ＥＣＤＬＰ攻击的新理论和方法的产生，Ｐ值只能变得越来越大ｆＨ】。

二、二进制有限域

当Ｐ＝２，ｍ为正整数时，称有限域为二进制有限域。

二进制有限域Ｃ。或ＧＦ（２”）的特征值可以用ｃｈａｒ（ＧＦ（２…））＝２来表示；可以把二进制有限域ｆ。当成是在Ｅ上的ｍ维向量空间。二进制有限域上的元素需要通过某种基来表示。

南京邮电人２≯硕十研究，上论文第三章椭圆曲线公钥密码体制３．３椭圆曲线基本概念

３．３．１Ｗｅｉｓｅｒｓｔｒａｓ方程

设Ｋ为一个域，Ｋ表不Ｋ的代数闭域。Ｋ上的Ｗｅｉｓｅｒｓｔｒａｓ方程

ｙ２Ｚ＋ａＩＸＹＺ＋ｎ３ＹＺ２＝Ｘ３＋口２．ｒ２Ｚ＋ａ４ＸＺ２＋口６２３（３一１）

（ｑ，ａ：，口，，ａ。，ａ。∈Ｋ）决定射影平面Ｐ（更）上的一条曲线Ｅ，即适合上述方程的所有点（Ⅳ，】，，Ｚ）的集合。当该曲线非奇异【１５】时，我们称它为定义在Ｋ上的椭圆曲线，以Ｅ／Ｋ表示。将方程（３．１）改写成形如Ｆ（Ｘ，ｙ，Ｚ）＝０，Ｅ为非奇异是指Ｅ上不存在奇点，即Ｅ上不存在使得Ｂ（Ｘ，ｙ，Ｚ），６（ｘ，Ｙ，Ｚ），Ｇ（ｘ，Ｙ，Ｚ）同时为零的点。可以证明Ｅ是一条椭圆曲线，当且仅当判别式４≠０，其中

么＝ａ？＋４ａ２，６４＝２ａ４＋ｑａ３，６６＝口；＋４‰

６８＝口；‰＋４ａ２ａ６一ｑａ３ａ４＋口２％２一％２

ｃ４＝酲－２４ｂ４，ｃ６＝ｂ；＋３６ｂ２ｂ４－２１６ｂ６

Ａ＝一砖６Ｂ－８６，３－２７ｂ；＋９６２ｂ４ｂ６，

Ｅ上有唯一的点（Ｏ，ｌ，０）具有坐标Ｚ＝０，称该点为无穷远点，记为Ｏ。当Ｚ≠０时，令Ｘ＝Ｘ／Ｚ，Ｙ＝Ｙ／Ｚ，则方程（３—１）变为：

Ｙ２＋ａｌｘｙ＋口３Ｙ２ｘ３＋口２ｘ２＋ａ４Ｘ＋ａ６（３—２）

椭圆曲线Ｅ由方Ｎ（３．２）所有的解（ｘ，ｙ）及无穷远点Ｏ组成。将方程（３—２）改写成形如Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，Ｅ上不存在使得只（石，ｙ），Ｅ（五ｙ）同时为零的点。Ｅ上的每个点（无穷远点除外）都有射影＾脸标（Ｘ，】，，Ｚ）和仿射坐标（工，ｙ）两种表示方式。今后论述椭圆曲线将主要使用（３—２）的形式。３．３．２椭圆曲线上的加法

运算法则：任意取椭圆曲线Ｅ＿ｋＮＡＰ，Ｏ（若尸，Ｑ两点重合，则做Ｐ点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点Ｒ‘，将连接尺’与无穷远点０的直线与Ｅ的第二个交点记为Ｒ，我们规定Ｐ＋Ｑ＝Ｒ’，如下图３－１所示：１９

Ｉ丰ｉ京邮电人。≯硕十研究，上论文

第二章椭Ⅲ曲线公乞日密码体制

ｒ

。

…ｆ强

。ｌ‘

ｊ‘ｉ．ｎ势／。６ｊ／。

∥夕‘

１ｊ。１．

：

：

．

ｌ，

ｌ。

：／

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／

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。

ｙ２＝ｘ３－ｘ厂、

ｔ５

＼訾

！

一７气。一ｋ

／：

ｆ：

Ｊ：．

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＼；

ｊ—ｉ．５由－６．ｊ

ｙ２＝ｘ３－ｘ＼彳

一ｌ‘一１．ｊ‘

．

．

Ｄ６．５Ｉ：ｒ¨５

、

。

瞄

Ｘ

ｊｊ

。１．ｊ‘

。

冰

．

ｊｊ｛

：＼

?

／ｊ

｝

ｌ

ａ）Ｐ，Ｑ两点不重合（点加）ｂ）尸，Ｑ两点重合（倍点）

图３．１椭圆曲线上定义的加法

定理３．１运算＋具有下述性质【１６Ｊ：

（１）若直线￡与Ｅ相交于Ｐ，Ｑ，Ｒ三点，则Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＝Ｏ；（２）对任意Ｐ∈Ｅ，

Ｏ＋Ｐ＝Ｐ＋Ｏ＝Ｐ；

（３）对任意Ｐ∈Ｅ，存在Ｅ上一点，表示为一尸，使得尸＋（一Ｐ）＝Ｏ，称一Ｐ为尸的逆元；换句话说，运算＋使得Ｅ成为一个交换群，零元就是无穷远点Ｏ，称为定义在域Ｋ上的椭圆曲线群。

由定理３．１可以推导出Ｅ的加法运算表达式．设定义Ｅ的方程为

ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｙ２＋ｑｘｙ＋ａ３ｙ－ｘ３一口２戈２

ａ）设Ｐ＝（ｘ，Ｙ）∈Ｅ，贝０一尸＝（ｘ，－ｙ－ａＩｘ－ａ３）

Ｃ１４Ｘ－－ａ６＝０，

（３—３）

ｂ）设Ｐ≠Ｏ，Ｑ≠Ｏ，Ｑ≠－ｐ，Ｐ＝（五，乃），Ｑ＝（屯，款），定义Ｐ＋Ｑ＝Ｒ＝（ｘ３，儿），如果Ｐ≠Ｑ，我们称之为点加运算，则

Ｘ３

２五２＋口ｌ彳一口２一Ｘｌ—Ｘ２，

Ｙ３＝力（ｚＩ－ｘ３）－ｙＩ一口Ｉ玛一码，

（３—４）

兄：丝二丝

而一为

如果Ｐ＝Ｑ，我们称为倍点运算，则

五：！兰！！±三１２兰！±！！二！！羔！。

‘

（３—５）

２Ｍ＋ｑＸｌ＋口３

２０

南京邮电人学硕士研究生论文第三章椭网曲线公钥密码体制３．３．３有限域上的椭圆曲线

前面的椭圆曲线是定义在实数域上的，实数是连续的，所以椭圆曲线也是连续的。ｆｕ．对于计算机而言，“连续”是虚无飘渺的，并不适合用于加密；所以，我们必须把椭圆曲线变成离散的点。因此，我们要把椭圆曲线定义在有限域上【＂】。在实际应用中，我们一般有两种选择：１．Ｃ＝Ｚ，＝｛ｏ，１，２，…，ｐ－ｌ｝，其中Ｐ为大素数，即特征Ｐ的有限域；２．只．，即特征２的有限域。前者适合于软件实现，而后者适合于硬件实现。本文丰要讨论素数域上的椭圆曲线。

素数域Ｃ上椭圆曲线方程总是可以转化为如下形式：

Ｙ２＝ｘ３＋积＋６，其中口，ｂｅＦ。（３－６）

曲线非奇异当且仅当△＝－１６（４ａ３＋２７ｂ２）≠０（ｍｏｄｐ），Ｃ上的椭圆曲线我们记为Ｅ（Ｃ），Ｅ（Ｅ）的单位元是无穷远点Ｏ。

例如，讨论椭圆曲线Ｅ：Ｙ２＝ｘ３＋ｚ＋１，在有限域Ｅ，上?共有２８个离散的点，包括无穷远点在内，具体的每个点为：

｛（０，１），（０，２２），（１，１６），（３，１０），（３，１３），（４，０），（５，４），（５，１９），（６，４），（６，１９），（７，１１），

（７，１２），（９，７），（９，１６），（１ｌ，３），（１１，２０），（１２，４），（１２，１９），（１３，７），（１３，１６），（１７，３），

（１７，２０），（１８，３），（１８，２０），（１９，５），（１９，１８），Ｏ｝。

３．４椭圆曲线加密算法设计原理

３．４．１椭圆曲线离散对数问题

我们知道椭圆曲线上所有的点外加一个叫做无穷远点的特殊点构成的集合连同一个定义的加法运算构成一个Ａｂｅｌ群。在此基础上同时也定义了它的点乘操作：它定义为点的重复相加’

ｋＰ＝Ｐ＋Ｐ＋…＋Ｐ＝Ｑ（ｋ次）

在上式中，己知ｋ和点Ｐ求点Ｑ比较容易，反之己知点Ｑ和点Ｐ求ｋ却是相当网难的，这个问题称为椭圆曲线上点群的离散对数问题ＥＣＤＬＰ。椭圆曲线密码体制正是利用这个网难问题设计而来【１８１。２ｌ

出京邮电人学硕十研究生论文第二章椭嘣曲线公钥密码体制３．４。２椭圆曲线的域参数

定义３．１０在有限域上椭圆曲线上所有点的个数，包括无穷远点，定义为椭圆曲线的阶，记作存Ｅ（Ｃ）。

撑Ｅ（Ｃ）的精确值计算起来比较困难，不过Ｈａｓｓｅ定理指出它满足如下不等式：

ｐ＋ｌ－２√ｐ≤≠｝Ｅ（Ｃ）≤ｐ＋ｌ＋２√ｐ（３—７）

上面的公式只给出了椭圆曲线阶数计算的估计公式，对于它的具体计算公式，不同的椭圆曲线，不同的有限域是不同的，并且计算比较麻烦。具体可以参见参考文献［１９］。ＮＩＳＴ标准‘２０１中对于每个给出的椭圆曲线也给出了相应的阶数。

定义３．１１

点尸的阶。

若胛不存在，就说Ｐ是无限阶的。事实上，在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶刀都是存在的。当丹为椭圆曲线上点的阶时，ｎＰ＝０，所以为了保证ｋＰ≠０，在加密算法中选择的私钥ｋ必须小于基点Ｐ的阶刀。ＮＩＳＴ标准【２０１中对于每个给出的基点也给出了相应的阶数。

椭圆曲线密码体制的实现由椭圆曲线的域参数决定，这些参数包括椭圆曲线的基域、曲线方程、曲线的基点和基点的阶等。椭圆曲线域参数是公开的，且由通信双方共享。如果椭圆曲线上一点Ｐ存在最小的正整数１＂７，使得数乘ｎＰ＝０，则将门称为

域Ｃ上的椭圆曲线域参数指定了椭圆曲线Ｅ（Ｃ）和Ｅ（Ｃ）上的基点Ｐ（ｘＰ，托），它是一个六元数组：

Ｄ＝（Ｐ，口，ｂ，尸，，２，ｈ）

（１）特征为Ｐ的有限域Ｃ：

（２）参数口和ｂ，定义Ｆ上的椭圆曲线Ｅ，即夕２＝，＋锻＋６（ｐ＞３）：

（３）作为基点的阶为厅的椭圆曲线上的点Ｐ：

（４）余因．了ｈ，等于椭圆曲线的阶除以，２而得到的因子；最｝Ｊｈ＝＃Ｅ（Ｆｐ）Ｉｎ。

因为与安全性关系最大的参数是行，故ＥＣＣ密钥的长度就定义为ｎ的二进制位数。

３．４．３ＥＣＣ加密／解密过程作为一个公钥加密系统，椭圆曲线加密系统也具有公钥加密系统的所有特点。公钥加密

南京邮电人学硕士研究生论文第三章椭圆曲线公钥密码体制系统的加密双方都需要两个密钥：公开的公钥与保密的私钥。每一方的公钥都是通过自己的私钥得到的，加密明文的时候都要用到对方的公钥，解密密文的时候使用自己的私钥。每一个用户Ａ使用ＥＣＣ建立加密系统时必须以下几步操作…［２２】：

