《复变函数与积分变换》复习要点：

(1) 复数的运算和复函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数）值的计算；

(2) 判别复函数的连续性、可导性和解析性（包括Cauchy－Riemann 方程）；

(3) 求复积分（包括利用Cauchy－Goursat 基本定理和留数定理）；

(4) 求共轭调和函数；

(5) 求复函数的 Taylor 级数和 Laurent 级数；

(6) 求留数及其在积分中的应用；

(7) Fourier 正逆变换公式以及七条常用性质（线性、位移、微分、积分、卷积、乘积、相似性质）；

(8) Laplace 正逆变换公式以及七条常用性质（线性、微分、积分、位移、延迟、卷积、相似性质）；

(9) 利用Laplace 变换求解线性微分方程（组）；

(10)  的Fourier 变换公式和Laplace 变换公式．

Fourier 变换公式：

；  ；  ；  ；   ；

；  ．

Laplace 变换公式：

；  ；  ；  ；  ； ；  ．

计算题．

例1．计算 ．

解：；

；

．

（大写L）                                       （大写Z）

例2．问函数  在何处连续？何处可导？何处解析？．

解：．　 在实平面处处连续，在复平面处处连续．

， 仅在直线 上可导； 但直线不含邻域，无处解析．

例3．计算 ， 其中曲线Ｃ为：  (a) 圆周  的正向；    (b) 圆周  的正向．

解：记 ．

(a) 在曲线Ｃ内部解析，根据Cauchy－Goursat 基本定理，．

(b) 有奇点：，三级极点．利用留数定理，

．

例4．．30(2), (3)．（共轭调和函数）

例5．．11(4)，12(3),  16(3),  (5)．

例6．．1(2),  (7),  8(3),  9(5)．

例7．《积分变换》．3(1),  16．

例8．．3,  5(3),  (6)．

5(3) 据例1，，  利用线性性质和象函数位移性质得：

 ．

5(6)   

．

例9．．1(2),  (3),  (8),  3(1)  (利用性质计算)．

例10．．3(3),  (7),   ．1(10)．

例11．．1(6),  4(2)．

20##/2008 学年第一学期 《复变函数与积分变换 B 》 课程考核试卷     A√、   B□

课程代码：    22000142           学分/学时数     2.5 / 40    任课教师_______            

课程性质： 必修□、限选□、任选□                     考试形式：   开卷□、    闭卷√

适用年级/专业_全校工科类各专业_                     考试时间      100            分钟

……………………………………………………………………………………………………………………

学号                      姓名               ____   _ _____得分_____________         __

注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分．

一．填空题 (每小题5分，共15分．可以增补一个中间式）：

1．计算函数值：= _______________________________________________________________；

= _______________________________________________________________________________．

2．函数  在  处的Taylor级数为­­ ___________________________________________；

其收敛半径为 ________________________________________________________________________．

3．若C是圆周  的正向，则  的值为 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­_________________________________．

二．（10分）试问函数  (其中) 在何处连续？何处可导？ 何处解析？ 为什么？

三．（12分）计算积分  I =，  其中曲线C为：

(a) 圆周 的正向；             (b) 圆周 的正向．

四．（8分）试将函数   在区域  内展开成Laurent 级数．

五．（10分）试指出   在有限复平面内的孤立奇点及其类型，并求各孤立奇点处的留数．

六．（16分）(1) 试求  的Fourier变换；

(2) 试求  的Fourier变换．

七．（16分）(1) 设函数 以 为周期，且．  试求 的Laplace变换 ( k为常数)；

 (2) 试求 　的Laplace变换 ( k为常数) ．

八．（13分）试用积分变换法求解初值问题：

  （其中 为未知函数）．

20##/2008 学年第一学期 《复变函数与积分变换 A 》 课程考核试卷     A√、   B□

课程代码：   22000141        学分/学时数     3 / 48    任课教师_______      _          

课程性质： 必修□、限选□、任选□                     考试形式：   开卷□、    闭卷 √

适用年级/专业_全校工科类各专业_                     考试时间    _ 100            分钟

…………………………………………………………………………………………………………………

学号                      姓名               ____   _ _____得分_____________        __

注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，否则适当扣分．

一．填空题 (每小题6分，共18分．可以增补一个中间式）：

1．复数= _______________________________，其主值为 ______________________________．

2． 在＝0 处的Taylor级数为­­ _____________________________________________；

  收敛半径为 ___________________________________________________________________________．

3．计算积分 的值 _____________________________________________________________．

二．（10分）试求解析函数 ，　其中 ，，．

三．（13分）计算积分 I= ，  其中曲线C为：

(a) 圆周 的正向；           (b) 圆周 的正向．

四．（9分）试将函数   在区域  内展开成Laurent 级数．

五．（5分）计算广义积分  I＝．

六．（16分）(1) 求  的Fourier变换；

(2) 求  的Fourier变换．

七．（16分）(1) 试求 　的Laplace变换；

 (2) 按照积分变换第二章，计算卷积 ．

八．（13分）试用积分变换法求解初值问题：　（其中 为未知函数）．

寄语当代大学生“刻苦学习，勇于实践，立志创业”。

 

第二篇：复变函数与积分变换答案

浙江科技学院

20##-20##年第 1 学期考试试卷 A 卷     

考试科目  复变函数与积分变换  考试方式  闭完成时限  2小时

拟题人       审核人        批准人           2010年1月   日

              学院           年级                   专业

标准答案及评分标准

一.填空题（每小题3分，共15分）

1.；

2. ；

3.= ；

4. ；

5.设为复函数的可去奇点，则在该点处的留数为0 .

二.选择题（每小题3分，共15分）

A；C；A；D：B.

三.解答题(11小题8分，12-14小题各9分，共35分)

11.当分别等于多少时,函数在复平面上处处解析? 

解：             1分

  

                           （8分）

12. 利用拉普拉斯变换求微分方程   

        满足边界条件 的解。

解：利用微分性质，设方程的解且设  (1分)

对方程的两边取拉普拉斯变换，并考虑到边界条件，则得

                    （4分）

整理得：                         （6分）

两边取拉氏逆变换得                   （9分）

微分方程经过拉氏变换后，就变成高次的方程，几阶微分就变换成几次的幂。例如把一个二阶微分方程变换成一个二次方程，解起来就简单多了~

13. 将函数 在圆环域： 内展开为洛朗级数。.

解：在内，由于，从而，   (3分)

则有

   （7分）

                                （9分）

                                        

14. 因为3+5i=           （1分）

于是

  （5分）

而                （7分）

所以收敛，故原级数绝对收敛。                  （9分）

四.计算（共30分）

15. 求及的所有值。

解（1）=                                     （4分）

（2）    

         （7分）

16. 学习复变函数与积分变换同学做（1）小题，学习复变函数与场论同学做（2）小题：

（1）求积分 

（2）求矢量场的散度与旋度。

解：（1）

（2）   （3分）

  

17. 求积分 ，其中C为正向圆周：.

解   为一个奇点，函数在上解析    (2分)

则      (7分)

18. 计算积分的值。

解：  函数满足定理条件，因此积分是存在的。由于在上半平面内只有一级极点和，     （2分）

而

    （5分）

同理                                      （7分）

所以

     （9分）

   

五.证明（5分）（学习复变函数与积分变换同学做（1）小题，学习复变函数与场论同学做（2）小题）

19.  （1）证明为整数。

（2） 

 其中, .

 证(1) 利用导数的像函数性质

设，则

      （2分）

                      （3分）

即            （5分）

 (2)