b6浙江省宁波市高中数学教学论文 从课本引出的一个好结论应用

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课本好结论的一个应用

高二数学(下)新教材课本P25关于直线和平面所成角的教学中,最后有两个结论:

(1)、斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

(2)、斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。 但从结论及图形里面,隐藏着一个应用广泛的好结论:

如图,l是平面α的一条斜线,点O是斜足,A是上任意一点,AB是α的垂线,点B是 垂足,所以直线OB(记作l)是l在α内的射影,∠AOB(记作θ)是l与α所成的角。 l 设∠AOB=θ,∠BOC=β,∠AOC=α,ΔAOB,ΔBOC,ΔAOC A

都是直角三角形,易得:cosα=cosθcosβ

∵0≤cosθ≤1,0≤cosβ≤1,∴cosα≤cosβ, cosα≤cosθ '即α≥β,α≥θ,说明当直线OA绕着点O竖直向上移动的 过程中,∠AOC始终不小于∠AOB和∠BOC。

下面先看一道好题:

已知异面直线a与b所成的角为500,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有 ( )

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

分析:将直线a、b平移交于点P,如图AA,//a,BB,//b,∠APB=500,

设CC,、DD,为两对顶角的平分线,∵∠APC=∠BPC=250<300,∴存在这样的射线PQ,使得 ∠QPA=∠QPB= 300 。根据对称性知相应直线PQ有2条,∵?BPD??A,PD?650>300,∴不存 在这样的射线PR,使得?RPB??RPA,?300,综上所述,这样的直线有且只有2条。Q D'

'

,

改变:

已知异面直线a与b所成的角为600,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60的直线有且仅有 ( )

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

分析:将直线a、b平移交于点P,如图AA'//a,BB'//b,∠APB=600,

设CC'、DD'为两对顶角的平分线,∵∠APC=∠BPC=300<600,∴存在这样的射线PQ,使得 ∠QPA=∠QPB= 600 。根据对称性知相应直线PQ有2条,∵?BPD??A,PD?600=600,∴存 在惟一的直线DD',使得?DPB??DPA,?600,综上所述,这样的直线有且只有3条。

00'

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Q

'

'D ,

从上述两题中得出:空间两条直线所成角的值不同,导致所求的直线条数不一样,因此通过具体的分析与讨论,我们可以总结出一般情况的规律了。

记两条异面直线的夹角为θ,其中0<θ≤90,过空间一点与异面直线成相等的角α,其中

00<α≤900,于是有下表——

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应用上述的结论,读者可以轻而易举的解下列的题目,不妨一试:

(1)、已知异面直线a与b所成的角为600,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有 ( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

(2)、已知异面直线a与b所成的角为700,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60的直线有且仅有 ( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

(3)、P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60的直线有且仅有 ( ) (A)2或3条 (B)3或4条 (C)1或2或3条 (D)2或3或4条

(4)、异面直线a、b成800角,P为a、b之外的一个定点,若过P有且仅有2条直线与a、b所成角相等(都等于θ),则θ∈ ( ) (A)(00,400) (B)(400,500) (C)(400,900) (D)(500,900)

00

参考答案:A/D/D/B

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第二篇:b6浙江省宁波市高中数学教学论文 研究章引言,上好起始课

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研究章引言,上好起始课

教科书在每一章的开头都有一段话──章引言;有的还配有与本章内容配套的图片──章头图.章引言通常是对本章所涉及到的内容、思想方法做一个简要的介绍,章头图往往是展示本章内容在科学技术中的应用,传播数学文化等.比如,圆锥曲线这一章的章头图展示了圆锥曲线性质的应用──雷达的抛物线天线、人造卫星运行的轨道画面等等.但是,在教学中,往往对章引言、章头图的作用认识不足,不为人们重视,忽略它的教学也并不少见.如何使学生对本章将要学习的内容、结构,甚至思想方法有一个大致的了解,发挥章引言的“先行组织者”、“导游图”的作用,本文对章引言、章头图在教学中的处理方式做一个粗浅的探讨,供同行参考.不当之处,敬请指正.

一、章引言教学的几种处理方法

1.通过类比,引入章引言

通过与其他内容学习过程的类比介绍章引言,提出本章学习的任务.

《数学4》(必修)的第二章“平面向量”.在学生建立了向量的概念、与实数类比发现向量这个集合中有两个特殊的元素──零向量、单位向量之后,一个自然的问题就是,实数集合有运算、运算律等,这时再提出平面向量这一章要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法.“向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何背景,是解决解析几何问题的有力工具.向量引入之后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理??”“向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.”这样的介绍使得学生能够基本了解今后还要学习向量的哪些内容和方法,并了解学习向量的重要意义,对整章学习具有引领作用.

