用三线摆测量物体的转动惯量

一、实验目的与要求

（1）学习三线摆的构造原理和使用方法；

（2）学习用三线摆的三线摆或扭摆测物体的转动惯量，并将实验值和理论值进行比较；

（3）验证转动惯量的平行轴定理。

二、实验仪器：

三线摆实验仪或扭摆，气泡水准器，游标卡尺，米尺，秒表。

刚体附件：圆盘M0，铁圆环Ma，铝圆环Mb，铁（或铝）圆柱体Mc等。

三、实验原理：

三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。设下圆盘质量为，当它绕OO＇扭转的最大角位移为时，圆盘的中心位置升高，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：

（为重力加速度）

当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为，重力势能被全部转变为动能，有：

式中是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO‘轴的转动惯量。

如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：

设悬线长度为，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C1，如图3-2-2所示，则：

在扭转角很小，摆长很长时，sin，而BC+BC1»2H，其中

H=　　　（H为上下两盘之间的垂直距离）

则　　　　　　　　　　　　

由于下盘的扭转角度很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是

式中，是圆盘在时间t时的角位移，是角振幅，是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为：

经过平衡位置时t=0 ,的最大角速度为：

将（3-2-2）、（3-2-3）式代入（3-2-1）式可得

实验时，测出、及，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有

从（3-2-5）减去（3-2-4）得到被测物体的转动惯量为

在理论上，对于质量为，内、外直径分别为、的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为。而对于质量为、直径为的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为。

四. 实验内容

测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量

1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。

2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间，重复测量5次求平均值，计算出下盘空载时的振动周期T0。

3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。

4. 测出圆环质量（）、内外直径（、）及仪器有关参量（等）。

因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3-2-3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/。

5.将实验数据填入下表中。先由（3-2-4）式推出的相对不确定度公式，算出的相对不确定度、绝对不确定度，并写出的测量结果。再由（3-2-6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。

五、实验数据记录：

质量与周期的测量

直径与距离的测量单位：mm

三线摆的几何参数单位：mm

六、数据处理：

求各物体的转动惯量的实验值；

求各物体的转动惯量的理论值；

求相对误差：E=│实验值-理论值│/理论值*100%.

七、实验分析：

1、实验时，转动上圆盘带动下圆盘转动，这样可以避免三线摆在做扭摆运动时发生晃动。扭摆转角最好控制在5°之内。仪器在静止时启动；

2、实验时，下圆盘扭动时，其质心只能上下移动，如果质心有左右摆动，则必须重新启动扭摆；

3、为了测量周期T的准确性，应尽可能地取多次周期，计算其平均值；

4、进行实验前，先用气泡水准器调整下圆盘面水平。

思考题与思维拓展：

1、实验中误差来源有哪些？

米尺测量H、a、b等引起的误差，游标卡尺测量引起的误差。

2、圆盘在运动时，其振幅的变化情况：

圆盘在运动时，其振幅逐渐变小。原因是圆盘克服空气阻力做功，其机械能减少，振幅变小。

3、加上待测物体后，三线摆的周期是否比空盘的周期大？

不一定。因为质量分布越偏离转轴，系统的转动惯量就越大，转动周期也越大。

第二篇：三线摆法测量

实验三三线摆法测量物体的转动惯量

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。转动惯量的大小处于物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但是工程实践中，我们常常碰到大量的形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极其复杂，通常采用实验方法来测定。

转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法具有设备简单、直观、测试方便的优点。

一.实验目的

1. 学会用三线摆测量物体的转动惯量。

2. 学会用积累放大法测量周期运动的周期。

3. 验证转动惯量的平行轴定理。

二. 实验仪器

DH4601转动惯量测试仪，计时器，游标卡尺，物理天平，卷尺

三. 实验原理

图一是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上（图上未画出）。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体的转动定律均可以导出物体绕中心轴AB的转动惯量（推导过程见后）：

（1-1）

式中各物理量的含义如下：

为下盘的质量

、分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离

为平衡时上下盘间的垂直距离

为下盘作简谐运动的周期，为重力加速度。

将质量为m的待测圆环放在下盘上，并使待测圆环的转轴与AB轴重合。测出此时摆运动的周期和上下圆盘间的垂直距离H。那么，可以求得待测刚体和下圆盘对中心转轴AB的总转动惯量为：

（1-2）

如果不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有。那么，待测物体绕中心轴AB的转动惯量为：

（1-3）

因此，通过长度、质量和时间的测量，便可以求出刚体绕某轴的转动惯量。

由理论上推得的圆环绕中心轴的转动惯量为

(1-4)

其中，分别为圆环的内外半径。比较的大小。

用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m的物体绕通过其质心轴EF的转动惯量为，当转轴平行移动距离x时（如图二），则此物体对新轴CD的转动惯量为。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。

实验时将质量均为，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对称的两个小孔）。按上面的方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴AB的转动周期，则进一步可以求出单个圆柱体对中心转轴AB的转动惯量：

（1-5）

如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱体的半径，则由平行轴定理可求得

（1-6）

比较的大小，可以验证平行轴定理。

计时器的操作

1. 打开电源，程序预置的周期为T=30。要注意的是当计时开始时，显示的是小球经过光电门的次数，当计数达到2T+1次时，计时停止并且显示具体时间（单位是秒）。例如，我们预置周期为50，按下执行键开始计时，但是显示的是小球经过光电门的次数。当这个计数达到2×50+1=101次时计时停止，显示具体时间。

2. 设置周期的方法。若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T,再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态。当物体经过光电门的次数达到设定值时，数显将显示具体时间（单位秒）。只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键即可第二次计时。

3. 当断电在开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步走骤。

四.实验内容

1. 调节底座水平：将水平仪置于底座任意两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时底座水平。

2. 调整下盘水平：将水平仪置于下盘任意两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时下盘水平。

3. 测定仪器常数、R、r，并测量圆环、圆柱体和下盘的质量。其中为悬线长，r和R分别为上下圆盘中心到悬点的距离，通过测出的两圆盘的相邻两个悬点间的距离a和b由等边三角形关系算出r和R，即