用扭摆法测定物体转动惯量

（一）教学基本要求

学会用扭摆法测量物体转动惯量的原理和方法。

了解转动惯量的平行轴定理，理解“对称法”验证平行轴定理的实验思想，学会验证平行轴定理的实验方法。

掌握定标测量思想方法。

学会转动惯量测试仪的使用方法。

学会测量时间的累积放大法。

掌握不确定度的估算方法。

（二）讲课提纲

1．实验简介

转动惯量是表征转动物体惯性大小的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、枪炮的弹丸、电机的转子、机器零件、导弹和卫星的发射等，都不能忽视转动惯量的大小。因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴的位置都有关系。对于形状较简单的刚体，可以通过计算求出它绕定轴的转动惯量，但形状较复杂的刚体计算起来非常困难，通常采用实验方法来测定。

2．实验设计思想和实现方法

（1）基本原理

转动惯量的测量，基本实验方法是转换测量，使物体以一定的形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。

实验中采用扭摆法测量不同形状物体的转动惯量，就是使物体摆动，测量摆动周期，通过物体摆动周期T与转动惯量I的关系来测量转动惯量。

（2）间接比较法测量，确定扭转常数K

已知标准物体的转动惯量I₁，被测物体的转动惯量I₀；被测物体的摆动周期T₀，标准物体被测物体的摆动周期T₁。通过间接比较法可测得

也可以确定出扭转常数K

定出仪器的扭转常数k值，测出物体的摆动周期T，就可计算出转动惯量I。

（3）“对称法”验证平行轴定理

平行轴定理：若质量为m的物体（小金属滑块）绕通过质心轴的转动惯量为I₀时，当转轴平行移动距离x时，则此物体的转动惯量变为I₀+mx²。为了避免相对转轴出现非对称情况，由于重力矩的作用使摆轴不垂直而增大测量误差。实验中采用两个金属滑块辅助金属杆的对称测量法，验证金属滑块的平行轴定理。这样，I₀为两个金属滑块绕通过质心轴的转动惯量，m为两个金属滑块的质量，杆绕摆轴的转动惯量I_杆，当转轴平行移动距离x时（实际上移动的是通过质心的轴），测得的转动惯量

I＝I_杆+I₀+mx²

两个金属滑块的转动惯量

I_x＝I－I_杆＝I₀+mx²

（4）光电转换测量周期

光电门和电脑计数器组成光电计时系统，测量摆动周期。光电门（光电传感器）由红外发射管和红外接受管构成，将光信号转换为脉冲电信号，送入电脑计数器测量周期（计数测量时间）。

3．重点训练的基本方法和技能

（1）实验方法：测量物体转动惯量的扭摆法。

（2）测量方法：力学基本量长度、质量和时间的基本测量方法；测量摆动周期的累加放大法。

（3）数据处理方法：判断理论和实验是否相符的作图法。

（4）仪器调整使用方法：测量长度、质量和时间的基本仪器的正确调节和使用方法；转动惯量测试仪的调整使用方法。

4．测量与数据处理要求

（1）做实验前仔细阅读“实验指示牌”中各项内容，并且贯彻在自己的实验中。

（2）自己阅读教材和仪器使用说明书，学会测量仪器的使用。

（3）累加放大法测量摆动周期T，10个周期一测，测量5次。

（4）质量采用电子天平测量，是否多次测量，自己根据测量结果确定。

（5）长度量采用游标卡尺测量，圆柱的每个待测量测量5次，其余的单次测量。

（6）根据实验数据计算圆柱、圆筒和木球的转动惯量理论值，估算圆柱转动惯量理论值的不确定度，表示计算结果。

（7）间接比较法测量载物金属盘的转动惯量和扭转常数，分别估算不确定度，表示测量结果。

（8）间接比较法测量或直接测量圆筒的转动惯量I_筒，估算估算不确定度，表示测量结果；并与理论值比较，计算百分误差。

（9）直接测量木球的转动惯量I_球，估算估算不确定度，表示测量结果；并与理论值比较，计算百分误差。

（10）直接测量金属细杆的转动惯量I_杆，摆动周期10个周期一测，测量1次。

（11）改变金属滑块质心轴相对摆轴的距离x，直接测量金属细杆加滑块的转动惯量I，摆动周期10个周期一测，测量1次。I_x＝I－I_杆＝I₀+mx²，I_x～x²图线，验证平行轴定理。

（12）实验有关的理论计算公式和一些参考数据，请参考教材P194的附录。

（13）列表记录数据，表格规范，不能使用铅笔记录数据。

（14）在数据签字之前不要整理实验仪器，保持测量原貌；老师检查合格、数据签字之后必须整理好实验器材，方可离开实验室。

5．问题思考与讨论

（1）扭摆法测量转动惯量的基本原理是什么？实验中是怎样实现的？

（2）实验中为什么要测量扭转常数？采用了什么方法？

（3）物体的转动惯量与哪些因素有关？

（4）验证平行轴定理实验中，验证的金属滑块还是金属细杆的？为什么？

（5）验证平行轴定理实验中，金属细杆的作用是什么？

（6）摆动角的大小是否会影响摆动周期？如何确定摆动角的大小？

（7）实验过程中要进行多次重复测量对每一次摆角应做如何处理？

（8）测量转动周期时为什么要采用测量多个周期的方法？此方法叫做什么方法？一般用于什么情况下？

（10）根据误差分析，要使本实验做得准确，关键应抓住哪几个量的测量，为什么?

