万方检测系统焦点问题答疑

万方检测的通知

尊敬的客户：翰林文化工作室推出论文检测的业务，需要的联系我们！！！ 本店新收费标准：2元/万字符（复检测每万字1元）,不足万字按万字计算。团购查更加优惠哦！并有本店独创“修改建议”随检测报告赠送！

店址：/ 店主在高校研究生处工作，在万方平台已经测过数千篇文章，积累了丰富的经验，可以算的上论文检测方面的专家。本着负责的态度，以下8条问题，为店主半个月前的原创，但是现在已经被同行们严重抄袭。为防止竞争对手再次抄袭，店主根据买家反馈，总结了“买家必读，修改建议”在检测后作为赠品赠与大家，事关学位，相信对大家会有很大帮助，也为大家有效解决不少疑惑！

焦点问题答疑

1、我的字数没有那么多呀，我在word中看是3万多字，为何到你那里就变多了呢？

答：我知道您很懒，肯定没有在万方检测站注册，我专门注册了两个用户名和密码，但没充钱进去，可以供大家验字数多少。word中显示的字数与系统显示是不一样的，请您按照我后面介绍的万方自己检测的方法进行验证。

2、准不准呀？

答：全国人民都是在一个网上检测的，不存在准不准。你们学校若用的是万方结果与我测的绝对一

万方检测系统焦点问题答疑

样，若有一字之别，退十倍款。3、你检测的准吗？答：建议有此心理、多疑的同学，打消疑虑。全国人民用一个网检测，没有准不准之说。 4、万方检测我店优惠力度大，检测的同学多，但问问题的也多，许多同学问与知网检测结果相差多少。答：检了才知道！由于两个公司收录内容有别，检测结果的差别度会因您文章的不同而不同，有的人抄的内容刚好万方收录而知网没收录，那可能在万方检测时百分比会多，而在知网检测会少。若经济不宽裕的话，可以选择万方检测，做个参考，待修改后再选择知网检测，毕竟学校用的是知网嘛。许多同学都问了一个知网和万方都存在的共性问题，为何检测的报告单中没出全，是不是只出片断??。答：两个系统都是全文逐字对比，12到13个字重复即抄袭，报告单中无显示就说明与收录库对比后没发现抄袭。你会问自己抄很多为何检不出，原因很多，书本内容知网和万方都不收录，新印出来的期刊，尚未被收录，这些都测不出。

常见问题回答

1．你们和学校检测的结果一样吗？

学校大都使用的是学术文献学术不端检测系统VIP，店主认为只有为修改但又舍不得花太多钱的情况下才适合用此系统检测，目的仅是为修改。最终还是要通过 学校使用的学术文献学术不端检测系统VIP检测的。

因此，我不能回答是否一样。因为两个系统分属两个公司，对比库可能有所差别，也就是说这篇文章这家公司收录可能会对比出来，那家公司没收录就对比不出来。

一句话，不管哪个系统检测，都要根据检测的结果进行认真的修改。

2．万方检测的好处有哪些？

（1）价格便宜（市场进入有先后，中国知网自2008

年就已经将系统投入各高校使用，而万方是在20xx年才正式推出，所以未占据市场，但优质优价的）。知网160元一篇，万方只需2元一万字。

（2）给出的相似段落和知网检测给出的相似段落大同小异。

（3）有些朋友在学校测了知网的，但只知道抄袭率，没得到检测报告，这时可以来万方检测弄份检测报告修改！

3．多久出结果？

答：付款后立即给。

4．检测后提供什么结果：

答：（1）一份PDF格式的检测报告

（2）赠送一份修改建议（本人自己经验总结，仅供参考）

5．检测的步骤是？

答：您通过旺旺或者QQ发给我论文，店主告诉您要付多少钱，然后您付款到支付宝，我给您检测，检测好后，给您发检测报告和修改建议各一份。供您参考！

6．相似率多少才能通过呀？

答：学校不同，规定不同，有些规定30%以下，有些规定20%以下，甚至有些学校规定5%以下，请亲们注意，学校的规定是以cnki的复制比为准的，而不是以万方为准的。不管自己学校规定多少，您来做万方检测的目的应该是发现您哪里抄袭了，以及抄了多少内容，然后您和原文对照修改，全都修改了，就稳妥了！

