专题3：函数的图象变换总结

专题三：函数的图象变换

一．平移变换：

（1）函数的图象是把的图象向左平移个单位得到的；

（2）函数的图象是把的图象向右平移个单位得到的；

（3）函数的图象是把的图象向上平移个单位得到的；

（4）函数的图象是把的图象向下平移个单位得到的．

练习：1．将下列变换的结果填在横线上：

（1）将函数的图象向右平移2个单位，得到函数        的图象；

（2）将函数的图象向左平移2个单位，得到函数      的图象．

2．函数的图象，可由的图象经过下述变换得到（   ）

          A．向左平移6个单位                      B．向右平移6个单位 

 C．向左平移3个单位                      D．向右平移3个单位

3．讨论函数的图像是由哪个反比例函数的图像通过哪些变换而得到？

二．对称变换

1．同一函数的对称性（自对称）若函数对定义域内一切

（1）=函数图象关于轴对称；

（2）函数的不可能关于轴对称（除外）；

（3）=－函数图象关于原点对称；

（4）函数图象关于直线对称；

（5）函数图象关于直线轴对称；

（以下选讲）

（6） 函数图象关于直线对称；

（7）函数图象关于直线对称；

2．不同函数对称性（互对称）给出函数

（1）函数与的图象关于轴对称；

（2）函数与的图象关于轴对称；

（3）函数与的图象关于原点对称；

（4）函数与的图象关于直线对称；

三．训练题目

1．已知函数的定义域为，则下列说法中：

① 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称；

② 若，则函数的图象关于原点对称；

③ 函数与函数的图象关于直线对称；

④ 函数与函数的图象关于直线对称．

其中正确是             ．

2．已知函数是定义域为的偶函数，且.若在上是减函数,则在上是（     ）

A．增函数      B．减函数    C．先增后减的函数      D．先减后增的函数

3．函数与的图像关于（   ）对称　

A．直线    B．直线    C．直线    D．直线

4．设定义域为R的函数、都有反函数，并且和的函数图像关于直线对称，若，那么（    ）

A． 2002        B． 20##           C．2004              D．2005

5．已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，若，则（     ）

A．         B．              C．               D．

6．已知函数满足：①；②在上为增函数．若，且,则与的大小关系是（     ）

A．                   B．   

C．                   D．不能确定

7．函数是偶函数，则函数的对称轴是            ．

8．设是定义在上的偶函数，且，当时，

，则_      _．

9．设是定义在上的奇函数，且图象关于直线，则__  ___．

10．函数对一切实数x都满足并且方程有三个实根，这三个实根的和             ．

11．若函数的图象关于直线对称，当时，，则当 时，则           ．

 

第二篇：函数专题 精心总结

函数专题

高中函数考察的题型大致是三大类：抽象函数、分段函数、导函数。

考察的内容：函数的解析式与定义域；函数的值域与最值；函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性；函数的图形结合。

一、单调性。

①抽象函数的单调性

对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意X1，X2在所给区间内，比较f（X1）－f（X2）与0的大小，或f（X1）/f（X

2）与1的大于。

有时根据需要，需做适当的变形，如X1＝X2*（X1/X2）或X1＝X2+X1－X2。

1、函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在其定义域内恒有f（x）＞0，f（ab）＝f（a）f（b）。已知当x＞1时，f（x）＞1，证明f（x）在其定义域上为增函数。 证明：

不妨令b＞1，那么由题意可得

f（ab）/f（a）＝f（b）＞1

即f（ab）＞f（a）

又ab＞a是显然成立的

由此可推知f（x）为增函数

2、函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）－1，并且当x＞0时，f（x）＞1.

求证：f(x)是R上的增函数.

证明：设X1，X2∈R，且X1＜X2，则X2－X1＞0，

∴f(X2－X1)＞1

f(X2)－f(X1)＝f[(X2－X1)+X1]－f(X1)＝f(X2－X1)+f(X1)－1－f(X1)＝f(X2－X1)－1＞0 ∴f(X1)＜f(X2)

∴f(X)是R上的增函数

一点有用的东西：

①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数。

②奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。

③互为反函数的两个函数有相同的单调性。（很重要）

④如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数，如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数。 复合函数的单调性

复合函数单调性的判断根据是：设y＝f(u)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]都是单调函数，则y＝f[g(x)]在[a，b]上也是单调函数.

Ⅰ若y＝f(u)是[m，n]上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与u＝g(x)的增减性相同； Ⅱ若y＝f(u)是[m，n]上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与u＝g(x)的增减性相反.

