安庆师范学院数学与计算科学与2013届毕业论文

群的扩张与群的上同调的研究

作者：秦涛 指导老师：孙广人

摘要: 确定哪些G 是给定群H通过群N 扩张是群扩张问题,从19世纪来就被广泛研究.上同调

是使用一系列函子 Hn研究这个问题的重要方法。本文综述群的中心扩张与循环扩张的概念以及

上同调群的定义，最后列出上同调在群扩张问题上的基本应用。

关键词:上同调群 群扩张 群上同调

1 引言

在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一，它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科，如拓扑群、李群、代数群、算术群等。

群的扩张是群论中的一个重要问题，其自诞生之后就进行着不断的发展和演变，近代研究者们讨论了由群扩张构成的群系 ,给出它为饱和群系的几种情况及局部定义组。在本文中，将主要就群扩张的基本类型进行综述，介绍相关的概念和性质。

群的上同调是一套研究群及其表示的代数工具，其源于代数拓扑，并在代数数论上也有重要的作用，它是现代类域论的基本构件之一。本文在群扩张的基础上，给出上同调群的相关定义，最后通过一些定理和实例详述上同调在群扩张问题上的基本应用。

2 群的扩张

2.1 正规子群和商群的合成

一般的说，包含已知群U的任何群G都叫做U的扩张.本文将只讨论U是G的正规子群的情形.

施赖尔最先考虑构造所有这样的群G的问题，G具有已知的正规子群N和已知的商群H?GN.至少总存在一个这样的群，因为N和H的直积就具有这个性质.

我们先假定给了这样的群G，设商群H?GN.的元素记做1,u,v,???,w.H的每个元素x对应于N在G内的一个傍系.设对应于x的傍系在G内的代表是，而且约定用G的单位元素1作为N的代表.于是

G?N???????, (2.1.1)

而且同态G?H使得

?u,?G,u?H. (2.1.2)

于是对于所有a?N，映射 au?1au?au (2.1.3)

是N的自同构，因为N是正规子群.又因为在从G到H上的同态下，?u,?v,所以 第 1 页 共 1 页

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???u,v?， (2.1.4)

这里?u,v??N.由（2.1.4）给定的所有元素?u,v?的集合我们叫做因子组，于是在G的构造中出现下列四个已知条件：

1? 正规子群N.

2? 商群H.

3? N的自同构:aau,a?N,u?H.

4? 由?u,v??N组成的因子组，这里u,v?H.

必须强调的是，一般地说，由（2.1.3）和（2.1.4）定出的自同构和因子组依赖于与u对应的傍系的代表的选取.

定理2.1.1 给了具有正规子群N和商群H?GN的群G.如果选取傍系代表，这里?u?H,而且取?1，则就决定满足下列条件的自同构和因子组：

?au???u,v?v?1?a??u,v?, a,?u,v??N;u,v?H; uv

w?uv,w??u,v???u,vw??v,w?; ?1,1??1.

反之，如果对于每个u?H，给定N的自同构aau，而且对于这些自同构和因子组???u,v??N???u,v?H?，上述条件成立，则元素?u?H,a?N?连同乘法规则

???u,v?avb

决定具有正规子群N和商群H?GN的群G.

如果略去?1,1??1的要求，则取?1,1?作为G的单位元素时定理仍然成立.

由N,H,auau和因子组?u,v?决定的唯一扩张G将记做E??N,H,a,?u,v???. ?1如果更换N在G的傍系代表，取

??u?,u?H,??u??N, (2.1.5) 而且规定??1,即??1??1，则自同构就更换成

aau?u?1???u?au??u?, (2.1.6)

11?1而因子组?u,v?更换成因子组?u,v?，使得

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???u??v???u,v???u???v? ??u,v???u,v??u,v?. (2.1.7)

1uu??是等价?定义2.1.1.两个扩张E1?E?和E?EN,H,a,u,vN,H,a,u,v????2????1v11

的，加入在自同构和因子组之间有关系

au???u?au??u?,

1?1v?u,v????uv??u,v???u???v?, 1?1

这里??u?是元素u的在N内取值的函数，而且??1??1.