（11）实验中各个长度的测量为什么要使用不同的测量仪器?

（12）实验中如何判断测量数据是否合理？

（三）实验报告

实验5－15用扭摆法测定物体转动惯量

〔教学目的〕

1．学会扭摆法测量物体转动惯量的基本原理和实现方法。

2．理解“对称法”验证平行轴定理的实验思想，学会验证平行轴定理的实验方法。

3．学习间接比较法测量转动惯量的实验方法，掌握定标测量思想方法。

4．学会光电转换测量时间的累积放大法。

5．掌握直接测量和间接测量不确定度的估算方法。

6．学会判断理论和实验是否相符的作图法。

〔实验原理、设计思想及实现方法〕

    1．转动惯量与扭摆振动周期

转动惯量是表征转动物体惯性大小的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、枪炮的弹丸、电机的转子、机器零件、导弹和卫星的发射等，都不能忽视转动惯量的大小。因此测定物体的转动惯量具有重要的实际意义。刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴的位置都有关系。对于形状较简单的刚体，可以通过计算求出它绕定轴的转动惯量，但形状较复杂的刚体计算起来非常困难，通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量，与转动惯量的关系，进行转换测量。本实验使物体作扭转摆动，由于摆动周期及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。

    扭摆的构造如图1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低摩擦力矩，3为水平仪，用来调整系统平衡。

    将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即：

                                                                      （1）

式中，k为弹簧的扭转常数。根据转动定律

式中，I为物体绕转铀的转动惯量，β为角加速度，由上式得

                                       （2）

令，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）、（2）得：

上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速与角位移成正比，且方向相反，此方程的解为：

式中，A为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度。此谐振动的周期为：

                                       （3）

由（3）式可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I和k中任何一个量已知时即可计算出另一个量。

2．转动惯量平行轴定理

理论分析证明，若质量为m的物体绕通过质心轴的转动惯量为I₀时，当转轴平行移动距离x时，则此物体的转动惯量变为I₀+mx²。称为转动惯量的平行轴定理。

〔仪器用具〕

   1．实验仪器和用具

实验仪器和用具如图2和3所示。

（1）转动惯量测试仪：通过光电传感器测量物体摆动的周期。

（2）电子天平、托盘天平：测量待测物体的质量。

（3）米尺、卡尺：测量待测物体的长度和直径。

（4）待测物体：金属载物盘，塑料圆柱，金属圆筒，金属细杆，金属滑块等。

   2．实验仪器的使用

（1）调节光电传感器在固定支架上的高度，使被测物体上的挡光杆能自由地通过光电门，再将光电传感器的信号传输线插入主机输入端（位于测试仪背面）。

（2）开启主机电源，“摆动”指示灯亮，参量指示“P₁”、数据显示为“一―――”。

（3）本机默认设定扭摆的周期数为10，如要更改，按“置数”键，显示“n＝10”，按“上调”键，周期数依次加1，按“下调”键，周期数依次减1，周期数只能在1~20范围内任意设定，再按“置数”键确认，显示“F1 end”，周期数一旦予置完毕，除复位和再次置数外，其它操作均不改变予置的周期数，但更改后的周期数不具有记忆功能，一旦切断电源或按“复位”键，便恢复原来的默认周期数。

（4）按“执行”键，数据显示为“000.0”，表示仪器己处在等待测量状态，此时，当被测的往复摆动物体上的挡光杆第一次通过光电门时，仪器即开始连续计时，直至仪器所设定的周期数时，便自动停止计时，由“数据显示”给出累计的时间，同时仪器自行计算周期C1予以存贮，以供查询和作多次测量求平均值，至此，P1（第一次测量）测量完毕。

（5）按“执行”键，“P1”变为“P2”，数据显示又回至“000.0”，仪器处在第二次待测状态，本机设定重复测量的最多次数为5次，即（P1，P2…P5）。通过“查询”键可知多次测量的周期值Ci，（i=1，2…5）以及它的平均值“CA”。

