复变函数与积分变换复习提纲

第一章      复变函数

一、复变数和复变函数

         

二、复变函数的极限与连续

极限     连续

第二章      解析函数

一、复变函数可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程

掌握利用C-R方程判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：

三、初等函数

重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数

  单值函数

      (k=0、1、2、…、n-1)             n多值函数

2、指数函数：

性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，（3）以为周期

3、对数函数

       （k=0、±1、±2……）

性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:。

4、三角函数：   

性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界

5、反三角函数（了解）

反正弦函数

反余弦函数

性质与对数函数的性质相同。

6、一般幂函数：    （k=0、±1…）

四、调和函数与共轭调和函数：

1)  调和函数:

2)  已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）

有三种方法：a）全微分法

                b）利用C-R方程

                c）不定积分法

第三章 解析函数的积分

一、复变函数的积分      存在的条件。

二、复变函数积分的计算方法

1、沿路径积分：   利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。

2、闭路积分： a)     利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。

b)      利用参数积分方法

三、柯西积分定理：

          

   推论1：积分与路径无关

          

推论2：利用原函数计算积分

       

推论3：二连通区域上的柯西定理

推论4：复连通区域上的柯西定理

四、柯西积分公式：   

五、高阶导数公式：

解析函数的两个重要性质：

l  解析函数在任一点的值可以通过函数沿包围点的任一简单闭合回路的积分表示。

l  解析函数有任意阶导数。

本章重点：掌握复变函数积分的计算方法

沿路径积分   1）利用参数法积分 2）利用原函数计算积分。

闭路积分      利用留数定理计算积分。

第四章 解析函数的级数

一、幂级数及收敛半径：   

1、一个收敛半径为R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：

     

    

2、收敛半径的计算方法

1）  比值法：

2）  根值法：

二、泰勒（Taylor）级数

1、如函数在圆域内解析，那么在此圆域内可以展开成Taylor级数

1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor级数。

2 ) 收敛半径是展开点到的所有奇点的最短距离。

3）展开式的系数可以微分计算： 

4）解析函数可以用Taylor级数表示。

2、记住一些重要的泰勒级数：

1）            2）

3）   4）

三、罗兰（Laurent）级数

如果函数在圆环城内解析，则=        （n=0、±1、±2……）

1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent级数。

2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent级数。

3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。

四、孤立奇点

1、定义：若b是的孤立奇点，则在内解析。在此点可展开为罗兰级数，=

2、分类：

孤立奇点

把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-1

3、极点留数计算

a) 如果b是的一阶极点，则

b) 如果b是的m阶极点，则

c) 如b是的一阶极点，且P(b)≠0，那么

d)

e) 若是的可去奇点，并且，

关系：全平面留数之和为零。

本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。

          函数在解析圆环城内展开成Laurent级数。

          孤立奇点（包含点）的判定及其留数的计算。

第五章  留数定理的应用

一、

条件：（1）R(sinq，cosq) 为cosq与sin q 的有理函数

     （2）R (• ) 在[0，2p] 或者 [-p ，p] 上连续。

令，则，，。

                           

  注意留数是计算单位圆中的奇点。

二、

条件： （1）    是x的多项式。

（2）

（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次

则   是在上半平面的奇点。

三、   （）

条件：（1），且比至少高一阶，

（2），（3）

         

，

   

 重点关注第一和第三种类型

    

第七章       Fourier变换

一、傅立叶变换

二、函数的傅立叶变换

?.     

三、一些傅立叶变换及逆变换

?

?

四、性质：?

1、  相似性质

   ?

2、 ?   延迟性质

   ?    位移性质

3、微分性质

?     ?

?     ?

4、积分性质   

?

由Fourier变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier变换求解微积分方程。

四、卷积和卷积定理

  

?

?

＊五、三维Fourier变换及反演

   

 本章重点：利用定义计算Fourier变换

第八章    Laplace变换

一、拉普拉斯变换

?

二、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换

?             ?

?           ?

?     ?

?      ?

?            ?

四、拉普拉斯变换的性质

1、?

2、?

3、?

       ?

?

4、?

?

