容易忽略的答案

大千世界，无奇不有，在我们数学王国里也有许多有趣的事情。

比如，在我现在的第九册的练习册中，有一题思考题是这样说的：“一辆客车从东城开向西城，每小时行45千米，行了2.5小时后停下，这时刚好离东西两城的中点18千米，东西两城相距多少千米？王星与小英在解上面这道题时，计算的方法与结果都不一样。王星算出的千米数比小英算出的千米数少，但是许老师却说两人的结果都对。这是为什么呢？你想出来了没有？你也列式算一下他们两人的计算结果。”其实，这道题我们可以很快速地做出一种方法，就是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米），但仔细推敲看一下，就觉得不对劲。其实，在这里我们忽略了一个非常重要的条件，就是“这时刚好离东西城的中点18千米”这个条件中所说的“离”字，没说是还没到中点，还是超过了中点。如果是没到中点离中点18千米的话，列式就是前面的那一种，如果是超过中点18千米的话，列式应该就是45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。所以正确答案应该是：45×2.5＝112.5（千米），112.5+18＝130.5（千米），130.5×2＝261（千米）和45×2.5＝112.5（千米），112.5-18＝94.5（千米），94.5×2＝189（千米）。两个答案，也就是说王星的答案加上小英的答案才是全面的。

在日常学习中，往往有许多数学题目的答案是多个的，容易在练习或考试中被忽略，这就需要我们认真审题，唤醒生活经验，仔细推敲，全面正确理解题意。否则就容易忽略了另外的答案，犯以偏概全的错误。

数学小论文

“你碰到问题就不会自己想一想再问吗？！”妈妈火冒三丈。哎呀，谁叫我这个头脑不是数学头脑呢？做难一点的题目就开始问这问那，唉，还是自己想想吧！

我呆呆地望着这道数学题：同学们去植树，如果每人栽8棵，则少7棵树；如果每人栽7棵，则多出8棵树，问有多少个学生？他们一共要植树多少棵？讨厌，又是盈亏问题，这奥赛快乐训练就不能出些别的题吗？但是气归气，到头来

不还是要做吗？这道题有两种方案，每人栽8棵和每人栽7棵，这样每人少栽1棵，原来的少7棵就变成多8棵两种分配总差额是：7+8=15（棵），诶，这样接下来的步骤不就和前面的例题一样了吗？先根据方案找出个体差，再根据结果找出总差，然后求出总差中包含个体差的个数，最后根据数学公式：总差额÷个体差=个数来求出结果。这道题也可以运用这个公式啊。得到： 学生：（7+8）÷（8-7）=15（个） 树：8×15-7=113（棵）或者15×7+8=113（棵） 答案不就出来了吗？有15个学生，一共要植树113棵。

这认真想，还就有了思路和兴趣了，我便“唰唰唰”地往下做：鼓号队同学排队，如果每行站8人，则多24人；如果每行站9人，则多4人，问一共站多少行？有多少个学生？同样的思路，求出两种分配的总差额为24-4=20（人），再运用公式得到：

行数：（24-4）÷（9-8）=20（行）

学生：20×8+24=184或者20×9+4=184（人）

我越做越高兴，自己能解出这么多难题，并得到一个重要的公式：总差额÷个体差=个数，以后可以更好的运用来解难题。

做着做着，我渐渐悟到：其实做难题并不难。

荷叶与数学

暑假的一天，外公带我到拙政园看荷花，我们乘车来到拙政园。“外公，你看这荷花多漂亮呀！”我笑眯眯的说。“没错，我出道数学题给你做，如果你做得出来，外公就给你买个冰淇淋，你说怎么样？”“没问题！”我拍着胸脯自信的说。“可我做出来，外公你不可以不兑现。”我及时的补充了一点。“一个荷塘，每天里面长得荷叶都是前一天的一倍，15天刚好长满，请问荷叶长到一半需要多少天？”外公狡猾的笑了笑。15天刚好长满，荷叶长到一半需要多少天？而条件是每天长出的荷叶都是前一天的一半。是7.5天吗，这是一个陷阱，应该是14天，这回对了。我心里默默的想着，外公，待会儿你就得兑现承诺了，嘻嘻。这时，外公说：“答案是多少天？”“14天。”我十分果断的回答。“你是怎样想到的？”“14天长满了一半，15天长得荷叶比14

天多一半，正好长满。”我验证了自己的答案。“那荷塘里的荷叶长到四分之一时，用了多少天？”外公不甘心认输。“13天。”我脱口而出。外公认输了，他带我来到一个小亭子，并给我买了一个冰淇淋。炎热的夏天吃一根自己用数学的思路换来的冰淇淋，凉丝丝的、甜滋滋的。

原来只要你善于发现、留心观察，生活里到处洋溢着数学的精彩！

数学无处不在

“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日月之繁,无处不用到数学。”我国著名数学家华罗庚曾这样说过。是啊，特别是二十一世纪的今天,数学的应用更是无处不在。

事例一：打折背后的奥秘

某日，我和奶奶到辉业超市购物，超市的海报上写着：购物满200元的返还100元代金券。打5折呀！真是太便宜了。

我给自己选了一套208元的运动装，获得了100元的代金券。代金券得在今天用完，于是奶奶又买了一个288元的榨汁机，我算了算，只要再拿出188元就可以买下这个榨汁机。

购物完毕，我和奶奶兴冲冲地回到家。跟爸爸说得了个大便宜。爸爸听后。凝神思索了一会儿，问我：“是打五折吗？你算算。”

这哪还用算啊？明明就是五折啊，我极不情愿地拿起笔算了算，真是不算不知道，一算吓一跳。这次一共花了396元（208+188），花这些钱买到了496元（208+288）的商品，相当与打了八折（396÷496≈79%）

