动态法测量杨氏模量实验报告

林文航

机制121

5901212062

一.实验目的

1.理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2.掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会动态法测量杨氏模量。

3.了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的使用。学会用示波器观察判断样品共振的方法。

4.培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。

二实验原理

如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为

                         （1）

棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m²；ρ为材料密度；S为截面积；J为某一截面的转动惯量，。

横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令，则有

                               （2）

由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立。假设此常数为K⁴，则可得到下列两个方程

                                     （3）

                                   （4）

如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为

                     （5）

于是可以得出

                  （6）

式中

                                          （7）

式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件可以得到

                                         (8)

采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系

K_nL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，……                            (9)

其中第一个根 K₀L=0对应试样静止状态；第二个根记为 K₁L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根 K₂L=7.853所对应的振动状态如图2（b）所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224 L和0.776 L。将基频对应的 K₁值代入频率公式，可得到杨氏模量为

                       （10）

如果试样为圆棒(d<<L)，则，所以式（10）可改写为

                                     （11）

同样，对于矩形棒试样则有

                                   （12）

式中m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。

如果圆棒试样不能满足d<<L时，式（11）应乘上一个修正系数T₁，即

                                     （13）

上式中的修正系数T₁可以根据径长比d/L的泊松比查表1得到。

表1  径长比与修正系数的对应关系

由式（10）～（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。

本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f_固和共振频率f_共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为

                                     （14）

上式中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，二者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。

1．杨氏模量的测量

动态法测量杨氏模量的实验装置如图3所示。由信号源1输出的等幅正弦波信号加在发射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示。当信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试样的共振频率。

测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量。这一实验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以改变试样的温度。

2．李萨如图法观测共振频率

实验时也可采用李萨如图法测量共振频率。激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y通道，示波器处于观察李萨如图形状态，从小到大调节信号发生器的频率，直到出现稳定的正椭圆时，即达到共振状态。这是因为，拾振器和激振器的振动频率虽然相同，但是当激振器的振动频率不是被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形（正椭圆），只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调节到试样的固有频率达到共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形（正椭圆）。

3．外延法精确测量基频共振频率

理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在0.224L和0.776L的两个节点处。但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振。

实验时由于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的。悬挂点偏离节点越远（距离棒的端点越近），可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自由这一定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大。由于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大。为了消除这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率。

所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据。外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否则不能使用。

本实验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点（即节点）所对应的共振频率即试样的基频共振频率。

4．基频共振的判断

实验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振。另外，根据实验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会出现几个共振峰，以致在实验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式（11）～（13）只适用于基频共振的情况。因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键。对此，可以采用下述方法来判断和解决。

（1）实验前先根据试样的材质、尺寸、质量等参数通过理论公式估算出基频共振频率的数值，在估算频率附近寻找。

（2）换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消失。

（3）试样发生共振需要一个孕育过程，共振峰有一定的宽度，信号亦较强，切断信号源后信号亦会逐渐衰减。因此，发生共振时，迅速切断信号源，除试样共振会逐渐衰减外，其余假共振会很快消失。

（4）试样共振时，可用一小细杆沿纵向轻碰试样的不同部位，观察共振波振幅。波节处波的振幅不变，波腹处波的振幅减小。波形符合图2（a）的规律即为基频共振。

（5）用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小，并符合图2（a）的规律。对一些细长棒状（或片状）试样，有时能直接听到波腹和波节。

（6）当输入某个频率在显示屏出现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形仍然很少变化，说明这个共振频率不属于试样。悬丝共振时可明显看见悬丝上形成驻波。

（7）试样振动时，观察各振动波形的幅度，波幅最大的共振是基频共振；出现几个共振频率时，基频共振频率最低。

三.实验仪器

悬挂法杨氏模量测量仪，示波器，低频信号发生器，电子秤，游标卡尺，铜棒和不锈钢圆棒样品。

四.实验内容与步骤

1.测定样棒的长度、直径和质量；

2.分别测出不锈钢棒和铜棒的固有频率。

4.利用公式分别计算出不锈钢棒和铜棒的扬氏模量。

5.利用外延法，测量样品节点处的共振频率。

五.数据处理与分析

1.圆形棒试样的几何尺寸和质量

     L=178mm   D=8mm   m=75g

2.共振频率

四次方拟合方程：Y=783.67+2.86x-0.34x²+0.01x³-（1.56E-4）x∧4

当x=0.224L时，共振频率f=779HZ

 

,

u_d=0.001,u_l=0.01cm,u_m=0.1g

 

六.【注意事项】

1、  实验中实测的为样品的共振频率，其与样品的固有频率是不同的概念，应注意区别；

2、  悬挂金属棒时要轻拿轻放，注意不要用力拉扯起振器和拾振器的挂钩；

3、  实验前可先通过估算出铜棒和钢棒的共振频率便于找到两者的共振频率。

附注：

                                                  实验日期：2013.11.4

 

第二篇：杨氏模量和泊松比的测量

弹性模量E和泊松比µ的测定

  

