第四章 因式分解

主要知识点:

一. 分解因式

1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式..

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

二. 提公共因式法

1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如ab?ac?a(b?c)

2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

ma?mb?mc?m(a?b?c)

3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;

(2)公因式是否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏

掉.

三. 运用公式法

1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

2. 主要公式:(1)平方差公式: a2?b2?(a?b)(a?b)

(2)完全平方公式: a2?2ab?b2?(a?b)2 a2?2ab?b2?(a?b)2

3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如x4?y4?(x2?y2)(x2?y2)就没有分解到底.

4 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

四. 分组分解法:

1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

如: am?an?bm?bn?a(m?n)?b(m?n)?(a?b)(m?n) 2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化.

五. 十字相乘法:

1.对于二次三项式ax2?bx?c,将a和c分别分解成两个因数的乘积,a?a1?a2 ,

ac1

c2c?c1?c2, 且满足b?a1c2?a2c1,往往写成a2 的形式,将二次三项式进行

分解.

如: ax2?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2)

2. 二次三项式x2?px?q的分解:

p?a?b1q?ab1bx2?px?q?(x?a)(x?b)

3. 规律内涵:

(1)理解:把x2?px?q分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分

解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.

(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

4. 易错点点评:

(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;

(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

常考题型：

一，选择题

一、选择题

1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）

（A）2?a?b??2a?2b （B）m2?1??m?1??m?1?

（C）x2?2x?1?x?x?2??1 （D）a?a?b??b?1???a2?ab??b?1?

2．把多项式－8a2b3＋16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提的公因式是( )，

（A）－8a2bc （B） 2a2b2c3 （C）－4abc （D） 24a3b3c3

3．下列因式分解中，正确的是（ ）

（A）3m2?6m?m?3m?6? （B）a2b?ab?a?a?ab?b?

（C）?x2?2xy?y2???x?y? （D）x2?y2??x?y? 22

4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）

（A）a2?4 （B）a2?2 （C）?a2?4 （D）?a2?4

5．把－6(x－y)3－3y(y－x)3分解因式，结果是( )．

（A）－3(x－y)3(2＋y)

（C）3(x－y)3(y＋2) （B） －(x－y)3(6－3y) （D） 3(x－y)3(y－2)

6．下列各式变形正确的是（ ）

（A）?a?b???a?b? （B）b?a???a?b?

（C）??a?b????a?b? （D）?b?a????a?b? 2222

7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )．

1（A）4x2－1 （B）4x2＋4x－1 （C）x2－xy＋y2 D．x2－x＋2

8．因式分解4＋a2－4a正确的是( )．

（A）(2－a)2 （B）4(1－a)＋a2 （C） (2－a)(2－a) （D） (2＋a)2

9．若4x2?mx?9是完全平方式，则m的值是（ ） （A）3 （B）4 （C）12 （D）±12

10．已知a?b??3，ab?2，则?a?b?的值是（ ）。 2

（A）1 （B）4 （C）16 （D）9

11.下列从左到右的变形，是分解因式的为( )

A. x2－x=x(x－1) B. a(a－b)=a2－ab

C. (a+3)(a－3)=a2－9 D. x2－2x+1=x(x－2)+1

12、下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）

2222A.a?4 B.a?2 C.?a?4 D.?a?4

13、因式分解a2－4a＋4正确的是( )．

A.(a－2)2 B.a2-4(a－1) C. (a＋2)( a－2) D. (a＋2)2

14、若4x2?mx?9是完全平方式，则m的值是（ ）

A.3 B.4 C.12 D.±12

15、下列各式变形正确的是（ ）

A. ?a?b???a?b? B. b?a???a?b?

C. ??a?b????a?b? D. ?b?a????a?b? 2222

16、把多项式m2(a?2)?m(2?a)分解因式等于（ ）

A.(a?2)(m2?m)； B.(a?2)(m2?m)； C.m(a-2)(m-1)； D.m(a-2)(m+1)；

17、已知多项式x2?bx?c分解因式为(x?3)(x?1)，则b,c的值为（ ）

A.b?2,c?3； B.b??4,c?3； C.b??2,c??3； D.b??4,c??3

18、分解因式x4?1得（ ）

A、(x2?1)(x2?1) B、(x?1)2(x?1)2 C、(x?1)(x?1)(x2?1) D、(x?1)(x?1)3

19、下列各式是完全平方式的是（

A、x2?x?1 4） B、1?x2 C、x?xy?1 D、x2?2x?1

20、若a，b，c是三角形三边的长，则代数式(a + b)2－c2的值（ ）

A 大于零 B 小于零 C 大于或等于零 D

二，填空

21、4a2b?10ab2分解因式时，应提取的公因式是22、9x3y2?12x2y2?6xy3中各项的公因式是23、分解因式3a＋3b＝； m2－4n2＝ ．

24、已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为 .