复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律为“同增异减”，即f(x)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函数；若两者单调性不同则f[g(x)]必为减函数。求复合函数的单调性的步骤为： ①求复合函数的定义域

②把复合函数分解为基本函数

③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围

④由复合函数的单调性规律判断其单调性或单调区间

是否存在实数a，使函数f(x)＝log下标(a)上标(ax^2－x)在区间[2，4]上是增函数？如果存在，说明a可取那些值；如果不存在，请说明理由。

设g(x)＝ax^2－x，假设复合条件的a值存在.

当a＞1时，为使函数y＝f(x)＝log(a)&(ax^2－x)在区间[2，4]上是增函数，只需g(x)＝ax^2－x在[2，4]上是增函数，故应满足

x＝1/2a≤2，g(2)＝4a－2＞0

解得a＞1/2，又a＞1，∴a＞1

当0＜a＜1时，为使函数y＝f(x)＝log(a)&(ax^2－x)在区间[2，4]上是增函数，只需g(x)＝ax^2－x在[2，4]上是减函数，故

x＝1/2a≥4，g(4)＝16a－4＞0

无解.

综上可知，当a∈(1，+∞)时，f(x)在[2，4]是增函数

二、奇偶性（注意：在判断一个函数为奇函数或偶函数只前，必须先确定其定义域是否关于原点对称）

①若函数f(x)满足f(－x)/f(x)＝1，则其为偶函数；满足f(－x)/f(x)＝－1，则其为奇函数. ②奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，

奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，

奇×偶＝奇.

③任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(X)与一个偶函数h(x)和的形式，即g(x)＝[f(x)－f(－x)]/2，h(x)＝[f(x)+f(－x)]/2.（很重要）

④若函数y＝f(x)是奇函数且0是定义域内的值，则f(0)＝0.

第三点如：已知f(x)=…，若f(x)由一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)构成，求g(x)和h(x)的解析表达式。

已知f(x)是R上的奇函数，且x∈（－∞，0）时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x).

∵f(x)为奇函数

∴f(0)＝0

当x＞0时，－x＜0，

f(－x)＝xlg(2+x)

即－f(x)＝xlg(2+x)

∴f(x)＝－xlg(2+x)（x＞0）

∴f(x)＝－xlg(2－x)（x＜0）

－xlg(2+x)（x≥0）

三、周期性

①定义在R上的函数f(x)

Ⅰ若有两条对称轴x＝a，x＝b，则f(x)是周期函数且2|a－b|是它的一个周期.

Ⅱ若有两个对称中心（a，0）（b，0），则f(x)是周期函数且2|a－b|是它的一个周期

Ⅲ若有一个对称中心（a，0）和一条对称轴x＝b，则f(x)是周期函数且4|a－b|是它的一个周期.

②若对于函数f(x)的定义域内任一自变量的值x都有f(x+a)＝－f(x)或f(x+a)＝1/f(x)或f(x+a)＝－1/f(x)（a是常数且a≠0），则f(x)是以2a为一个周期的周期函数.

四、对称性

①函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则图像关于原点对称.

②函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则图像关于y轴对称.

③若函数f(x)满足f(x)＝f^(－1)(x)，则图像关于直线y＝x对称.④若函数f(x)满足f(a+x)＝fb－(x)，则图像关于x＝(a+b)/2对称.

④若函数f(x)满足f(a+x)＝－f(b－x)，则图形关于点（(a+b)/2，0）对称.

五、凸凹性

凸函数：f[(X1+X2)/2]≥[f(X1)+f(X2)]/2

凹函数：f[(X1+X2)/2]≤[f(X1)+f(X2)]/2

拓展形式：jensen不等式

六、图像变换

Ⅰ平移变换：

①y＝f(x)的图像向左平移a（a＞0）个单位得到函数y＝f(x+a)的图像.

②y＝f(x－b)（b＞0）的图像可由y＝f(x)的图像向右平移b个单位得到.

口诀：左加右减、上加下减

（LZ经验：对于y＝f(－x)的图像变换恰与上述相反，不论是y＝f(x)或y＝f(－x)的变换都是对自变量x的变换，一般将x前的系数提出来，若为x+k，则为x向左移k个单位；若为x－k，则为x向右移k个单位）（三角函数）

Ⅱ对称变换

①y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称；

②y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于x轴对称；

③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称；

④y＝f^（－1）(x)[反函数]与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称；

⑤y＝|f(x)|的图像：可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分关于x轴翻转180度，其余部分不变；

⑥y＝f(|x|)的图像：可先作出y＝f(x)（x≥0）的图像，再利用偶函数的图像关于y轴对称，作出y＝f(x)（x≤0）的图像.

Ⅲ伸缩变换

①y＝Af(x)（A＞0）的图像，可将y＝f(x)的图像上所以点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到；

②y＝f(ax)（a＞0）的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的1/a，纵坐标不变而得到.

相关推荐

专栏推荐