等差数列的性质总结
等差数列

1、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

2、若等差数列的首项是，公差是，则．

3、通项公式的变形：①；②；③；

④；⑤．

5、等差数列的前项和的公式：①；②．

等差数列的性质

1、从等差数列中依次取出下标成等差数列的项构成的新数列依然成等差数列

2、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．

3、等差数列可以写成

4、成等差数列

5、三个数成等差数列，设三项为a-d，a,a+d

6、四个数成等差数列，设四项为a+3d,a+d,a-d,a-3d

7、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．

②若项数为，则，且，（其中，）．

等比数列

8、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

9、若等比数列的首项是，公比是，则．

10、通项公式的变形：①；②；③；④．

12、等比数列的前项和的公式：

等比数列的性质

11、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．

13、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．

③，，成等比数列．

求通项公式的方法：

1、      观察法，猜想加证明（数学归纳法）

2、      待定系数法，化为等差等比数列

3、      迭差迭加法

4、      已知sn求an，注意讨论n=1的情况

5、      迭商迭乘法

求数列的前n项和的方法

1、      公式法

2、      化为等差等比数列

3、      迭差迭加法

4、      错位相减法

5、      拆项求和法

6、      分母有理化

 

第二篇：20xx0420等差数列的性质总结

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

⑶数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和

(10)求的最值

法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当 由可得达到最大值时的值．

  （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S _p = S _q则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

［例1］在等差数列{a_n}中，

（1）已知a₂＋a₅＋a₁₂＋a₁₅＝36，求S₁₆

（2）已知a₆＝20，求S₁₁.

［例2］有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.

［例3］若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.

［例4］等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为

A.30                                 B.170               C.210                               D.260  

[例5]在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.

［例6］在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是

120°，试问它是几边形？

［例7］求集合M＝{m｜m＝7n，n∈N*，且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和.

［例8］已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗?

［例9］已知数列{a_n}是等差数列，S_n是其前n项和.

求证：S₆，S₁₂－S₆，S₁₈－S₁₂成等差数列，设其k∈N*，S_k，S_2k－S_k，S_3k－S_2k成等差数列吗?

［例10］已知数列{a_n}是等差数列，a₁＞0，S₉＝S₁₇，试问n为何值时，数列的前n项和最大？最大值为多少？

［例11］在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝，求数列{a_na_n+1}的前n项和.

［例12］设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃＝12，S₁₂＞0，S₁₃＜0.

(1)求公差d的取值范围；（2）指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大？并说明理由.

［例13］首项为正数的等差数列{a_n}，它的前三项之和与前十一项之和相等，问此数列前多少项之和最大？

［例14］数列{a_n}是等差数列，a₁＝50，d＝－0.6.

(1)求从第n项开始有a_n<0；(2)求此数列的前n项和的最大值.

二、经典例题导讲

等差数列：

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.

[例2] 已知数列的前n项之和为①   ②   

求数列的通项公式。

 [例3] 已知等差数列的前n项之和记为S_n，S₁₀=10 ，S₃₀=70，则S₄₀等于           。

[例4]等差数列、的前n项和为S_n、T_n.若求；

 [例5]已知一个等差数列的通项公式a_n=25－5n，求数列的前n项和；

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前项和的公式吗？

 [例7]已知： （）  （1） 问前多少项之和为最     大？（2）前多少项之和的绝对值最小？