１）选择椭圆曲线域参数。以有限域Ｃ上的椭圆曲线Ｅ（Ｆｐ）为例，先选定了域参数Ｄ＝（Ｐ，以，ｂ，Ｐ，，２，五）；

２）随机选取整数ｄ一∈［１，，ｌ一１］；

３）计算点Ｑ＝ｄＡＰ；

４）公开Ｑ作为公钥；

５）保留ｄ。作为私钥。

?这样就产牛用户Ａ的密钥对（九，ｇ）。假设现在有一用户Ｂ发送信息Ｍ给用户Ａ，Ｂ的加

密过程如下：

１）查找Ａ的公钥Ｑ；

２）将信息Ｍ表示为一个域元素臃∈Ｃ：

３）随机选取一个整数ｋ∈（１，，ｚ一１】；

４）计算点（五，乃）＝ｋＰ：

’５）计算点（恐，Ｙ：）＝蛾，若恐＝０，则回到第３步；

６）计算ｃ＝ｍ?工２；

７）将已加密数据（而，Ｙ。，ｃ）发送给Ａ。

而Ａ收到密文（Ｘ１Ｙ。，ｃ）后的解密过程如下：

Ｉ）Ａ使用自己的私钥ｄ。，计算点（ｚ：，Ｙ：）＝丸（五，Ｙ。），得出ｚ：∈Ｃ，因为

（ｘ２，Ｙ２）＝ｄＡ（ｘｌ，ＹＩ）＝ｄ一?七Ｐ＝ｋ?（ｄＡＰ）＝七Ｑ＿；

２）计算ｍ＝Ｃ－工２～，得出信息Ｍ。

在这加／解密过程中，如果有一个偷窥者Ｈ，他只能看到Ｑ，Ｐ，（＾，Ｙ。），而通过巴，Ｐ求ｄ。或通过（五，Ｙ，），Ｇ求ｋ都是相对困难的。因此，Ｈ无法得到彳，召之间传送的明文信息。３．４．４椭圆曲线数字签名算法（ＥＣＤＳＡ）数字签名的思想由Ｄｉｆｆｉｅ和Ｈｅｌｌｍａｎ于１９７６年提出。数字签名对应于手写签名的数字

南京邮电人学硕十研究生论文第二章椭嘲曲线公钥密码体制版本，可用来提供数据源认证、数据完整性和不可否认性。通常由可信任的认证中心使用数字签名来签署将通信实体和其公钥相绑定的证书。

ＥＣＤＳＡ（Ｅ１ｌｉｐｔｉｃＣｕｒｖｅＤｉｇｉｔａｌＳｉｇｎａｔｕｒｅＡｌｇｏｒｉｔｈｍ）是数字签名算法在椭圆曲线上的对等表示，由ＳｃｏｔｔＶａｎｓｔｏｎｅ于１９９２年提出的，１９９８年ＩＳＯ采用了这一算法，１９９９年ＮＩＳＴ承认其为ＡＮＳＩ标准（ＡＮＳＩＸ９．６２），２０００年ＩＥＥＥ标准（ＩＥＥＥ１３６３—２０００）和ＦＩＰＳ（ＦＩＰＳ１８６—２）也承认该算法瞄３１。

ＥＣＤＳＡ是类似于ＤＳＡ（ＤｉｇｉｔａｌＳｉｇｎａｔｕｒｅＡｌｇｏｒｉｔｈｍ）的一种基于椭圆曲线的数字签字算法，分为签名的生成与验证两部分。首先将待签名的消息用Ｈａｓｈ函数变换到一个固定长度的消息摘要，然后对该摘要进行签名，而签名验证要用到签名和原始消息。首先利用参数组牛成算法随机牛成一参数组Ｄ＝（ｐ，口，ｂ，Ｐ，ｎ，ｈ）来唯一确定一条椭圆曲线，随机选择～整数ｄ，且ｄ在区间【ｌ，咒一１］内，计算Ｏ＝ｄＰ（Ｐ为椭圆曲线Ｅ（Ｃ）上具有素数阶门的基点），将ｄ作为私钥，Ｑ为公钥。将Ｄ＝（Ｐ，口，ｂ，Ｐ，ｎ，ｈ），Ｈａｓｈ函数日，Ｑ公开，ｄ保密。

签名牛成：

签名者ＡＮ用上面的参数及公私钥对如下对一消息肌进行签名：

１．随机或伪随机地选择一个整数ｋ，且１≤ｋ≤打一１；

２．计算ｋＰ＝（‘，Ｙ１），，．＝ｘ，ｍｏｄｎ，如果，．Ｆ０，则返回到１：

３．计算ｋ－＇ｍｏｄ，ｚ：

４．计算ｅ＝Ｓ（ｍ）ｍｏｄ，ｚ：?

５．计算：ｓ＝ｋ一阽＋ｄｒ）ｒｏｏｄ以，如果Ｓ＝０，则返回到１。

６．用户Ａ传送消息ｍ和它的签名（，．，ｓ）给用户Ｂ。

签名验证：

验证者Ｂ如下验证（，．，ｓ）是Ａ对消息ｍ的签名：

１．验证（，＿，ｓ）是［１，ｎ一１】中的整数，若有一个不是，则拒绝签名：

２．计算ｅ＝Ｈ（ｍｌｍｏｄ，ｚ：

３．计算Ｗ＝Ｓ叫ｍｏｄｎ：

４．计算“ｌ＝ｅｗｒｏｏｄ，ｌ，“２＝ｒｗｒｏｏｄ聆：

５．计算（五，Ｍ）－－－－ＵＩＰ＋ｕ２Ｑ，ＮＪＥ，ｆＹＬＮ五ｒｏｏｄｎ－－－－Ｆ时，Ａ对信息朋的签名被Ｂ认可。２４

南京邮电大学硕十研究生论文第三章椭圆曲线公钥密码体制３．５ＥＣＣ的性能分析

３．５．１椭圆曲线加密算法ＥＣＣ的安全性

椭圆曲线加密算法的安全性取决于由椭圆曲线定义的群上的离散对数问题的难度，即由公钥Ｑ＝护求出私钥ｋ的数学困难问题。一般认为，椭圆曲线上的离散对数问题是比大整数因式分解和有限域上离散对数更困难的问题。基于模运算的整数因式分解问题和离散对数问题都存在亚指数时间复杂度的通用算法，而解ＥＣＤＬＰ最有效的算法只有指数时间算法。因此，ＥＣＤＬＰ较另两类问题更为难解。人们研究椭圆曲线已经有一百多年的历史，对椭圆曲线加密算法的深入研究也有近二十年的历史。但对如何破解椭圆曲线密码算法没有显著的进展。所有的研究成果都表明：椭圆曲线加密算法是安全的。

到目前为止，计算椭圆曲线离散对数的最好方法是Ｐｏｌｌａｒｄｒｈｏ方法【２４１，它是指数时间算法，需要√丌，ｚ／２（刀是有限群的阶）次椭圆曲线加法。１９９３年ＰａｕｌＶａｎＯｏｒｓｃｈｏｔ并ＷＭｉｃｈａｅｌＷｉｅｎｅｒ提出了基于Ｐｏｌｌａｒｄｒｈｏ方法的并行算法。假如有，．个处理器并行解一个ＥＣＤＬＰ，每个处理器需执行√万，ｚ／２／ｒ次加法。

我们假设１ＭＩＰＳ机器每秒能执行４×１０４次椭圆曲线加法，一台ＩＭＩＰＳ计算机一年能执行的椭圆曲线加法次数为：

（４ｘ１０４ｘ（６０ｘ６０ｘ２４ｘ３６５）≈２４０

类似的，如１万台运算速度达到１０００ＭＩＰＳ的计算机并行处理，当ｎ≈２１６０解ＥＣＤＬＰ要花６０００年。由此可见，在现有的求解方法和计算能力的条件下，求解ＥＣＤＬＰ是计算上不可能的，由此可以确保ＥＣＣ的安全性。

３．５．２椭圆曲线加密算法ＥＣＣ的优点

ＥＣＣ的优点主要体现在以下几个方面：

１）安全性能更高

加密算法的安全性能一般通过该算法的抗攻击强度来反映。ＥＣＣＳＬＪ其他几种公钥系统相比其抗攻击性具有绝对的优势。如１６０位ＥＣＣ与１０２４位ＲＳＡ，ＤＳＡ有相同的安全强度，而２１０位ＥＣＣ贝ＪＪ与２０４８ｂｉｔＲＳＡＤＳＡ具有相同的安全强度。

南京邮电大学硕士研究生论文第三章椭圆曲线公钥密码体制

在取得相同级别的安全下，ＥＣＣ需要的密钥长度比ＲＳＡ低，如表３－１担剐所示：

ＲＳＡ和ＥＣＣ密钥长度比所需工作量ＭＩＰＳ年ＲＳＡ／ＤＳＡ密钥长度ＥＣＣ密钥长度

５１２７６８１０２４２０４８２１０００

１０６１３２１６０２１０６００

５：６：７：１０：

１１１

ｌ

１０４１０８

１０¨１０

２０

３５：ｌ

表３一ｌＥＣＣ与ＲＳＡ／ＤＳＡ抗攻击性能比较

１０

７８

２）计算量小处理速度快

虽然在ＲＳＡ中可以通过选取较小的公钥的方法提高公钥处理速度，即提高加密和签名验证的速度，使其在加密和签名验证速度上与ＥＣＣ有可比性，但在私钥的处理速度上解密和签名ＥＣＣ远比ＲＳＡ和ＤＳＡ快得多，因此ＥＣＣ总的速度比ＲＳＡ以及ＤＳＡ要快得多。

３）存储空间占用小

ＥＣＣ的密钥尺寸和系统参数与ＲＳＡ／ＤＳＡ相比要小得多，意味着它所占的存储空间要小得多，这对于加密算法在ＩＣ卡上的应用以及无线局域网上的应用具有特别重要的意义。

４）带宽要求低

当对较长消息进行加解密时三类密码系统有相同的带宽要求但应用于短消息时ＥＣＣ带宽要求却低得多，而公钥加密系统多用于短消息，例如用于数字签名和用于对对称系统的会话密钥传递。带宽要求低使ＥＣＣ在无线网络领域具有广泛的应用前景。

３．６本章小节

本章辛要研究了椭圆曲线密码算法ＥＣＣ的相关理论。首先介绍ＥＣＣ的数学基础有限域的概念以及椭圆曲线相关理论，并对它们上面的运算进行了定义。通过引入无穷点的定义，把椭圆曲线上的点和无穷点结合起来，使其构成椭圆曲线群。在这个群上，基于ＥＣＤＬＰ这一数学难题，相继介绍了ＥＣＣ算法包括公钥加密、私钥解密、数字签名、签名验证，同时对ＥＣＣ算法的安全性以及优点作了探讨。