五、卷积：

?

六、Laplace 反演

七、Laplace逆变换

（1）部分分式法

（2）卷积定理

（3）Laplace反演公式（留数定理）

（4）利用Laplace变换的性质

八、利用Laplace变换求解微积分方程

（1）对方程取Laplace变换，得到象函数的代数方程

（2）解代数方程，得到像函数的表达式

（3）求像函数的拉普拉斯逆变换

                          

本章重点：利用定义和性质计算Laplace变换。

          计算Laplace逆变换。

          利用Laplace变换求解微积分方程。

 

第二篇：复变函数与积分变换公式与复习指导

复变函数复习

 一复数的概念

1.复数的概念：，是实数, ..

  注：两个复数不能比较大小.

2.复数的表示

1）模：；

2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于 中的幅角。

3）与之间的关系如下：

   当 ；

   当；

4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：，其中。

 (二) 复数的运算

1.加减法：若，则

2.乘除法：

1）若，则

；

   。

2）若, 则

；

 

3.乘幂与方根

1）    若，则。

2）    若，则

（有个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.

2．复初等函数

1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。

注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）   对数函数： （多值函数）；

主值：。（单值函数）

的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：；

注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。

4）三角函数： 

在平面内解析，且

注：有界性不再成立；（与实函数不同）

4）   双曲函数  ；

奇函数，是偶函数。在平面内解析，且。

（四）解析函数的概念

1．复变函数的导数

1）点可导：=；

2）区域可导： 在区域内点点可导。

2．解析函数的概念

1）点解析： 在及其的邻域内可导，称在点解析；

2）区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析；

3）若在点不解析，称为的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：在可导

和在可微，且在 处满足条件：

 此时， 有。

2．函数解析的充要条件：在区域内解析

和在在内可微，且满足条件：；

此时。

注： 若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义       （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件   （函数以形式给出，如第二章习题2）

3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1． 复变函数积分的概念：，是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2． 复变函数积分的性质

1）     （与的方向相反）；

2） 是常数；

3） 若曲线由与连接而成，则。

3．复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分：；（常用于理论证明）

2）参数方法：设曲线： ，其中对应曲线的起点，对应曲线的终点，则  。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则

2．复合闭路定理：  设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于内，则

①   其中与均取正向；

② ，其中由及所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理 ：  一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域内解析，为在内的一个原函数，则

   说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5。 柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单闭曲线，的内部完全属于，为内任意一点，则

6．高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为

     

其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于。

7．重要结论：

。 （是包含的任意正向简单闭曲线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若在区域内处处不解析，用一般积分法

2）设在区域内解析，

l  是内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，  

l  是内的一条非闭曲线，对应曲线的起点和终点，则有

3）设在区域内不解析

l  曲线内仅有一个奇点：（在内解析）

l  曲线内有多于一个奇点：（内只有一个奇点）

    或：（留数基本定理）

l  若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。

（八）解析函数与调和函数的关系

1．调和函数的概念：若二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足，

为内的调和函数。

2．解析函数与调和函数的关系

l  解析函数的实部与虚部都是调和函数，并称虚部为实部的共轭调和函数。

l  两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数；但是若如果满足柯西—

黎曼方程，则一定是解析函数。

3．已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法。

1）偏微分法：若已知实部，利用条件，得；

对两边积分，得        （*）

再对（*）式两边对求偏导，得 （**） 

由条件，，得，可求出  ；

代入（*）式，可求得     虚部   。 

2）线积分法：若已知实部，利用条件可得，

故虚部为；

由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中与 是解析区域中的两点。

3）不定积分法：若已知实部，根据解析函数的导数公式和条件得知，

        

将此式右端表示成的函数，由于仍为解析函数，故

                （为实常数）

注：若已知虚部也可用类似方法求出实部

（九）复数项级数

1．复数列的极限

1）复数列（）收敛于复数的充要条件为

     （同时成立）

2）复数列收敛实数列同时收敛。

2．复数项级数

1）复数项级数收敛的充要条件是级数与同时收敛；

2）级数收敛的必要条件是。

注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。

（十）幂级数的敛散性

1．幂级数的概念：表达式或为幂级数。

2．幂级数的敛散性

1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数在处收敛，那么对满足的一切，该级数绝对收敛；如果在处发散，那么对满足的一切，级数必发散。