25、多项式x2?9与x2?6x?9的公因式是26、如果是一个完全平方式，那么m=___________。

27、____________。

28、_________。

29、=____________。

30、_____________。

31、____________。

32、____________。

33、

34、。 小于或等于零

35、

2。 36．4a2b?10ab分解因式时，应提取的公因式是37．am?bm?m??；?x?1????；a?b?c?a???.

38．多项式x2?9与x2?6x?9的公因式是39．利用因式分解计算：2012?1992? .

40．如果a2＋ma＋121是一个完全平方式，那么m＝________或_______。 三，解答题

41、将下列各式分解因式：

(1) ?14abc?7ab?49ab2c （2）4m2?9n2；

（3）(x?y)2?10(x?y)?25 （4）(a?3)2?(3?a)

42、用简便方法计算

（1）21042－1042 (2)1022+204?98+982

43、用分解因式方法证明1993-199能被200整除。

44、先分解因式，再计算求值：

4ay2+8ay+4a, 其中a=2,y=3

45、已知a-b=2,ab=5,求下列多项式的值： 39

（1）-a2b+ab2 （2）a2+ b2 47将下列各式分解因式：

（1）7x?63 （2）?a?2a?a

48，先化简，再求值：(2a?1)?2(2a?1)?

3，其中a?

,49，利用因式分解说明：36?6能被140整除。

50，大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米。求这两个正方形的边长。

51、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(1+x)2(1+x) 7122223

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).

52.已知a,b,c为三角形ABC的三边，且a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试确定三角形ABC的形状。并说明理由。

答案

 

第二篇：北师大版八年级数学下因式分解试题

北师版八下《第2章 分解因式》单元练习

（满分120分，时间90分钟）

一、选择题（每题4分，共40分）

1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（　　）

（A）             （B）（B）

（C）      （D）

2．把多项式－8a2b3＋16a2b2c2－24a3bc3分解因式，应提的公因式是(    )，

（A）－8a2bc    （B）  2a2b2c3     （C）－4abc    （D）  24a3b3c3

3．下列因式分解中，正确的是（    ）

（A）          （B）

（C）       （D）

  4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（    ）

（A）       （B）      （C）    （D）

5．把－6(x－y)3－3y(y－x)3分解因式，结果是(    )．

（A）－3(x－y)3(2＋y)                         （B）  －(x－y)3(6－3y)

（C）3(x－y)3(y＋2)                            （D）  3(x－y)3(y－2)

6．下列各式变形正确的是（    ）

（（A）           （B）

（C）        （D）

7．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是(    )．

（A）4x2－1    （B）4x2＋4x－1    （C）x2－xy＋y2    D．x2－x＋12

8．因式分解4＋a2－4a正确的是(    )．

（A）(2－a)2    （B）4(1－a)＋a2  （C） (2－a)(2－a)  （D） (2＋a)2

9．若 是完全平方式，则m的值是（     ）

（A）3        （B）4          （C）12                 （D）±12

10．已知 ， ，则的值是（    ）。

（A）1         （B）4         （C）16                  （D）9

二、填空题（每题4分，共20分）

1．分解因式时，应提取的公因式是          .

2．；； .

3．多项式与的公因式是          .

4．利用因式分解计算：           .

5．如果a2＋ma＋121是一个完全平方式，那么m＝________或_______。

三、解答题:

1．将下列各式因式分解:（每题5分，共40分）

 (1)  ；                            (2)a(x＋y)＋(a－b)(x＋y)；

 (3)100x2－81y2；                                                (4)9(a－b)2－(x－y)2；

 (5)(x－2)2＋12(x－2)＋36；                                 (6)

（7）                     （8）

2.（满分10分）已知：a+b=3,x-y=1,求a +2ab+b -x+y的值.

3．（满分10分）已知a－b＝2005，ab＝20082005 ，求a2b－ab2的值。