实验 三线摆法测量物体的转动惯量

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但是工程实践中，我们常常碰到大量的形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极其复杂，通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法具有设备简单、直观、测试方便的优点。

一.实验目的

1. 学会用三线摆测量物体的转动惯量。

2. 学会用积累放大法测量扭摆运动的周期。

3. 验证转动惯量的平行轴定理。

二. 实验仪器

DH4601转动惯量测试仪，计时器，圆环，圆柱体，游标卡尺，米尺，水平仪

三. 实验原理

图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬

挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，

下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看

作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体的转动定律均可以导出物体

绕中心轴OO’的转动惯量（推导过程见附录）：

I0?m0gRr2T0 （1-1） 24?H0

式中各物理量的含义如下：

m0为下盘的质量

r、R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离

H0为平衡时上下盘间的垂直距离

T0为下盘作简谐运动的周期，g为重力加速度。 图1 三线摆实验示意图

将质量为m的待测圆环放在下盘上，并使待测圆环的转轴与OO’轴重合。测出此时摆运动的周期T1和上下圆盘间的垂直距离H。那么，可以求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO’的总转动惯量为： I1?(m0?m)gRr2T1 （1-2） 24?H

如果不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有H?H0。那么，待测物体绕中心轴OO’的转动惯量为： I?I1?I0?gRr22[(m?m)T?mT] （1-3） 010024?H

因此，通过长度、质量和时间的测量，便可以求出刚体绕某轴的转动惯量。

由理论上推得的圆环绕中心轴的转动惯量为

I??12m(R12?R2) (1-4) 2

A O’ 其中，R1,R2分别为圆环的内外半径。比较I与I?的大小。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m的物体绕通

过其质心轴AB的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离x时（如

图2），则此物体对新轴OO’的转动惯量为I?Ic?mx2。这一结

论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为m?，形状和质量分布完全相同的两个圆柱

体对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对称的两个小孔）。按上面的

方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴OO’的转动周期Tx，则进

一步可以求出单个圆柱体对中心转轴OO’的转动惯量： B

图2 平行轴定理 O 11(m0?2m?)gRr2m0gRr2Ix?[I2?I0]?[Tx?T0] （1-5） 224?2H4?2H

如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径Rx，则由平行轴定理可求得

?2I?x?mx?12m?Rx （1-6） 2

比较Ix与I?x的大小，可以验证平行轴定理。

计时器的操作

1. 打开电源，程序预置的周期为T=30。要注意的是当计时开始时，显示的是挡光杆经过光电门的次数，

当计数达到2T+1次时，计时停止并且显示具体时间（单位是秒）。例如，我们预置周期为50，按下执行键开始计时，但是显示的是挡光杆经过光电门的次数。当这个计数达到2×50+1=101次时计时停止，显示具体时间。

2. 设置周期的方法。若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T，再按“置数”

锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态。当挡光杆经过光电门的次数达到设定值时，数显将显示具体时间（单位秒）。只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键即可第二次计时。

3. 当断电在开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步走骤。

四.实验内容

1. 用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量。

(1) 调节底座水平：将水平仪置于底座任意两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时底座水平。 (2)调整下盘水平：将水平仪置于下盘任意两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时下盘水平。 (3)用游标卡尺测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b，然后算出悬点到中心的距离r和R。 由等边三角形关系算出r和R，即 r?

a,R?

b3

（1-7）

(4) 其它物理量的测量：用米尺测出两圆盘之间的垂直距离H；用游标卡尺测出待测圆环的内、外直径2R1、2R2。

(5) 测量空盘绕中心轴OO’转动的运动周期T0：轻轻转动上盘（上盘有小转动杆），带动下盘转动，这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在5°以内。用积累放大法测出扭摆运动的周期（测量摆动30次所需的时间）。 (6) 测量待测圆环与下盘共同转动的周期T1：将待测圆环置于下圆盘上，注意使两者中心重合，按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期T1。

2. 用三线摆验证平行轴定理。

(1) 用游标卡尺测出放置两小圆柱体小孔间距2x。

(2) 测出两个小圆柱体（对称放置）与下盘共同转动的周期Tx。

五. 实验数据及其要求

下盘质量m0? 待测圆环质量m? 圆柱体质量m??

g?表1：有关长度测量的记录表

表2：累积法测周期的数据记录表

1.根据公式（1-7）计算出r和R。

2.根据公式（1-3）计算出待测圆环绕中心轴OO’的转动惯量I，并且根据公式（1-4）计算出理论值I?，并将两者进行比较。

3.根据公式（1-5）和（1-6）分别计算出单个圆柱体对中心转轴OO’的转动惯量的测量值Ix与理论值I?x，并将两者进行比较。

六.思考题

1. 2. 3. 4. 5. 6.

