第二篇：【全国百强校】吉林省东北师范大学附属中学20xx春理科数学人教A必修二圆与方程复习小结

课题：2.4.4圆与方程复习小结

【学习探究】

【知识归类】

1．圆的两种方程

（1）圆的标准方程

(x?a)2?(y?b)2?r2，表示_____________．

（2）圆的一般方程

x2?y2?Dx?Ey?F?0．

①当D＋E－4F＞0时，方程 ② 表示（1）当D?E?4F?0时，表示__________； 2222

②当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??

2222DE，y??，即只表示_______； 22③当D?E?4F?0时，方程_____________________________________________．

综上所述，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆．

2222．点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的关系的判断方法：

（1）(x0?a)2?(y0?b)2>r，点在_____；（2）(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在______；

（3）(x0?a)2?(y0?b)2<r，点在______．

3．直线与圆的位置关系

设直线l：ax?by?c?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，圆心(?DE,?)到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： 22222

（1）当d?r时，直线l与圆C______；（2）当d?r时，直线l与圆C________；

（3）当d?r时，直线l与圆C________．

4．圆与圆的位置关系

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2_______；（2）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2______；

（3）当|r1?r2|?l?r1?r2时，圆C1与圆C2____；（4）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2___；

（5）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2______．

5．空间直角坐标系

任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角 1

坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式________________．

【题型归类】

题型一：求圆的方程

例1 ．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

【方法总结】求圆的方程有两种常用方法：直接法与待定系数法，根据条件若能方便求出圆的圆心与半径则宜用直接法，若有三个条件则选用待定系数法。

题型二：圆的切线问题

例2 ．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B. 求经过两切点的直线l方程．

【方法总结】解答与圆的切线相关问题关键要抓住圆心到切线的距离等于半径。

变式练习：自点A（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x 2 + y 2 －4x－4y +7 = 0相切，求光线L、m所在的直线方程．

题型三：弦长、弧问题

22例3、求直线l:3x?y?6?0被圆C:x?y?2x?4y?0截得的弦AB的长.

变式练习：1、直线3x?y?23?0截圆x?y?4得的劣弧所对的圆心角为2、求两圆x?y?x?y?2?0和x?y?5的公共弦长

222222

2

题型四：直线与圆的位置关系

例4、已知直线x?y?2?0和圆x?y?4，判断此直线与已知圆的位置关系.

变式练习：若直线y?x?m与曲线y?

围.

题型五：圆与圆的位置关系

例5、判断圆C1:x2?y2?2x?6y?26?0与圆C2:x2?y2?4x?2y?4?0的位置关系，

变式练习：圆x?y?2x?0和圆x?y?4y?0的公切线共有 题型六：圆中的对称问题

例6、圆x2?y2?2x?6y?9?0关于直线2x?y?5?0对称的圆的方程是

题型七：与圆有关的动点轨迹问题

例7.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上?x?1??y?4运动，求线22224?x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范2222

段AB的中点M的轨迹方程．

题型八：圆中的最值问题

例8：圆x2?y2?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是

【思想方法】

1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决

2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形 3

式．

【自我检测】

1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值 依次为（ ）．

（A）2、4、4； （B）-2、4、4； （C）2、-4、4； （D）2、-4、-4

2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为（ ）．

(A)22 (B)4 (C)42 (D)2

3.点(1,1)在圆(x?a)2?(y?a)2?4的内部，则a的取值范围是（ ）．

(A) ?1?a?1 (B) 0?a?1 (C) a??1或a?1 (D) a??1

4.自点 A(?1,4)作圆(x?2)2?(y?3)2?1的切线，则切线长为（ ）． (A) (B) 3 (C) (D) 5

5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是( ) ．

(A) x2?y2?2 (B) x2?y2?4(C) x2?y2?2(x??2) (D) x2?y2?4(x??2)

6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（ ）．

(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D）-1

7.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）． (A) y?3x (B)y??3x (C)y?33x （D）y??x 33

8.过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）．

(A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4

9．直线x?y?23?0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（ ）． (A) ???? (B) (C) （D） 6432

10．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与

该圆的位置关系是（ ）．

(A)相切 (B)相交 (C)相离 （D）相切或相交

2211.已知圆x?y?4x?2y?m?0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若?APB?90?.

求m的值．

12.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

4

第二章 圆与方程小结与复习 (教案)

【知识归类】

1．圆的两种方程

（1）圆的标准方程

(x?a)2?(y?b)2?r2

（2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0．

①当D＋E－4F＞0时，方程 ② 表示（1）当D?E?4F?0时，表示以（-2222DE，-）

22 22②当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??（-DE，y??，即只表示一个点22DE，-）； 22

③当D?E?4F?0 22

综上所述，方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆．

2222．点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的关系的判断方法：

（1）(x0?a)2?(y0?b)2>r2）(x0?a)2?(y0?b)2=r

（3）(x0?a)2?(y0?b)2<r，点在圆内．

3．直线与圆的位置关系

设直线l：ax?by?c?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，圆心(?DE,?)到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： 22222

（1）当d?r时，直线l与圆C相离；（2）当d?r时，直线l与圆C相切；

（3）当d?r时，直线l与圆C相交．

4．圆与圆的位置关系

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l?r1?r2时，圆C1与圆C

22）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2 5

（3）当|r1?r2|?l?r1?r2时，圆C1与圆C24）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2切；（5）当l?|r1?r2|时，圆C1与圆C2内含．

5．空间直角坐标系

任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式P1P2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2．

【题型归类】

题型一：求圆的方程

例1 ．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

【审题要津】据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．

解：设所求的圆的方程为：x

∵2?y2?Dx?Ey?F?0． A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，

?F?0?即?D?E?F?2?0解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0．

?4D?2E?F?20?0?