苦苦思索了半天，终于明白了。商家规定只有满200元才能返券，所以买榨汁机时，188元的部分就不能享受到优惠了。因此，我们享受到的优惠程度和商家所说的相比也是打了折扣。

“买家不如卖家精。”这话一点也不假。商家心里早已打好了如意算盘，打折背后暗藏着数学问题，以后我一定要注意了。

我每次做数奥都是拿起一道题拉起来就做，因为我觉得这样做起来很快。可是今天做数奥时，有一道题改变了我的看法，做得快不一定是做得对，主要还是要做对。

今天，我做了一道题目把我难住了，我苦思冥想了好几个小时都没有想出来，于是我只好乖乖地去看基础提炼，让它来帮我分析。这道题目是这样的：求3333333333的平方中有多少个奇数数字？分析是这样的：3333333333的平方就是3333333333×3333333333，这道乘法算式由于数字太多使计算复杂，我们可以运用转化的方法化繁为简，也就是把一个因数扩大3倍，另一个因数缩小3倍，积不变。使题目转化为求9999999999×1111111111=（10000000000-1）×1111111111=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889因此，乘积中有十个奇数数字。这道题，我们还可以位数少的两个数相乘算起，就能发现积中奇数的数字个数。即3×3=9→积中有1个奇数数字。33×33=1089→积中有2个奇数数字。333×333=110889→积中有3个奇数数字。3333×3333=11108889→积中有4个奇数数字。??

从上面试算中，容易发现积是由1，0，8，9四个数字组成的，1和8的个数相同，比一个因数中的3的个数少1，0和9各一个，分别在1和8的后面。积中奇数的数字个数与一个因数中3的个数相同，可以推导出原题的积是：11111111108888888889，积中有10个奇数数字。

做了这道题，我知道做数奥不能求快，要求懂它的方法。

小马虎旅行记（2）

原想帮山羊伯伯，现在却帮了倒忙，小马虎心里感到非常内疚，他带着小数点悄悄地离开了。茂密的森林让他们迷了路，一路上他们又饿又累，好不容易才转出来。又看见了城市，又看见了商店，他们赶紧进去找吃的。小马虎一看平时最爱吃的比萨饼才9.00元一只，禁不住点了两份，狼吞虎咽吃起来。算帐时，店主却要小马虎付180元，原来，小马虎一时粗心大意，把90.00元一份的比萨饼看成了9.00元一份的。掏空了所有的口袋，小马虎他们总算没被店主扣住。可是

他们身上再没一个子了，只好步行回家了。

正在这时，他们遇到了一群少先队员去参观科学城，小马虎也跟了上去。在入口处，小马虎却被检票员叔叔拦了下来：“小马虎，你还未取得参观科学城的资格。你看，你做的数学作业，地球和月球之间的平均距离应为384401.00千米，你却把它写成了3844010.00千米，整整扩大了十倍，根据你的数据进行测算，科学飞船即使上了天，也会出现机毁人亡的惨剧。”“啊？！”小马虎不禁吓出一身冷汗。原来事情有这样严重。再想起这一路上的遭遇，他赶紧带上小数点飞奔回家，拉着小数点的手说：“小数点，你该呆哪儿就呆哪儿吧，我再也不马虎了，这可不是闹着玩的。”

从此，学校又多了一位做事认真的好孩子。

数学小论文

数学离不开生活，生活也离不开数学，说到底，数学就是为了能在实际生活中的应用。

从上学第一天认识数字到今天的分数运算，我已学过许多数学基本知识有的在生活中运用的得心应手。如：到超市买东西，知道单价后，我能运用心算将所购物品价钱算个八九不离十，不用看机器，看到一幢新建的高楼，我知道一层楼的高度大约是3米，这幢楼的层数乘3 ，高度就出来了，许许多多事例在生活的细微之处，让我体会到平凡生活的多彩与丰富。

在学到“克”与“千克”时。老师在课堂上教过以后，学会了，但感性知识还不够。既然数学离不开生活，那就参加社会实践来获得。到农贸市场买菜，卖菜的会告诉你多少钱一斤，“斤”和“克”是什么关系？老师可没教啊。“斤又是什么计量单位，通过查阅资料，我知道啦”斤“是我国特有的计量单位为了与国际计量单位接轨，规定了“公斤”计量单位，且“一公斤”等于“一千克”，通过换算我知道了“一斤”等于“五百克”。那么这是整数计量单位，经常遇到几斤几两怎么办呢？？两“又是什么计量单位，查资料得知”斤“是十进率，”一斤“等于”十两“，那么”一两“不就等于“50克”。这样买菜时知道单位和重

量，就能算出总价。药房的贵重中药材通常以“钱”为单位，知道“斤”的计量单位是十进率，很容易就算出“一钱”等于“5克”。

在超市购买液体商品，经常看到以“毫升”为单位，但也有以“克”和“千克”为计量单位的，这是怎么回事？一瓶矿泉水为500毫升，它有多重？我只知道“一毫升”等于“一立方分米”，它和重量有什么关系？在知道水的比重为1后我推测一瓶500毫升的矿泉水为500克后来证明我的推测是正确的。

你在超市购买食用油时，会看到“升”和“千克”的不同计量单位，在日常生活中我观察到油总是浮在水的上面，那么水肯定比油重，，“5升”食用油肯定没有“5千克”食用油重，懂得了这些计量单位的换算知识，是骗不了我的。 看来只有掌握了知识，才能不被蒙蔽双眼，识破这些运用不规范计量单位的花招，正应了“数学来源于生活，生活离不开数学”这个道理。

