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第二篇：高中数学思维发展的探索

新教育形势下数学思维发展的探索

江苏教育学院附属高级中学 宋 磊

关键词： 思维结构 思维发展

1、问题的提出

江苏省教育厅发布“五严”禁令之后，取消了补课以及晚自习等，课时明显的减少，学生在校的时间也大大减少了很多。在这大背景下，怎样搞好高中数学教学工作，怎样更有效的发展学生数学思维能力，成为我们高中数学教师值得研究的课题。当今的课程改革不仅注重教材内容的改革，而且注重教育观念的变化。《课准》及新教材的编写以全面提高学生数学素养和大力提高教学效率为核心、以科学化为基本原则、以培养学生的数学能力和促进学生的要持续发展为教学的出发点和归宿。下面谈谈本人教学心得，以此抛砖引玉。

2、思维结构发展的理解

2.1思维结构的涵义

现代思维科学的研究成果表明，数学思维结构是一个三维立体结构，三轴分别为数学思维方式（如集合对应、公理化结构化、空间思维、变量思维、程序分析等）、思维成分（形象思维、逻辑思维、直觉思维）和个体发展水平（思维品质和非智力品质）。皮亚杰认为，数学思维是主体在思维中以数学知识为基础，以思维方式为中介， 1

在头脑中建立起来的信息操作系统。

2.2认知结构与思维结构需同步发展

数学知识结构包括数学概念、原理、方法及其联系，它既是思维的产品，同时又是思维的材料，对思维方式的发展有重大的影响。在学习过程中，学习者的思维结构根据知识结构的需要进行调整、重建，把知识结构内化为认知结构，而数学认知的核心是数学思维，因此在形成认知结构的过程中思维结构也得到了发展。所以实现认知结构与思维结构同步发展也是数学教学、数学素质教育所追求的培养目标。

3、实现思维结构发展的要求

3.1把数学思想方法的教学贯穿于教学过程的始终

数学思想方法是人们对数学结构的本质认识和对数学问题的求解策略，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。它在数学思维过程又能发挥定向、控制、调节思维的功能。

从学习过程看，数学知识的教学是数学活动结果的教学，重在记忆。而数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辨操作，通过“渗透—积累—重复——内化”才能转化为学生自己经验的一部分。从问题解决过程看，问题出现时，问题解决者首先把条件与结论转化为与原有认知结构相吻合的形式，然后以数学思想为指导，按照一定的意向，把原有认知结构中的概念、原理、法则等 2

重新组合成新的法则，以便实施问题解决。贯彻数学思想方法是实现认知结构与思维结构同步发展的的重要途径。

中学数学中数学思想主要有分类讨论、函数思想、转化思想、数形结合思想等四类，数学方法就很多了，这些思想方法相互渗透。布鲁纳认为，掌握数学思想方法可使数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是领会基本的数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学教学内容中隐含着大量的数学思想方法，教师一定要充分开掘，使学生通过理解和掌握数学思想方法，认识数学本质、发展思维能力。

案例1 例ax2+2x+1=0至少有一负实根的充要条件是（ ）

(A) 0＜a≤1 (B) a＜1 (C) a≤1 (D) 0＜a≤1或a＜0

高三复习时，我从不同的角度，运用了不同的数学思想方法，引导学生分析求解，梳理了知识，构建了知识的网络，实现了认知水平向更高台阶的迈进。

（1）作为选择题，用特值排除法很容易地选择 (C)，

因为a=0时，x=― ；a=1时，x=－1； 21

（2）数形结合 考虑y=ax2和y=－2x－1的图象至少有一个交点其横坐标为负数情况；

（3）等价转化 分离参数a，转化为求a=?2x?1

x2（x＜0）的值域；

（4）分类讨论 讨论方程ax2+2x+1=0只有一个负根、有一个正根 3

和有一个非负根这两种情况，用二次方程根的分布知识去求解；

（5）补集思想 先求方程ax2+2x+1=0无根或无负根的充要条件；

（6）求解方程 解方程小根小于0的a的范围。

3.2从思维的“最近发展区”创设问题情境

维果斯基把学生的认知水平的发展分为两个阶段：第一发展水平是指“现有发展水平”，即学生接受新知识前的原有认知结构；第二发展水平称为“最近发展区”，是在原有认知结构的基础上最易被学生同化和顺应的认知结构。教学中，在最近发展区寻找思维生长点，利用现有的知识构建网络，可为学生架设探索未知的桥梁，最有效地诱发思维，同化新知识，用新的经验和要求去修正和顺应原有认知结构，并在此过程中发展思维水平。

新教材每一章开头的引言的设计就是从思维“最近发展区”出发，它为本章教学创设了生动有趣的问题情境。数学课本是数学知识的载体，思维设计更多的还得靠教师完成，努力探究教材潜在思维题材加以诱导联想，通过在“最近发展区”设计问题，让学生探究知识的发生发展过程，既能达到理顺知识间的相互关系，又能达到深化知识、发展能力的目的。

3、3留给学生发展思维的时间和空间

3.3.1引导学生自主学习

建构主义认为，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动。 4

在数学活动过程中学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。

自主学习是学生对知识进行自主构建的过程，即学生利用头脑里原有的认知结构同化和顺应新知识的活动。皮亚杰说得好，新知识只有通过学生头脑里原有的认知结构的加工改造，才能被学生所真正认识和掌握。