2）幂级数的收敛域—圆域

幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。

3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。

l  比值法    如果，则收敛半径；

l  根值法    ，则收敛半径；

l  如果，则；说明在整个复平面上处处收敛；

如果，则；说明仅在或点收敛；

注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如）

3．幂级数的性质

1）代数性质：设的收敛半径分别为与，记，

则当时，有

   （线性运算）

  （乘积运算）

2）复合性质：设当时，，当时，解析且，

则当时，。

3） 分析运算性质：设幂级数的收敛半径为，则

l  其和函数是收敛圆内的解析函数；

l  在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且           

l  在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；         

（十一）幂函数的泰勒展开

1. 泰勒展开：设函数在圆域内解析，则在此圆域内可以展开成幂级数 ；并且此展开式是唯一的。

注：若在解析，则在的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径；

其中为从到的距最近一个奇点之间的距离。  

2．常用函数在的泰勒展开式

1）       

2）            

3）    

4）            

3．解析函数展开成泰勒级数的方法

1）直接法：直接求出，于是。

2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。

（十二）幂函数的洛朗展开

 1. 洛朗级数的概念：，含正幂项和负幂项。

 2．洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析，为圆环域内绕的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 ，且展开式唯一。

3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。

*4．利用洛朗级数求围线积分：设在内解析，为内的任何一条正向简单闭曲线，则 。其中为在内洛朗展开式中的系数。

说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中的系数。

（十三）孤立奇点的概念与分类

1。 孤立奇点的定义 ：在点不解析,但在的内解析。

2。孤立奇点的类型：

1）可去奇点：展开式中不含的负幂项；

2）极点：展开式中含有限项的负幂项；

其中在解析，

且；

3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；

 

（十四）孤立奇点的判别方法 

1．可去奇点：常数；

2．极点：

3．本性奇点：不存在且不为。

4．零点与极点的关系

1）零点的概念：不恒为零的解析函数，如果能表示成，

其中在解析，为正整数，称为的级零点；

2）零点级数判别的充要条件

是的级零点

3）零点与极点的关系：是的级零点是的级极点；

4）重要结论

若分别是与的级与级零点，则

l  是的级零点；

l  当时，是的级零点；

当时，是的级极点；

当时，是的可去奇点；

l  当时，是的级零点，

当时，是的级零点，其中

（十五）留数的概念

 1．留数的定义：设为的孤立奇点，在的去心邻域内解析，为该域内包含的任一正向简单闭曲线，则称积分为在的留数（或残留），记作

2．留数的计算方法

若是的孤立奇点，则，其中为在的去心邻域内洛朗展开式中的系数。

1）可去奇点处的留数：若是的可去奇点，则

2）级极点处的留数

法则I   若是的级极点，则

  

 特别地，若是的一级极点，则

    注：如果极点的实际级数比低，上述规则仍然有效。

法则II 设，在解析，

，则

（十六）留数基本定理

设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在内各孤立奇点处留数的局部问题。

积分变换复习提纲

一、傅里叶变换的概念

l 

l 

二、几个常用函数的傅里叶变换

l 

l 

l 

l 

三、傅里叶变换的性质

l  位移性（时域）：

l  位移性（频域）： 

l  位移性推论：

l  位移性推论：

l  微分性（时域）： （），

， 

l  微分性（频域）：   

l  相似性：  

四、拉普拉斯变换的概念

l 

五、几个常用函数的拉普拉斯变换

l  ；          

l  是自然数；（）

l  ；

l 

l 

l 

l  设，则。（是以为周期的周期函数）

六、拉普拉斯变换的性质

l  微分性（时域）：

l  微分性（频域）：，

l  积分性（时域）： 

l  积分性（频域）：（收敛）

l  位移性（时域）：

l  位移性（频域）：（,）

l  相似性：  

七、卷积及卷积定理

l 

l 

l 

l 

八、几个积分公式

l 

l 

l 

l