数 学 的 奥 秘

有一个星期天，表妹来我家玩，我们关启房门，在里面玩各种游戏，可高兴了。最后，我们一起下“五子棋”，坐在床上，你来我往一通恶战，不分胜负。

忽然，我灵机一动说：“我们换一种游戏，我保证能赢！”“我不信，换就换。”表妹坚定的回答。我很快把围棋纸叠成4×4的方格，拿出一粒放在左下脚，然后对她说：“两人交替地移动这粒棋子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把棋子移到右上角谁胜。”“好。”表妹充满信心的回答。

比赛开始，表妹连续输了十几局后，缠着我要取胜的窍门。我拿出纸画了张图（如下图）：

告诉她要想取胜，只要占据“。画图的方法采用倒推法。表妹知道后可高兴了，每次要求先行，赢了直拍手。

“你要先行也行，但是我们要增加两排格子。”我说。“好。”她答应到。 于是，我们把棋盘折叠成5×5的方格。继续比赛，表妹输得直抓头，又来缠我，我拿出纸对她说：“自己画图试一试。”她边画我边提醒，终于她高兴的举起了图纸（如下图），说道：“我知道先行一定会输，因为无论怎样第一步必须走到‘ 。”

接着，我说：“这下你知道数学的奥秘了吧？”

“什么？”她疑惑的回答。我翻开一本奥数书的相关内容给她看，她立即抢过去仔细地阅读，并自言自语到：“奥数，奥数，倒过来真实‘数学的奥秘’呢！”

用计算机探索规律

“叮铃铃??”数学课上课了，顾老师走进教室，告诉我们今天要学《用计算器探索规律》。

接着，顾老师便在黑板上写了一个乘法算式： 36×30。我们口算出结果后（36×30＝1080），老师就指着算式问道：“如果36这个因数不变，我把因数30扩大（乘上一个数），得到的积会变吗？”我们都异口同声地答到：“会变。”

老师马上表扬了我们，然后又紧接着问：“那新得到的积和原来的积有关系吗？如果有的话，会是什么关系呢？”

我想：“一个因数不变，另一个因数变大，积肯定也会变大。因数30乘几，得到的积应该是原来的积乘几吧？”我正想举手，却被向云虎抢先了一步：“积等于原来的积乘上相同的数。”老师问我们：“你们同意吗？”很多同学都说同意。顾老师就把我们的猜想写在了黑板上。“真是这样吗？你能想办法验证一下吗？”

我马上打开自备本，开始验证：

36×30= 1080 36×（30×5）=5400 1080×5=5400

真是这样！我们每人都举出了不同的例子，经过验证我们发现的确是这样：在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积等于原来的积乘几。

之后，老师又问道：“除了这条规律，你觉得乘法算式中还会有其他规律吗？”老师的话刚落音，徐晓东就激动地从椅子上跳了起来，说：“有。我觉得如果一个因数不变，另一个因数除以几，得到的积应该是原来的积除以几。”

我在心里想：“那两个因数都变呢？一个因数乘上一个数，另一个因数也乘上一个数，得到的积是不是应该等于原来的积乘上这两个数的积呢？”我也发表了我的意见。

这时，王惠静川又补充到：“那两个因数都除以不同的数后，得到积应该是原来的积除以这两个数的积。”

向云虎急得都爆出青筋了：“我觉得一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积是不会变的。”

顾老师把我们的猜想一一写在了黑板上，并让我们想办法验证。我们一个个兴致勃勃，举出了好多例子。事实证明，我们猜得完全正确！

下课时，顾老师高兴地说：“今天你们的表现真不错！大胆地得出了不同的猜想，并进行了验证，收获很大。老师真为你们感到高兴！

我想：“看来规律不止一种，在我们的生活中一定也藏着许多规律。我一定要多观察、多思考，这样才能找出更多鲜为人知的规律！”

 

第二篇：数学小论文是什么

一、数学小论文是什么？ 数学小论文是什么？ 对学习、生活、现象等进行观察、分析，运用学到的数学知识，在现实生活 中自己提出有价值的问题、分析问题，解决问题，并以小论文的形式把这一过程 体现出来，这就是数学小论文。它为我们提供了一个用自己的语言、数学的语言 表达数学思想方法和情感的机会。 例如有一位同学写了一篇题为《篮球场上的数学》的数学小论文。 一个星期天的早晨，我和我的朋友一起去打篮球。 一个星期天的早晨，我和我的朋友一起去打篮球。 过了一会儿，我们俩打累了，就到观众席上去休息。突然间， 过了一会儿，我们俩打累了，就到观众席上去休息。突然间，我想到了一 个问题，我就禁不住说出来： 个球， 个球， 个问题，我就禁不住说出来： 小明一分钟投 8 个球，小红一分钟投 6 个球，他 “ 们一起投了 分钟之后， 个球， 们一起投了 8 分钟之后，小红提高命中率一分钟投 8 个球，小明由于体力不支 个球，问多少分钟后小红和小明投进的只数相同？ 减少投球只数一分钟投 6 个球，问多少分钟后小红和小明投进的只数相同？” 大概是我朋友太累的缘故，这么简单的问题他都答不上来， 大概是我朋友太累的缘故，这么简单的问题他都答不上来，他想了一会儿 没做出来，过了好长时间他还是没想出来。时间一分一秒的过去了， 没做出来，过了好长时间他还是没想出来。时间一分一秒的过去了，他实在想 不出来，只得不好意思地说： 没了草稿本，我做不出来。 我知道， 不出来，只得不好意思地说： 没了草稿本，我做不出来。 我知道，就算他有 “ ” 草稿也未必做得出来。 草稿也未必做得出来。 我自豪地说： 分钟， 我自豪地说： 原来小明一分比小红多投进 2 个，一共投了 8 分钟，也就是 “ 2=16（ ， ，后来小红反过来每分比小明多投 8×2=16（个） 后来小红反过来每分比小明多投 4 个，那么 16 个球要多投几分 钟呢？16÷4=4 ，要 分钟才能追上。 他说： 你真厉害！“我是天才嘛 ” 钟呢？16÷4=4（分） 要 4 分钟才能追上。 他说： 你真厉害！“我是天才嘛！ ， ” “ ” 我是天才嘛！ 我开玩笑说。我俩都笑了。 我开玩笑说。我俩都笑了。 通过这件事，我发现生活中的数学是无处不在，生活中、学习中、 通过这件事，我发现生活中的数学是无处不在，生活中、学习中、还有工 作中到处都有。从此，我就更加喜欢数学了。 作中到处都有。从此，我就更加喜欢数学了。 从身边的小事写起，就能写成一篇有质量的数学小论文。 数学小论文写什么？ 二、数学小论文写什么？ 写小论文的关键，