不等式一章的章引言的教学要好处理一些,与等式的类比是比较好的办法.“与等量关系一样,不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在??”“在本章,我们将学习一些不等式的性质,??理解不等式(组),体会不等关系和不等式的意义与价值??通过基本不等式了解不等式的证明,解决一些简单的最大(小)的问题;通过不等式与函数、方程的联系,提高对数学各部分之间的联系的认识.”这里几乎没有什么是会让学生感到突然的.

通过类比引入章引言的还有《数学2》(必修)的第四章“圆与方程”.这是因为前一章学习的是“直线与方程”.可以说,类似地,我们将“在直角坐标系中建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆,圆与圆的位置关系.”“在直角坐标系中,建立几何对象的方程,并通过方程研究几何对象,这是几何问题的重要方法.”再一次体验坐标法的思想.即便提出“另外,我们还要学习空间直角坐标系的有关知识.”也不难理解.

2.借助已有的知识储备,上好绪论课

在初中,学生已经学习过一次函数、二次函数,了解函数图象的形成过程,对坐标法的思想有所了解,因此,解析几何的起始课,可以给学生介绍坐标法产生的历史,渗透数学文化.

我国数学家吴文俊发明了用机器证明几何定理的理论,“Z+Z智能教育平台”软件实现了这一方法,可以用计算机来证明几何定理.计算机是通过什么途径来证明几何定理的呢?你知道微积分产生的基础是什么吗?这一切都要归功于一个人,这个人就是法国科学家笛卡尔(Descartes,1596-1650).

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笛卡尔在1637年发明了直角坐标系,把几何中的点M与代数中的一数对(x,y)建立了──对应关系.当点M在平面上规则运动形成曲线时,x,y就形成相应的约束关系,这就是方程,这样,在曲线与方程之间又形成了──对应.于是,我们就可以通过对方程,这个代数对象的研究来达到研究曲线,这个几何对象的目的.这就是坐标法的思想.由这个思想创立了一门科学──解析几何(平面解析几何、空间解析几何).为了纪念这位伟大的数学家,直角坐标系称为笛卡尔坐标系.

恩格斯对笛卡尔的这一发明给于高度评价,恩格斯说“数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,??”

“本章首先在直角坐标系中,建立直线的方程,然后通过方程,研究直线的有关性质,如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等.”

“解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的.解析几何的创立是数学史上的里程碑,数学从此进入变量数学时期.解析几何由此成为近代数学的基础之一.”

这些内容可以在学生学习直线与方程之前做一个较为详细的介绍,利用几何画板阐述曲线与方程之间关系的形成过程(图1);借助多媒体展示笛卡尔、费马的照片,展示解析几何在科学技术、日常生活中应用的图片,使学习兴趣大大增强.

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在《数学》选修2-1中的“圆锥曲线”一章中,可以介绍圆锥曲线的性质在生活中的应用.“圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.早在16、17世纪之交,开普勒就发现行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆;探照灯反射镜面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面,发电厂冷却塔的外形是双曲线??为什么圆锥曲线有如此巨大的作用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案.”与圆锥曲线联系还有电影放映机的聚光灯泡的反射镜面(能够给学生看到实物更好)、太阳灶、雷达天线、射电望远镜等等,它们都是利用圆锥曲线的原理制成的.

什么是圆锥曲线呢?用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴的夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、统称为圆锥曲线.再借助多媒体软件(如Flash)的演示,同学们对为什么这些曲线被称为圆锥曲线就有了大致的了解.

这些内容的适时介绍,都会促使同学们怀着对这一章知识渴望的心情进入了学习状态,同时也对这一章将要学习什么有了一个大致的了解──虽然还是那样地朦胧.

3.由初中内容的螺旋上升,引入章引言

高中数学所教学的内容有一部分在初中曾经学习过,高中的学习是初中学习的一次螺旋上升,比如《数学3》(必修)中的“随机抽样”.对于这样的内容可以在回忆初中内容的基础上提出高中所要学习的任务就显得很自然.“我们生活在一个数字化的时代,时刻都在与数据打交道.你知道这些数据是怎么来的吗?实际上它们是通过调查获得的.怎样调查呢?是对考察对象进行全面调查吗?很明显,这既不可能也没必要.我们通常只考察总体中的一个样本,通过样本来了解总体的情况.进一步,在保证样本估计总体达到一定精确度的前提下,样本中包含的个体越少越好.于是,如何设计抽样的方法,使抽取的样本能够真正代表总体,就成为我们要关注的关键问题??”“那么,怎样从总体中抽取样本呢?如何表示样

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本数据呢?如何从样本数据中提取基本信息(样本分布、样本数字特征等),来判断总体的情况呢?这些正是本章要解决的问题.”