我们记做

uE?N,H,a,?u,v????1E?N,H,au,?u,v??.?? 1

E2与E1的等价性取决于更换同一个群G内子群N的傍系代表，因而它显然是对称的、自反的和传递的真等价关系.

如果N在G内的傍系代表能取成使

?, (2.1.8)

即?u,v??1，则傍系代表组成同构于H的群，可以把它与H等同起来.如果这种情形出现，则我们说G是N的可裂扩张，或说G是N和H的半直积.

u定理2.1.2. G?E??N,H,a,?u,v???是N的可裂扩张，必要而且只要存在函数1

??u??N,u?H,使得对于所有u,v?H，都有

v?u,v???u???v????uv?.

u证明. 如果所取的傍系代表使G?E?N,H,a,?u,v????成为N的可裂扩张，则

?u,v?1?1，而且当取??u?时，就有

v?u,v???u???v????uv? (2.1.9)

ua??ua??u?决定对应??反之，如果函数??u?存在，使得（2.1.9）成立，利用条件

1uuv??G于??u?的自同构a.于是E?N,H,a,?u,?存在，而且等价于对所有??1u1?11

u,v?H都有?u,v??1的扩张，因而G是N的可裂扩张. 1

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2.2 中心扩张

假定在群A借助于群H的扩张中，所有因子?u,v?都属于A的中心B.那么我们说

u因而E?A,H,a,?u,v????是A借助于群H的中心扩张.例如A如果是阿贝尔群，则B?A，

A的所有扩张都是中心扩张.

对于中心扩张，a????u,v??a??u,v?简化成 uv?1uv

?au??auv， (2.2.1) v

这说明A的自同构aau组成一个群，它是H的同态像.设?表示从H到A的自同构群的同态.再有，如果傍系代表由属于B的因子??u?来更换，则自同构不变.因此，对于H??扩张，自同构是固定的而且组成一个群，它是H的同态像.对于中心扩张，这就取消了条件a????u,v??a??u,v?，而只需要考虑?uv,w??u,v???u,vw??v,w?. uv?1uvw

1?1v?u,v????uv??u,v???u???v?， (2.2.2) 这时对于等价的扩张有

这里??u??B.

如果因子组?u,v?1和?u,v?2都满足?uv,w??u,v???u,vw??v,w?，而且组成决定A的w

H??扩张的因子组.在因子组乘积的这个定义下，存在着单位元素，即所有?u,v??1的因子组，还存在逆，即把?u,v?换成?u,v?的因子组.再有，对于等价的因子组，如果

?????u,v

?1?u,v?1和?u,v

?2?u,v?2，则?u,v?1?u,v?2?u,v?1??u,v?2.因此全体H??因?1

子组是一个阿贝尔群，即使把等价的因子组等同起来也是如此.把等价的因子组等同起来而得到的群叫做扩张群.

设H是有限的，我们定义

f?v????u,v?. (2.2.3)

u

?uv,w??u,v?w??u,vw??v,w?对于所有的u?H乘起来，我们得出

f?w?f?v??f?vw??v,w?, (2.2.4) wn

这里n是H的阶.与（2.2.2）比较，

?v,w?

n1. (2.2.5) 第 4 页 共 4 页

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又如果m是B的所有元素的阶的倍数，则因为?u,v??B，所以

?v,w?m?1. (2.2.6)

因此得到如下定理:

定理 2.2.1. 扩张群的任意元素的阶整除H的阶和B的元素的阶的最小公倍数.

推论2.2.1. 如果m和n是互素的，则A的所有H??扩张都等价于A和H的半直积.

定理2.2.2. 设mn阶有限群G包含m阶正规子群K而且具有n阶的商群H?GK，这里m和n是互素的.那么G是K的可裂扩张.

