一次函数知识点总结:

一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法球一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。

函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 　　即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）， 　　∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。 　

　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 　

　3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 　

　4.在两个一次函数表达式中： 　　

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 　

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 　　

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 　　

若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数

图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤： 　　

（1）列表. 　　

（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 　　一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 　

　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 　　

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 　

　2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 　　

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 　

　4．k，b与函数图像所在象限： 　

　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 　

　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 　　

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时： 　　

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 　　

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 　　

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 　　

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 　　

当b>0时，直线必通过第一、二象限； 　

　当b<0时，直线必通过第三、四象限。 　　

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 　　

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。

当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 　

　4、特殊位置关系： 　　

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 　　

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 　　）

③点斜式　y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④两点式　(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点）

⑤截距式　（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

⑥实用型 （由实际问题来做）

公式

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 　　

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 　　

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 　

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 　　

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 　

　两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 　

　6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2] 　

　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) 　　x y 　　+， +（正，正）在第一象限 　　- ，+ （负，正）在第二象限 　　- ，- （负，负）在第三象限 　　+ ，- （正，负）在第四象限 　

　8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2 　　

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1 　　

10. 　　y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位

复习要点：一次函数的图象和性质

正比例函数的图象和性质

考点讲析

1．一次函数的意义及其图象和性质

⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一

次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．

⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0 ）的一条直线，正比例函数y=kx的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．

⑶．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．

⑷．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．

     ①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

     ②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

     ③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

     ④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；

2．一次函数表达式的求法

⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

反比例函数：

(1)反比例函数

如果(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数．

(2)反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线．

(3)反比例函数的性质

①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．

②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．

③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．

(4)k的两种求法

①若点(x₀，y₀)在双曲线上，则k＝x₀y₀．

②k的几何意义：

若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S_△AOB

(5)正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k₁x(k₁≠0)，反比例函数，则

当k₁k₂＜0时，两函数图象无交点；

当k₁k₂＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

(6)对于双曲线上的点A、B，有两种三角形的面积(S_△AOB)要会求(会表示)，如图7－1所示．

考点一、平面直角坐标系   

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征   

1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限

点P(x,y)在第二象限

点P(x,y)在第三象限

点P(x,y)在第四象限

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上，x为任意实数

点P(x,y)在y轴上，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于

（3）点P(x,y)到原点的距离等于

考点三、函数及其相关概念   

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点四、正比例函数和一次函数   

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

考点五、反比例函数   

1、反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

4、反比例函数解析式的确定

确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。

。

 

第二篇：反比例函数知识点与例习题总结

人教版八年级下册反比例函数全章

知识点和典型例习题

知识点一：概念

一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

注意：①分母中含有自变量，且指数为1.

②比例系数

③自变量的取值为一切非零实数。

知识点二：表达式的三种形式

①   ②③　

知识点三：反比例函数的图像与性质

1.反比例函数的图像是双曲线。

要点：①双曲线不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。②反比例函数的图像是是轴对称图形，对称轴是。

2. 当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，值随的增大而减小（越大越小，越小越大）。

3.当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，值随的增大而增大（越大越大，越小越小）。

4.反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意一点向轴与轴作垂线，所得矩形面积为。

知识点四：用待定系数法确定反比例函数的解析式

只需一对对应值或图像上一个点的坐标可求出

知识点五；“成反比例”与“反比例函数”的关系

成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

经典例题透析   类型一： 反比例函数的概念

（一）反比例函数的定义

【例题】1、下列函数中是反比例函数的有          （填序号）

2、在函数中，自变量x的取值范围是    

（二）反比例函数的意义

【例题】1、k为何值时,是反比例函数。

2.如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

3.已知函数（1）m是何值时，它是反比例函数？（2）它的图像位于哪些象限？y值怎样随x的变化而变化？

【练习】1.反比例函数y＝的图象每一象限内，y随x的增大而增大，则n＝_______．

2.如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

3、使函数y＝（2m²－7m－9）x^m－9m＋19是反比例函数，且图象在每个象限内y随x的增大而减小，则可列方程（不等式组）为                 ．