２６

ｌ钉京邮电人学硕十研究尘论文第四章椭恻曲线密码算法丈现及改进

第四章椭圆曲线密码算法实现及改进

上一章中对椭圆曲线加密算法的结构特点做了一个简单的介绍，从介绍中可以看到，这里用户Ａ产生公钥的过程，用户Ｂ加密明文的过程以及用户Ａ解密密文的过程的运算都是基于椭圆曲线上的点构成的Ａｂｅｌ群上的运算，是椭圆曲线上的点加与点乘。根据椭圆曲线上的点构成的Ａｂｅｌ群的运算特点，点乘运算需要转化成点加运算来实现，当椭圆曲线上的点重合的时候点加运算就变成了倍点运算，所以实际上需要的是点加、点乘与倍点运算。而椭圆曲线上的点加、点乘与倍点运算则必须转换成有限域上的运算来实现，需要转化为有限域上的模加、模乘与模逆来实现。所以椭圆曲线加密算法的底层运算为：模加、模乘与模逆。它们的上层运算为：点加、点乘与倍点。本章在研究了素数域Ｅ上相关底层运算的基础上，重点研究其上层运算，特别是点乘运算的实现，并且在已有算法的基础上，进行了一些分析及改进（具体见４．３．３，４．３．５小节）。

４．１素数域上相关基本运算的实现

素数域Ｃ上的元素是位于［Ｏ，Ｐ一１］上的大整数，大都为几百位的二进制数，而编程语言中提供的各种标准数据类型中，整型数所能表示的最大的正整数也只有２３２一ｌ，远远不能满足其要求，因此本文中我们用ｆ个３２位的字（Ｗｏｒｄ）来存储一个域元素，即采用Ｗｏｒｄ的数组来存储大整数。比如Ｅ，：中的域元素可以用６个Ｗｏｒｄ表示。有限域上的运算实质上是多字运算，

ｔ－！

即假设数组为讲胡＝（ａ，．．，口Ｈ，…，‰），大整数Ⅳ表示为：Ｎ＝∑口／木２３川。

／＝０

４．１．１模加／减运算

实现Ｃ的加减法，，首先将两个操作数按低位对齐，然后从右到左对Ｗｏｒｄ数组中的每一个元素进行带进／借位的加减法运算。具体算法如下：

算法４．１（模Ｐ上的加法）２７

南京邮电大学硕士研究生论文第四章椭暾Ｉ曲线密码算法殳王见及改进

输入：模Ｐ，整数ａ，ｂ∈［Ｏ，Ｐ一１］。

输出：Ｃ＝（ａ＋ｂ）ｍｏｄＰ

（１），．卜Ｏ，ｔｅｍｐ卜０，其中，．表示进位；

（２）Ｆｏｒｉｆｒｏｍ０ｕｐｔｏｔ－Ｉｄｏ

ｔｅｍｐ４ｒ－乜【门＋优妇＋，．；

ｃ［力卜ｔｅｍｐ＆ＯｘＦＦＦＦＦＦＦＦ；

，卜ｔｅｍｐ＞＞３２；

ｉ卜ｉ＋１：

（３）ｃ嘲卜，．；

（４）ｃ卜ｃｍｏｄｐ；

（５）返回Ｃ。

算法４．２（模Ｐ上的减法）

输入：模Ｐ，整数ａ，６∈［Ｏ，Ｐ一１］，假设ａ＞ｂ。

输出：ｃ＝（ａ－ｂ）ｍｏｄｐ

（１），．卜０，ｔｅｍｐ卜０，其中，．表示借位；

（２）Ｆｏｒｉｆｒｏｍ０ｕｐｔｏｔ一１ｄｏ

ｔｅｍｐ卜ａ［ｉ］－ｂ［ｉ卜，．；

Ｉｆｔｅｍｐ＜Ｑ，ｔｅｍｐ七＿ＱｘＦＦＦＦＦＦＦＦ七ｔｅｍｐ．ｒ七一ｋ

ｃ［力卜ｔｅｍｐ；

（３）Ｃ卜ｃｍｏｄｐ；

（４）返回ｃ。

４．１．２模乘运算

乘法运算的思想仍然是按位相乘，即用一个数组的每一位逐个去乘另外一个数组，然后将每一位相乘的结果移位相加【２６】。

算法４．３（模Ｐ上的乘法）

输入：整数口，ｂ∈［Ｏ，Ｐ一１］。输出：Ｃ＝（口幸ｂ）ｒｏｏｄｐ

南京邮电大学硕士研究生论文第四章椭圆曲线密码算法实现及改进

ｕｐｔｏ（１）Ｆｏｒｉｆｒｏｍ０ｔ一１ｄｏ

厂卜０，ｔｅｍｐ卜１，

ＦｏｒＪｆｒｏｍ０ｕｐｔｏｔ－１ｄｏ

ｔｅｍｐ卜讲，］十６［卅；

ｔｅｍｐ卜ｔｅｍｐ＋ｒ：

ｄ［ｊ．＼七一ｔｅｍｐ＆ＱｘＦＦＦＦＦＦＦＦ；

，卜ｔｅｍｐ＞＞３２；

／卜／＋１；

这里得到的数ｄ就是数ｂ与ａ的一位相乘的结果；

（２）ｉ卜ｆ＋１：

（３）然后将这次相乘得到的数与第一次的得到的数移位相加，以此类推，得到最终的结果ｃ：

（４）ｃ÷－ｃｍｏｄｐ；

（５）返回ｃ。

４．１．３模逆运算

一般来说，在一个有限域中求倒数即一个元素的乘法逆是费时间的，一般采用欧几里德算法，又称辗转相除法，主要用于因数分解和求公因子。对于整数口，Ｐ，若口，Ｐ互质，利用欧几里德算法【２７】可找出两个常数ｘ，Ｙ，

算法４．４（模Ｐ上的乘法逆算法）

输入：模Ｐ，整数ａ∈［Ｏ，Ｐ一１］。

输出：Ｃ＝ａ—ｍｏｄＰａｘ＋ｂｙ＝１，于是ｘ是口模Ｐ的乘法逆，算法如下：

（１）令ｘ１＜－－－Ｏ，ｘ２＜－－－０，ｙｌ＜－－－Ｏ，ｙ２＜－－－Ｏ；

（２）令ｇ＜－－－ａ／ｐ，，卜ａｍｏｄｐ；

（３）ｗｈｉｌｅ，．≠０

ｔ＜－－ｘ２，ｘ２＜－－．－ｘｌ—ｑ幸ｘ２；

ｘｌ卜ｆ，ｒ卜ｙ２，少２卜ｙ１－ｑ木ｙ２；

Ｊ，１卜ｆ，ｑ卜ａ／ｐ，，＜－－－ａｒｏｏｄｐ；（９）若ｘ２＜０，令ｚ２＜－－－ｘ２＋ｐ；；

柯京邮电人’学硕十研究生论文第四章椭网曲线密码算法实现及改进

（５）输出ｘ２，工２就是口模Ｐ的乘法逆。

４。１。４求模运算

通用的求模运算一般采用Ｂａｒｒｅｔｔ晗刚归约法，该算法虽然具有通用性，但效率不高，Ｃ上的对乘积求模算法的设计与素数Ｐ的选取密切相关，我们可以通过选择特殊的素数Ｐ来提高素数域Ｃ中模乘的速度，本文选择的素数Ｐ形如２‘±口（其中口是很小的整数）。有如下简单的求模算法：

算法４．５（大数求模算法）

输入：整数，。

输出：ｔｍｏｄＰ为不超过Ｐ的最小非负整数。

１）令ｊ＝ｆ：

２）Ｗｈｉｌｅｓ≥Ｐ，ｄｏ

ｍ＝ｓｍｏｄ２‘；取Ｓ除以２‘的余数

，＝ｓ／２‘；

ｓ＝ｍ－Ｔ－口木Ｚ；求ｓ除以２‘的商

３）输出ｓ。

通常在实现中，ｋ取为计算机字长的倍数。例如对１９２位的Ｐ来说，取ｋ＝１９２。而大整数在前面提到在计算机中的表示是采用２”（ｗ是计算机的字长，一般为３２摹６４），即

ｔ＝ｔｏ＋ｆ１２”＋ｆ２２２”＋…气一１２‘‘一１’”－Ｉ－…，

在这种表示下，算法中第二步的计算就变为简单的移位运算，只需要截取相应的部分及可。从而大大的提高了模乘的效率。

４．２椭圆曲线上点加及倍点运算的实现

４．２．１素数域上的加法公式

在３．３．２节已经定义了椭圆曲线上点的加法，在实际计算中，椭圆曲线选择的坐标不同，会影响到椭圆曲线上点的加法的运算效率。有限域Ｃ中加法和减法运算的耗时相对于模乘和３０

南京邮电人学硕十研究生论文第口ｑ章椭阗曲线密码算法实现及改进模逆运算的耗时，是可以忽略不计的，因此我们在分析计算效率时，只考虑Ｃ中的模乘，模平方，模逆运算。

若曲线Ｙ２＝ｚ３＋纵＋６上有两仿射坐标点Ｐ≠０，Ｏ≠０，Ｏ≠一Ｐ，Ｐ＝（五，Ｙ。），Ｑ＝（工２，Ｙ：），，则其和Ｐ＋Ｑ＝Ｒ＝（ｘ３，Ｙ，），如果Ｐ≠Ｏ，则根据式（３—４）得到：

ｘ３＝五２一五一工２（ｍｏｄｐ），

Ｙ３＝五（五一‘）一ｙｌ（ｍｏｄＰ），

五：丝二筮．

Ｘ２一五

因此，在仿射挫标下，椭圆曲线上的点加运算做了２次模乘，１次模平方和１次模逆。

如果Ｐ＝Ｏ，则倍点运算公式为：

毛＝兄２－２ｘｌ（ｍｏｄｐ），

乃＝五（‘一毛）一ｙ，（ｒｏｏｄＰ），

五：三生竺。

２ｙＩ

因此，在仿射坐标下，椭圆曲线上的倍点运算做了２次模乘，２次模平方和１次模逆。

可以看出，若用上述公式计算椭圆曲线上的点加和倍点运算，则每次点加都需一次Ｃ上的求逆运算，这是相当耗时的。因此在点加和倍点运算中应尽量避免使用求逆运算，而采用射影嫩标表示椭圆曲线上的点，这样所进行的点加和倍点运算将不涉及求逆运算。

４．２．２雅可比射影坐标系下的加法公式

我们引进雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）射影华标系㈣表示椭圆曲线上的点。椭圆曲线上的点用Ｊａｃｏｂｉ娥标表示为（彳，ｊ，，Ｚ），它对应的仿射罐标为（工，Ｙ），其中Ｘ＝Ｘ／Ｚ２，Ｙ＝Ｙ／Ｚ３，而（０，１，０）表示无穷远点。