证明. 只要证明G具有n阶的子群.我们对m施行归纳法，当m?1时定理是显然成立的.设m?1而且p是整除m的素数.G中对应于p的所有西罗子群Sp是K的子群，因为K至少包含一个西罗子群Sp，而且是K正规的，因而Sp的共轭者也属于K.因此G内的西罗p子群Sp的个数与K内的个数相同.再由G?C1?C2????Cs（Ci表示不想交的共轭类，而且G的每一个元素恰好是一个共轭类的元素），?G:NGSp???K:NKSp?，因????????而?NGSp:NKSp???G:K??n，NGSp和NKSp分别是Sp在G和K内的正规??

化子.这时当然有NKSp?NGSp????????????K，且NK?Sp?是NG?Sp?的正规子群.如果NG?Sp?是G的真子群，则根据归纳假设，它包含n阶的子群.

因此可以假定G?NGSp，于是K?NKSp.如果Sp是K的真子群，则根据归纳假设，G包含阶为??G:Sp??而且同构于GSp的子群，因而包含同构于GK的n阶子群，这就证明了定理.

因此问题归结为K?Sp的情形.这时如果Sp是阿贝尔群，则G是Sp的中心扩张，因而根据定理3的推论，G是Sp的可裂扩张，证明了定理.如果Sp不是阿贝尔群，则Sp的中心Z是Sp的真子群，而且是Sp的特征子群，它必定是G的正规子群.因此，根据归纳假设，????GZ包含n阶子群UZ.于是Z在G的对应子群U内是正规的而且有指数n，因而根据归纳假设，U包含n阶子群，这就对最后这种情形证明了定理.

2.3 循环扩张

假设H是由元素x生成的m阶的有限循环群；H的元素是

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1,x,x2，???，xm?1. (2.3.1) 设GN?H，取作为映成x的N的傍系代表，还可以取,???,2m?1作为分别映成x2,???,xm?1的N的傍系代表，因而

G?N??????m?1. (2.3.2)

这时

m??， (2.3.3)

这里?是N的元素.

于是对于N的自同构aax，必定有

ax???1a?,??N. (2.3.4)

其次从恒等式 m

?1m?m. (2.3.5)

得出

?x??. (2.3.6)

我们来证明，（2.3.4）和（2.3.6）完全决定了N借助于H的扩张.

定理 2.3.1. 设H是m阶的有限循环群.那么群N借助于H的扩张G存在，必要而且只要存在N的自同构aax和元素?，使得（2.1.1）这自同构的m次方次幂是由?作变形而得出的N的内自同构，而且（2.1.2）?在这自同构下不变.

证明. 我们已经知道，如果扩张存在，则自同构aax和元素?满足（2.3.4）和（2.3.6）.反之，我们来证明（2.3.4）和（2.3.6）足以决定一个扩张.H的元素是1,x,???,xm?1，或xi,0?i?m?1.我们按下列方式定义自同构和因子组：

a?a,a?a

ijxoxi??,i?1,???,m?2, (2.3.7) xi?1x?x,x??1, 如果i?j?m?1, (2.3.8)

?x,x???, 如果m?i?j. (2.3.9) ij

利用这些定义我们容易验证a??uv??u,v??1?auv??u,v?和?uv,w??u,v???u,vw??v,w?w

满足，因而根据定理2.1.1，决定了一个扩张.

如果H是无限阶的循环群，我们可以令?i,j??1对于所有i和j都成立，而且我们发现自同构a ax不必加以限制.这说明xi?x?i对于所有i都成立. 第 6 页 共 6 页

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3 群的上同调

3.1 二重模

设Q是任意乘法群而且A是二重Q模，即是满足下列条件的加法阿贝尔群:

1? A以Q作为左右两边算子的群，使得对于给定的a?A和??Q，?a和a?是A的唯一决定的元素.

2? 分配性

??a1?a2???a1??a2，

?a1?a2???a1??a2?，

因而

??a????a?， ?a????a??， ?0?0??0.

3? 1a?a1?a,这里1是Q的单位元素.

4? 结合性

???a??????a, ??a?????a??, ?a????a????.

这些定律对于所有a1,a2,a?A和所有?,??Q都成立.

实质上，二重Q模就是这样的加法阿贝尔群，它以Q?Q的元素??,??作为可分配的算子.