联系方式：QQ：44560981 旺旺：勇敢的我行

检测价格（最便宜的论文检测）：万方论

文检测每万字符2元（含空格）； 复测每

万字符1元（含空格）。知网论文检测每篇

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最佳检测方案：初次检测首先先用万方检

测，看看自己写的水平;检测到一定相似比后，要是还不放心；再选择知网检测，知网检测最为保底检测。一般情况万方检测相似比低了，知网检测通过也没有大问题。（给亲最佳省钱的建议：先万方--后知网--万方改到百分之5以下，再用知网检测，肯定过而且最省钱.如果您是硕士论文重要性不言而喻，建议您一定在上交前：知网vip检测一次。郑重承诺：知网vip检测

保证和高校的一字不差！）

知网vip系统检测常识：

1.知网vip检测是以附件的形式上传，给我的什么的内容，就上传什么样的内容，建议尽量把word版本终稿给我检测,内容尽量全。如果是自己的原因发错了，无法重新检测，检测成本很高。因此也不存在漏测现象；希望理解相互配合。我们不检测合并的论文，谢谢理解。

2.系统会把上传的论文自动分段，段1—段2—段3—如果段2没有抄袭，就会在检测报告默认不存在。检测报告中只给出有抄袭的段落， 没发现抄袭的段落自动不给出的，请大家注意！比如整体复制比是0.00的话，检测报告是空白的，什么都没有！

3. 加入引用照样会呗标注，相似比是允许存在的 只是不要超过学校要求的比例（此比例是学校自己设置的），学校设置此比例就是参考文献而设。

知网vip系统是高校硕博检测的标准系统，无可复制，请不要之翼检测报告的真伪，更不要怀疑给您漏测.只要您选择我们知网

vip检测。郑重承诺：保证和高校的一字不差！

附注： 尊敬的客户：替顾客保密，这是我们的从业的准则，检测完论文后5分钟内必须删除。

【友情提示】：事关论文无小事！同学们的苦读二十载就是为了这一纸学位。希望顾客和我们一起本着对自己的学位负责的态度对待自己的论文，认真修改,学术来不得半点的虚假和玩笑！我们愿同您一起努力！

尊敬的客户：您身边的一定有很多朋友和同学，正在论文检测而烦恼，请帮我们推荐下，万分谢谢。把下面的帖子在你们的QQ群或者校内网或者大学的BBS或者贴吧转发，让更多的朋友收到最权威的论文检测服务-----我代表我们的团队向您表示最虔诚的感谢！

 

第二篇：总结多篇行测数量关系题型分类与解题技巧并附带行测重点行程问题保存

数学复习总纲

【分享】公考中数学知识部分如何学习的计划安排和心得！

分配学习时间 我做了这样一个假设， 假如你是一张白纸（对于公务员考试而言）

我建议大家遵循这样的学习时间安排。比较合适。 这是我个人的经验和看法。 仅以参考！

1、数字推理（每天必须练习）

开始的前3周， 每周1.5小时, 主要是以看和归纳为主。 3周之后要能丢开资料自己可以回忆出数字推理的若干种类型。特别是经典的7大类型

3周之后 看是1周（每天半小时的计时练习。每道题目不得超过53秒），从第5周直到考试， 每天都要用10分钟～15分钟的时间不停的巩固和练习这数字推理。主要是保持和培养数字敏感性和了解一些新的题型（新的题型以了解为主，不要强求）