∴所求圆的方程为：x2?y2?8x?6y?0．

r?1DFD2?E2?4F?5；??4,???3．得圆心坐标为（4，-3）. 222

或将x2?y2?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，(x?4)2?(y?3)2?25．

【方法总结】条件恰给出三点坐标，不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解． 题型二：圆的切线问题

例2 ．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B. 求经过两切点的直线l方程．

【审题要津】此题考察过切点的直线的求法，但是要与切点在圆上的切线求法区别开来，此题不要通过求切点的方法来求直线方程，这样计算会很繁琐．

解：设圆(x－1)2+(y－1)2=1的圆心为O1，由题可知,以线段PO1为直径的圆与与圆O1交 6

于AB两点,线段AB为两圆公共弦,以PO1为直径的圆方程．

3(x?)2?(y?20)2?5 ① 已知圆O1的方程为(x-1)2+(y-1)2=1② 2

1①②作差得x+2y-=0， 即为所求直线l的方程． 4

【方法总结】通过两圆作差来求公共弦，是非常简便的求法．

变式练习：自点A（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x 2 + y 2 －4x－4y +7 = 0相切，求光线L、m所在的直线方程．

解：已知圆的标准方程是(x?2)2?(y?2)2?1,它关于x轴的对称圆的方程为 (x?2)2?(y?2)2?1,设光线L所在的直线方程是y-3=k(x+3),由题设知对称圆的圆心C1(2,?2)

5k?5到这条直线的距离为1，即d?

?k2

求入射光线L所在的直线方程为：3x?4y?3?0或4x?3y?3?0这．时反射光线所在直线的 34?1?12k2?25k?12?0,解得k??或k??．故所43斜率为k1?或k1?3

44，所以反射光线m所在的直线方程为：3x－4y－3=0或4x－3y+3=0． 3

2题型三：与圆有关的动点轨迹问题 例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上?x?1??y?4运动，求线2

段AB的中点M的轨迹方程．

【审题要津】如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程?x?1?2?y2?4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是(x0,y0)

2x?x0?4y?3,y?022，x0?2x?4,y0?2y?3① ，因为点A在圆?x?1??y2?4上运动，所以点A的坐标满

足方程?x?1??y?4,即?x0?1??y0?4．?x0?1??y0?4 ② 222222

3??3??把①代入②，得?2x?4?1???2y?3??4,整理，得?x-???y???1 2??2??2222

?33?所以，点M的轨迹是以??为圆心，半径长为1的圆． ?22?

【方法总结】此题属于相关点问题，相关点问题的求轨迹方法利用代入法．

【思想方法】

1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决

2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形 7

式．

1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c的值 依次为（ B ）．

（A）2、4、4； （B）-2、4、4； （C）2、-4、4； （D）2、-4、-4

2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为（ C ）．

(A)22 (B)4 (C)42 (D)2

3.点(1,1)在圆(x?a)2?(y?a)2?4的内部，则a的取值范围是（ A ）．

(A) ?1?a?1 (B) 0?a?1 (C) a??1或a?1 (D) a??1

4.自点 A(?1,4)作圆(x?2)2?(y?3)2?1的切线，则切线长为（ B ）． (A) (B) 3 (C) (D) 5

5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是( D ) ．

(A) x2?y2?2 (B) x2?y2?4(C) x2?y2?2(x??2) (D) x2?y2?4(x??2)

6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（ D ）．

(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D）-1

7.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ C ）． (A) y?x (B)y??3x (C)y?33x （D）y??x 33

8.过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ C ）．

(A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4

9．直线3x?y?23?0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（ C ）． (A) ???? (B) (C) （D） 6432

10．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与

该圆的位置关系是（ C ）．

(A)相切 (B)相交 (C)相离 （D）相切或相交

2211.已知圆x?y?4x?2y?m?0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若?APB?90?.

求m的值．解：由题设△APB是等腰直角三角形，∴圆心到y轴的距离是圆半径的2倍,2

将圆方程x?y?4x?2y?m?0配方得：(x?2)?(y?1)?5?m．圆心是P(2,－

1)，半径r=5?m ∴?m?22222?2解得m= -3．

12.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：M的轨迹方程为(λ-1)(x+y)-4λx+(1+4x)=0，当λ=1时，方程为直线x=222225．当λ≠1时，方程

为4

8

2?2

221?3?22?2?3?2(x-2)+y=2它表示圆，该圆圆心坐标为(2,0)半径为． 22??1??1(??1)??1

9