在Ｊａｃｏｂｉ坐标下，令工＝Ｘ／Ｚ２，Ｙ＝Ｙ／Ｚ３，则椭圆曲线方程Ｙ２＝Ｘ３＋似＋６化为

】，２：Ｚ３＋ａＸＺ４＋ｂＺ６。

令Ｐ≠０，ａ≠０，Ｑ≠一尸，尸＝（ｘ。，Ｘ，ｚ１），Ｏ＝（ｘ２，Ｋ，１），Ｐ＋Ｑ＝Ｒ＝（ｘ３，Ｅ，ｚ３），如果Ｐ≠ａ，点加运算为：

南京邮电大学硕士研究生论文第四章椭圆曲线密码算法实现及改进

五＝（巧刁一Ｉ）２一（置彳一墨）２（五十置ｚｔ），

匕＝（Ｋｚ？一Ｘ）（一（ｘ：Ｚ１２－Ｘ。）２一ｘ，）一巧（五ｚ？一ｘ，）３，

ｚ３＝（、Ｘ２Ｚ：一Ｘｌ、）ＺＩ，

因此，在Ｊａｃｏｂｉ坐标下，椭圆曲线上的点加运算做了８次模乘，３次模平方。

如果Ｐ＝Ｑ，则有下面的倍点的计算公式：

ｘ３＝（３ｘ卜口ｚ∥－８ＸｌＸ２，

Ｅ＝（３矸＋口ｚ１４）（４置１２－Ｘ，）－８ｒ，４，

Ｚ３＝２Ｙ，Ｚ，，

因此，在Ｊａｃｏｂｉ坐标下，椭圆曲线上的倍点运算做了４次模乘，６次模平方。再进一步分析，如果ａ＝一３（ｍｏｄｐ），贝０

３研＋ａＺ？＝３Ｘｔ－３Ｚ？＝３（Ｘｉ—ｚ？）（■＋ｚａ

这样倍点的运算量可减少为４次模乘，４次模平方。因此我们假设椭圆曲线方程

Ｙ２＝工３＋ａｘ＋６，ａ，ｂ∈Ｆ。

中的ｎ＝－３（ｍｏｄｐ），即Ｙ２＝，－３ｘ＋ｂ，ｂ∈Ｃ

观察在Ｊａｃｏｂｉ坐标系下的加法公式，可以看到虽然增加了模乘与模平方的运算次数，但是不需要每次计算时都要进行模逆运算，在软件的实现时间上还是大大得到了提高。

表４．１列出了在仿射坐标系和Ｊａｃｏｂｉ坐标下计算点加及倍点转化为有限域上操作的次数。表中的Ｍ，Ｓ和，分别代表模乘，模平方和模逆。

点加运算倍点运算

仿射舷标系２Ｍ＋１Ｓ＋１，２』Ｍ＋２Ｓ＋ｌ，

Ｊａｃｏｂｉ也标系８Ｍ＋３Ｓ４Ｍ七４ｓ

表４．１仿射坐标系与Ｊａｃｏｂｉ射影坐标系下点加及倍点的比较

４．３椭圆曲线上点乘运算的实现及改进

椭圆曲线加密的实质就是要实现椭圆曲线上的点乘操作。从椭圆曲线加密系统的步骤中可以看到，在计算公钥、加密明文、解密密文的时候都要用到椭圆曲线点乘。群的算法特点决定了要把椭圆曲线上的点乘运算转化成椭圆曲线上的点加运算和倍点运算来实王见。由于点乘运算是椭圆曲线中的主要运算，它的效率直接决定了系统的性能，因此设计椭圆曲线密码３２

南京邮电人学硕十研究生论文第四章椭圆曲线密码算法实现及改进系统的关键就在于点乘的实现。

实现椭圆曲线上的点乘，可以按照定义对基点Ｐ自加ｋ—１次，但是这种方法比较耗时，实际上并不采用，在这个方法的基础上，人们提出了各种各样的改进算法。目前基于点乘算法的快速实现方法主要有：二进制算法【３０】、黝进制算法【３１１、滑动窗口算法【３２１以及ＮＡＦ法【３３】等。其中尤以二进制表示法的思想简单，也便于实现。

４．３．１二进制算法

点乘护的二进制算法思想：将ｋ表示成二进制数形式（假设ｋ的二进制表示有ｎｂｉｔ）：

月一ｌ

ｋ＝∑１２Ｊ）ｋｊ∈｛ｏ，１），即ｋ＝（吒．１，ｋ盹，…，ｋｏ），其中ｋｊ∈｛ｏ，１），则

／＝０

ｎ—ｌ

ｋＰ＝（∑ｋ，２７）Ｐ＝２［…２［２（２ｋ．一ｌＰ＋ｋ。一２Ｐ）＋吒一３尸】＋…＋毛Ｐ］＋ｋｏＰ

算法４．６（点乘运算的二进制算法）

月一ｌ（４—１）

输入：点Ｐ，二进制整数尼＝∑ｋ／２ｊ，ｋ，∈｛ｏ，１｝。

／＝ｏ

输出：椭圆曲线Ｉ－＿的ＡＱ＝ｋＰ。

１）令Ｑ＝Ｐ；

２）Ｆｏｒ＿，ｆｒｏｍｎ一２ｄｏｗｎｔｏ０ｄｏ．

Ｑ＝２Ｑ；

女口果ｋｊ＝１，贝ＵＱ＝Ｑ＋Ｐ；

３）输出Ｑ。

该算法中点加运算次数在于二进制表示中非零个数，倍点运算量由二进位数决定。如果ｋ是随机选取的，ｋ中每一位出现Ｏ，１的概率相同，则需要平均为ｎ／２次的点加运算及ｎ一１次倍点运算。二进制方法是计算护的经典算法，可适用于各种域上的椭圆曲线，但随着数据的不断增大，计算效率不高，运算代价也较大。

４．３．２改进的ｍ进制算法设ｍ＝２’，ｒ≥１，将ｋ表示为ｍ进制，即

南京邮电人学硕十研究生论文第口ｑ章椭嘲曲线密码算法实现及改进

七：∑ａ－ｉｔ聊／，ｌ∈｛ｏ，ｌ，…，，，ｚ—ｌ｝，其中厂（ｄ一１）＋１≤，ｚ，即ｄ≤旦±刍兰，则

ｋＰ＝∑ｋ／ｍ’尸＝ｍ［．．?ｍ［ｍ（ｍｋａ—ＩＰ＋ｋｄ一２Ｐ）＋ｋｄ一３Ｐ］＋…＋毛Ｐ］＋ｋｏＰ（４—２）

对于１≤ｉ＜２’，利用公式ｉＰ＝（ｉ－１）Ｐ＋Ｐ预计算ｆＰ，然后用类似上面二进制的方法进行计算。二进制法实际上就是ｒ＝１的特殊情形。

算法‘４．７（点乘运算的ｍ迸制算法）

输入：点Ｐ，二进制整数七＝∑ｋ』ｍｊ，ｋ，∈｛ｏ，１，…，ｍ－ｌ｝。

ｊ＝ｏ

输出：椭圆曲线上的点Ｑ＝ｋＰ。

１）令鼻＝Ｐ，Ｑ＝Ｏ；

２）Ｆｏｒｉ＝２ｔｏｍ－１，预计算Ｐ＝只一ｌ＋Ｐ；

３）Ｆｏｒ／ｆｒｏｍｄ一１ｄｏｗｎｔｏ０ｄｏ

Ｑ＝ｍＱ；（做，次倍点运算）

Ｑ＝Ｑ＋气；

４）输出Ｑ。

在该算法中；预计算需要做２’一２次点加运算，在主循环中最多要做（ｄ一１）ｒ≤（ｎ－１）次倍

，．，．

改进的脚进制算法根据（４—２）式的基本计算

ｍＱ＋ｋ．Ｐ＝２’Ｑ＋ｋ．，Ｐ（４—３）

的一种变形，将（４－３）式中的ｋｊ的２因子分离出来与２７Ｑ中的一部分一同计算，假设

乃＝２＇ｓｈｊ，／＝ｏ，１，…，ｄ一１，ｓ，＜，．，ｈｊ≤ｍ一１，且乃为奇数，

则（４。３）式可表示为：

ｍＱ＋ｋ』Ｐ＝２７Ｑ＋２５７勺尸＝２５’（２’。Ｑ＋ｈｉＰ）（４＿４）由于ｈｊ为奇数，这样可以减少预计算阶段的计算量。首先计算２Ｐ，然后利用递归公式点运算，∥－１（Ｗ为ｔ中非零的个数）次点加运算。我们假设对任意的０≤／≤ｄ一１，都有ｋｓ≠０，这样算法最多需要做ｄ—ｌ＋２，一２≤旦竺兰＋２，一３：型＋２，一２次点加运算，凡一１次倍点运算，那么适当选择尸的大小，可以减少点加运算。

南京邮电大学硕士研究生论文第四章椭圆曲线密码算法实现及改进（２ｆ＋１）Ｐ＝（２ｉ一１）Ｐ＋Ｐ计算出３Ｐ，５Ｐ，…，（聊一１）Ｐ的值。下面是改进的ｍ进制算法：

算法４．８（点乘运算改进的忉进制算法）

输入：点Ｐ，二进制整数忌＝∑尼／川。，ｌ∈｛ｏ，１，…，ｍ一１｝。

输出：椭圆曲线上的点Ｑ＝—妒。

１）令曰＝尸，只＝２Ｐ，Ｑ＝Ｏ；

２）Ｆｏｒ㈦ｔ。孚预计算‰，＝糸。峨

３）ＦｏｒＪ

Ｉｆｆｒｏｍｄ－１ｄｏｗｎｔｏ０ｄｏｌ≠０，ｔｈｅｎｄｏ

Ｌｅｔｌ＝２“ｈｊ，ｈｊ为奇数

Ｑ＝２’５７Ｑ；Ｑ＝Ｑ＋只．；Ｑ＝２５７Ｑ；

ＥｌｓｅＱ＝ｍＱ；

４）输出Ｑ。

在该算法中，预计算需要做２’１—１次点加运算和１次倍点运算，在主循环中最多要做ｒ／一１次倍点运算，ｄ－１次点加运算。这样算法最多需要做ｄ一１＋２，－一一ｌｓ尘蔓＋２，一－一１次点加运算，刀次倍点运算。

４．３．３本文改进的ｍ进制算法

在素数域上椭圆曲线Ｙ２＝工３＋似＋６上的一点Ｐ＝（石，ｙ），它的逆元一尸＝（ｚ，－ｙ），因此我们很容易由ｋＰ求出一ｋＰ，这样可以对（４．２）式中ｋ，做如下变形：

ｋｊ＝研一（聊一七／），（ｏ≤ｌ≤聊一１），

这样当七，＜ｒａ２ｍ，巧Ｐ的值可直接通过预计算得到；而当乃＞詈时，则有ｍ～ｌ＜詈，有

尼，尸＝（ｍ－－（ｍ一乃））Ｐ＝ｍ尸＋（一（ｍ—１））尸，聊尸，（聊一七／）尸的值也可预先算出。因此，在预计算阶段，只需计算２Ｐ，３Ｐ，…，（ｍ／２）Ｐ，ｍ尸，利用递推公式ｉＰ＝（ｉ－１）Ｐ＋Ｐ和

南京邮电大学硕十研究生论文第四章椭嘲曲线密码算法实现及改进ｍＰ＝２（罢），只需要进行（罢一１）次点加和１次倍点计算，减少了预处理的计算量和存储兰；三间。

我们将ｍ进制算法的两种改进方案相结合，得到了本文改进的ｍ进制算法。在新算法中预处理阶段只需计算２Ｐ，３Ｐ，５Ｐ，…，（罢一１）尸，ｍ尸。首先计算２Ｐ，然后利用递归公式Ｚ