章引言在学生已经了解的有关统计问题知识基础上,自然提出了本章所要研究的问题,画出了“导游图”──科学抽样──采用科学方法,对样本分析获取信息──对总体情况作出判断──预测,等等.逻辑线路很清楚.

与统计一章类似的还有函数.“在本章,我们将学习集合的一些基本知识,用集合的语言表示数学对象,并运用集合和对应的语言进一步描述函数概念,感受建立函数模型的过程和方法,初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题.”这些话学生也不会感到太陌生,从中可以感受到进一步学习函数的意义,以及所要学习的大致内容──进一步描述函数概念──建立函数模型──运用函数思想处理问题等等.

可以采用这种方法的还有《数学5》(必修)“解三角形”这样的章节.“解三角形”是初中“解直角三角形”的一次螺旋上升.初中就已经学习过锐角三角函数的简单应用,研究过与直角三角形有关的测量问题,不可达地点的距离问题等等.教学中通过一个问题就可以让学生感觉到“这些问题仅用锐角三角函数就不够了”,学习解一般三角形就显得十分必要──“这些内容的解决需要进一步学习任意三角形边与角关系的有关知识.”然后再把本章所要学习的内容作一个简单的介绍.

4.介绍数学史,进行数学文化的熏陶

新课程标准指出:“数学文化应尽可能有机地结合高中数学课程的内容,选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物,反映数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用,同时也反映社会发展对数学发展的促进作用.” 标准还要求“收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.具体要求见本标准中“数学文化”的要求.”

《数学2-2》(选修) “导数及其应用”的章引言是与数学文化有机结合的一个重要体现.

在学习“平均变化率”之前,有必要简单介绍微积分的创立过程.因为“平均变化率”概念主要是研究变速运动的瞬时速度──变化率而产生的.

促使微积分产生的因素主要有四种类型的问题:第一类问题是,已知物体移动的距离表示为时间的函数,求物体在任意时刻的速度和加速度;反过来,已知物体的加速度表示为时间的函数,求速度和距离.困难在于,17世纪时,所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.计算瞬时速度就不能象匀速运动时计算平均速度那样,用物体移动的距离去除以运动的时间;同样,反过来,也不能用物体运动的时间乘任意时刻的速度来求得物体移动的距离.

第二类问题是求曲线的切线.光学是17世纪的一项较重要的科学研究,其中重要的是,光线同曲线的法线间的夹角问题.而法线与切线垂直,因此,问题在于求出法线或者切线.涉及切线的,还有运动物体在它的轨迹上任一处的运动方向是轨迹在该点的切线方向.研究“两条曲线相交的角度”问题也需要研究切线.而只对圆锥曲线适用的,把切线定义为“和曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”已经不够了.

从一般意义上重新讨论曲线的切线问题由法国数学家罗贝瓦尔(Roberval)提出.他认为,“曲线是由运动的点生成的”,“是一个动点在两个速度作用下运动的轨迹”,“把切线定义为合速度方向的直线”,这样就“把纯几何与物理联系起来了”.

其他两类问题是求函数的最大、最小值问题以及求曲线长的问题.

科学家们在如何求出曲线上某一点处的切线这个问题上想了许多办法.费马(Fermat)的办法是“求该点的次切线”.他考虑,要求出曲线在点A处的切线,先考虑与A邻近的一点C,并暂时认为这一点也在曲线上.费马采用了“与求函数的极大、极小值类似的方法”,他的方法“完全依赖于深奥极限理论”.

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由此可见,微积分的创立主要是由研究变速运动而产生的,是由研究曲线在某点处的切线而产生的.定义平均变化率是为了定义变化率.

还必须特别注意的是,科学家们在研究解决这些问题时,运用了一些十分重要的数学思想,“包含了运动,变化和无限”.把一点的问题转化这点附近的问题来研究,静态的问题的动态研究,“以直代曲”,以及无限逼近的(极限)思想.

以上内容的介绍展现了微积分发展的历程,对提高学习兴趣,进入平均变化率、导数的学习都有很好的激励作用.也对今后利用导数要研究哪些问题有了一个基本的了解.尤其是渗透了一些重要的数学思想.

使得“学生通过数学文化的学习,了解人类社会发展与数学发展的相互作用,认识数学发生、发展的必然规律;了解人类从数学的角度认识客观世界的过程;发展求知、求实、勇于探索的情感和态度;体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性,了解数学真理的相对性;提高学习数学的兴趣.”

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