浅谈数学归纳法的应用

摘 要

数学归纳法是数学上证明与自然数N有关的命题的一种常用的方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，基本思想就是将无限化为有限。数学归纳法在数学的各个分支中都有着广泛的应用，包括整除问题、恒等式证明、公理证明、排列和组合、以及几何领域等等。在本论文中，首先，我们介绍数学归纳法的由来、基本思想、基本步骤、以及近年来的发展趋势；其次，针对各类数学问题给予实例以展示数学归纳法的应用；最后，通过各类实例应用总结、归纳出在应用数学归纳法时的一些技巧和方法，以便可以更加深刻的理解和掌握数学归纳法的“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

关键词：数学归纳法，猜想，证明，结论

The Application of Mathematical Induction ABSTRACT Mathematical induction is a method that related to the natural number m witch is lager than every whole number N. It is mainly used to study math problems related to the positive integer, the basic idea is to infinite to limited. Mathematical induction in every branch of mathematics has a wide range of applications, including divisible problems, identity certificates, certificate of axiom, permutations and combinations, and geometric fields and so on. In this thesis, first of all, we introduce the origin of the mathematical induction, basic thought, basic steps, and in recent years, the trend of development. Secondly, according to all kinds of mathematical problem give examples to show the application of mathematical induction. Finally, through various examples application summary, induces some skills in the application of mathematical induction and method, so as to more profound understanding and grasp of mathematical induction "induction - guess - proof" the discovery of thinking method. KEY WORDS: Mathematical induction, guess, proof, conclusion

目 录

摘 要 .................................................................... I ABSTRACT ................................................................ II

1 绪论 ................................................................... 1

1.1 引言 ............................................................... 1

1.2 数学归纳法的来源 ................................................... 1

2 数学归纳法的概述 ....................................................... 3

2.1 常用的数学证明方法 ................................................. 3

2.1.1 演绎法 ....................................................... 3

2.1.2 归纳法 ....................................................... 3

2.2 数学归纳法基本原理及其它形式 ....................................... 3

2.2.1 数学归纳法概念 ............................................... 3

2.2.2 数学归纳法的基本原理 ......................................... 4

2.2.3 第一数学归纳法 ............................................... 5

2.2.4 第二数学归纳法 ............................................... 5

2.2.5 数学归纳法的其它形式 ......................................... 7

3 数学归纳法的步骤 ....................................................... 9

3.1 数学归纳法的步骤 ................................................... 9

3.2 三个步骤缺一不可 ................................................... 9

4 数学归纳法的典型应用 .................................................. 11

4.2 证明不等式 ........................................................ 12

4.3 证明整除问题 ...................................................... 15

4.4 证明几何问题 ...................................................... 15

4.5 行列式与矩阵的证明 ................................ 错误！未定义书签。

5 运用数学归纳法时容易出现的错误分析 .................................... 18

5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 ........................................ 18

5.2 弄不清n从k变化到k?1命题发生变化时到底增加了几项 ................. 18

5.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 .................................... 19

6 应用数学归纳法时的一些技巧 ............................................ 20

6.1 灵活选取“起点” .................................................. 20

6.2 恰当选取“跨度” .................................................. 21

6.3 选取合适的假设方式 ................................................ 21

6.3.1 以“假设n?k时成立”代替“假设n=k时成立” ................. 21

6.3.2 以“假设n=k，n=k+1时成立”代替“假设n=k时成立” ........ 22

7 数学归纳法的地位和作用 ................................................ 24

致 谢 ................................................................... 25

参考文献 ................................................................ 26

浅谈数学归纳法的应用 1 绪论

在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法。在高中阶段，我们主要接触的是第一数学归纳法，常用来证明数列的通项公式，目的是为了了解数学归纳法的证明三步骤以便模仿证明一些表达式是否成立。高中阶段的学生也往往满足于“k时命题成立，那么k?1时命题也成立”的证明方法，但是却不了解数学归纳法的真正原理是什么，更不知道其理论依据是什么，因此就造成了一定的盲目性。我们都知道，数学归纳法是一种重要并且独特的证明方法,对与自然数n有关的命题证明是可行有效的；但是对于数学归纳法的本质及其理论依据却知之甚少。在本文中，我们首先将数学归纳法的理论依据、原理进行了详细的阐述；其次，我们给出相关的经典例题帮助读者更进一步地了解和掌握数学归纳法；最后，在用数学归纳法证明恒等式时，我们应该选择哪一种数学归纳法证明，这对于解题是至关重要的，本文对解决此类问题的方法也给出了一些总结。事实上，数学归纳法也有其本身的局限性，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢？我想通过本文，大家将会对此有个更深刻的了解。

1.1 引言

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，它是一个递推的数学论证方法。事实上，数学归纳法有各种各样的表达形式，我们在解决问题时选哪一个会比较方便？各种形式之间有什么联系与区别？了解这些内容对于我们合理、正确的运用数学归纳法是非常重要的。通常，数学归纳法分为第一数学归纳法、第二数学归纳法、完全归纳法、以及不完全归纳法。第一数学归纳法和第二数学归纳法是本论文要着重介绍的内容。通过对适合应用数学归纳法解决的一些问题进行整理、总结可以更深刻的了解数学归纳法的基本思想和解题技巧，选取典型例题来体现数学归纳法的基本思想有助于我们抓住其最基本的证明步骤，同时也可以更彻底的掌握数学归纳法的证明方法。

1.2 数学归纳法的来源

数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期。数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨。他确信无疑地得出：

1?3?5????(2n?1)2?n2

毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由有限个特殊情况而给出的一般结论，但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的