首先就是选题，同学们都是小学生，受年龄、知识、生活 阅历的局限，因此，大家的选题要从自己最熟悉的、最想写的内容入手。刚开始 的时候， 我们可以写一写解决某一个数学问题的过程或记录某一天的问题解决活 动。数学小论文按内容大致可分为反思性、应用性、实践性、创新性和探究性五 种。 1、反思性数学小论文主要就某节数学课或数学实践活动，回顾小结后，写 自己学习数学的心得。比如哪方面知识学得比较好，还存在什么疑虑；自己对老 师或同学的做法提出的建议或意见，例如一题多解、巧思妙解等。复述同数学课 或活动有关内容，例如一个公式的推导过程，一个法则的“诞生”过程，一道例 题的思考过程等。同学们可以畅所欲言，各抒己见，写出自己学习数学的切身体 验。 案例 1：一节有趣的数学课 今天，我们上了一节有意思的数学课，学习的内容是“三角形的面积” 今天，我们上了一节有意思的数学课，学习的内容是“三角形的面积” 孙 。 老师叫我们拿出事先准备好的白纸与剪刀 我们拿出事先准备好的白纸与剪刀， 老师叫我们拿出事先准备好的白纸与剪刀，一小组为单位讨论一下三角形的面 积该怎样求。我转过身去，与组员集合在一起，展开了激烈的讨论。我提议， 积该怎样求。我转过身去，与组员集合在一起，展开了激烈的讨论。我提议， 剪两个完全一样的直角三角形拼拼看。说干就干，张文昊拿着剪刀刚想剪， 剪两个完全一样的直角三角形拼拼看。说干就干，张文昊拿着剪刀刚想剪，却 说： 我笨手笨脚的剪不好。 可把我们急坏了，生怕输给别的小组。终于把三 “我笨手笨脚的剪不好。 可把我们急坏了，生怕输给别的小组。 ” 角形剪好了。我们拿着两个三角形，这样拼？不行。那样拼？还是不行。 角形剪好了。我们拿着两个三角形，这样拼？不行。那样拼？还是不行。终于 拼好了一个平行四边形。我打量起这个图形来， 原来是这样！我茅塞顿开， 拼好了一个平行四边形。我打量起这个图形来，啊，原来是这样！我茅塞顿开， 忙向组员解释： 你们看，三角形的底就是这个平行四边形的底， 忙向组员解释： 你们看，三角形的底就是这个平行四边形的底，高就是这个平 “行四边形的高，这图形是两个三角形组成的 行四边形的高，这图形是两个三角形组成的，平行四边形的公式是底 X 高，再 不就是一个三角形的面积了吗？ 孙老师请了我们组来会报讨论结果， 除以 2 不就是一个三角形的面积了吗？”孙老师请了我们组来会报讨论结果， 并对我们讨论的结果表示赞同。接下来，我们又用锐角

三角形、 并对我们讨论的结果表示赞同。接下来，我们又用锐角三角形、钝角三角形做 了实验， 结果也是如此。 讨论完毕， 孙老师说： 这就是今天我们要学习的新课。 了实验， 结果也是如此。 讨论完毕， 孙老师说： 这就是今天我们要学习的新课。 “ ” 说着转身写下“三角形的面积”几个字。同学们面面相觑，新课，就这么简单？ 说着转身写下“三角形的面积”几个字。同学们面面相觑，新课，就这么简单？ 我喜欢上这样的数学课，它把旧课知识有机地结合到一起，使我们易懂， 我喜欢上这样的数学课，它把旧课知识有机地结合到一起，使我们易懂， 记得牢，还让我们感到新奇、有趣。 记得牢，还让我们感到新奇、有趣。 案例 2：对应推理的妙用 今天，我做到了一道对应推理题，觉得挺好的，它能够锻炼我们的思维 思维， 今天，我做到了一道对应推理题，觉得挺好的，它能够锻炼我们的思维，教 给我们思考问题的方法。不妨给大家介绍一下。 给我们思考问题的方法。不妨给大家介绍一下。 题目是这样的：李老师、王老师、张老师在语文、思品、数学、自然、美术、 题目是这样的：李老师、王老师、张老师在语文、思品、数学、自然、美术、 已知： 音乐 6 门课中每人分别教 2 门。已知： 思品老师与数学老师是好朋友； （1） 思品老师与数学老师是好朋友； 王老师最年轻； （2） 王老师最年轻； 自然老师比语文老师年龄大； （3） 自然老师比语文老师年龄大； 李老师常向自然老师和数学老师说起他的学生； （4） 李老师常向自然老师和数学老师说起他的学生； 王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。 （5） 王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。你知道 3 位老师各教哪两 门功课？ 门功课？ 我是这样想的： 个条件可看出李老师只可能教语文、思品、 我是这样想的：从第 4 个条件可看出李老师只可能教语文、思品、音乐和 美术。这是第一点。 个条件看出王老师只可能教数学 思品、自然、 只可能教数学、 美术。这是第一点。从第 5 个条件看出王老师只可能教数学、思品、自然、美 从中我们可以看出王老师不可能教自然。这是第二点。 术。从中我们可以看出王老师不可能教自然。这是第二点。那么从第 1、2 两个 条件可看出张老师肯定教自然。这是第三点。 条件可看出张老师肯定教自然。这是第三点。从第 4 个条件和前面三点可看出 王老师肯定教数学。 王老师肯定教数学。再从第 3 个条件和前三点上我们可以看出李老师肯定教语 条件中看出张老师肯定教音乐，所以他教音乐和自然。 文。从第 5、1、2