（三） “成反比例”的含义

【例题】1.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：(1)求y和x之间的函数关系式； (2)当x=8时，求y的值(3)y＝-2时，x的值。

【练习】1.已知y=y₁+y₂，y₁是关于的正比例函数，y₂是关于的反比例函数；当时，,当时，；（1）求y关于x的函数解析式；

（2）当时，求y的值。

2.已知y＝y₁－y₂，y₁与成正比例，y与x成反比例，且当x＝1时，y＝－14，x＝4时，y＝3．求(1)y与x之间的函数关系式．(2)自变量x的取值范围．(3)当x＝时，y的值．

类型二：确定反比例函数的解析式

【例题】当自变量取值为—1时，函数值为2，求反比例函数的关系式。

【练习】1、已知变量y与x成反比例，并且当x=3时，y=7.求y与x之间的函数关系式；

2函数的图像经过点，则k的值为     。）如图，P是反比例函数图象上的一点，且点P到x

轴的距离为3，到y轴的距离为2，求这个反比例函数的解析式．

类型三：反比例函数的图像及性质

【例题】1.已知反比例函数的图像过点（-3，-12），且双曲线位于第二、四象限，求m的值。

2、已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则k的取值范围是         。

3.如下左图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．

【练习】1、当a取何值时，函数为反比例函数，且其图像同一支上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大，写出此时的函数关系式，它的图像在哪个象限。

2．如上右图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则          ．

类型四：同一坐标系画一次函数与反比例函数图像

【例题】1、如图，函数在同一坐标系中，图象只能是下图中的（    ）

2．已知关于x的函数y=k（x+1）和y=-（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）．

【练习】1函数的图象经过（，，则函数的图象是（       ）

 

2、在同一坐标系中，函数和的图像大致是（       ）

     A            B             C           D

类型五：比较函数值或自变量的大小

【例题】1.在反比例函数的图像上有三点

，，，，， 。若则下列各式正确的是（   ）

A． B．C． D．

2. 若点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）都是反比例函数的图象上的点，并且x₁＜0＜x₂＜x₃，则下列各式中正确的是（　　）A、y₁＜y₂＜y₃

 B、y₂＜y₃＜y₁   C、y₃＜y₂＜y₁    D、y₁＜y₃ ＜y₂

【练习】1.已知点A（-3，y₁），B（-2，y₂），C（3，y₃）都在反比例函数y=的图象上，则（  ）．  A．y₁<y₂<y₃ B．y₃<y₂<y₁  C．y₃<y₁<y₂    D．y₂<y₁<y₃

2．已知双曲线经过点（－1，3），如果A()，B()在该双曲线上，且＜＜0，那么  

3点A（a,b）、B（a－1，c）均在函数的图象上，若a＜0，则ｂ与ｃ的大小关系是（　　）A、ａ＞ｃ

B、ｂ＜ｃC、ｂ＝ｃ　D、ｂ和ｃ的大小关系不能确定

4、已知反比例函数的图像上有两点

A(，)，B(，)，，则的值是（  ）（A）正数（B）负数（C）非正数（D）不能确定

5、设有反比例函数，（x₁，y₁）、（x₂，y₂）为其图象上两点，若x₁＜0＜x₂，y₁＞y₂，则k的取值范围            。

类型六：反比例函数与一次函数的综合问题

【例题】1．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数

y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于

A(-2，1)、B(1，n)两点。求上述反比例函数和一次函数的表达式；

 

2. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

【练习】1．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点．（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

2.如图，已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数y=的图象上，直线AB分别与x轴，y轴相交于C、D两点，（1）求直线AB的解析式．（2）C、D两点坐标．

（3）S_△AOC：S_△BOD是多少？

                    

3．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.

求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；（3）△AOB的面积．

类型七：反比例函数与实际问题

【例题】1．在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa) 是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其图像如图所示。(1)求p与S之间的函数关系式；(2)求当S=0.5m²时,物体承受的压强p。

2.某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？

【练习】1． 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

2.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？