------大学毕业论文 归纳结果，因此是不完全的归纳推理。尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础。

而对于数学归纳法的应用，李文林翻译的美国数学史《数学史通论》（第二版）中:“J. Z. Katz教授表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师师莱文.本.热尔森（Levi ben Gerson,1288--1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中也已经本质上使用了数学归纳法”；更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法及其原理[1]。

真正明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家、工程师莫洛里科斯（F.Maurolycus,1494~1575），真正明确数学归纳法证明两步的应该是17世纪的数学家帕斯卡(B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。“数学归纳法”的名称则是由英国数学家创立,并由英国教科书作者普遍采用而推广的[1]。

浅谈数学归纳法的应用 2 数学归纳法的概述

2.1 常用的数学证明方法

数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，常用的数学证明方法有很多种，本文主要研究的是数学归纳法。

2.1.1 演绎法

要说归纳法，那不得不先提一下演绎法。演绎法是从一般性原理得出特殊结论的推理方法，即从一般到特殊的推理方法。演绎法的特点是它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎法是一种必然的推理，它是一种严格的逻辑证明方法。

2.1.2 归纳法

归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法[2]。

不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法。不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法。但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段。在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想。因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要。不完全归纳法又可分为枚举归纳法和因果归纳法两类。枚举归纳法是以某个对象的多次重复作为判断根据的归纳方法；因果归纳法是把一类事物中部分对象的因果关系作为判断的前提而做出一般性猜想的方法[2]。

完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]。

此外，动态博弈理论里面也广泛运用了一种数学归纳法，只不过此类归纳法的逻辑模式与上文所说的数学归纳法正好相反称为反向归纳法，在此不做赘述[12]。

2.2 数学归纳法基本原理及其它形式

2.2.1 数学归纳法概念

数学归纳法概念：数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题。

------大学毕业论文 2.2.2 数学归纳法的基本原理

在了解数学归纳法的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程，首先，父母叫我们数1,后来数2,有2必有3，每一个正整数后面都有一个正整数，于是我们说：会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理。

数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质：

(1)1是自然数

(2)每一个确定的自然数a,都有一个确定的随从a'，a'也是自然数

(3)1非随从，即1?a'

(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由

a'?b'

一定能推得

a?b

(5)任意一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a，也一定包含a的随从a',那么这个集合包含所有的自然数。

后来因为把0也作为自然数，所以公理中的1要换成0。其中的性质(5)是数学归纳法的根据，有了这一原理，就可以定义如下的数学归纳法：

设是与正整数有关的数学命题，如果：

(1)命题当n?k时正确，即n?k?1正确；

(2)在假设正确的前提下，可以证明命题也正确，那么命题对任意正整数都是正确的。

数学归纳法的正确性验证是根据数学归纳法的原理，能否完成对与自然数有关命题的无限次论证，即数学归纳法是否可靠，下面我将结合“正整数最小原理”，即“任何非空正整数集合一定含有最小数”来验证数学归纳法是否正确。

命题1：任何非空正整数集合一定含有最小数。

证明：在这集合里任意取一个数n,大于n的不必讨论了，我们需要讨论的是那些不大于n的自然数里一定有一个最小的数。

应用归纳法，如果n?1,它本身就是自然数里的最小的数，如果这集合里没有小于n的自然数存在，那么n就是最小的，也不必讨论了，如果有一个,那么由数学归纳法的假设知道集合里不大于m的自然数一定有一个最小的数存在，这个数也就是原集合里最小的数，即得证。

反过来，也可以用这个性质来推出数学归纳法。

假设对于某些自然数是不正确的，那么，一定有一个最小的自然数n?k使这个命题不正确，也就是，当n?k?1的时候，命题正确，而当n?k的时候，这个命题也不正确，这与归纳法的假定是矛盾的。

也许从理论上来看，我们有可能还不是很懂得数学归纳法原理的正确性，我们可以从我们生活上的例子比较直观的理解它。

浅谈数学归纳法的应用 例2.1 从袋子里摸球问题。

如果袋子里的东西是有限的，总可以把它摸完而得出一个确定的结论，但是，当东西是无穷的，怎么办？如果有这样一个论证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的，也一定是红玻璃球”，那么，在这样的保证下，只要第一次摸出的确定是红玻璃球，就可以不再检查地做出正确的结论：“袋里的东西，全部是红玻璃球”。

上面的道理采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，能够证明第1号命题正确，如果能够证明在第k号命题正确的时候，第k?1号命题也正确，那么，这一批命题就全部正确。

2.2.3 第一数学归纳法

定义：在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n有关的命题P(n)。如果：（1）当n?1时命题成立（2）假设n?k时命题成立

（3）若能证明n?k?1时命题也成立。

证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立。令S表示使该命题不成立的正整数做成的集合，那么S??，于是由最小数原理，S中有最小数a,因为命题对于n?1时成立，所以a?1，a?1，从而a?1是个正整数，又由于条件（3）当n?a也成立.因此a?S，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕。

在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c开始的，这时在叙述上只要将n?1换成

（1）归纳基础：证明c时命题成立n?c即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：

（2）归纳假设：假设n?k时命题成立（3）归纳递推;由归纳假设推出n?k?1时命题也成立[3]。

2.2.4 第二数学归纳法

第二数学归纳法与第一数学归纳法时等价的，在有些情况下，由归纳法“假设n?k时命题成立”还不够，而需要更强的假定。也就是说，对于命题P(n)，在证明P(k?1)成立，不仅依赖P(k)成立，而且依赖于前面各步成立。这时一般要选用第二数学归纳法。