在应用中常常出现Q在一边（例如左边，是恒同地作用的，这是说对于所有??Q和a?A都有?a?a）.这种情形下，我们简单的略去左边算子，而且把它说成单边的模.

举例说，设A是群G的正规的阿贝尔子群而且记作Q?GA.如果??Au?，则u?au?1

?

??1只取决于a和?，而不依赖于u?在傍系中的选取.因而可以记u?au??a而不致引起误会.

这就是单边模的例子，只不过A是用乘法表出的.在展开上同调的一般定理时，用加法记号表出A是比较方便的做法.

3.2 上链，上边缘和上同调群

给了二重Q模A，我们定义C?Cnn这n?A,Q?为n个变量的所有函数组成的加法群，个变量独立地在Q内取值，函数数值在A内取，而且满足条件：如果至少有一个?i?1，则 第 7 页 共 7 页

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f??1,???,?n??0. (3.2.1)

Cn的元素叫做n维上链.根据定义C0?A，而零维上链根本就是A的任意元素.

上边缘算子?是指从Cn到Cn?1的下列映射：

??f???0,?1,???,?n???0f??1,???,?n?

????1?f??,?,???,?01

t?1

n?1ntt?2,?t?1,?t,?t?1,???,?n? ???1?

nf??0,?1,???,?n?1??n. (2.3.2) n?1这里f?C，而且容易验证?f?C.映射f??f对于加法说是同态.在群论中特别有

用的是n?0,1,2的情形.这时上边缘公式是

??f??????f?f???a?a?,

因为f?a?A ,

??f???,????f????f?????f????， (2.3.3)

??f???,?,????f??,???f???,???f??,????f??,???.

定理 3.2.1. 如果f是任意上链，则?f?0.

证明. 取n使f?C

2

12nn?22.那么?f?Cn?1.因此，当我们根据定义用?f的值来表示??f???,?,???,??时，我们得到正负交替的n?1项：

u0?u1?u2???????1?un

这里每个ui在用f的值表出时是正负交替的n项，我们可以写成： n

ui?ui,o?ui,1???????1?ui,i?1

???1?ui,i?1???????1?

因此 ii?j?1i?1ui,i?j????.

i?j?2f??1,???,?n?????1?

i?ji?j?1uij????1?i?juij，

这里i和j取1到n的值.然后容易验证，对于所有i和j都有uij?uji.因此上述等式的右边 第 8 页 共 8 页

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等于零.

n如果f?C有条件?f?0，则f叫做n维上圈，这些上圈组成由?导出的从Cn到

Cn?1的同态的核Zn?Zn?A,Q?.

如果f?C而且存在元素g?C

成Cn?1nn?1使得?g?f，则f叫做n维上边缘.这些上边缘组0在?映射下的像.Bn?Bn?A,Q?.我们定义B?0.

根据定理3.2.1，每个上边缘都是上圈，因而对于所有n,B?Z.商群Z

重Q模A的n维上同调群.我们把它记做 nnnBn叫做二

Hn?A,Q??ZnBn.

在上链f??1,???,?n?的定义中，我们用（3.2.1）限定在有一个或更多的元是单位元素时上链取零值.在很多情形里这种限制是能满足的，例如在应用到前面提到过的因子组时就是如此.我们把这种上链叫做正规化的.当（3.2.1）这个限制被略去时，我们说成未正规化的上链.定理3.2.1当然对这两种情形都成立，因为在证明时并未用到定理6.它们的区别是为了某种便利，因为我们可以证明，关于未正规化的上链的各维上同调群都同构于正规化的上链的对应的上同调群.

定理 3.2.2. 关于未正规化的上链的n维上同调群Hn?A,Q?同构于关于正规化的对应的上同调群.

证明. 我们把n维正规化的上链、上边缘和上圈分别记做Cn，Bn和Zn，而且在未正规化的情形使用记号C'n，B'n和Z'n.

对于n?0和n?1，容易验证B?B?0,Z?Z?0和B?B,Z?Z，因而0'00'n1'11'1

H0?A,Q?和H1?A,Q?在这两种情形里都相等.这时主要的验算是：如果f????Z'1，则

因而在取????1时有f?1??0，因而f???是正规化的，?f????f?????f?????0，

'11即Z?Z.

