第一章

1   误差

    相对误差和绝对误差得概念

例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?

答:  实际问题-数学模型-数值方法-计算结果

     在这个过程中存在一下几种误差:

     建立数学模型过程中产生:模型误差  参数误差 

选用数值方法产生:截断误差 

计算过程产生:舍入误差  传播误差

6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和相对误差.

解  的相对误差：由于

        .     ,

      .   （）

    对于的误差和相对误差. ==

         .    

2有效数字  基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:     2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)

例题:

4．改变下列表达式使计算结果比较精确：

（1）   

（2）  

（3）    .

解    (1)  .         (2)  .

          (3)  .       □

第二章

  拉格朗日插值公式（即公式（1））     

插值基函数（因子）可简洁表示为 

其中: .

例1  n=1时，线性插值公式    ，

例2  n=2时，抛物插值公式

牛顿（Newton）插值公式；由差商的引入，知

（1）   过点的一次插值多项式为

其中   

（2）   过点的二次插值多项式为

其中

 

重点是分段插值:

例题:1. 利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：

  解(2)：    方法一. 由 Lagrange 插值公式

    可得： 

    方法二. 令       

    由  ， ， 定A，B  （称之为待定系数法） 

15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.

解     ，  ，  ，

设   ，则：

  

误差估计：  .     □

第四章

1 为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?

答: 梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.

2: 方法好坏的判断:  代数精度

l  误差分析

  1.代数精度的概念

定义：若求积公式 （*）对所有次数的多项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。

等价定义：若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。

3: 误差

1 等距剖分下的数值求积公式：
公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数待定
利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式 

2 给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式  公式特点：系数和节点均待定

3 分段插值多项式近似代替 （分段求积）复化求积公式

复化求积公式

通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值

分而治之：  分段＋低次求积公式---------- 称为复化求积法

两类低次（）求积公式：

1.            Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式

2.            Gauss型： 一点、两点、三点Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss公式

复化梯形公式（）

复化辛甫生公式: （每个上用辛甫生公式求积）

，为的中点

复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：

复化柯特斯公式

其中，，为的中点，

 ，为的四等分的分点

l   自适应复化求积法

计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握

因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.

自适应复化梯形法的具有计算过程如下：

步1 

步2

步3  判断？若是，则转步5；

步4  ，转步2；

步5  输出  .

第五章

1: 常用方法:

(1).直接解法： 逐步（顺序）消去法、

主元素法、矩阵分解法等；

(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解

①.经典迭代法

迭代法、迭代法、

逐次超松弛（SOR）迭代法等；

         ②. Krolov子空间的迭代法

            根据的对称性，又分为：

            对称正定------- 共轭梯度法

            非对称--------- BICG 、 GMRes(最小残量法)

③.解一类特定背景问题的迭代法

    多重网格法

2: 几类迭代法优缺点比较:

3: 迭代方法

目标：      求解  其中，非奇异。

基本思想：把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解

关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。

构造迭代格式基本步骤：

1．    将分裂：， 其中，非奇异

2．    构造迭代格式

 

 

        

   

其中，称之为迭代矩阵 ,      

其中，为的残余向量

此时，

常用的迭代方法

将分裂为

                         其中

，,

l  Jacobi迭代方法

若，迭代格式

                     ①

其中        Jacobi迭代矩阵：

      

①式可写为分量形式

          .       （*1）

方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.

Gauss—Seidle迭代方法

若，迭代格式

                ②

其中，

    Gauss-Seidel迭代矩阵：

   

其分量形式    

,.   （*2）   

即，

在计算新分量时，利用新值，。

迭代法（*2）或②称为Gauss—Seidel迭代方法 。

l   超松弛方法(SOR)方法

定义SOR方法的迭代格式如下：

,

    （*3）

称为松弛因子，即为方法.

     其矩阵形式

       

 其中，

       SOR法的迭代矩阵：

        .

第七章

1: 解非线性方程与方程组的方法:

1.  准确方法

    如：用求根公式对次的代数多项式求根。

但： 绝大多数的方程并无准确方法可用。如： 次的代数多项式并无求根公式。

2.    数值方法（实际中大多采用）

基本思想： 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。

(1).区间套法—— 二分法。

(2).迭代法：

①.简单迭代法；  ②. Newton迭代法;

3. 割线法;       4.加速算法。

2: 收敛条件:

   二分法无条件

   简单迭代法条件:

  定理1  如果 满足以下条件:

         1) , ;

         2)  常数 : , 使得对任意两点 ,都有

            ,

     则:  方程(*)在  上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程(* *) 所产生的序列收敛到.

例题:

2. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

（1），迭代公式

（2），迭代公式 ，

（3），迭代公式 ，

试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？

解：取的邻域来考察

    (1)  ，，故迭代公式(1)收敛.

    (2) ,

，

    故迭代公式（2）也收敛。

    (3)  ,

    故迭代公式（3）发散.

    由于越小，越快地收敛于根 ，故（2）式收敛最快。□

第八章

解一阶常微分方程的常用方法:  Euler 方法   Runge-Kutta 方法

2阶常微分方程边值问题的差分方法

1． 三类边值问题

  1）第一类边值问题：

    ，      （3.1）

    。                     (3.2)

  2）第二类边值问题：

    ，      （3.3）

    。                     (3.4)

  3）第三类边值问题：

    ，       （3.5）

     ，    (3.6)

    其中， 。

2．      差分格式的建立

   针对方程（3.1）而言.

Step 1 取  的离散节点:

      , 第  步步长 , 一般可取等

      步长: ,

Step 2   将  用二阶差商、 用一阶差商近似：

     ，

     .

   理由：由Taylor展开，有

  

                      

 

                      

两式相加得

其中， .

两式相减得

，

其中， .

  Step 3   略去 项 , 并记  则由方程(3.1)有:      

  （3.7）

   所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2)的差分格式:

…(3.8)

.             …………………………(3.9)

对第二边值条件(3.3),由于

 

其中， , ,

 已及       

       

所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式:

(3.10)

   .          ……(3.11)

类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6)的差分格式(略).