第二数学归纳法原理：设有一个与正整数n有关的命题P(n)。如果：（1）当n?1时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n?k成立时（3）若能证明n?k?1时命题也成立，则这个命题对于一切正整数n都成立其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方就不重复了。

第二数学归纳法可概括为以下三步：

（1）归纳基础：证明n?1时命题成立（2）归纳假设：假设n?k时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n?k?1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设。

------大学毕业论文 第一数学归纳法（简称“一归”）和第二数学归纳法（简称“二归”）的关系，指出“一归”和“二归”是等效的，并加以证明。

设N表示全体自然数集合；P(n)表示含有自然数n的一个命题；“A?B”表示A和B互为充要条件；对“?”表示“任意的”或“所有的”；“?”表示“有一个”“存在一个”。

所谓“一归”是指，对?一个P(n)：

（1）当n?1时，验证P(1)真；

（2）若当n?k时，P(k)真，证明当n?k?1时，P(k?1)真.从而断定对?n?N，P(n)都真。

所谓“二归”是指，对?一个P(n)：

（1）当n?1时，验证P(1)真；

（2）若对n?k时，P(n)都真即P(1),P(2),P(3),?，P(k)都真，来证明当n?k?1时，P(k?1)真.从而断定?n?N，P(n)对都真。

“一归”和“二归”都是数学证明方法，这是可以从理论上加以严格证明的，现在着重谈一下它们之间的关系。实际上“一归”和“二归”是等效的，即“一归”证明的P(n)可以用“二归”证明，反之亦然.下面就从理论上来证明上面的结论。

定理1：设?个P(n)，P(n)能用“一归”证明真?P(n)能用“二归”证明真。 证明：必要性（?）。先分析一下如何证明。对P(n)下面的“一归”的条件都成立，即（1）当n?1时，P(1)真；（2）若当n?k时，P(k)真，则当n?k?1时，P(k?1)真。这是已知条件，来证明“二归”的条件（1）（2）对P(n)真。事实上，“一归”和“二归”的条件（1）是相同的，只须证明“二归”的条件（2）对P(n)也真即可，也即证明：若对n?k时，P(k)真，则当n?k?1时，P(k?1)真即可。事实上，因为当n?k时，P(n)真，即P(1),P(2),P(3),?，P(k)都真，所以特别当n?k时，P(k)真.由“一归”

P(n)真，P(k?1)条件（2）对P(n)成立，故P(k?1)真。所以若当n?k时，则当n?k?1时，

真。所以“二归”的条件（1）（2）对P(n)都真，故P(n)能用“二归”证明真[4]。

充分性（?）.由“二归”的条件（1）（2）对P(n)成立来证明“一归”的条件（1）、

（2）对P(n)也成立.因它们的条件（1）相同，只须证明：若当n?k时，P(k)真，能推出P(k?1)真时，则若P(k)真，能推出P(k?1)真即可。用反证法来证明。事实上，若由P(k)真可以推出P(k?1)真不能对?k?N都成立，则?k0?N,使得由P(k0)真推不出P(k0?1)真.N中这样的k0组成一个非空的自然数的集合N0，由最小数原理（任意非空

的自然数的集合中都有一个最小数）知，N0中有一个最小数，设为m0因为“二归”的条件（1）（2）对P(n)真，所以对?n?N，当n?m时P(n)真可以推出P(n?1)真（这里n?m的n是存在的，因为“二归”的条件知P(1)真，故P(2)真，所以m?1）所以P(1),P(2),P(3),?，P(m?1)都真。故由“二归”的条件（2）知P(m)真，因而P(1),P(2),P(3),?，P(m?1)P(m)都真。再由“二归”的条件（2）知P(m?1)真，所

浅谈数学归纳法的应用 以m不属于N0。这与m?N0矛盾。因此，N0中不能有最小数m，即N0是空集.所以对

?k?N，由P(k)真都能推出P(k?1)真。由“一归”的条件（1）（2）知对P(n)真，所以P(n)能用“一归”证明真[4]。

2.2.5 数学归纳法的其它形式

数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成，首先是奠基步，这往往比较容易，但却是必须的，然后需要一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形，通常，这个一般的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始，从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立，从而建立一个一般的演绎规则，因此，从这一本质出发，数学归纳法可演绎出丰富的“变着”，概括起来有两个方面：一是奠基点的前提或后推，增多或减少：二是递推跨度和递推途径的变通，而正是因为是“变着”的多样性和应用技巧的灵活性，才使数学归纳法显示出广泛的应用性[5]。

(a)不一定从1开始，也就是数学归纳法里的两句话，可以改成：如果当n?k0的时候，这个命题是正确的，又从假设当n?k(k?k0)时，这个命题是正确的，可以推出当n?k?1时，这个命题也是正确的，那么这个命题n?k0时都正确。这是第一数学归纳法的“变着”，也叫做跳跃数学归纳法[5]。

例2.2 求证：n边形n个内角的和等于(n?2)?，（n?3）。

证明：当n?3时，我们知道三角形三个内角的和是?，所以当n?3时，命题是正确的，假设当n?k(k?3)时命题也是正确的，设A1,A2,?Ak?1是k?1边形的顶点，做线段A1Ak，它把这个k?1边形分成两个图形，一个是k边形A1A2?Ak,另一个是三角形AkAk?1A1,并且k?1边形内角的和等于后面两个图形的内角和的和，就是：

(k?2)????(k?1)???(k?1)?2??