2、数学运算。（我建议集中时间整理和复习 准备时间应该是在2个月以上）

首先，先对国考，或者你所参加的地方考试的题型和命题风格做一个了解。 看看这些数学运算试题的难度系数如何。 总结归纳常见的考试类型。如果你觉得你有足够的能力，你还可以归纳考察的思维方向是来自哪几点（这个比较重要。如果不能达到这一点，可以借鉴老师，或者网络，借鉴别人的与此相关的总结）

其次是平时的练习。应该划分专项来练习。专项的划分就是根据第一步你对考试类型的划分。 学会总结方法（方法不是公式，只记住公式那是没用的，必须去掌握公式的由来） 。练习的题源应当以 国家（03～至今），北京（05～至今），山东（04～至今），浙江（05～至今），江苏（04～至今），辅助于 福建（06～08年）等地的真题为主。

最后通过练习，必须学会做总结归纳，做好笔记。 对每种类型都要学会用一句话或者一段简洁的话写出你的感受和观点。

鲤鱼网——成功在于执着

数学复习总纲 ....................................................................................................................... 1 1.

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【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！ ............................ 3 【分享】数学公式终极总结 ............................................................................ 4 【分享】排列组合基础知识及习题分析 ......................................................... 8 【分享】排列组合新讲义 ............................................................................. 14 【分享】无私奉献万华的排列组合题（系列之二） ..................................... 21 【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析 ................................................. 24 【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题 ........ 25 【讨论】裴波纳契数列的另类运用 ............................................................... 27 【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析 ............................................ 28 【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析 .............................. 30 【讨论】“五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数”一题 ............... 33 【经验分享】浅谈mn/(m+n)公式的由来（盐水交换问题） ........................ 34 【周末练习】4道经典习题（已公布解析DONE） ..................................... 37 【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析 ................................. 40 【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结 .......................................... 41 【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑！ ............ 43 【总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析） ........ 43 【开会时间分针时针互换问题】新题型的2道问题的解析 .......................... 45 【分享】（绝对经典）20道比列及列式计算 ............................................... 46 【分享】60道数学题的解析 ........................................................................ 51

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1. 【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！

（一） 数字推理

（1）数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义 如∏＝3.1415926，阶乘数列。

（2）等差、等比数列,间隔差、间隔比数列。

（3）分组及双数列规律

（4）移动求运算数列

（5）次方数列（1、基于平方立方的数列 2、基于2^n次方数列 ，3幂的2，3次方交替数列等为主体架构的数列）

（6）周期对称数列

（7）分数与根号数列

（8）裂变数列

（9）四则组合运算数列

（10）图形数列

（二） 数学运算

（1）数理性质基础知识。

（2）代数基础知识。

（3）抛物线及多项式的灵活运用

（4）连续自然数求和和及变式运用

（5）木桶（短板）效应

（6）消去法运用

（7）十字交叉法运用（特殊类型）

（8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系）

（9）鸡兔同笼运用

（10）容斥原理的运用

（11）抽屉原理运用

（12）排列组合与概率：（重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式， 静止概率以及先【后】验概率）

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（13）年龄问题

（14）几何图形求解思路 （求阴影部分面积 割补法为主）

（15）方阵方体与队列问题

（16）植树问题（直线和环形）

（17）统筹与优化问题

（18）牛吃草问题

（19）周期与日期问题

（20）页码问题

（21）兑换酒瓶的问题

（22）青蛙跳井（寻找临界点）问题

（23）行程问题（相遇与追击，水流行程，环形追击相遇： 变速行程，曲线（折返，高山，缓行）行程，多次相遇行程， 多模型行程对比）

2. 【分享】数学公式终极总结

容斥原理

涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算： 一的个数+二的个数－都含有的个数＝总数－都不含有的个数

【例3】某大学某班学生总数为 32人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国 2004B-46】

A.10 B.4 C.6 D.8

应用公式 26+24-22=32-X

X=4

所以答案选B

【例9】某单位有青年员工 85人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山东 2004-13】

A.57 B.73 C.130 D.69

应用公式： 68+62-X=85-12

X=57人

抽屉原理：

【例1】在一个口袋里有10个黑球，6 个白球，4 个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？【北京应届2007-15】

A.14 B.15 C.17 D.1849.

