知识点1 反比例函数的定义

一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；

⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

①（），

②（），

③（定值）（）；

⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知。

☆反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，

则

☆  反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。

☆  双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。

 

第二篇：20xx中考数学总复习知识点总结：第六章 一次函数与反比例函数

第六章 一次函数与反比例函数

考点一、平面直角坐标系 （3分）

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a?b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分）

1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第三象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第四象限?x?0,y?0

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上?y?0，x为任意实数

点P(x,y)在y轴上?x?0，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上?x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x

（3）点P(x,y)到原点的距离等于x2?y2

考点三、函数及其相关概念 （3~8分）

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 （3~10分）

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y?kx?b（k，b是常数，k?0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y?kx?b中的b为0时，y?kx（k为常数，k?0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y?kx?b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y?kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号 b的符号 函数图像

b>0

k>0

b<0

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 图像特征

y

b>0

K<0

b<0

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数y?kx有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数y?kx?b有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y?kx（k?0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y?kx?b（k?0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

考点五、反比例函数 （3~10分）

1、反比例函数的概念 一般地，函数y?

kx

（k是常数，k?0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以

写成y?kx?1的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0，函数y?0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数 k的符号

k>0

图像

性质

①x的取值范围是x?0，

①x的取值范围是x?0，

y?

kx

(k?0)

k<0

y的取值范围是y?0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y

随x 的增大而减小。 y的取值范围是y?0； ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?k

x中，只有一个待定系数，

因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数y?k

x(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则

所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。

k

x,?xy?k,S?k。 ?y?