也就是说，当n?k?1时这个命题也是正确的，因此定理得证。

第二句话也可以改为“如果当n适合于1?n?k时命题正确，那么当n?k?1时，命题也正确”，由此同样可以证明对于所有命题都正确。这种属于第二数学归纳法的“变着”。

例2.3 我们知道，对于任意自然数n，有?i?1i3?(?1i)2,反之，若an?0，且nn

?i?1ai?(?1ai)2,有an?n成立吗？

证明：当n?1时，由a1?a1及a1?0,得a1?1。命题成立。

假设当n?k时，命题成立，即ai?i，i?1,2,?k。

当n?k?1时，因为

k?13k3k32n3n?i?1ai??k?1ai?(?i?1ai)2?ak?1， 3

------大学毕业论文 由于

22

a?(a)?(a?a)?i?1i?i?1i?i?1ik?1 k?1

3

k?1

k

?(?i?1ai)?2ak?1?i?1ai?ak?1，

2

kk

2

于是

ak?1?2ak?1?i?1ai?ak?1，

3

k

2

因为ai?i,i?1,2,?k，所以?i?1ai?

又因为ak?1?0,故

k

k(k?1)

。 2

ak?1?ak?1?k(k?1)?0。

2

解得ak?1?k?1，或ak?1??k(舍去)。

所以n?k?1时命题也成立，从而对任意自然数n，命题成立。

(b)设p(n)是关于自然数N的命题，若p(n)对无限多个自然数成立；假设p(k?1)成立可推出p(k)成立，则命题一切自然数n都成立。

总之，数学归纳法原理还隐含着许多“变着”，这便使得数学归纳法在证题中发挥着重要的作用，除此之外，还有其它的数学归纳法，如跷跷板数学归纳法，双重数学归纳法[6]。

浅谈数学归纳法的应用 3 数学归纳法的步骤

3.1 数学归纳法的步骤

在高中阶段，我们常用第一数学归纳法，其证明过程步骤分为三步。从实质上来说，其实数学归纳法也可以分为两个步骤：

（1）当n?1时，这个命题是正确的，

（2）假设当n?k时，这个命题是正确的，

（3）证明当n?k?1时，这个命题也是正确的。

从而推出这个命题在n?1自然数中都是成立的。

例3.1 对任意正自然数n，有1?3?5???(2n?1)?n2。

证明：当n?1时，左?1，右?1，所以等式成立。

假设当n?k时，等式也成立，则有

1?3?5??(2k?1)?k2，

当n?k?1时，

1?3?5???(2k?1)?(2k?1)

?k2?2k?1

?(k?1)2。

?n?k?1时，等式也成立。综上所述，等式对一切正自然数n都成立。 [7]

3.2 三个步骤缺一不可

在实际的教学过程中，重点在于如何利用假设n?k时命题的结论来推出n?k?1时命题也成立，因为之前的两部相当于第三步而言比较简单，因此，学生做题时往往会在第三步感到困难，然而，即使学生经过一段时间的训练，能够一步不漏正确的做下来，学生多半仍处于知其然不知所以然的处境，有不少学生心中疑问：为什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不过是代入一个最简单的数字去看看命题对不对，这一步会有多少作用，为什么非要不可。并且用n?k的假设命题去推n?k?1的必要性。

以上问题都涉及到数学归纳法的原理，本质，也是它能够成为一种重要的数学证明方法的巧妙之处。其实，数学归纳法的三个步骤有着十分密切的关系，三个步骤缺一不可。下面用例题来说明：

例3.2 证明：所有的正整数都相等。

分析：这个命题显然是荒谬的，但是如果我们丢开“当k?1的时候，这个命题是正确的”不管，那么可以用“数学归纳法”来“证明”它。

这里，第k号命题是：“第k?1个正整数等于第k个正整数”，就是

k?1?k，

------大学毕业论文 两边都加上1，就得

k?k?1。

这就是说，第k个正整数等于第k?1个正整数，这不是说明了所有的正整数都相等了吗？错误就在于，我们没有考虑k?1的情况。

例3.3 n2?n?72491在正自然数上都是素数。

分析：当n?1,2,3,?,11000的时候，式子n2?n?72491 的值都是素数,即使如此，我们还不能确立是任何正整数的时候，这个式子的值都是素数，事实上，只要n?72490的时候它的值就不是素数。

这也就是说，即使我们试了11000次，式子n2?n?72491 的值都是素数，我们仍旧不能断定这个命题一般的正确性。

这就足够说明了n?1是递推的基础,二，三两步相互循环论证关系是递推的过程，它解决了从特殊值n?n0到一般n?n0的过渡。这三个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤，而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而，论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤的假设就失去了依据，从而使归纳法步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上，所以仍然不能断定原命题是否正确。

所以，运用数学归纳法时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键在于合理应用假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的，就中学教材而论，应用数学归纳法证明命题大概有两种类型：

（1）能直接应用归纳假设来证明的，证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中比较常见。

（2）不能直接应用归纳假设来证明的，这类命题解题时，一般通过下面的两种途径为应用归纳假设创造条件,先将n?k?1代入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而得到结论；利用其它数学知识，建立p(k)与p(k?1)的联系，从而得到结论成立，对于这种类型题目在中学数学的学习中出现的概率也是很大的[7]。

浅谈数学归纳法的应用 4 数学归纳法的典型应用

数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种极为有效的方法，它在证明中的应用是十分广泛的。应用数学归纳法可以证明与正整数n有关的恒等式、不等式、证明整除问题、证明几何问题以及矩阵问题等。

4.1 证明恒等式

应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可[9]。下面举例说明．

例4.1 用数学归纳法证明：

证明：当n=1时，左边?∴左边=右边

假设n=k时，等式成立。即

111k ??????。1?33?5(2k?1)(2k?1)2k?1111n?????(n?N?)。 1?33?5(2n?1)(2n?1)2n?11111?，右边??。 1?332?1?13