（２ｉ＋１）Ｐ＝（２ｉ一１）Ｐ＋Ｐ计算出３Ｐ，５Ｐ，…，（詈一１）尸的值，肌Ｐ可利用詈Ｐ＝（等一１）Ｐ＋Ｐ和二二‘

ｍＰ＝２（；）尸计算，具体算法如下：Ｚ

算法４．９（点乘运算本文改进的ｍ进制算法）

ｄ—ｌ

输入：点尸，二进制整数七＝∑屯埘Ｊ，ｋｊ∈｛ｏ＇ｌ’．１一，ｍ－ｌ｝。

／＝Ｏ

输出：椭圆曲线上的点Ｑ＝ｋＰ。

１）令只＝尸，最＝２Ｐ，Ｑ＝Ｏ；

２）Ｆｏｒｆ＝２ｔ。ｉｍ，预计算最Ｈ＝最ｌ－ｓ＋Ｐ２；

３）乇－Ｉｇｇｍ．２ｅ＝（ｉｍ—１）Ｐ＋Ｐ；ｍＰ＝２（２）Ｐ

ｄ一１ｄｏｗｎｔｏ０ｄｏ４）Ｆｏｒ，ｆｒｏｍ

Ｉｆｏ＜一ｓｉｍ，ｔｈｅｎｄｏ

Ｌｅｔｋｊ＝２“ｈｊ，ｈｊ为奇数

Ｑ＝２’５’Ｑ；Ｑ＝Ｑ＋Ｐｈ，；Ｑ＝２５７Ｑ；

Ｉｆｐ争ｅｎ

Ｌｅｔｄ。ｍ一乃＝２。乃，哆为奇数

Ｑ＝２’５７Ｑ；Ｑ＝Ｑ一最；Ｑ＝２５’Ｑ；Ｑ＝聊Ｐ＋Ｑ；

ＥｌｓｅＩｆｋ，＝０，ｄｏＱ＝２５７Ｑ；

５）输出Ｑ。

在该算法中，预计算需要做竺４—２＋１＋１＝２Ｈ次点加运算和２次倍点运算，在主循环中最多要做行一１次倍点运算。我们假设０ｓＪ≤ｄ一１，都有ｋ；＞ｍ／２，则算法在最坏情况下所需的３６

南京邮电人学硕十研究，上论文第四章椭蜊曲线密码算法艾王见及改进点加运算次数为２（ｄ—１）≤２（尘土）。这样整个算法在最坏情况下最多需要做ｎ＋１次倍点运算以

，．

及２（旦兰）＋２一次点加运算。

，．

ｍ进制算法，改进的ｍ进制算法与本文的改进的ｍ进制算法相比较，由表４—２可见其预处理阶段的计算量和存储空间明显减小，其中Ａ表示点加运算，Ｄ表示倍点运算。

采用的方法

ｍ进制算法预处理阶段计算量（２’一２）Ａ预处理存储量２７—２总的计算量（最坏情况）（ｎ－１＋２ｒ一２）Ａ＋（刀一１）Ｄ

，．

改进的ｍ进制算法（２’１—１）Ａ＋Ｄ２７一一１（ｎ－１＋２ｒ～一ｌ】Ａ＋玎Ｄ

，－

本文改进的ｍ进制算法（２’２）Ａ＋２Ｄ２７—２＋１（２（盟）＋２Ｈ）Ａ＋（ｎ＋１）Ｄ，

表４－２三种算法的计算量和存储量的比较

从表中还可以得知，本文的改进的朋进制算法相对于另两种算法来说，最坏情况下的总的计算量不是很理想，这是因为当ｋ，＞ｍ／２时，计算尼，Ｐ的值时比一般情况下增加了一次点加计算，如果当ｋｉ≤聊／２时，此算法在正式计算阶段时的运算量与改进的ｍ进制算法是一样的，而且算法在预处理阶段的计算量和存储量比聊进制算法，改迸的ｍ迸制算法降低了大概１／２以及３／４左右，因此就整体而言，该算法的效率仍有明显改进，适用与无线网络和智能＃等内存受限制的叫：境。

４．３．４滑动窗口法

在ｍ进制法中，很显然每次都要处理，．个比特，如果将这ｒ个比特看作是“窗口”，则ｍ迸制法相当于“固定窗口法”，而“滑动窗口法”实际上可以看作是最高为，．宽的窗口由芹向右移动，如果窗口的比特值为零，就将窗１２１Ｓ（Ｓ≤ｒ）个比特滑过去，直至遇到非零的ｋ，才划分窗１５１，使每个窗１５１的最后一个比特均为ｌ。它的优点在于可以跳过两个连续窗口间连续的０位直接倍点，使得预计算可以只计算窗１５１内奇数值，而且每次的窗口大小可以在ｌｔｇ＇ｒ间变化，对于不同正整数二进制表示有一定的自适应功能，可以灵活应用窗口内的预计算数值。

算法４．１０（点乘运算的滑动窗口法）．３７

南京邮电大学硕士研究生论文第四章椭圆曲线密码算法实现及改进

输入：点Ｐ，二进制整数七＝∑＿２Ｊ，ｔ∈｛ｏ，１）。

ｊ＝ｏ

输出：椭圆曲线上的点Ｑ＝ｋＰ。（最高窗口宽设为，．）

１）令日＝尸，只＝２Ｐ，Ｑ＝ｏ，Ｊ＝甩－１；

２）Ｆｏｒ江１

３）ＷｈｉＩｅ

Ｉｆｔｏ２’１－１，预计算￡ｆ＋ｌ＝足Ｈ＋只；ｄｏＪ≥０ｋｊ＝０，ｔｈｅｎＱ＝２Ｑ，Ｊ＝／－１；

Ｅｌｓｅｄｏ

取最小的ｆ满足．，一ｔ＋１≤，，且毛＝１，（找到比特值不为零且宽不超过，．的最大窗口）

令矗』＝（１尼川…毛）：，（二进制表示）

ｔＱ＝２’“’Ｑ＋Ｐｈ，＝一１；

４）输出Ｑ。，Ｊ

在此算法中，预计算需要１次倍点运算和２’１一１次点加运算，在丰循环中，最多有ｎ一１次倍点运算，以及平均为ｎ／（ｒ＋１）一１次点加运算。所以，滑动窗口法需要做玎次倍点运算，，ｚ／（ｒ＋１）＋２’‘一２次点加运算。

４．３．５基于滑动窗口的新算法

在前面几节中我们介绍了实现椭圆曲线上点乘运算的三种算法：二进制表示法、ｍ进制表示法以及滑动窗口算法，同时了解Ｎ－进制法就是特殊的ｍ进制法，而ｍ进制法其实就是一种固定的窗口法。本文的算法是基于滑动窗口法。

滑动窗口法实际上就是按照最高窗口宽厂来对ｋ的二进制序列划分窗口的，它要使每个窗口的最后一个比特均为１．而两个窗口之间的连续的０作为窗口间隔，这样在预计算的时候，就可以只计算点的奇数倍，从而减少计算量。

我们的新算法是在滑动窗口法上进一步改进而成的。我们注意到在算法每次搜寻窗口的时候，都是由窗口的最大值，．开始向内缩小的，而在缩小的过程中如果遇到ｌ则成功的找到了窗口，不再向内缩小。现在假定，｜值取８，那么按照滑动窗口技术的特点则窗口缩小到４以下

１－．一１的概率为吉，以此类推，窗口，．的取值越大，则窗口缩小到ｉＦ以下的概率越小，为吉。

出京邮电人学硕十研究生论文第四幸椭劂曲线密码算法灾现及改进

另一方面，当窗口缩小到三以下时，通过分析由下图可以看出在下述情况发生的时候利用小窗口进行一次点加运算还不如继续寻找更大的窗口。

…１１０１００００１００…

图４．１足：跫、，：跫…１１０１００００１００…图４—２…１１０１０００００００１００…图４－３

如上图４．１所示，当遇到型如１１０１００００１００的二进制序列时，若假定，．＝８，则在寻找窗口时找到的窗口大小会缩小到４；如果直接进行一次倍点和点加运算，然后从下一位开始重新寻找窗口，则会找到窗口大小为８的～个大窗口，如图４．２。因此针对１１０１００００１００这一二进制串，如果按照图４．１来计算，则可以找到一个大小为４的窗口；如果按照图４．２来计算，则可以找到一个大小为８的窗口，一次点加的效率比图４＿１有所提高，可以更加充分的利用预计算中的大窗口来加速点乘运算。

根据以上的分析，本文提出一种基于滑动窗口的新算法，其本质是在滑动窗口的基础上，引入一个窗口变量Ｖ＝三，在每次寻找窗口时，窗口从，．开始向内缩小，缩小到二２时如果还没有找到合适的窗口则不再继续向内寻找，而是直接进行一次倍点和点加运算，从下一位开始寻找较大的窗口。但是当发生小窗口并且没有一次顺利找到大窗口时，如图４－３所示，也就是当没有找到大窗口而直接进行一次倍点和点加运算以后，从下一位仍然没有寻找到较大的窗口，。新算法会有一定的退化。虽然这种情况发生的概率很小，为尽量避免发生这种情况，我们在搜寻窗口时，还需要对最大窗口，．后面的那个字符进行判断，如果是０，表明右移一位后仍然无法找到大的窗口。这样就从ｉｒ继续向内寻找：如果是１，那就可以直接右移一位，可以找到大窗口。具体算法如下：

算法４．１ｌ（点乘运算的基于滑动窗口的新算法）

输入：点Ｐ，二进制整数七＝∑乃２７，乃∈｛ｏ，１｝。

ｊ＝ｏ

输出：椭圆曲线上的点Ｏ＝ｋＰ。（最高窗口宽设为，．）

１）令暑＝Ｐ，只＝２Ｐ，Ｑ＝Ｏ，Ｊ＝ｎ—ｌ；

２）Ｆｏｒ

３）ＷｈｉＩ

Ｉｆｉ＝１ｔｏ２’１－１，预计算昱Ｊ＋ｌ＝只Ｊ－Ｉ＋足；ｄｏｅ＿，≥０ｋｊ＝０，ｔｈｅｎＱ＝２Ｑ，Ｊ＝Ｊ一１；３９

南京邮电大学硕士研究生论文

ＥｌＳｅｄＯ第四章椭圆曲线密码算法实现及改进

寻找一个最大的三＜ｆ≤，．，使得乃＝（１ｌ＿Ｉ．．．ｋ一＋。）：是奇数。若寻找窗口成

功，则Ｑ＝２ｆＱ＋Ｐｈ，Ｊ＝ｊ－ｔ；

若寻找大窗１５１失败，我们查看ｋｊ一，的值，

Ｉｆｋｊ一，＝Ｏ，寻找一个最大的，≤．，．，使得哆＝（ｋｊｋｊ一。…ｋｊ小，）：是奇数。

Ｑ＝ＺＱ＋Ｐｈ，，Ｊ＝ｊ－ｔ；（退回到滑动窗口法）

Ｉｆｋｊ一，＝１，Ｑ＝２Ｑ＋Ｐ，Ｊ＝ｊ－ｌ；（直接右移一位，做一次点加和倍点）

４）输出Ｑ。

在新算法中，我们可以看到预计算需要１次倍点运算和２’１—１次点加运算，与滑动窗口法一样，在丰循环中，当出现小窗Ｅｌ且在右移后能够顺利找到大窗口时，这样整个的窗口数将会减小，从而减少点加的次数，并且搜寻窗口的时间也会减少，其它情况算法将会退化到滑动窗口法。另外当窗口，．逐渐增大时，由于出现小窗口的概率为昙，将会趋于０，新算法也将退化到滑动窗口法。所以选择合适的窗口大小也可有效提高新算法的性能。

下面我们通过实验来比较点乘运算新算法和滑动窗口算法的效率，实验中软件使用Ｃ＋＋结合开源组织提供的大数运算库Ｍｉｒａｅｌ库，椭圆曲线采用的是取自ＮＩＳＴ推荐的Ｐ．１９２素数域椭圆曲线Ｙ２＝，＋似＋６，具体地定义在曰，：上的椭圆曲线的域参数Ｄ＝（ｐ，ａ，ｂ，只疗，Ｊｊｌ）如下：

