二、等差数列

1.等差数列的定义：（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

        ，  首项:，公差:d，末项:

   推广： ．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和

(10)求的最值

法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当 由可得达到最大值时的值．

  （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S _p = S _q则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

 

第二篇：等差数列的性质总结

等差数列的性质总结

1. 等差数列的定义：（为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

；  首项:；公差: ；末项:.

推广：．      从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中是常数，所以当时，是关于的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5. 等差数列的判定方法

（1）定义法：若或(常数) 是等差数列．

（2）中项公式法：数列是等差数列．

（3）通项公式法：数列是等差数列（其中是常数）。

（4）前项和公式法：数列是等差数列,（其中是常数）。

6. 等差数列的证明方法

定义法：若或(常数) 是等差数列．

7. 考点提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；

③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为）

8. 等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

（5）若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列

（6）数列为等差数列,每隔项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

2、当项数为奇数时，则

（其中是项数为的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，且，

则.

（9）等差数列的前n项和，前项和，则前项和；

若，，则；

若，则.

(10) 求的最值

法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。

法二：

（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当 由可得达到最大值时的值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 由可得达到最小值时的值．

或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若,则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．