当n=k+1时，

1111?????1?33?5(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?3)

k1??2k?1(2k?1)(2k?3)

k(2k?3)?1 ?(2k?1)(2k?3)

(2k?1)(k?1)?(2k?1)(2k?3)

k?1?。2(k?1)?1

∴当n=k+1时，等式也成立。由上面的分析可知，等式对任何n?N?都成立。

例4.2（2010江苏卷（理科））已知△ABC的三边长都是有理数。

（a）求证：cosA是有理数；

（b）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

证明：(a)由于AB、BC、AC为有理数，利用余弦定理可知

AB2?AC2?BC2

cosA? 2AB?BC

------大学毕业论文 是有理数。

(b)用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。

1)当n=1时，由（a）知c从而有sinA?sinA?1?cos2A也是有理数。 osA是有理数，

2)假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。

当n?k?1时，由于

cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA

sinAsin(k?1)A?sinA?(sinkA?cosA?coskA?sinA)

?(sinA?sinkA)?cosA?(sinA?sinA)?cosA

由1)和2)归纳假设，知cos(k+1)A与sinA?sin(k?1)A都是有理数。即当n=k+1时，结论成立。综合1),2)可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。

数学归纳法最简单的应用之一，是用来研究排列和组合的公式，通过高中的学习，我们已经知道：“从n个不同的元素里，每次取r个，按照一定的顺序摆成一排，称做从

”排列的种数，称做排列数。从n个不同的元素里n个元素里每次取出r个元素的排列。

rr每次取r个元素所有不同的排列数，可以用符号An来表示。对于An有下面的公式：

r=n(n-1)(n-2)?(n-r+1) 定理1 An

1=n，这是显然的。如果再能证明 证明：首先，An

rr?1An?nAn?1

那么，这个定理就可以应用数学归纳法来证明。

r我们假定n个元素是a1,a2,?,an,在每次取出r个元素的An种排列法里，以a1为首的

?1r?1共有Anr?1种，以a2为首的同样也有An?1种，由此即得

rr?1An?nAn?1。

于是定理得证[9]。

4.2 证明不等式

应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种。严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可。对于非严格不等式，情况略显复杂，在证明过程的第一步验证中，对于“?”或“?”的处理，存在两种不同的看法，一种观点认为：在第一步中，既要验证“A=B”成立，也要说明A<B(A>B)成立。

只有如此，才能更充分地体现非严格不等式A?B(A?B)成立。另一种观点认为：在第一步中，只要证明A=B或A<B(A>B)有一个成立，即可说明非严格不等式A常B(AB)成立。从逻辑连接词的角度，我倾向于后者。事实上，用数学归纳法证明非严格不等式时，A=B是A?B或A?B的基础[9]。

例4.3 求证：(a1?a2???an)(

111????)?n2(an?0)。 a1a2an

浅谈数学归纳法的应用 证明：1）当n=1时，不等式成立。

2）假设当n?k(k?N)时命题成立，即

(a1?a2???ak)(111 ???)?k2。a1a2ak

那么当n?k?1时， (a1?a2???ak?ak?1)(

?(a1?a2???ak)(1111????)a1a2akak?11111111???)?(a1?a2???ak)?ak?1(???)?1a1a2akak?1a1a2ak ?k2?2(a?a???a)1?a(1?1??1)?112kk?1ak?1a1a2ak?k2?2k2?1

?k2?2k?1

?(k?1)2。

即当n?k?1时，命题成立。根据1）和2），可知命题对任何n?N?都成立[9]。

例 4.4 求证：11113 ????(n?2，n?N)。n?1n?22n24

1171413证明：1）当n=2时，左边=??=右边，所以不等式成立。 ??34122424

2）假设当n?k(k?2)时命题成立，即

11113 ????。k?1k?22k24

令

Sk?111 ???，k?1k?22k

那么当n?k?1时，令

Sk+1=11111， ++?+++k+2k+32k2k+12k+2

则有：

Sk?1?Sk?1111????0，2k?12k?2k?12(k?1)(2k?1) ?Sk?1?Sk。

由假设可知Sk?1313，则Sk?1?。即当n?k?1时，命题成立。根据1）和2），2424

可知命题对任何n?N?都成立。

------大学毕业论文 有时候，我们要证明的不等式无法直接运用归纳法解决，这时，我们则考虑将不等式加强以便运用归纳法。而不等式加强的形式是多样的，其中规律有法可循——根据要证不等式的形式进行构造。

例4.5 若不等式1111a对一切正整数都成立，求正整??????n?1n?2n?33n?124

数a的最大值，并证明你的结论。

解：取n?1，可得

11126 ???1?11?23?1?124

令

26a ?2424

可得a?26，而a?N?，所以取a?25，下面用数学归纳法证明

111125 ??????n?1n?2n?33n?124

1）n?1时，已证结论正确。

2）假设n?k时，不等式成立，则当n?k?1时有，

111111???????(k?1)?1(k?1)?23k?13k?23k?33(k?1)?1

1111111?(???)?(???)k?1k?23k?13k?23k?33k?4k?1 25111??(??)。243k?23k?4k?1

因为

116(k?1)2, ??2?3k?23k?49k?18k?83(k?1)

所以

112???0， 3k?23k?43(k?1)

进而

11125。 ?????(k?1)?1(k?1)?23(k?1)?124

即n?k时，结论成立。由1），2）可知，对一切a?N?，都有

111125 ??????n?1n?2n?33n?124

故a的最大值为25。

浅谈数学归纳法的应用 4.3 证明整除问题

应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一。在做这一部分题时，应从整除的基本含义入手，通过添项去项进行“配凑”，使之能够获证[9]。