Ｐ＝２１９２—２“－１，

基点Ｐ∽办其中＝芸黑淼篙Ｂ６以４３Ａｃｌ淼嚣野口＝－３，

ｂ＝６４２１０５１９Ｅ５９Ｃ８０Ｅ７０ＦＡ７Ｅ９ＡＢ７２２４３０４９ＦＥＢ８ＤＥＥＣＣｌ４６８９８１

ｒｌ＝０ＸＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦＦ９９ＤＥＦ８３６１４６ＢＣ９Ｂ１Ｂ４Ｄ２２８３１．

ｈ＝ｌ。

限于篇幅的原因，两种点乘算法的实现我们只给出本文的新算法，具体参见附录Ａ；滑动窗口法可以参见Ｍｉｒａｃｌ库程序源代码，位于ｅｃｎ．ｃｐｐ中，我们将窗口大小从６取到１４，以２为步长递增，每个窗１２１大小重复５次测试取平均值，实验结果见下表４．３：

｝＋Ｊ京邮电人中硕十研究尘论文第四章椭圆曲线密码算法实现及改进

，．＝６

２４７．６１

２４９．０５，．＝８２４２．５４２４３．２６，．＝１０窗口，．大小算法平均运行时间（ｍｓ）滑动窗口算法新算法，．＝１２２３０．４６２２６．９５，．＝１４２２５．５７２２２．３６２３６．８９２３５．３９

表４－３滑动窗口算法与新算法的实验比较结果

通过上表可以看出，随着窗口的增大，新算法的性能逐渐优于滑动窗口算法，当窗口为１２时，新算法的运行速度与滑动窗口算法相比差距达到最大，而当继续增大窗口时，新算法与滑动窗口算法相比差距越来越小，这是由于出现小窗口的概率会越来越小，导致新算法会逐渐退化到滑动窗口法。

此外新算法与滑动窗口算法在实现结构上也有着一定的优势，由于引入了一个新的窗口变量ｖ（在本文中将ｖ固定为值三），所以新的算法可以通过控制ｖ的取值进行算法实现上的变

Ｚ

化。若ｖ取值为１，则新的算法退化为原来的滑动窗口算法：若ｖ取值为，－，则算法变为，．进制算法。通过一个变量的引入，从而实现了灵活的结构，由于椭圆曲线密码体制是非常适合于嵌入式的应用的，所以算法结构的灵活性将提高算法应用上的灵活性。

４．４本章小节

本章首先对和椭圆曲线密码体制运算相关的素数域Ｃ上的运算进行了分析研究，分别介绍了模加，模减，模乘，模逆，求模等运算的相关算法；接着讨论了在两种坐标系下，椭圆曲线上点加及倍点运算的实现；最后重点研究了椭圆曲线上的点乘运算，以及它的几种现有算法，在此摹础上，给出了本文改进的ｍ进制算法，同时在滑动窗口的基础上，提出了新的点乘算法。４ｌ

南京邮电人学硕十研究生论文第五章基于ＥＣＣ的混合加密系统的研究灾现

第五章基于ＥＣＣ的混合加密系统的研究实现

随着对称密钥加密体制和非对称密钥加密体制的广泛应用，以及对这两种密钥加密体制的深入研究，人们逐渐对它们有了比较深刻的认识。对称密钥加密体制和非对称密钥加密体制都有其自身的优势，但同时也存在一些各自难以克服的问题。为了解决这些难题，在此基础上，人们提出了混合加密体制。本章主要阐述了混合加密的思想，并且结合这一思想，设计了基于３ＤＥＳ和ＥＣＣ算法的混合加密系统，并对其性能作了全面分析。

５．１混合加密概述

前面我们分别对对称加密体制的代表ＤＥＳ和公钥加密体制的代表ＥＣＣ进行了算法描述和理论研究，并总结了各自的特点。

首先，对称密码算法的加密密钥和解密密钥相同，加密速率高，在软件实现的时候，加密速率每秒可以达到几兆个字节，适合于大量信息的加密。但是对称密码体制在加密的时候，需要通信双方事先交换密钥，在这个过程中，要进行严格的保密，需要防止任何第三方发现或窃取密钥。在密钥管理方面，对称密码体制要求不同用户进行秘密通信应约定不同的密钥。这样，如果网络上用户较多，就会有很大数量的密钥；而大数量的密钥要解决存储问题也是比较的。因此对称密码体制在密码的交换、存储和使用等环节上存在着缺陷，密码容易泄漏，无法解决密钥问题，无法确保消息的不可否认，无法解决身份认证问题。

公钥算法相对于对称加密算法有许多优点，通信双方不需要事先交换密钥，保密性好，在密钥符理及分西己上有自己的优越性；另外公钥密码可以实现数字签名，保证传输信息的不可否认性。虽然公钥密钥加密技术保证的文件加密和传输可靠性，在密钥箭理等有着许多优越的地方，但它并不能完全取代前者。因为公钥密码是基于数字难题的，在加、解密运算时，在计算上的开销相对于对称加密来说是非常巨大的。特别是在消息明文较大的情况下，更显现出公钥算法的缺陷。目前已知的公钥加密算法的运算量都很大，加解密速度较慢，与对称加密算法在速度上有着显著的差距。因此，直接使用公钥密码加密大量的数据信息实王见网上传递，在现阶段是不现实和不成熟的。

鉴于以上分析，对于加密而言，我们可以将对称密码体制和公钥加密体制这两种加密体４．２

出京邮电人学硕十研究生论文第五章基于ＥＣＣ的混合加密系统的研究实现制优点结合起来。这样，既可以发挥公钥密码体制安全性的优点以及在密钥管理方面及分配方面的优势，又可以利用对称密码体制的速度方面的优点。即通过公钥密码体制来传送对称密码体制的加密密钥，然后用传统密码体制对明文消息进行加密，来实现保密通信，从而构成了一种理想的密码方式。混合加密体制自从提出以后，在安全领域引起了强烈的反响，在这方面的研究也成了一个普遍关注的热点。

５．２基于ＥＣＣ和３ＤＥＳ的混合加密系统

根据上节的讨论和描述，我们分别选取对称加密体制和公钥加密体制中最典型，应用最广泛的ＤＥＳ算法和ＥＣＣ算法作为混合加密系统的实施算法。考虑到系统的安全性，我们采用了３ＤＥＳ算法，将密钥位数提高到１１２ｂｉｔ。具体地，该混合加密算法的加密和解密过程如下：

１）发送方对明文Ｐ使用ＤＥＳ算法的密钥Ｋ雎。进行加密。为保证密码体制的安全性及实现密钥管理的简单化，加密数据用的密钥％耵最好是只用１次；

２）发送方用接收方的ＥＣＣ公钥砟∞丑对ＤＥＳ密钥如醪进行加密形成Ｇ；

３）发送方用自己的ＥＣＣ私钥Ｋ砌对签名信息Ｍ加密形成Ｃ０；

４）发送方用ＤＥＳ密钥ｋ器对明文Ｐ和密文巳加密，并加上巳形成密文Ｃ；

５）接收方使用自己的ＥＣＣ私钥Ｋ舢对巳进行解密，取得ＤＥＳ算法的密钥ＫＤ￡。；６）接收方用密钥Ｋ脚解密密文Ｃ，得到明文Ｐ；

７）接收方用发送方ＥＣＣ公钥Ｋ尸Ⅲ由ｃＭ生成签名信息；

８）最后，发送方和接收方均销去密钥ＫＤ船。

该过程如图５．１所示：

这样，基于３ＤＥＳ算法和ＥＣＣ算法的混和加密系统具有如下优点：

１）由于用ＥＣＣ方式加密和传送用于数据通信的ＤＥＳ密钥，所以不需要通信前进行密钥的秘密发送：

２）密钥的保密管理与ＥＣＣ方式情形相同，只对一个解密密钥进行保密管理就行了；

３）加、解密的处理速度大体上与ＤＥＳ方式相同，也就是说，用耗费时间的ＥＣＣ方式处理的仅仅是ＤＥＳ的密钥。如果通信数据很长，利用ＥＣＣ方式处理数据几乎是可以忽略不计；

４）由于利用ＥＣＣ方式发送密钥，所以也可以利用它来进行数字签名。４３

南京邮屯入学硕十研究，上论文第１ｉ章基．丁．ＥＣＣ的混合加甯系统的研究。爻现

发送方加密过程————————＋≮一信ｉ争——＋噜———一接收方解需过稳——————一

图５．１基于３ＤＥＳ和ＥＣＣ的混合加密系统加／解密过程

５．３混合加密系统的仿真实现

前面已说明混合加密系统的结构。下面主要讲述混合加密系统具体的实现仿真，丰要包括其实现平台、仿真环境及所需要的支持等。

１）仿真实现的目的

本系统仿真实现的目的是设计公钥加密算法ＥＣＣ和对称加密算法３ＤＥＳ组成的混合加密系统，分析和测试其安全性能和效率。在测试中，主要是以不同大小的文件作为测试数据。

２）仿真实现的系统模块

本系统是基于ＷｉｎｄｏｗｓｘＰ平台，使用Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ

ｖｉｓｕａｌ

Ｃ＋＋６．０采用ＯＰＰ（面向对象）方法

设计开发的，丰要包括以下几个模块：ＥＣＣ密钥对生成和管理，ＥＣＣ加懈密以及３ＤＥＳ对数

据加／解密，数字签名和验证。如图５．２所示：

广————］ｉ主控模块ｉ

。

一一一一‘‘…’～‘～…‘一’一一Ｈ’…一”——’—’…

一一‘

ｒ一一

一

。＿－－—＿－。?＿＿＿＿。。’—－。。＿’＿??。一

一一一一一

验证签名

～Ｉ

’一。一

密钥管理一数字签名加密文件．．解密文件。

密产生

密ｉ’密存储

销毁

’吕

癍蕾

混一加密

；吕混

荤’霆萋

萋，塞

图５－２系统功能模块图

蓥

旃

密

蓦

解密

！墨一ｕ坐垒堂１２１堕塞兰堕兰

３）椭圆曲线参数的选择及算法库的支持墨皇芏堡王！！！塑堡鱼塑要至垫堕婴塞兰型

由于ＥＣＣ算法比ＤＥＳ算法要复杂得多，实现起来也很困难，因此，我们用含有ＥＣＣ算法的算法库来实现。现在流行的含有ＥＣＣ算法的安全加密算法库有ｂｏｒｚｉｏ．ＥＣＣｌｉｂ．ｃ。ｙｐｔ。什刚等，它们都实现了具有较高运行效率的ＥＣＣ算法。本仿真实现中，采用ｃｒｙｐｃｏ＋＋作仿真的算法支持库，

Ｃｚ＇ｙｐｔｏ＋＋实现了ＥＣＣ算法，并为使用者提供了标准的ｃ＋＋ｓＴＬ算法接口，其接口都是以ＩＥＥＥＳｔｄｌ３６３—２０００（ＩＥＥＥＳｔａｎｄａｒｄＳｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｆｏｒＰｕｂｌｉｃ－Ｋｅｙｃ‘ｙｐ协鲫ｈｙ）为标准的。而椭圆曲线我们仍然采用了ＮＩＳＴ推荐的曲线ｔ采用素数只。：作为有限域的阶，片。：是安全性年¨效率折中后的选择，并且由于参数已知而省去了曲线建立的代价，从而提高了混合密码系统的效率。