现在假定n?1.显然有B?B和Z?Z.因此关于Cn的上同调类，即Bn在Cn内的傍系，对应于关于C'n的唯一地同调类，即B'n的包含它的傍系.这个对应当然是从n'nn'nHn?A,Q?到H'n?A,Q?的同态.当两个上链的差是上边缘时，我们说这两个上链是上同调的.因而两个上圈上同调，必要而且只要它们属于同一个上同调类.

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引理3.2.1. 每个未正规化的上圈总上同调于一个正规化的上圈.

引理3.2.2. 如果某个上链的上边缘是正规化的，则它是正规化的上链和上边缘. 引理3.3.3. 如果?f是正规化的，则fi是i正规化的.

4 上同调对扩张理论的应用

设A是群G的正规阿贝尔子群而且??GA是商群.如果傍系Au???是?的元素,

?1则对于a?A,uau??只取决于a和?而不依赖于u?在傍系中的选取.因此可以记

u??1au??a?而不会有误会，在这种记号下，?是作用于A的右侧的算子群，而且我们认为?在左侧是恒同地作用的.设A是具有固定算子群?的加法群，而且对于因子组使用记号f?u,v???u,v?，那么?uv,w??u,v???u,vw??v,w?变成 w

f?uv,w??f?u,v?w?f?u,vw??f?v,w?. (4.1)

移项后我们得出

f?v,w??f?uv,w??f?u,vw??f?u,v?w?0， (4.2)

因而因子组是二维上圈.根据（11）.两个因子组f?u,v?和f1?u,v?等价的条件是

f1?u,v??f?u,v??f?v??f?uv??f?u?v， (4.3)

即f1和f相差上边缘f?v??f?uv??f?u?v.这里我们说过?在左侧是恒同地作用的.因此扩张群是二维上同调群H2?A,??.我们得出以下定理：

2定理 4.1. 阿贝尔群A借助于群?的扩张群是二维上同调群H?A,??，这里：

1? ?在左侧是恒同地作用的.

2? ?在右侧的作用导出A的自同构.

3? 因子组f?u,v?是Z2的上圈.

4? 等价的因子组相差B2的上边缘.

在把G写成A的傍系的和时取单位元素作为A的代表就导出正规化性质f?1,1??0.在（4.1）中令u?v?1，我们得出

f?1,w??f?1,1?w?f?1,w??f?1,w?， (4.4)

因此

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f?1,w??0. (4.5)

同理，令v?w?1，我们得出

f?1,1??f?u,1??f?u,1??f?u,1??0， (4.6)

因而还有

f?u,1??0， (4.7)

这说明我们处理的是正规化的上圈.

定理4.2. 如果f?C，则???f?????f??mf. n

推论4.2.1 如果f?Z，则mf?B.

n事实上，f?Z是说?f?0，因而mf是?f的上边缘.我们的结论是：如果?的阶nn

是m，则上同调群H?ZnnBn的每个元素的阶都整除m.定理3是这个结果当n?2时的特殊情形.

关于因子组有伽许兹的进一步的结果，其实关于一个群?和它的子群B的上同调的.这时假定B在?内的指数是有限数m.

??B?1?Bs2?????Bsm,s1?1. (4.8)

这时如果a1,a2,???,an是?的元素，则我们记sia1?si1，这里加杠表示元素所属的傍系的代表.同理记 si1a2?si2,???,si,n?1an?sin. (4.9)

我们用下列公式定义f?a1,a2,???,an??C的转移Tf?a1,a2,???,an?: n??

Tf?a1,a2,???,an?

?

?1???sf?sas?1ii?1m?1i1i1?1（4.10） ,si1a2si?21,???,si,n?1ansin?sin. 注意总有si,j?1ajsij?B，因而对于f?Cn?A,??，Tf属于子群?Cn?A,B??.

n定理4.3（伽许兹定理）. 如果f?a1,a2,???,an??Z而且B是在?内有指数m的子群，

则

Tf?a1,a2,???,an??mf?a1,a2,???,an?modBn.