例4.6 证明62n?3n?2?3n能被11整除。

证明：n?1时，62n?3n?2?3n?62?33?3?66能被11整除。

假设n?k时，62n?3n?2?3n能被11整除。

则当n?k?1时，有

62(k?1)?3k?1?2?3k?1

?36?62k?3?3k?2?3?3k

?36?62k?36?3k?2?33?3k?2?36?3?33?3kk

由于62k?3k?2

结论成立。 ?36?(62k?3k?23k)?33?(3k?2?3k)。?3k?1能被11整除，33(3k?2?3k)能被11整除,所以n?k?1时命题成立。

4.4 证明几何问题

应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用。数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题。数学家华罗庚曾在其《数学归纳法》一书中指出；“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”不少与正整数有关的几何问题，也可以用数学归纳法证明，但是在证明之前要找出规律，获得公式，然后才能用数学归纳法证明结论[9]。

例 4.7 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。求证：这n个圆把平面分成n2?n?2个部分。

证明：1）当n?1时，一个圆把平面分成两部分，12?1?2?2命题成立。

2）假设当n?k时命题成立，即k个圆把平面分成k2?k?2个部分。

3）则当n?k?1时，这k?1个圆中的k个圆把平面分成k2?k?2个部分，第k?1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这是共增加了2k个部分，即k?1个圆把平面分成

?(k?1)?(k?1)?2，2(k2?k?2)?2k

即命题成立。

------大学毕业论文 4.5 行列式与矩阵的证明

行列式与矩阵的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n！项，计算量很大，一般情况下不用此法。如果选择好的方法，从而达到化繁为简的功效。

e)行列式： 例4.8 证明范得蒙(Vandermond

1x1

Vn?

2

x1

1x2

2x2

1x3

2x3

............

1xn

2xn

?

:

n?1x1

:

n?1x2

:

n?1x3

:

n?1xn

1?j?i?n

?(x

i

?xj)

其中，

1?j?i?n

（(x?

i

?xj)?(x2?x1)(x3?x1)???(xn?x1)(x3?x2)???(xn?x2)???(xn?xn?1)

1x1

1x2

?x2?x1?

证明：1）当n?2时，Vn?

1?j?i?2

?

(xi?xj)，等式成立。

2）假设等式对n?1阶范得蒙行列式成立，即Vn?1?对n 阶范得蒙行列式：

1?j?i?n?1

?(x

1xn?x1

i

?xj)

10Vn?0

?

1x2?x1x2(x2?x1)

?

1x3?x1x3(x3?x1)

?

????

xn(xn?x1)

?

n?2

0x2(x2?x1)n?2n?2

x3(x3?x1)?xn(xn?x1)

按第一列c1展开并提取公因子，得

1

Vn?(x2?x1)(x3?x1)???(xn?x1)

x2:

n?2

x2

1x3:

n?2x3

.........

1xn:

n?2xn

后面的行列式是一个n?1阶范得蒙行列式Vn?1，由归纳假设可写作

Vn?1?

代入上式便得

2?j?i?n

?(x

i

?xj)，

浅谈数学归纳法的应用 Vn?

?(x

i?2

n

i

?x1)

2?j?i?n

?(x

i

?xj)?

1?j?i?n

?(x

i

?xj)。

由1）、2）可知，对所有的n?N，命题成立。

例 4.9 求证：

??

??0?0?

1

?

0??1????

n

?n

?????0?0??

n?n?1

?n

n(n?1)n?2?

??2?n?1n??

??n

??

证明：1）当n?1时，结论显然成立。 2）假设n?1命题成立，即

????0?0?

1

0??1????

n?1

?

?n?1

?????0?0??

(n?1)?n?2

?n?1

(n?1)(n?2)n?3?

??

2?

(n?1)?n?2?，??n?1

??

当取n时，

??10????0?1??00????

n

?n?1

?????0?0???n?????0?0??(n?1)(n?2)n?3?

????10?

2???n?1n?2

?(n?1)???0?1?

??00??0?n?1????

n(n?1)n?2?

n?n?1??

2?n

?n?n?1 ?，

?0?n

??(n?1)?n?2

由1）、2）可知，对所有的n?N，命题成立。

在解决行列式与矩阵问题时，选择一种好的方法不仅能达到事半功倍的效果，更能体现学习高等数学的功底。计算行列式与矩阵的方法比较灵活，同一行列式与矩阵可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用。在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，再考察它是否能用常用的几种方法，如果行列式与矩阵中有与自然数N有关，我们可考虑用数学归纳法去证明，再利用它们的性质对它进行变换，然后求解。

------大学毕业论文 5 运用数学归纳法时容易出现的错误分析

刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析。

5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性

错例 5.1 试证1?2?3?...?n?n(n?1)?1 2

k(k?1) ?1。2错证：假设n=k时等式成立，即1?2?3?...?k?

则当n=k+1时，

1?2?3?...?k?k?1

k(k?1)?1?k?12

(k?1)(k?2)??1。2?

即当n=k+1时等式成立。根据数学归纳法原理可知，当n是任意正整数时，等式都成立。 评注：事实上，1?2?3???n?n(n?1)因此错例5.1的题目是错误的。上述错，2

证，竟把错误的结论“证明”出来了，岂非怪哉？此种怪现象出现的原因，就是缺少归纳奠定这一步。切莫以为归纳奠定这一步就是“当n=1时命题正确”这么一句话，似乎无关紧要，可有可无。

从上例可以看出，不去认真地检验这一步，或者根本没有这一步，就可能陷入错误的泥潭。因此，只有归纳递推、没有归纳奠定基础的论证是错误的。归纳奠基步骤决不能少[10]。

5.2 弄不清n从k变化到k?1命题发生变化时到底增加了几项

错例 5.2 求证：1?