下面给出论文设计的基于ＥＣＣ和３ＤＥＳ的混合加密系统的具体实现过程：

１）ＥＣｃ密钥的牛成

如图５－３所不，用户点击“产生私钥”，系统调用库中的函数牛成一个随机数作为私钥，然后再点击“计算公钥”，系统将进行点乘计算得到公钥，公钥实际上是椭圆曲线上的个点，由相应的ｔｙ坐标组成，都显不为一个１６进制的字符串。然后点击“保存”，将私钥以及产牛的公钥保存到磁盘上默认的文件中，虬便解密时使用。

目５－３ＥＣＣ密钊的生成

２）用３ＤＥＳ算法对文件进行加／解密

如图５－４所不，用户在输入两个ＤＥＳ密钥后，点击“浏览”选择欲加密的明文文件．点击“加密”按钮，系统开始调用３ＤＥＳ算法对文件进行加密处理，加密后牛成的加密文件名为源文件名加上后缀名“ｄｅｓ”。解密与加密相似。

ｍｉ“ｍ＾＊Ｍ十研究±＊Ｚ＊Ⅲｔ《ｆＥＣＣ∞＊自∞＊§统∞Ⅲ宄＊Ｍ

圈５４文件Ｎ／解密

３）生成数字签名

如图５５所示，选择用户后．系统从数据库中获得相应的私钥后，点击“浏览”从磁盘中选择欲签名的文件，点击“签名”，系统开始牛成签名，由于签名前利用安全散列函数（本系统选用ＭＤ５算法）将文件转换为１２８位的摘要，因此签名信息实际上是对摘要的加密，从而大大加快了签名的速度。

签名完成后，点击“保存”按钮将签名文件名以及产生的签名信息同时保存到数据库中，以便验证。

图５５数字签名

４）签名验证

如图５６所示，选择签名用户，同时从数据库中导八该用户签名的文件、公钥以及签名信息，点击“签名验证”后，系统进行签名认证。

第Ａ￥≤ｆＥｃｃ∞％自加密系统的研Ｒ口现

髓５－６簦名验证

５）用ＥＣＣ对ＤＥＳ密钥进行加密

如图５７所示。选择发送方用户后，并输人发送方的ＤＥＳ密钥后，再选择接收方，从磁盘文件中导入接收方的公钥，点击“加密”按钮，系统开始调用椭圆曲线加密算法对发送方的ＤＥＳ密钥进行加密运算，计算后的密文显示在文本框中。然后点击“保存”将发送方的ＤＥＳ密钥信息保存到磁盘上的文件中，以便解密时使用。

图５—７密钥加密

６）对用ＥＣＣ加密的密钥块进行解密

如图５８所示，选择接收方用户，从磁盘文件中导出接收方的私钥，然后选择发送方获得ＤＥＳ密钥加密后的密文，点击“解密”按钮，系统调用解密算法对密文进行解密运算产生ＤＥＳ的两个密钥信息，可以看到解密后得到的数据与加密前的明文致。

凶。一６ｔ训解世

南京邮电大学硕十研究生论文第五章基于ＥＣＣ的混合加密系统的研究实现

这样在网络中传送文件时，为保证数据的安全性和不可抵赖性，本系统采用对文件既加密又签字，这是最安全的方式。通过此混合加密系统，发件人可以放心地相信只有收件人才能阅读文件内容，保证了数据的安全性。收件人也可以放心地确信文件的确是出自发件人的。５．４混合加密系统的性能分析

５．４．１安全性分析

基于ＥＣＣ和３ＤＥＳ算法的混合加密系统的安全性主要依赖于两个算法各自的安全性，根据前面的分析，ＥＣＣ算法的安全性是基于椭圆曲线离散对数问题的，比基于大整数因式分解和有限域上离散对数问题更为难解，因此，和其他的公钥密码系统相比，ＥＣＣ抗攻击性具有绝对的优势。椭圆曲线的离散对数问题计算困难性在计算复杂度上目前完全是指数级，而ＲＳＡ是亚指数级的。这体现出ＥＣＣ比ＲＳＡ的每比特安全性能更高，是目前最安全的实用算法。所有的研究结果表明：在现有的求解方法和计算能力的条件下，求解ＥＣＤＬＰ是计算上不可能的，由此可以确保ＥＣＣ的安全性。

而在ＤＥＳ算法中，由于采用了１６轮迭代，从而使得即使改变明文或者密钥中的ｌ位，密文都会发生约３２位的变换，其中，５６位密钥的每位的使用次数都在１２．１５次之间，这些都大大提高了系统的保密性。对付ＤＥＳ的１６轮迭代设计进行攻击，在目前己被证明最有效的攻击方法是穷举搜索。由于ＤＥＳ是使用的５６位的密钥进行加密的，因此在如今的计算机水平下，已经变的不再安全，但是本文采用了３ＤＥＳ算法，把密钥提高了一倍，大大增加了破译的难度：其次，在此混合加密算法中，使用的是随机数来作为ＤＥＳ算法的密钥的，而且此密钥只使用一次，每次加密的密钥都不相同，因此更好的防范了密码分析者的破译。

由于混合加密系统的各组成算法在目前来说都是高度安全的，因此，我们可以说，此混合加密系统在目前来说是高度安全的。

５．４．２复杂度分析

根据算法实现的几个不同的组成部分，分别对算法的复杂度进行分析。

首先来分析对会话密钥进，７７；ｈｎ密的ＥＣＣ算法。在此混合加密算法中，无论要加密的明文的长度有多大，ＥＣＣ算法要加密的对象始终是用来作为３ＤＥＳｌｌ２位的密钥，因此，不管ＥＣＣ４８

南京邮电大学硕士研究生论文第五章基于ＥＣＣ的混合加密系统的研究实现算法多么复杂，因为其所加密的对象长度固定，那么，ＥＣＣ算法的开销是一定的。也就是说，随着加密明文长度的变化，ＥＣＣ算法的时间复杂度和空间复杂度都是不变的。那么，设要加密的明文长度为胆，则混合加密算法中ＥＣＣ算法的时间复杂度为常量ｏ（１），空间复杂度也为常量Ｄ（１）。

其次，对于加密明文的３ＤＥＳ算法，从其实现过程的不同阶段来进行说明。在初始置换阶段，所要进行的操作是对明文分块根据一定的规则进行位置上的置换，这个过程同要加密的明文的长度是成线性关系的，因此这一阶段的时间复杂度为ｏ（ｎ），空间复杂度为ｏ（ｎ）。然后是子密钥生成阶段，在这～部分，所进行的操作无论是对密钥的置换选择，还是了密钥牛成过程的循环左移，其操作对象都是定长的，因此，这一过程的时间复杂度和空间复杂度都是常量。在ＤＥＳ算法最重要的加密变换部分，首先是一个选择置换和模加运算，这一过程和明文长度是成线性关系的；其次是通过选择函数组Ｓ的操作，这一过程是３ＤＥＳ算法的保密性的关键所在。选择函数组中每个选择函数的６位输入组成一个６位二进制数字组。选择的规矩是：输入二进制数字组中的第１和第６两位所组成的二进制数值代表所选中的行号，其余４位所组成的二进制数值代表选中的列号，而处在被选中的行和列的交点处的数字便是选择函数的输出。虽然这一过程是一种非线性变换，但其对于每一个明文分块来说，所进行的操作都是有限步的，而且在加密明文的过程中，每一步操作都是在明文分块内进行，因此这一过程的时间复杂度为Ｄ（，ｚ），空间复杂度为ｏ（ｎ）。即就是ＤＥＳ算法的时间复杂度为ｏ（ｎ），?空间复杂度为Ｄ（刀）。

根据上面的讨论，可以得到如下结论：混合加密算法的时间和空间复杂度都为ｏ（ｎ）。

５．４．３加密速度分析

在这里，我们对混合加密算法加密速度进行一个分析，通过与ＥＣＣ加密算法的加密速度比较来进行说明。

对于相同的明文，用混合加密算法和ＥＣＣ算法分别对其进行加密，对其加密速度进行比较。为了更好的比较混合加密算法和ＥＣＣ算法的性能，我们选取不同大小的明文进行实验，对其应用这两种算法进行加密的时间予以统计。根据结果，我们有如下的明文大小和加密时间对应关系表（表５．１）：４９

南京邮电大学硕士研究生论文第五章基于ＥＣＣ的混合加密系统的研究实现

明文大小（字节）ｌＫ１０Ｋ５０Ｋ１００Ｋ５００Ｋ１Ｍ

加密ＥＣＣ算法０．０６２０．６５３３．４３２６．７３４３４．５７７２．２１

时间混合算法０。００４０．０６３Ｏ，２４２０．３９４１．６３２３．６８１

（秒）

表５．１混合加密算法与ＥＣＣ算法的加密速度比较

从表中可以看出，当明文较小时，混合加密算法的加密时间和ＥＣＣ算法的加密时间比较来说相差不多。而随着明文大小的增加，混合加密的时间远远的小于ＥＣＣ加密的时间。

从加密过程来看，当明文较小时，用ＥＣＣ算法直接加密只经过一次对明文的加密过程，运算量相对来说也比较小；而对于混合加密算法，其加密过程要经过对３ＤＥＳ密钥进行ＥＣＣ加密和对明文进行３ＤＥＳ加密这样两个加密过程，其加密时间为３ＤＥＳ加密的时间加上ＥＣＣ加密时间这一基数。虽然说３ＤＥＳ加密的速度远远的大于ＥＣＣ加密的速度，ｆｕ．是当明文长度较小时，对３ＤＥＳ的密钥进行ＥＣＣ加密这一过程的时间开销占了很大一个部分。

而当明文逐渐增大以后，混合加密算法的加密时间明显地小于ＥＣＣ算法的加密时间，而且明文长度越大，混合加密算法的速度优势越明显。因为随着明文长度的增加，直接用ＥＣＣ加密算法对明文进行加密，运算量越来越大，时间开销越来越大；利用混合加密算法进行对明文的加密，ＥＣＣ加密３ＤＥＳ的密钥的开销不变，而３ＤＥＳ加密过程的时间开销随着明文的增加远远的小于用ＥＣＣ直接加密明文的时间开销。并且随着明文长度的越来越大，混合算法中的对密钥进行ＥＣＣ加密的时间开销相对于对明文的加密时间来说几乎可以忽略不计ｐ＂，因此可以认为这时混合算法的加密速度等同于３ＤＥＳ的加密速度。

５．５本章小节

本章首先对混合加密进行了概述，描述了混合加密算法的结构，在此基础上设计了基于ＥＣＣ和３ＤＥＳ算法的混合加密系统，同时在Ｃ抖平台下进行系统的仿真实现。最后通过系统安全性，复杂度以及加密速度分析了该算法的抗攻击性和执行效率。研究结果表明：基于３ＤＥＳ和ＥＣＣ的混和加密算法具有更高的安全性和执行性能，可有效增强数据安全性。５０

南京邮电人?≯硕士研究生论文第六章总结和展颦

第六章总结和展望

随着可．联网络的迅速发展和普及，人类生活越来越密切的依赖于网络。与此同时，各种网络安全问题也层出不穷，网络安全技术的研究成为人们研究的焦点。在各种网络安全技术中，加密技术无疑是最核心的一种技术，密码学是解决网络信息安全最直接、最有效和最重要的途径。目前，有关各种加密技术的研究要么开辟新的途径，发展新的加密技术，要么是对已有的加密算法进行各种改进或者组合。在总结前人工作的基础上，本文所作的工作丰要有以下几点：