条件中看出张老师肯定教音乐，所以他教音乐和自然。再从 和张老师教的课中，我们可以看出李老师肯定教思品， 第 1、4 和张老师教的课中，我们可以看出李老师肯定教思品，所以他教语文和 思品。 思品。 由此可见，李老师教思品和语文；王老师教数学和美术；张老师教自然和音乐。 由此可见，李老师教思品和语文；王老师教数学和美术；张老师教自然和音乐。 我们要善于抓住条件进行推理，运用排除方法，推导出各老师所教的学科 所教的学科。 我们要善于抓住条件进行推理，运用排除方法，推导出各老师所教的学科。 其实，这种逻辑推理方法在数学学习中有着广泛的应用。 其实，这种逻辑推理方法在数学学习中有着广泛的应用。 《曹冲称象 案例 3： 曹冲称象》的启示 《曹冲称象》 学习了《曹冲称象》这篇课文,我被曹冲的聪明才智深深感动. 学习了《曹冲称象》这篇课文,我被曹冲的聪明才智深深感动.遇事要积极 开动脑筋想办法,就是个充满智慧的孩子。 开动脑筋想办法,就是个充满智慧的孩子。 请看曹冲是怎样称象的：曹冲让大象上船，看船被河水淹没到什么位置， 请看曹冲是怎样称象的：曹冲让大象上船，看船被河水淹没到什么位置， 然后刻上记号。再把大象赶上岸，把这条船装上石块， 然后刻上记号。再把大象赶上岸，把这条船装上石块，当水面淹没到记号的位 置时，就可以知道船上的石块有多重，大象就有多重。 置时，就可以知道船上的石块有多重，大象就有多重。 这故事实际蕴含了一个数学思想——等量代换：两个相等的量， ——等量代换 这故事实际蕴含了一个数学思想——等量代换：两个相等的量，可以相互 代换。利用这个原理，我们可以还可以解一些数学题。例如：百货商店运来 代换。利用这个原理，我们可以还可以解一些数学题。例如：百货商店运来 300 双球鞋， 个纸箱里。 双球鞋，分别装在 2 个木箱和 6 个纸箱里。如果 2 个纸箱同一个木箱装的球鞋 同样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各可以装多少双球鞋？ 同样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各可以装多少双球鞋？ 可以这样想：根据“ 个木箱同样多” 可以这样想：根据“2 个纸箱和 1 个木箱同样多” 我们可以把木箱换成纸 ， 也就是说， 双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装， 箱，也就是说，把 300 双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装，2 个木箱里的球鞋 个纸箱， 个纸箱， 个纸箱。 下好装满 4 个纸箱，再加上原来的已装好的 6 个纸箱，一共是 10 个纸箱。这个纸箱里，平均每个纸箱装多少双？ 样，题目就变成了“把 300 双球鞋装在 10 个

纸箱里，平均每个纸箱装多少双？” 题目就变成了“ 从而求出每个纸箱装多少双球鞋，也能求出每个木箱装多少个球鞋。 从而求出每个纸箱装多少双球鞋，也能求出每个木箱装多少个球鞋。 解：300 ÷（ 2 × 2 + 6 ） =300 ÷ 10 =30（ 2=60（ =30（双） 30 × 2=60（双） 看似很复杂的题目，只要灵活运用等量代换这种数学方法， 看似很复杂的题目，只要灵活运用等量代换这种数学方法，就可以迎刃而 解了。 解了。 2、应用性数学小论文主要写在我们已有的生活经验基础上，从数学的角度 用所学的知识或方法思考寻找某个问题的解决策略的过程。 真切感受到数学在现 实生活中的重要作用，体会生活与数学的息息相关。 案例 4：身边的数学 春游喽！在欢声与笑语中，客车载着三（ 班的全体同学到达了目的地— 春游喽！在欢声与笑语中，客车载着三（1）班的全体同学到达了目的地— 长安莲花山。登山比赛开始了，我们这一小队第一个到达山顶。站在山顶， —长安莲花山。登山比赛开始了，我们这一小队第一个到达山顶。站在山顶， 整个长安的美景如画一般呈现在眼前。 咱们长安真美啊！ 到午餐的时间了， 整个长安的美景如画一般呈现在眼前。 咱们长安真美啊！ 到午餐的时间了， “ ” 小明和小俊拿出两块台布铺在草地上，大家纷纷拿出自带的食物准备开饭。 小明和小俊拿出两块台布铺在草地上，大家纷纷拿出自带的食物准备开饭。可 不知怎么，小明和小俊却为了“两人谁带的台布大”的问题争了起来。 不知怎么，小明和小俊却为了“两人谁带的台布大”的问题争了起来。小明带 的台布是正方形的，小俊带的是长方形的。 的台布是正方形的，小俊带的是长方形的。 这时候老师在一旁说： 不要争了，根据我们现在学的《面积和面积单位》 这时候老师在一旁说： 不要争了，根据我们现在学的《面积和面积单位》 “ ， 谁能想出办法比出哪个台布大呢？ 谁能想出办法比出哪个台布大呢？” 站在一边的小斌抢着说： 可以把长方形的台布重合在正方形台布上， 站在一边的小斌抢着说： 可以把长方形的台布重合在正方形台布上，然后 “ 把长方形多出的部分剪下来拼到没有盖住的地方，看看能不能完全盖住正方形 把长方形多出的部分剪下来拼到没有盖住的地方，看看能不能完全盖住正方形 的台布。如果正好盖住就说明两块台布一样大， 的台布。如果正好盖住就说明两块台布一样大，如果有剩余的就说明长方形台 布大，如果盖不住就说明正方形台布大。 布大，如果盖不住就说明正方形台布大。 ” 这个办法倒是不错，只是大家要用这块台