当n=k时，左边是

1?1111 ?????k?1，23421111n。 ?????n?1?（n为自然数）23422

浅谈数学归纳法的应用 则当n=k+1时，左边应为

1?1111111 ?????k?1?(k?1?k?1???k?1)，23422?12?22?2k?1

此时增加了括号中的那部分共2k?1项，而往往在此处由于受到前期思维定势的影响，判断为只增加一项，那就错了。

5.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 比如用数学归纳法证明n2?n?n?1，不少同学是按下列步骤展开的： 证明：1）当n=1时，左边

=2。

∵左边<右边

∴原不等式成立

2）假设当n?k（k为整数）时不等式成立，即k2?k?k?1， 那么当n=k+1时，

(k?1)2?(k?1)

?k2?3k?2

?k2?3k?2?(k?1)

?(k?2)2

?(k?1)?1。

∴n?k?1时不等式也成立。由1）、2）知对于一切整数n命题成立。

上述的证明方法表象似乎是“数学归纳法”，其实不是，因为第二步由n=k推导n?k?1时，没有用到归纳假设来证明不等式成立，这就好像接力赛跑一样没有由前一个k将接力棒传给k+1。

------大学毕业论文 6 应用数学归纳法时的一些技巧

6.1 灵活选取“起点”

第一步验证n=n0时，一般情况下也总能把命题证明出来，但对有些问题，则必须

根据题目具体条件，对第一步做些调整，灵活选取起点n0，比如，适当的将起点前移或

后挪，会对问题的解决大有帮助。所谓“起点的前移”是指对命题P(n)，若验证起点P(r)（如P(1)）比较困难或麻烦，而P(r-1)（如P(0)）有意义时，不妨将起点的验证移至P(r-1)；所谓“起点后挪”是指对命题P(n)，P(1)，P(2)，?，P(r-1)不能统一到“归纳”过程中去，这时可将起点后挪至P(r)，当然P(1)，P(2)，?，P(r-1)需要用完全归纳法予以一一验证[10]。

例6.1若n、x为正整数，则xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除。 证明：1）当n=0时，显然成立。

2）假设n=k(k N)时命题成立。

则当n=k+1时，

xk?3?(x?1)2k?3

?xk?2x?(x?1)2k?1(x2?2x?1)

?xk?2x?(x?1)2k?1x?(x?1)2k?1(x?x?1)2

?x[xk?2?(x?1)2k?1]?(x?1)2k?1(x2?x?1)

由假设知，n=k+1时命题成立。综合1）、2）知原命题成立。

上例假设是n为正整数，而我们第一步验证n=0，这时命题显然成立，这比直接验证n=1要容易的多。并且这样选择的“起点”n=0并不影响后面的递推步，在这种情形下是允许这样做的。

例6.2试证：对一切自然数n，都有2n+2>n2。

分析：不妨先看看第二步，

假设n=k时，有2k+2>k2，即2k>k2-2.则当n=k+1时，

2k?1?2?2?2k?2?2(k2?2)?2?2k2?2。

∵(2k2?2)?(k?1)2?k2?2k?3?(k?3)(k?1)，

由于k+1>0，欲使上式大于0，必有k>3，即k>4。

这说明要完成归纳递推，k必须从4开始。因而起点也必须从n=1“后挪”至n=4。此时第一步就应该是：

当n=1,2,3,4时，（经验证）命题都成立。这里运用了“起点后挪”的技巧[10]。 3

浅谈数学归纳法的应用 6.2 恰当选取“跨度”

在归纳中，有时采用较大的跨度更为方便，就可以改变跨度，不过应注意随之而起点增多[10]。

例6.3试证：任意大于7的自然数均可表为若干个3与若干个5之和（若干个包括零个）。

证明：1）当n=8，9,10时，命题成立，由8=5+3,9=3+3+3,10=5+3知命题成立。

2）假设n=k(k>7,k N)时命题成立，则当n=k+3时，只需再加一个3即可，显然成立。

综合1）、2）知原命题成立。

上例递推跨度为3，起点验证也需要三个。

例6.4求证对一切自然数n，不定方程x2+y2=zn都有正整数解。

证明：当n=1时，取x=y=1,z=2；当n=2，取x=3,y=4,z=5，故知命题在n=1和2时成立。

假设当n?k时，令x?x0，y?y0，z?z0，就有

(x0z0)2?(y0z0)2?z0(x0?y0)?z0222k?2，

知它们恰为方程的一组正整数解.所以当n=k+2时，命题也成立。则对一切自然数n不定方程都有正整数解。

对上述两个例题，如果硬性规定跨度为1，则作茧自缚，而通过加大跳跃跨度，则大大降低了归纳难度[11]。

6.3 选取合适的假设方式

同“起点”和“跨度”一样，归纳法的假设也可以是“因势而异”的，不一定非要拘泥于“假设当n=k时命题成立”不可。事实上，“n?k”往往可以用“n?k”或“n?k，n?k?1”等等来代替[11]。

6.3.1 以“假设n?k时成立”代替“假设n=k时成立”

例6.5设数列{an}满足关系式：1）a?

证数列的通项公式为an?1，2）a1?a2???an?n2an(n?1)，试21。（加拿大数学竞赛试题） n(n?1)

1(a1?a2???ak)， (k?1)2?1分析：显然a1满足通项公式，但因 ak?1?