用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？

在测量过程中如果下盘出现晃动对周期的测量有影响吗？如有影响，应该如何避免？ 三线摆放上待测物后，其摆动周期足否一定比空盘的转动周期大？为什么？

测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ 如何利用三摆线测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？

三线摆在摆动种受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期足否会变化?对测量结果影响大吗？为什么？

附录

公式（1-1）的推导：c

如图所示，设R和r分别表示系绳点到B盘中心和A盘中心的距离，l表示悬线的长度，H表示上下盘之间的垂直距离，由几何关系得到：

(ac1)2?(ac)2

, h?ac1?ac?

ac1?ac

因为

(ac1)2?(ab1)2?(b1c1)2?l2?(R?r)2(ac)2?(ab2)2?(cb2)2?l2?(cb2)2

利用余弦定理得(cb2)?R?r?2Rrcos? 其中，φ表示∠co1b2。

所以有，(ac)?l?(R?r?2Rrcos?)

2

2

2

2

2

2

2

b根据以上各式，可以得到h的表达式：h?

2Rr(1?cos?)

?

ac1?ac

2Rr?2sin2

ac1?ac

?

，

2Rrsin2

因为悬线长度l很长，B盘的偏转角φ很小，故上式中的ac1?ac?H，那么h?

?

H

Rr?2

又因为sin?，所以 h?

222H

??

dh?Rrd?? dtHdt

1122不计摩擦力，系统机械能守恒，即m0gh?I0??m0v?const 22

d?dh,v?而?? dtdt

1d?21dh)?m0()2?const 所以m0gh?I0(2dt2dt上式两边同时对t求倒数，有：

因为圆盘的转动能量远比其上下运动的平动能大，所以将平动能略去后上式写为： m0gh?1d?I0()2?const 2dt

mgRrd2?上式两边对t求导，得2??(0)? HI0dt

那么有，B圆盘简谐振动的角频率??

因为简谐振动的周期T0?m0gRr HI02?

?， 由以上两个式子就可以求出：I0?

m0gRr2T0 24?H0

 

第二篇：三线摆讲义

用三线摆测量刚体的转动惯量

实验简介

转动惯量是物体转动时惯性的量度，其量值取决于物体形状、质量分布及转轴的位置。 在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量，例如：电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流或电量。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。对于质量分布均匀，外形不复杂的物体可以从它的外形尺寸的质量分布用公式计算出相对于某一确定转轴的转动惯量，而对外形复杂和质量分布不均匀的物体只能通过实验的方法，来精确地测定物体的转动惯量，因而实验方法就显得更为重要。本实验介绍的三线摆法是通过扭转运动测定物体的转动惯量，物理图像清楚、仪器简单、操作简便易行、操作方便、精度较高，适合各种形状的物体，在理论和技术上都有一定的实际意义。

实验目的

1.      掌握用三线摆测定物体的转动惯量的方法;

2.      验证转动惯量的平行轴定理

3.      根据不确定度公式及实验装置、仪器情况，合理选择仪器和安排测量。

实验仪器

三线摆、秒表、游标卡尺、米尺、水准仪、待测金属圆环、两个质量和形状相同的金属圆柱体。

实验方法（含实验装置）

1、原理简述：

两个半径分别为r、R（R > r）的刚性圆盘，用对称分布的三条等长的无弹性、质量可忽略的细线相连，上盘固定，则构成一振动系统，称为三线摆。将三线摆绕其中心的竖直轴扭转一个小小的角度，在悬线张力的作用下，圆盘在一确定的平衡位置左右往复扭动，圆盘的振动周期与其转动惯量有关。悬挂物体的转动惯量不同，测出的转动周期就不同。测出与圆盘的振动周期及其它有关量，就能通过转动惯量的计算公式算出物体的转动惯量。