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采取总不利原则 10+4+1=15 这个没什么好说的

剪绳问题核心公式

一根绳连续对折N 次，从中M 刀，则被剪成了(2N×M+1)段

【例5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后，原来的绳

子被剪成了几段？【浙江2006-38】

A.18段 B.49段 C.42段 D.52段

2^3*6+1=49

方阵终极公式

假设方阵最外层一边人数为N，则

一、实心方阵人数=N×N

二、最外层人数=（N－1）×4

【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人？

【国2002A-9】【国2002B-18】

A.256人 B.250人 C.225人 D.196人

（N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以选A

【例3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生：【浙 江2003-18】

A.600人 B.615人 C.625 人 D.640人

（N-1）4=96 N=25 N*N=625

过河问题：

来回数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]*2+1

次数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]+1

【例 1】有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？

【广东2005上-10】

A.7次 B.8次 C.9次 D.10次

37-1/5-1 所以是9次

【例2】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7人的橡皮船，过一次河需3 分钟。全体

队员渡到河对岸需要多少分钟？（ ）【北京应届 2006-24】

A.54 B.48 C.45 D.39

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【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45

【例4】有一只青蛙掉入一口深10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，

则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?

A.7 B.8 C.9 D.10

【（10-4）/1】+1=7

核心提示

三角形内角和180° N 边形内角和为（N-2）180

【例1】三角形的内角和为180度，问六边形的内角和是多少度？【国家

2002B-12】

A.720度 B.600度 C.480度 D.360度

（6-2）180=720°

盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈： （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏： （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数

例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”

解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数

10×8-9=80-9=71（个）………………桃子

还有那个排方阵，一排加三个人，剩29人的题，也可用盈亏公式解答。

行程问题模块

平均速度问题 V=2V1V2/V1+V2

【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均

时速为多少？【国家1999-39】

A.55km B.50km C.48km D.45km

2*40*60/100=48

【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米，

则它的平均速度为多少千米/时？【浙江 2003-20】

A.24千米／时 B.24.5千米／时 C.25千米／时 D.25.5 千米/时

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2*30*20/30+20=24

比例行程问题

路程＝速度×时间（ 1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或 ）路程比＝速度比×时间比，S1/S2=V1/V2=T1/T2

运动时间相等，运动距离正比与运动速度

运动速度相等，运动距离正比与运动时间

运动距离相等，运动速度反比与运动时间

【例2】 A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比是15∶16，那么，甲火车在什么时

刻从A站出发开往B站。【国2007-53】

A.8时12分 B.8时15分 C.8时24分 D.8时30分

速度比是4：5

路程比是15：16

15S：16S

5V : 4V 所以T1:T2=3:4 也就是45分钟 60-45=15 所以答案是B

在相遇追及问题中：

凡有益于相对运动的用“加” ，速度取“和” ，包括相遇、背离等问题。

凡阻碍 相对运动的用“减” ，速度取“差” ，包括追及等问题。

从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差

从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和

【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？（ ）

【北京社招2005-20】

A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米

X/90+X/210=10 X=630

某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】

A.10米/秒 B.10.7米/秒 C.12.5 米/秒 D.500米/分

核心提示

列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度

列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/列车速度

1000+X=120V

1000-X=80V

解得 10米/秒

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为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，则应交水费多少钱？

15顿和12顿都是超额的，所以62.5－（3X5）

[例1]某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？

A.5.5小时 B.5小时 C.4.5小时 D.4小时

假设有m个人（或者m组人），速度v1，一个车，速度v2。

车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。

T=(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-1)v1]

3. 【分享】排列组合基础知识及习题分析

在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！

C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1） C6取2＝（6×5）/（2×1）

通过这2个例子 看出

CM取N 公式 是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作为分母

P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1

通过这2个例子

PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时 即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二：

其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；

其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.