布做垫子呀，不能把它剪坏了， “这个办法倒是不错，只是大家要用这块台布做垫子呀，不能把它剪坏了， 有没有其他办法呢？ 老师微笑着说。 有没有其他办法呢？”老师微笑着说。 我很快想到了办法，赶紧说： 就让大家一个靠一个坐在台布上， 我很快想到了办法，赶紧说： 就让大家一个靠一个坐在台布上，哪个台布 “ 坐的人多，哪个就大。 坐的人多，哪个就大。 ” 也就是用一个物体作为标准，分别挨个放在两块台布上， “嗯，也就是用一个物体作为标准，分别挨个放在两块台布上，谁的台布 放得多，谁的台布就大。那我让一个台布上全坐胖子，一个台布上全坐瘦子， 放得多，谁的台布就大。那我让一个台布上全坐胖子，一个台布上全坐瘦子， 行不行？ 行不行？” 不行，一定要按相同的标准！当然除了用人做单位，还可以用很多其他 “不行，一定要按相同的标准！当然除了用人做单位，还可以用很多其他 的物体做单位，只不过，不管用什么做单位，都得按相同的标准才可以比较。 的物体做单位，只不过，不管用什么做单位，都得按相同的标准才可以比较。 ” 真不错！看来你对《面积和面积单位》的知识学得不错， “真不错！看来你对《面积和面积单位》的知识学得不错，如果我一定要 你告诉我两块台布到底有多大，你用什么做单位呢？ 你告诉我两块台布到底有多大，你用什么做单位呢？” 可以用平方分米做单位， 平方分米， “可以用平方分米做单位，看看它们分别有多少个 1 平方分米，就能说出 它们分别有多大了” 它们分别有多大了” 你说得真好！真是个爱动脑筋的好孩子！ 老师满意的笑了。 “你说得真好！真是个爱动脑筋的好孩子！ 老师满意的笑了。 ” 这位小作者能把课堂上的数学问题带到生活中去，能够活学活用，非常好。 数学是思维的体操，学好数学能让我们越来越聪明，生活中的数学随处可见，与 你朝夕相伴，并已成为我们生活的一部分。3、实践性数学小论文主要写同学们通过自己的亲身实践，运用已有知识、 经验积累解决某些与生活密切相关的、具有挑战性的问题情况；或记录下查阅到 的数学资料、调查到的有用数据和上网搜集到的信息等。 今天我刚回到家里， 厘米那么长的短尺对我说： 案例 5：今天我刚回到家里，妈妈就拿了一把 20 厘米那么长的短尺对我说： 小卉，过来。 我还没弄清事情的原委，妈妈就拉着我的手走向客厅，对我说： “小卉，过来。 我还没弄清事情的原委，妈妈就拉着我的手走向客厅，对我说： ” 我要考考你，你能否在很短的时间内用这把尺测量出客厅的宽

度。 我一听， “我要考考你，你能否在很短的时间内用这把尺测量出客厅的宽度。 我一听， ” 这下犯难了——怎么行啊！既没有卷尺，又没有米尺， ——怎么行啊 这下犯难了——怎么行啊！既没有卷尺，又没有米尺，只有一把 20 厘米长的短 那要多久才能量完呀，我左思右想，无所适从 忽然，我灵机一动， 适从。 尺，那要多久才能量完呀，我左思右想，无所适从。忽然，我灵机一动，哎！ 想出了妙计：我先上楼拿了一根长长的细线，又拿了一支粉笔； 想出了妙计：我先上楼拿了一根长长的细线，又拿了一支粉笔；再叫妈妈拿住 线的一端，顶住对面的墙壁。我拿住线的另一端，拉直后也抵住墙的这边； 线的一端，顶住对面的墙壁。我拿住线的另一端，拉直后也抵住墙的这边；量 好后接着把多余的线给剪了； 厘米有多长， 好后接着把多余的线给剪了；然后我在线上用尺量 20 厘米有多长，并用粉笔做 了一个标记； 厘米的长度叠起来， 了一个标记；最后以每一段为 20 厘米的长度叠起来，到最后刚好叠了 19 段并 厘米。怎么计算呢？ 19×20＝380（厘米） ，又加上多余的 厘米， 多出 15 厘米。怎么计算呢？我把 19×20＝380（厘米） 又加上多余的 15 厘米， ， 厘米。我又把厘米换算到米， 正好等于 395 厘米。我又把厘米换算到米，就这样客厅以 3.95 米的宽度在很短 的时间内就被我计算出来了。妈妈在旁边直夸我有进步了。 的时间内就被我计算出来了。妈妈在旁边直夸我有进步了。 由此可见，动手实践，不但容易解决难点问题，锻炼动手能力， 由此可见，动手实践，不但容易解决难点问题，锻炼动手能力，还能提高学 习数学的兴趣和信心，这难道不是一举多得吗？ 习数学的兴趣和信心，这难道不是一举多得吗？ 有趣的π 案例 6：有趣的π 在日常生活中，人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的， 在日常生活中，人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯 口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数， 口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这 个常数就是π 个常数就是π。 当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道： 当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道： π这个数渗透 “ 了整个数学！ 有的数学家甚至说： 了整个数学！ 有的数学家甚至说： 历史上一个国家所算得的圆周率的准确程 ” “ 可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。 度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。 ” 中华民族历史上对

圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。 中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。 根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期， 根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑 物和器皿。在中国最早的算书《周髀算经》 世纪) 已经指出了“ 物和器皿。在中国最早的算书《周髀算经》(公元前 2 世纪)里，已经指出了“圆 径一而周三” =3)。西汉末年、王莽命刘歆( 50径一而周三”(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前 50-23 年)制定度量的 新标准，根据推算， 3.1547，3.1992，3.1498， 新标准，根据推算，他所用的圆周率有 3.1547，3.1992，3.1498，3.2031 等几 个值， 而没有统一的标准， 但已经比径一周三更进一步了。 东汉张衡( 78个值， 而没有统一的标准， 但已经比径一周三更进一步了。 东汉张衡(公元 78-139 认为π=3.1623，比印度、 年)认为π=3.1623，比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早 500 年。 三国魏景元四年( 数学家刘徽在整理《九章算术》一书时， 三国魏景元四年(公元 263 年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时， 提出了“割圆术” 他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加， 提出了“割圆术” 他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出 。 六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、 六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形 周长与直径的比值，得到了π 3.14。他还特别声明： 此率尚微少” 周长与直径的比值，得到了π的近似值为 3.14。他还特别声明： 此率尚微少” “ ， 意思是这只是π的不足近似值。 意思是这只是π的不足近似值。 刘徽对π的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把π 刘徽对π的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把π=3.14 这 个数值叫做“徽率” 个数值叫做“徽率” 。 到了南北朝，伟大的数学家祖冲之( 426的推算， 到了南北朝，伟大的数学家祖冲之(公元 426-500 年)对π的推算，达到了 空前的高峰， 3.1415926＜ 3.1415927。 空前的高峰，他算出 3.1415926＜π＜3.1415927。 在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人， 在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称 之为“祖率” 之为“祖率” 。祖率” 这个纪录保持了近一千年， 世纪的阿尔卡西(Al——Kashi) (Al—— “祖率” 这个纪录保持了近一千年， 后才被 16 世纪的阿尔卡西(Al——Kashi) 打破。在现在，利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位

了。 打破。在现在，利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。 是一个什么样的数呢？ 是一个无限不循环的小数。也就是说， π是一个什么样的数呢？π是一个无限不循环的小数。也就是说，π是一 个无理数。 个无理数。 有趣的是， 的小数点后一百个数字： 有趣的是，π的小数点后一百个数字： π =3.14159265358979323846264338327950288419716939931510582097494459230 =3.14159265358979323846264338327950288419716939931510582097494459230 78164062862089986280348253421170679… 78164062862089986280348253421170679… 有人把它谱成了曲子，演奏起来还蛮悠扬动听呢！ 有人把它谱成了曲子，演奏起来还蛮悠扬动听呢！4、探究性数学小论文是数学论文的高级形式，主要就学生自己独立或与其 他人合作研究某个小课题，进行探究与合作交流解决问题、得出成果的过程，撰 写一分小报告或一篇数学论文等。学数学在于应用数学，在生活实践中，我们会 遇到许多实际问题，由于这些实际问题没有固定的解题模式，需要认真研究，调 查情况，查阅资料，测量数据，最后进行数学建模和问题解决。现在我国倡导做 数学，就是通过一些数学实验，在操作中学习数学，对我们创作数学小论文积极 有利。创作这样的小论文需要许多精力，一旦成文质量较高。建议五、六年级的 同学或初高中的同学可以尝试撰写。 案例 7：关于食堂餐桌布局的探究 南开中学高 2005 级 罗桢怡 郭南勋 肖雪 刘艳梅 前言 我们以南开中学食堂餐桌的布局为例，试图说明在具体确定面积和形 状的区域内如何使资源得到最合理的利用。 在研究过程中，我们提出了两种方案。对于方案 1，我们主要利用所学的初 等函数知识，通过求函数最值的方法找出问题的满意解。对于方案 2，我们并未 给出严格的论证，仅供参考。由于我们所学的知识有限，在解决问题的过程中忽 略了一些次要条件，因此所求的不是最优解。尽管如此，在这一次研究性学习活 动中我们还是很有收获，懂得了如何利用数学知识去解决实际问题，也体会到同 学间相互合作的重要。 南开中学食堂的平面图：问题：我们称餐桌与餐桌间的过道为“桌道”，每个学生离开打饭窗口后再 问题 到餐桌前用餐，常常要经过桌道找座位，而桌道的宽窄会影响学生流动的速度， 为了不使学生拥挤，餐桌与餐桌间的距离应设置多宽较合理呢？ 我们调查到的数据：如果我们换一种方法思考，将横向桌道改为纵向桌道，这样布局食堂餐桌， 可以得到 方案 2，图示如下：用方案 2 布局食堂餐桌， 虽然少摆放 3 张餐桌， 但每一桌道间距都增至 50cm ， 可以满足学生以最大