------大学毕业论文 与a1，a2，?，ak都有关，如果仍设ak?切n?k，都有ak?

因为由

1

，就显得不够用了。如果改设“对一

k(k?1)

1

”，问题即可解决。

n(n?1)

1111

(????)2

k?(k?1)k?2k1?22?3

11111?[(1?)?(1?)???(?)]k(k?2)23kk?1

11?(1?)k(k?2)k?1

1

?。(k?1)(k?2)ak?1?

即可知ak+1也满足通项公式。

在上面的论证中，仅仅改变了假设的方式，而这种改变并未造成逻辑上的不合理，相反，却有利于归纳过渡，因而是十分可取的。

6.3.2 以“假设n=k，n=k+1时成立”代替“假设n=k时成立”

有时也会碰到一些问题，它们的归纳需要依赖于前面两个命题同时成立，这时就应当用“假设n=k，n=k+1时成立”来代替通常的“假设n=k时成立”。不过这样一来，起点也应增多为两个，否则，后面所作的假设就变得没有依据，整个论证也就变得不可信了[11]。

例6.6设x1与x2是方程x2-6x+1=0的两个根，试证对任何自然数n，x1n+x2n都是整数，但不是5的倍数。

证明：为了便于使用归纳法，我们先来推导一下递推关系。由韦达定理知：

x1?x2?6,x1x2?1，因而就有：

6(x1?x1?x1?x1

n?1

?x2

n?1

)?x2

n?1n?1

?(x1?x2)(x1

n?2n?2n?2

n?1

)?x2x1

nn

n?1n

?x2?x2?x2

n?2n?2n?2

?x1x2

n

?x1x2(x1?x2)?x1?x2。

故知

x1

n?2

?x2

n?2

?6(x1?x2

n?1

?x2

n?1

)?(x1?x2)， ?x2

n?1

nn

即有

x1

n?2

?x2

n?2

?5(x1

n?1n?1

)?[(x1

n?1

)?(x1?x2)]。

nn

浅谈数学归纳法的应用 又当n?1时，

x1?x2?6，

当n?2时，

22 6mod5?1；x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?34，34mod5?4。

故知当n=1与2时，x1n+x2n都是整数且不为5的倍数，现假设n=k，n=k+1时，x1n+x2n也都是整数，于是由递推关系式

x1n?2?x2n?2?6(x1n?1?x2n?1)?(x1?x2) nn

可知当n=k+2时，x1n+x2n也是整数.所以对一切自然数n，x1n+x2n都是整数。

为证x1n+x2n都不是5的倍数，以an记其被5除所得的余数，于是由已证部分知

a1=1,a2=4，且由递推公式知an+2=an+1-an。再证{an}是一个循环数列，循环节是6。

事实上，我们有

an?3?an?2?an?1?(an?1?an)?an?1??an，

于是有

an?6??an?3??(?an)?an。

从而知{an}是以6作为循环节的循环数列.于是可以算出：

a6n?1?a1?1，a6n?2?a2?4，a6n?3?a3?3；

a6n?4?a4?-1，a6n?5?a5?-4，a6n?6

nn ?a6?-3。它们都不为0，这样我们就证明了对一切自然数n，x1?x2都不是5的倍数。

在本例论证的前一部分——x1?x2是整数中，就采用了“n?k与n?k?1时，x1?x2是整数”的假设形式，以便于利用递推公式顺利进行完成归纳过渡。这种假设nnnn

形式，在论证数列问题时较为常用.但在使用时应注意对起点数作相应的增多[11]。

------大学毕业论文 7 数学归纳法的地位和作用

数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时，是一种非常重要的数学方法，在数学的学习中，它的地位和作用可以从以下两个方面来看：

（1）数学归纳法的地位与作用

数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。

通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。而在大学数学中，数学归纳法同样重要。在矩阵、级数以及行列式等方面都能够将无限化为有限，为解决问题提供了方便。，它是大学数学里的一个非常有效的工具。

（2）数学归纳法对思维发展的地位与作用

人类对问题的研究，结论的发现与认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。

浅谈数学归纳法的应用 致 谢

经过了数月的努力，我的毕业论文终于完成了，此时，我的心情常激动。虽然，本论文还有许多不足之处，但这也是我几个月来努力的成果，以及我的导师曹慧老师对我孜孜不倦的指导。记得在刚刚确定论文课题的开始，导师就很耐心地帮助我，导师根据对我自身的特点给了我几个比较合适的课题；还有在撰写论文的过程中，老师也是随时地提醒我要注意论文撰写的进度以及一些相关要求。所以，这篇论文并不仅仅是我个人的劳动成果，假如没有导师的指导和支持，我的毕业论文肯定完成得不是那么顺利。所以，我要发自肺腑地感谢我的导师，感谢她这几个月来的辛勤指导和陪伴！

还有我敬爱的老师们，在我大学四年的学习生活中，你们的谆谆教诲时时刻刻激励着我，我之所以能够很好地学到科学文化知识，全得益于你们的乐于奉献，所以在此，也要对你们说声谢谢！

再者，还有我亲爱的同学们，我的生活因为有你们的陪伴而不再枯燥乏味，你们给我带来了太多美好的回忆，这些回忆值得我永远珍藏，所以也要谢谢你们！

最后，我要感谢我的家人，有了你们的鼓励和支持，我才能够义无返顾的努力向前，我才能够顺利地完成学校，在此也要道一声：谢谢你们！

还要感谢在百忙之中抽出时间参加我们毕业论文答辩的老师，你们辛苦了！

------大学毕业论文 参考文献

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