2、转动惯量实验公式推导

如图，当上、下圆盘水平时，将上圆盘绕竖直的中心轴线O₁O转动一个角度，借助悬线的张力使悬挂的大圆盘绕中心轴 O₁O绕扭摆转动。同时，下圆盘的质心O将沿着转动轴升降， q  是扭摆角，扭摆的过程中圆盘势能与动能的转化过程，扭转的周期与下圆盘（包括置于其上的刚体）的转动惯量有关。

当下圆盘的扭转角 q  很小时，下圆盘的振动可以看作理想的简谐振动，其势能E_P和动能E_K分别为

                                                  （1）

                                  （2）

其中m₀是下圆盘的质量，g为重力加速度，h为下圆盘在振动时上升的高度，为圆频率，为下圆盘质心的速度，I₀为圆盘对O₁O轴的转动惯量。

如果忽略摩擦力的影响，在重力场中由于机械能守恒：

                                                      （3）

因为下圆盘的转动能远大于上下运动的平动能，于是近似有

                                                                            （4）

通过计算可以得到

                                                     （5）

将（5）代入（4）并对t求导得：

                                                                                           （6）

这是一个简谐振动的方程，其解为

                                                                                                   （7）

将振动周期代入上式可以得到：

                                                                                                （8）

由此可见，只要准确测出三线摆的有关参数 m₀、R、r、H和T₀ 就可以精确地求出下圆盘的转动惯量 I₀。

如果要测定一个质量为m的物体的转动惯量，可先测定无负载时下圆盘的转动惯量I₀，然后将待测物体放在下圆盘上，并注意，必须让待测物的质心恰好在仪器的转动轴上。测定整个系统的转动周期T₁，则系统的转动惯量I₁可由下式计算

                                                                                      （9）

其中H₁为放了待测物之后的上、下盘间距，一般可以认为,则待测物体的转动惯量为I 为：

                                                      （10）

用这种方法，在满足实验要求的条件下，可以测定任何形状物体的转动惯量。

用三线摆可以验证转动惯量的平行轴定理。物体的转动惯量取决于物体形状的质量分布以及相对于转轴的位置。因此，物体的转动惯量随转轴不同而改变，转轴可以通过物体内部也可以在物体外部。根据平行轴定理，物体对于任意轴的转动惯量I_a，等于通过此物体以质心为轴的转动惯量I_c 加上物体质量 m 与两轴间距离 d 平方的乘积，写为：

                                                                                                 （11）

通过改变d，测量I_a与d²的关系即可验证转动惯量的平行轴定理。

实验内容

1、用三线摆测圆环的转动惯量，并计算其不确定度

（1）        测定仪器常数R、r、H (m₀为已知），自拟实验步骤，确保三线摆上下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态，要恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。

（2）    测量下圆盘的转动惯量I_0­，并计算其不确定度。

转动三线摆上方的小圆盘，使其绕自身轴转一角度q，借助线的张力使下圆盘作扭摆运动，利用公式（8），求出I₀，并推导出不确定度的传递公式，计算I₀的不确定度。

（3）    测量圆环的转动惯量

在下圆盘上放上待测圆环，要注意使圆环的质心恰好在转动轴上，测量系统的转动惯量I₁。圆环的质量m为已知，测量内外直径D_内、D_外。利用（10）求出圆环的I，并与理论值进行比较，求出相对误差。理论值由下式计算

                                                                                                                       （12）

（4）    验证平行轴定理

将质量和形状尺寸相同的两个金属圆柱重叠起来放在下圆盘上，注意使质心与下圆盘的质心重合。测量转动轴通过圆柱质心时，系统的转动惯量I_c，然后将两个圆柱对称地置于下圆盘中心的两侧。测量此时系统的转动惯量I_a。

测量圆柱质心到中心转轴的距离d，代入式（11），计算，并与测量值I_a比较。

改变d值，测量一组I_a，并作I_a－d² 曲线，由曲线求出I_c和m，并与实验测量值比较，给出结论。_出

实验的重点和难点解析

重点是要了解用三线摆测物体转动惯量的实验原理以及学会对实验数据的正确处理和不确定度分析。

难点是掌握游标卡尺、秒表等基本测量工具的正确使用方法，调节三线摆上下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。

思考题:

1 用三线摆测刚体的转动惯量时，扭转角 q 的大小有无对实验结果影响？若有影响，能否进行修正？

2 三线摆在摆动中受到空气阻尼，振幅越来越小，它的周期如何变化？请观察实验，并说出理论根据。

3 加上待测物体后，三线摆的周期是否一定比空盘的周期大？为什么？