伽许兹定理的群论形式如下：

定理4.4（伽许兹定理）. 设F????u,v???,u,v?H,?u,v??A，是阿贝尔群A借助于 第 11 页 共 11 页

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有限群H的H??扩张的因子组.设B是H的指数为m的子群，而且

H?B?1?Bs2?????Bsm,s1?1.

那么

siuv

?1?u,v?m??susumiii?1?1,siuvsiuv?1?. 其中的元siusiu和siuvsiuv?1当然是B的元素.

推论4.2.2. 如果当x,y?B时有

?x,y??1， 则?u,v?m1.

这个定理有很多推论，而其中最有用的是连系的A的H??扩张的，这里S?p?是H的

ee西罗p子群.设H的阶是n?pm，而S?p?的阶是p.设E?E?H?是A的H??扩张

的群，就像在本文之前所定义的那样.E的每个元素是等价的因子组Fi????u,v?i??的类.根据定理2.2.1，E的每个元素的阶整除n.因而E是周期阿贝尔群而且是它的西罗子群E?p?的直积.

定理4.5. 设E?E?H?是A的H??扩张的群.那么E的西罗p子群E?p?同构于

?x,y?,x,y?S?p?，而群Ep，Ep是把A的H??扩张的因子组F????u,v???限制成取元

决定的S?p???扩张的群，这里S?p?是的西罗p子群.

证明. 对于A的H??扩张的因子组F????u,v???，我们定义p等价

?u,v?p?u,v?1，

假如在限定元x,y?S?p?而导出S?p???扩张时有

?x,y??x,y?1.

这确实是等价关系.其次，设E1是E的由这种因子组F????u,v???组成的子群，对于它在限定x,y?S?p?时，有?x,y?1.于是E的元素对应于p等价的因子组，必要而且只要它们属于E1的同一个傍系.因此EE1同构于群Ep，Ep是限定因子组F????u,v???的元x,y?S?p?而得到的S?p???扩张的群.根据伽许兹定理的推论，取S?p?作为子群B， 第 12 页 共 12 页

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E1的每个元素的阶都整除S?p?的指数m，又根据前文，Ep的每个元素都整除pe.因为?p,m??1，所以Ee

p和E的西罗p子群E?p?都同构于EE1，因而它们彼此同构，这就

证明了定理.

定理4.6. A的H??扩张在A上可裂，必要而且只要对于整除H的阶n的每个素数p，限定于H西罗p子群S?p?的扩张可裂.

证明. 从A借助于H的扩张可裂显然得出A借助于每个S?p?的扩张可裂.我们来证明逆命题.设F????u,v???是由H??扩张决定的因子组.根据假设，?u,v?

当x,y?S?p?时有?x,y??1.根据推论有?u,v?m?u,v?1，这里?u,v?ne这里n?pm.这对于整除1，

n的每个p都成立.使?u,v?m1的不同m的最大公约数是1，因而?u,v?1，所以A借助于H的扩张可裂.定理得以证明.

结束语

本文在群扩张的问题上给出了中心扩循环扩张两种基本的类型的概念和性质并综述了上同调群的定义，最后介绍了上同调对扩张理论的应用。扩张属于群论中一个很重要的小领域，我们知道群论在很多领域中都有着重要的作用，随着社会和科技的快速发展,人们对群的的研究越来越深入,在理论研究方面，学者们已经取得了一定的研究成果，但这只算是起步，这个领域还需要我们花费更多的精力去求知。

参考文献

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Group extensions and Group Cohomology

Author：Qin Tao Supervisor: Sun Guangren

Abstract The question of what groups G are extensions of H by N is called the extension problem, and has been studied heavily since the late nineteenth century. Group cohomology is an important way 第 13 页 共 13 页

安庆师范学院数学与计算科学与2013届毕业论文

to study this problem using a sequence of functors Hn. This paper sums up concepts of central extension and cyclic extension and definitions of cohomology groups, and gives some applications of group cohomology.

Key words cohomology groups group extensions group cohomology