  拉伸试验中得到的屈服极限б_b和强度极限б_S ，反映了材料对力的作用的承受能力，而延伸率δ 或截面收缩率ψ，反映了材料缩性变行的能力，为了表示材料在弹性范围内抵抗变行的难易程度，在实际工程结构中，材料弹性模量E的意义通常是以零件的刚度体现出来的，这是因为一旦零件按应力设计定型，在弹性变形范围内的服役过程中，是以其所受负荷而产生的变性量来判断其刚度的。一般按引起单为应变的负荷为该零件的刚度，例如，在拉压构件中其刚度为：

           式中  A ₀为零件的横截面积。

  由上式可见，要想提高零件的刚度E A₀,亦即要减少零件的弹性变形，可选用高弹性模量的材料和适当加大承载的横截面积，刚度的重要性在于它决定了零件服役时稳定性，对细长杆件和薄壁构件尤为重要。因此，构件的理论分析和设计计算来说，弹性模量E是经常要用到的一个重要力学性能指标。

   在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。横向应变与纵向应变之比值称为泊松比µ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。

   因此金属才料拉伸时弹性模量E地测定是材料力学最主要最基本的一个实验，下面用电测法测定低碳钢弹性模量E和泊松比µ。

(一）   (一）       试验目的

1．1．用电测方法测定低碳钢的弹性模量E及泊松比µ；

2．2．验证虎克定律；

3．3．掌握电测方法的组桥原理与应用。

(二）   (二）       试验原理

1．测定材料弹性模量E一般采用比例极限内的拉伸试验，材料在比例极限内服从虎克定律，其荷载与变形关系为：

                   （1）

若已知载荷ΔP及试件尺寸，只要测得试件伸长ΔL即可得出弹性模量E。

 

                                                                   （2）

由于本试验采用电测法测量，其反映变形测试的数据为应变增量，即   

 

                                                                    （3）

所以（2）成为:          

 

                                                                  （4）

  式中：        ΔP——载荷增量，kN；

                A₀-----试件的横截面面积，cm

为了验证力与变形的线性关心，采用增量法逐级加载，分别测量在相同载荷增量 ΔP作用下试件所产生的应变增量Δε。

增量法可以验证力与变形间的线性关系，若各级载荷量ΔP相等，相应地由应变仪读出的应变增量Δε也大至相等，则线性关系成立，从而验证了虎克定律。

用增量法进行试验还可以判断出试验是否有错误，若各次测出的变形不按一定规律变化就说明试验有错误，应进行检查。

加载方案应在测试前就拟定好。最大应力值要在材料的比例极限内进行测试，故最大的应力值不能超过材料的比例极限，一般取屈服极限б_s 70%~80%。一般可取试验荷载:

P_max = 0.8 A₀б_s                                          (5)

加载级数一般不少于5级。

2．材料在受拉伸或压缩时，不仅沿纵向发生纵向变形，在横向也会同时发生缩短或增大的横向变形。由材料力学知,在弹性变形范围内，横向应变ε_y和纵向应变ε_x成正比关系,这一比值称为材料的泊松比，一般以μ表示，即 

                                                                      （6）

试验时，如同时测出纵向应变和横向应变，则可由上式计算出泊松比μ₀。

(三）   (三）       试件

平板试件多用于电测法，试件形状尺寸及贴片方位如图1所示。为了保证拉伸时的同心度，通常在试件两端开孔，以销钉与拉伸夹头连接，同时可在试件两面贴应变片，以提高试验结果的准确性。

                         图1平板试件布片示意图

(四）   (四）       设备及仪器

1．1．电子拉力试验机或万能试验机。

2．2．静态电阻应变仪。

3．3．游标卡尺

(五）   (五）       试验方法与步骤

1．1．用游标卡尺测量试件中间的截面积尺寸。

2．2．在试件中间截面沿纵向轴线及其垂直方向分别贴三个电阻应变片；在温度补偿上贴一个电阻应变片。

3．3．选择电子拉力试验机或万能试验机测力限度，调准零位。

4．4．将试件夹于试验机的上夹头，用半桥接桥方法,把三个工作片及补偿片接至电阻应变仪。图2应变片串联接桥图。

                             图2应变片串联接桥

5．5．使试件下夹头夹紧后，开始加载。每加一次载荷，读出并记下各测点的应变值。

6．6．将测试结果代入有关公式进行计算，求出E，μ。

(六）   (六）       思考题

1．1．怎样验证虎克定律？

2．2．如何制定本试验的加载方案？如果本试验所用的低碳钢的屈服极限б_s为190Mpa，计算最大的加量；如分为6级试计算出每级增量ΔP。

3．3．为何沿试件纵向轴线方向两面贴两片电阻应变片？

（七）试验报告要求：

1． 1．  试验名称：

2． 2．  试验目的：

3． 3．  试验记录及结果：

（1） （1）   机器、仪器名称、型号、量程。

（2） （2）   试件尺寸。

（3） （3）   试验数据记录、表格、图线及计算结果。

  试验数据记录表头参考格式：

4． 4．  用坐标纸按比例绘制P-ΔL或σ-ε。

5． 5．  书面回答思考题中提出的问题，并写入试验报告中。

（八）计算题：

      对一铝合金试件进行了拉伸试验，载荷一直拉到使试件产生的应变达到0.0075为止，与此同时，试件中所产生的相应的应力为443Mpa。然后卸载至零，出现一残余应变为0.0013，试求铝合金的弹性模量E？