〔实验内容与要求〕

1．实验内容

（1）调节扭摆水平和转动惯量测试仪处于测量状态。

（2）测定扭摆的仪器常数即弹簧的扭转常数。

（3）测量塑料圆柱体、金属圆筒和木球的转动惯量，并与理论值比较，计算百分误差。

（4）测量滑块位置不同时的转动惯量，验证转动惯量平行轴定理。

2．测量与数据处理要求

（1）做实验前仔细阅读“实验指示牌”中各项内容，并且贯彻在自己的实验中。

（2）自己阅读教材和仪器使用说明书，学会测量仪器的使用。

（3）累加放大法测量摆动周期T，10个周期一测，测量5次。

（4）质量采用电子天平测量，是否多次测量，自己根据测量结果确定。

（5）长度量采用游标卡尺测量，圆柱的每个待测量测量5次，其余的单次测量。

（6）根据实验数据计算圆柱、圆筒和木球的转动惯量理论值，估算圆柱转动惯量理论值的不确定度，表示计算结果。

（7）间接比较法测量载物金属盘的转动惯量和扭转常数，分别估算不确定度，表示测量结果。

（8）间接比较法测量或直接测量圆筒的转动惯量I_筒，估算估算不确定度，表示测量结果；并与理论值比较，计算百分误差。

（9）直接测量木球的转动惯量I_球，估算估算不确定度，表示测量结果；并与理论值比较，计算百分误差。

（10）直接测量金属细杆的转动惯量I_杆，摆动周期10个周期一测，测量1次。

（11）改变金属滑块质心轴相对摆轴的距离x，直接测量金属细杆加滑块的转动惯量I，摆动周期10个周期一测，测量1次。I_x＝I－I_杆＝I₀+mx²，I_x～x²图线，验证平行轴定理。

（12）实验有关的理论计算公式和一些参考数据，请参考教材P194的附录。

（13）列表记录数据，表格规范，不能使用铅笔记录数据。

（14）在数据签字之前不要整理实验仪器，保持测量原貌；老师检查合格、数据签字之后必须整理好实验器材，方可离开实验室。

〔注意事项〕

1．扭摆的基座应保持水平状态。

2．光电探头宜放置在挡光杆的平衡位置处，挡光杆不能和它相接触，以免增大摩擦力矩。

3．在安装待测物体时，其支架必须全部套入扭摆主轴，将制动螺丝旋紧，否则扭摆不能正常工作。

4．在测定各种物体的摆动周期时，扭摆的摆角应在90⁰附近。

5．在称金属细长杆和木球的质量时，必须取下支架和夹具。

6．扭摆的弹簧有一定的使用寿命和强度，千万不要随意玩弄。

〔问题思考与讨论〕

（1）扭摆法测量转动惯量的基本原理是什么？实验中是怎样实现的？

（2）实验中为什么要测量扭转常数？采用了什么方法？

（3）物体的转动惯量与哪些因素有关？

（4）验证平行轴定理实验中，验证的金属滑块还是金属细杆的？为什么？

（5）验证平行轴定理实验中，金属细杆的作用是什么？

（6）摆动角的大小是否会影响摆动周期？如何确定摆动角的大小？

（7）实验过程中要进行多次重复测量对每一次摆角应做如何处理？

（8）测量转动周期时为什么要采用测量多个周期的方法？此方法叫做什么方法？一般用于什么情况下？

（10）根据误差分析，要使本实验做得准确，关键应抓住哪几个量的测量，为什么?

（11）实验中各个长度的测量为什么要使用不同的测量仪器?

（12）实验中如何判断测量数据是否合理？

〔数据记录与处理〕

测量扭转常数和载物金属盘转动惯量

表1 测量塑料圆柱的直径D数据

表2 测量载物金属盘与塑料圆柱的质量和摆动周期数据

注：塑料圆柱的摆动周期为塑料圆柱加金属载物盘的。

（1）塑料圆柱的转动惯量理论值

估算不确定度：

塑料圆柱转动惯量理论值结果表示：

（2）测量扭转系数

仪器弹簧的扭转系数k：

估算不确定度：

扭转常数k的结果表示：

（3）金属载物盘的转动惯量

（4）塑料圆柱的转动惯量测量值

          相对百分误差：

2、测量金属圆筒和木球的转动惯量

表3 金属圆筒的内径d、外径D与木球的直径D_o测量数据

表4 金属圆筒、木球的质量与摆动周期测量数据

（1）金属圆筒的转动惯量

理论值：

测量值：

相对百分误差：

（2）木球的转动惯量

理论值：

测量值：

相对百分误差：

4、验证平行轴定理

表5 金属圆筒、木球的质量与摆动周期测量数据

    其他测量数据如下：

金属杆长度，610.0mm；质量，133.5g；金属杆夹质量，65.0g；球夹质量，42.5；滑块质量，0.4587kg。

（1）作I_x～x²图线

    根据图线可知，I_x与x²成线性关系，实验结果与平行轴定理相符，验证了平行轴定理。I_x与x²的线性拟合关系为

I_x＝0.0482x²+0.0277，其中单位的I_x为10^-3kg.m²；x²的为10^-4m²。

由此可知，两个金属滑块的质量m＝0.482kg；两个金属滑块绕质心轴的转动惯量I_c＝0.277×10^-4kg.m²。

（2）金属细杆转动惯量的理论值和实验值

金属细杆的转动惯量理论值I^‘_杆：

金属细杆的转动惯量测量值I_杆：

相对百分误差：

〔实验结果与结论〕

    在常温常压条件下，测量结果为：

1．塑料圆柱转动惯量理论值

2．扭转常数

3．验证平行轴定理实验结果与理论相符。