（１）研究了当前的加密技术。对密码学的各种概念进行了介绍，分析了当前的两种密码体制，特别对ＤＥＳ算法，３ＤＥＳ算法和ＥＣＣ算法进行了研究。

（２）本文详细研究了基于大素数域Ｃ上的椭圆曲线密码算法，其中包括：椭圆曲线域参数的选取、有限域Ｃ上的基本运算、椭圆曲线算术运算等算法的实现问题，特别是重点讨论了椭圆曲线上点乘运算，在已有算法的基础上，给出了本文改进的ｍ迸制算法，同时迸一步的改进了现有滑动窗口算法的滑动方式，提出了一种新的点乘算法，使得算法更加灵活，对于各种应用列：境具有更好的适应性。

（３）对于混合加密算法进行了详细的研究，描述了混合加密算法的结构，利用混合加密思想，设计了基于３ＤＥＳ和ＥＣＣ算法的混合加密系统，并在Ｃ＋＋平台下进行仿真实现。通过安全性，复杂度以及加密速度分析了该算法的抗攻击性和执行效率。

在本文中，重点研究ＹＥＣＣ算法，并且结合混合加密思想，设计了基于３ＤＥＳ矛／ＪＥＣＣ算法的混合加密系统。但是由于时间和水平的关系，研究和开发工作都不是很完善，存在着一定的不足。本文的后续工作主要有：

１）本文采用的对称加密算法采用的是３ＤＥＳ算法，可以采用其它的对称加密算法；

２）椭圆曲线密码体制是否存在安全性漏洞问题；

３）椭圆曲线上点乘算法的设计依然没有达到最优的算法，近年来一些更加智能的自适应算法和一些人工智能算法被越来越多的应用到点乘算法的设计上，但是也正因为如此，算法的复杂性增加，速度减慢。如何针对实际的应用情况找到更优的点乘算法仍是一个有待研究的问题。

南京邮电人学硕士研究生论文致谢

致谢

本论文是在我的导师王锁萍教授的悉心教诲和无微不至的关怀下完成的。从论文的选题，收集资料以及最终论文的架构与写作方法等方面，都浸透着王老师的心血。王老师渊博的知识、实事求是的治学态度、平易近人的处世风格，给我留下了极深的印象，为我做出了榜样。三年来，王老师在学业和生活上给了我许多关心和帮助，使论文得以顺利完成，这些我会永远铭记在心。在此特向导师表示衷心的感谢。

感谢我的家人对我的支持鼓励。在我困难失意时，是他们用无尽的关爱与支持帮我渡过难关。在这里，我要向他们表达我最真诚的谢意，并致以最高的敬意。

感谢在校期间所有关心和帮助过的老师和同学们，他们的帮助令我终生难忘。

最后，感谢评阅、评审论文和出席论文答辩会的各位专家在百忙之中给予的悉心指导。５２

南京邮电人学硕十研究生论文参考文献

参考文献

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｝串ｉ京邮电人。学硕十研究生论文附录Ａ基丁．滑动窗几的改进算法代码实现

附录Ａ基于滑动窗口的改进算法代码实现

本文基于滑动窗口的新算法的代码如下：

／／Ｌ！ｔＪ韭的窗ｆｌ滑动法，返ｐｆ寻找到的窗｜Ⅲ］『人Ｊ的二进剖串的值，如果没仃找到合适窗｜１ｆＪｌ０返ＭＯ，如爪ｋＬ纶绝爪则返…Ｉ一１

ｉｎｔＭｕｌｔｋ：：ＮｅｗＳｗＷｉｎｄｏｗ（ｉｎｔｗｉｄｔｈ，ｉｎｔ＆ｆａｃｔＷｉｄｔｈ）

ｉｆ（ｃｕｒｒｅｎｔ＜１）ｒｅｔｕｒｎ－ｌ；

ｉｎｔｉ，ｒｅｓｕｌｔ，ｓｔａｒｔ，ｅｎｄ；

Ｓｔ踟’ｔ＝Ｃｕｒｒｅｎｔ；｛

ｉｆ（（ｓｔａｒｔ－ｗｉｄｔｈ＋１）＞＝１）

｛

ｆｏｒ（ｅｎｄ＝ｓｔａｒｔ?ｗｉｄｔｈ＋ｌ；ｋ．ｇｅｔ（ｅｎｄ）一０；ｅｎｄ一）

ｉｆ（（ｓｔａｒｔ．ｅｎｄ＋１）＜＝ｗｉｄｔｈ／２）／／，７‘找合ｊ玉的人ｒ…、ｌ＂－：ＩｃＪ谢ＩＩ火收

ｉｆｆｋ．ｇｅｔ（ｓｔａｒｔ．ｗｉｄｔｈ＋２）－－＝１）ｒｅｔｕｒｎＯ；／／判惭域人１ｊ；『ＩＪ后‘ｆ口的Ｌｒ．牛，＇ｉｆｌ’ｆ

ｅｌｓｅ

｛

ｆｏｒ（ｅｎｄ＝ｓｔａｒｔ．ｗｉｄｔｈ／２＋ｌ；ｋ．ｇｅｔ（ｅｎｄ）一０；ｅｎｄ一）／／ｊ星化别滑动街ｒｌ法．继续、ｌ?找

｝

｝

ｅｌｓｅ

｛

ｆｏｒ（ｅｎｄ＝ｌ；ｋ．ｇｅｔ（ｅｎｄ）一０；ｅｎ小斗）／／遇剑结尾的习ｊ戈合适的窗１

ｉｆ（（ｓｔａｒｔ—ｅｎｄ＋１）＜＝ｗｉｄｔｈ／２）ｒｅｔｕｒｎＯ；Ｊ

）

ｆａｃｔＷｉｄｔｈ＝ｓｔａｒｔ．ｅｎｄ＋ｌ；ｔ／Ｊ区１．Ｉ。丈际的窗Ｉ１人小

ｆｏｒ（ｉ＝（１＜＜（ｆａｃｔＷｉｄｔｈ－１）），ｒｅｓｕｌｔ＝０；ｓｔａｒｔ＞＝ｅｎｄ；ｓｔａｒｔ一，》＞１）

｛

ｒｅｓｕｌｔ＋＝ｋ．ｇｅｔ（ｓｔａｒｔ）木ｉ；ｌｆＬｔ＋算谢门的值

｝

ｃｕｒｒｅｎｔ＝ｓｔａｒｔ；

ｒｅｔｕｒｎｒｅｓｕｌｔ；

／／祈！；．｝：法的点乘运算：的实现

ＥＣｎＥＣｎ：：ＮｅｗＳｗＭｕｌｔ（Ｍｕｌｔｋ＆ｋ，ｉｎｔｗｉｄｔｈ）

｛

ＬＡＲＧＥ—ＩＮＴＥＧＥＲｏｐｅｎ，ｃｌｏｓｅ，ｆｒｅｑｕｅｎｔ；

ｉｎｔｉ，ｊ，Ｓ，ｗ；

ＥＣｎｒｅｓｕｌｔ，＊ｅ；

南京邮电人学硕十研究生论文附录Ａ基于滑动窗［１的改进算法代码实现

ＥＣｎ［（１＜＜ｗｉｄｔｈ）＋１］；

／／．１＇１；Ｌ汁｝７：ｅ＝ｎｅｗ

ＱｕｅｒｙＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＣｏｕｎｔｅｒ（＆ｏｐｅｎ）；

ｆｏｒ（ｉ＝ｌ；ｉ＜＝（１＜＜ｗｉｄｔｈ）；ｉ＋＋）ｅ［ｉ］＝ｅｌｉ?１】＋（唪ｔｈｉｓ）；

ＱｕｅｒｙＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＣｏｔｍｔｅｒ（＆ｃｌｏｓｅ）；

ＱｕｅｒｙＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＦｒｅｑｕｅｎｃｙ（＆ｆｒｅｑｕｅｎｔ）；

ｐｒｅＭｕｌｔＴｉｍｅ（ｄｏｕｂｌｅ）（ｃｌｏｓｅ．ＱｕａｄＰａｒｔ－ｏｐｅｎ．ＱｕａｄＰａｒｔ）／（ｄｏｕｂｌｅ）ｆｒｅｑｕｅｎｔ．ＱｕａｄＰａｒｔ；

／蹦Ｉ’动窗ｌＩ铭ｉ‘』ｉ

ＱｕｅｒｙＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＣｏｕｎｔｅｒ（＆ｏｐｅｎ）；

ｆｏｒ（ｓ＝０；ｓ＜＝５０；ｓ＋＋）

｛

ｒｅｓｕｌｔ．ｃｌｅａｒ（）；

ｄｏｕｂｌｅＣｏｕｎｔ＝Ｏ；

ａｄｄＣｏｕｎｔ＝Ｏ；

ｗｈｉｌｅ（ｋ．ＧｅｔＣｕｒｒｅｎｔＰｏｓｉｔｉｏｎＯ＞Ｏ）｛

ｉｆ（ｋ．ＧｅｔＣｕｒｒｅｎｔＢｉｔＯ—１）｛

ｉ－－ｋ．ＮｅｗＳｗＷｉｎｄｏｗ（ｗｉｄｔｈ，ｗ）；／／调用ｊ二面的气手找窗ｆ１函数，找剑宙ｆ１计鲜

ｉｆ（ｉ！＝Ｏ）｛

ｆｏｒ（ｊ＝Ｏ；ｊ＜ｗ；ｊ＋＋）ｒｅｓｕｌｔ＋－－ｒｅｓｕｌｔ；

ｄｏｕｂｌｅＣｏｕｎｔ＋－－ｗ；

ｒｅｓｕｌｔ＋＝ｅ［ｉ］；ａｄｄＣｏｕｎｔ＋＋；

｝

ｅｌｓｅ

｛

ｒｅｓｕｌｔ＋－－ｒｅｓｕｌｔ；

ｄｏｕｂｌｅＣｏｕｎｔ＋＋；

ｒｅｓｕｌｔ＋＝（奉ｔｈｉｓ）；

ａｄｄＣｏｕｎｔ＋＋；

ｋ．ＭｏｖｅＮｅｘｔＰｏｓｉｔｉａｏｎ０；

｝

ｅｌｓｅ／／滑过连续的零

｛

ｗｈｉｌｅ（ｋ．ＧｅｔＣｕｒｒｅｎｔＢｉｔ（）一－－－０＆＆ｋ．ＧｅｔＣｕｒｒｅｎｔＰｏｓｉｔｉｏｎ０＞０）

｛

ｒｅｓｕｌｔ＋－－－ｒｅｓｕｌｔ；

ｄｏｕｂｌｅＣｏｕｎｔ＋＋；

ｋ．ＭｏｖｅＮｅｘｔＰｏｓｉｔｉｏｎ０；

｝

｝

｝

ｋ．Ｃｌｅａｒ（）；

｝

ＱｕｅｒｙＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＣｏｕｎｔｅｒ（＆ｃｌｏｓｅ）；

ＱｕｅｒｙＰｅｒｆｏｒｍａｎｃｅＦｒｅｑｕｅｎｃｙ（＆ｆｒｅｑｕｅｎｔ）；

ｍｕｌｔＴｉｍｅ（（ｄｏｕｂｌｅ）（ｃｌｏｓｅ．ＱｕａｄＰａｒｔ—ｏｐｅｎ．ＱｕａｄＰａｒｔ）／（ｄｏｕｂｌｅ）ｆｒｅｑｕｅｎｔ．ＱｕａｄＰａｒｔ）；

ｄｅｌｅｔｅ［】ｅ；

ｒｅｔｕｒｎｒｅｓｕｌｔ；５７

网络安全中加密算法的研究作者：

学位授予单位：夷泓南京邮电大学

本文链接：http://d..cn/Thesis_Y1411386.aspx