速度在桌道间流动，不仅如此，还使餐桌与打饭窗口间的距 离增加了 60 cm，解决了打饭时排队过长而导致路道拥挤的现象。唯一缺点就是： 当大队学生从门 2 进入食堂用餐时，仅 50cm 宽的桌道间距可能会造成短暂的拥 挤现象。所以，本方案仅供参考。 同学们可以学习本文分析问题、收集数据和处理数据的方法，观察生活，从 生活现象中发现数学本质，利用自己的数学知识，创作一篇数学应用或数学建模 的小论文。 5、创新性数学小论文主要记录学生通过观察生活中的事物，经过深入思考 得出的一些与众不同的想法，或提出一些颇有价值的问题。例如：为什么桌子一般有 3 只或 4 只脚？为什么电风扇一般只有 3 个扇片？┄┄ 怎样写数学小论文？也就是实际写作中需要注意什么？ 三、怎样写数学小论文？也就是实际写作中需要注意什么？ 用确切的数学语言、符号、图象解说数学问题，并用文字串成一篇文章，使 之风趣幽默有吸引力，读起来朗朗上口，写出这样的科普文章，并非易事。这始 于课内启迪、引导，是课堂教学的延伸和深化，使之在课内产生的学习心得、猜 想、灵感、疑惑变成课外研究的起点；使学生不只停留在理解概念、解出答案的 水平上，而是极大地激发求知欲望，使聪明才智得到充分发挥。 教育家苏霍姆林斯基说过： “正是这种有所发现的欢乐，正是这种靠自己的 努力完成作业的欢乐，乃是人的自尊感的源泉，这是激发儿童心灵中新的思想能 量的强大教育力量。 ”学写数学小论文对培养学习兴趣，勇于探索、创新、求实 的精神，提高数学素养，都是很有益处的。撰写小论文应注意以下几点： 1、题目要小，范围要窄，切忌面面俱到； 2、主题明确，要紧紧围绕主题选材、论证； 3、要有详细的写作提纲； 4、立论要新颖，见解要独具匠心； 5、内容要准确、鲜明、生动。准确就是运用数学语言，选用贴切的词汇、 合乎逻辑的句式确切地表达主题思想。鲜明就是观点明确，条理清楚，给人以清 晰的印象，生动就是语言、文字灵活多样，通俗易懂； 6、做为科普文章，要科学性、知识性、趣味性浑然一体，做到完整、和谐、 统一。 案例 8：猜数字的玄机——幸运“52”的启示 我非常喜爱数学,也喜爱看电视。特别是中央电视台“幸运 52”节目,有一个 猜商品价格的游戏：在规定的时间之内，参与游戏的嘉宾有若干次猜测价格的机 会，每猜一次，主持人李咏就会根据嘉宾所猜的数，给出“高了”或“低了”的 判断，直到猜对为止。参与游戏的嘉宾在规定的时间里猜对这件商品的价格，这 件商品就奖给他，否则

将失去这次机会。 你别看这个游戏简单，要想猜得既对又快，除了反应快以外，其实还得掌握 选择报数的窍门。今天晚上，我就和老爸玩起了这个猜数字的游戏。 爸爸一边叫我拿白纸，一边说着游戏规则： “你选一个 1 至 1000 以内的整数 写在纸上，让我来猜。我一定能猜到。不过每当我猜一个数，你要告诉我，我猜 的这个数比你写的数是大了，还是小了。这样，我最多 10 次一定能猜到。 ”我有 点半信半疑地在纸上写下了“222”这个数字。 “开始猜吧。 ”我话音刚落，爸爸就猜“500”“大了”我说。 。 “250。 ”爸爸 满怀信心地说。 “还是大了。 ”我有些得意。 “125。 ”爸爸又猜。 “小了。 ”我想他 八成猜不出来了。但出乎意料的是，第 9 次爸爸终于猜出来了。爸爸说“这里面 有窍门呢，你知道吗？” “不知道。 ”我眨巴着眼睛说。 “你想想看，我第一次猜 500，第二次猜 250，从 1000 到 500 再到 250，它 们的关系是什么？” “不就是一个比一个缩小两倍吗。 ”我好象有些明白了。 这天晚上，我用了三张草稿纸，绞尽了脑汁，终于想到了结果。我连忙对老 爸说： “我知道了，你之所以说 1~1000 以内的整数，你最多 10 次就能猜到，是 因为把 1000 个数平均分成两组，每组 500 个数，中间值就是 500。再把 500 个 数平均分成两组，第二次的中间值是 250 或 750。依次分下去，遇到不能平均分 时，加 1 后再平均分。这样一直分下去，第一次你猜 500，把范围缩小到 500 以内，如果我说猜小了，说明这个数在 501~1000 之间，如果我说猜大了，说明这 个数在 1~499 之间。第二次你猜 250，又把范围缩小到 250 个数范围内。同样的 道理，第三次猜就把范围缩小到 125 个数以内……这样，如果前 9 次都没有猜对 的话，第 10 次范围就缩小到一个数，这个数就一定是要猜的数。 ”爸爸高兴得直 点头。 通过这次猜数字，我知道了，在有的人看来实验的方法比较烦琐，其实，烦 琐中也有简捷。我觉得，数学好似一个橡皮泥，只要你灵活运用，不断捏造它， 挖掘它，你将会慢慢发现它的魅力，终点的美好！ 明天，我一定和老师、同学们一同分享这个启示！他们一定会佩服我的！说 不定他们有更好的办法呢…… 五、什么样的数学小论文算是好的论文呢？ 什么样的数学小论文算是好的论文呢？ 标准很多，但我以为一篇好的数学小论文必须有以下三个特征——新、真、 美。 “新” 指的就是选题要有独特的视角， ， 写的内容不是简单地重复别人的东西、 不是单纯地下载一段。文字，最好是自己原创的，至少要有自己的创造、自己的 观点，属于自己