在教学活动中，教师须改变“教师讲，学生听”、“教师问、学生答”以及大量演练习题的教学模式，给学生提供自主探索的时间和空间，让学生在观察，实验、猜测、归纳和整理的过程中去理解问题的提出过程，概念的形成过程，结论的探索过程，实现培养创新思维的目标。在这个过程中教师要关注每个学生的认知发展，对学生在探索过程中所遇到的困难要适时、有效地帮助引导并通过交流、讨论、合作学习的方式加以解决。

案例2 “等比数列性质”的教学，我是这样设计的：

（1） 学生自己复习等差数列性质；

（2） 学生自己探寻总结等比数列性质；

（3）学生自编等比数列性质题并求解；

实践证明，这样做不仅有利于学生新的知识结构的形成，而且有利于学生创造思维的培养。

3.3.2暴露思维过程

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在数学教学过程中，学生不可能对所要学的内容逐一探索发现，大量的是在教师的讲解帮助下去获取知识。斯托利亚尔指出：充分暴露思维过程是教学的指导原则。按照认知理论，数学教学设计应构思展示获取和发展真理性认知的数学活动过程，它不只是认知过程的还原，而是具有思想的飞跃和创造。这就要求教学设计应是数学家的思维活动过程的模拟和浓缩。教科书的编排总体上是按定义、定理、公式、法则、应用这样的顺序，与数学研究顺序恰恰相反，与学生思维活动顺序问题、定理、公式、法则、定义的顺序也是相反的。

教师在教学过程中，应充分暴露自己的思维过程，展示数学概念的形成过程，数学公式、定理的探索过程和问题解决的分析过程，包括成功和失败的过程，还给学生一定的思维环境、时间和空间，让他们看到“思维”做到“思维”，进一步提高认知的效果。

计算机辅助教学、CAI运作对教学定是一件好事，但一个误区必须要注意：信息量大，速度快，剥夺了学生的思维时空。

3.4尊重学生现有发展水平

现代认知心理学看来，学生的学习是以现有认知水平为出发点，以“最近发展区”为定向，在不断产生错误的过程中进行的。尊重学生现有发展水平就是要承认学生能力上的限度，接受学生看待问题的方式、方法，容忍学生学习错误，承认学生发展的个体差异。 6

3.4.1教学内容要与学生的认知发展水平相适应

学生现有的认知结构和思维发展水平是教学的出发点。教师要贯彻螺旋式上升的教学原则，使学生对教学知识的理解有一个逐渐深入的机会。注意到学生已具有那些相应的知识，学生的认识已经获得了什么样的发展，使教学在学生已有认知的基础上展开，不向它们讲力所不及的问题。

案例3 圆锥曲线定义复习课中，学生提出这样问题：双曲线x

a22?yb22?1（a＞0,b＞0）张口内的点到两个焦点距离之差的绝对值

与2a的关系如何？为此我设计了如下两组问题：

题组1（了解实践阶段）

（1）椭圆x

a22?yb22?1（a＞b＞0）内的点到两个焦点距离之和与2a

的关系如何？

（2）抛物线y2=2px（p＞0）张口内的点到焦点距离与到准线距离大小关系如何？

（3）圆内的点到圆心距离与半径大小关系如何？

学生即刻按（3）→（2）→（1）→自己提出的问

题这样顺序愉快地解决了问题（如图4），若P在双曲线

右支张口内，

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证明 |PF1|－|PF2|=|P1F1|＋|P P1|－|P1F2|

=2a＋|P P1|＞2a，

其思维触发点：找出半径或焦半径与曲线的交点并应用曲线定义。 题组2（巩固应用阶段）

（1） 双曲线x

a22?yb22?1（a＞0,b＞0）张口外的点到两个焦点距离

之差的绝对值与2a的关系如何？（小于2a）。

（2） 已知双曲线x

162?y

92?1及点P（5，1）、F2（5，0），动点P1

在右支、左支上，分别求| P1P |＋|P1F2|的最小值。 （答－8，+8）；

若点P（2，2）？（答，53+8）

3.4.2关注学生个体差异

学生由于个人经历与社会环境的不同必然有着不同的知识和经验。教学过程中，教师要体现“人本主义”教育思想，从认知态度、信念和动机等方面关注不同的学生思维发展水平，因材施教，共同发展，共同进步。

3.4.3允许学生出错

学习过程中学生是在他现有的思维水平上理解问题的，是他从自己看问题的角度来看待事物的，这种理解在教师看来或许是不全面、不合理或错误的，可他们在失败和成功的经历中才能真正悟出 8

所学的知识的实质。学生和学生之间也存在认知思维发展的个体差异。允许学生出错，找出错误中的合理因素，积极引导纠正，为学生提供一个合格的学习环境是教师的基本素养。

4结束语

本文所提出的实现思维发展的几个方面相互渗透，互相联系。 数学教育的根本任务不仅在于向学生传授知识，更重要的是培养学生的思维能力，进而优化学生的思维品质。

在新教育形势下,在全面推进和课程改革逐渐深入的大背景下，如何按照《课标》、利用课本更好地促进学生思维的发展是摆在我们每位教育工作者面前的重要课题。

参考文献

[1]严士健、张奠宙、王尚志，普通高中数学课程标准（实验）解读，

江苏教育出版社，2004

[2]曹才翰，章建跃，数学教育心理学，北京师范大学出版社，1999

[3]刘兼，21世纪中国数学教育展望，北京师范大学出版社，1995

[4]戴志生，数学实验教学的认识与实践，数学通讯，2003（1）

[5]郑毓信 数学教育哲学，四川教育出版社，2001

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