分 类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分

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成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.

两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

1．有限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：

⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.

⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.

2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：

“含”与“不含”

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3． 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.

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提供10道习题供大家练习

1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）

(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个

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【解析】

根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

可见最大的边是11

则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候

因此我们以一条边的长度开始分析

如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1

如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，

（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合） 如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。。。。。。。3

（理由同上 ，可见规律出现）

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规律出现 总数是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝36

2、

（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？

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【解析】 每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种可能性。接着再放第2封，也有3种可能性，直到第4封， 所以分步属于乘法原则 即3×3×3×3＝3^4

（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？

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【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 4×4×4＝4^3

（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ -------------------------------------------------------------

【解析】分步来做

第一步：我们先选出3本书 即多少种可能性 C8取3＝56种

第二步：分配给3个同学。 P33＝6种

这 里稍微介绍一下为什么是P33 ，我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3×2×1 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2，3，4四个数字可以组成多少4位数？ 也是满足这样的分步原则。 用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。

所以该题结果是56×6＝336

3、

七个同学排成一横排照相.

（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600）

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【解析】

这个题目我们分2步完成

第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5

第二步： 剩下的6个人即满足P原则 P66＝720

所以 总数是720×5＝3600

（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440）

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【解析】

第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2取1＝2

第二步：剩下的6个人满足P原则 P66＝720

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则总数是 720×2＝1440

（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120）

---------------------------------------------------

【解析】特殊情况先安排特殊

第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况

去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400

第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置

则 剩下的6个位置满足P66＝720

因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 2400＋720＝3120

（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440）

-----------------------------------------------

【解析】相邻用捆绑原则 2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论

第1： 选位置 C6取1＝6

第2： 选出来的2个位置对甲乙在排 即P22＝2

则安排甲乙符合情况的种数是2×6＝12

剩下的5个人即满足P55的规律＝120

则 最后结果是 120×12＝1440

（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）

-------------------------------------------------------

【解析】

这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520

4、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数.

（1）能组成多少个四位数？ （300）

--------------------------------------------------------

【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排0。 则只有5种可能性 接下来3个位置满足P53原则＝5×4×3＝60 即总数是 60×5＝300

（2）能组成多少个自然数？ （1631）

---------------------------------------------------------

【解析】自然数是从个位数开始所有情况

分情况

1位数： C6取1＝6

2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

3位数： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100

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4位数： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300

5位数： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600

6位数： 5×P55＝5×120＝600

总数是1631

这里解释一下计算方式 比如说2位数： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

先从不是0的5个数字中取2个排列 即C5取2×P22 还有一种情况是从不是0的5个数字中选一个和0搭配成2位数 即C5取1×P11 因为0不能作为最高位 所以最高位只有1种可能

（3）能组成多少个六位奇数？ （288）

---------------------------------------------------

【解析】高位不能为0 个位为奇数1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 3×4×P44＝12×24＝288

（4）能组成多少个能被25整除的四位数？ （21）

----------------------------------------------------

【解析】 能被25整除的4位数有2种可能

后2位是25： 3×3＝9

后2位是50： P42＝4×3＝12

共计9＋12＝21

（5）能组成多少个比201345大的数？ （479）

------------------------------------------------

【解析】

从数字201345 这个6位数看 是最高位为2的最小6位数 所以我们看最高位大于等于2的6位数是多少？

4×P55＝4×120＝480 去掉 201345这个数 即比201345大的有480－1＝479

（6）求所有组成三位数的总和. （32640）

---------------------------------------------

【解析】每个位置都来分析一下

百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)

十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)

个位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)

总和 M＝M1+M2+M3=32640

5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.

（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096）

【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的 所以 即C2取2×C98取3＝152096

（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560）

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【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个 C2取1×C98取4＝7224560

（3）“其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864）

【解析】则即在98个合格的中抽取5个 C98取5＝67910864

（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656）

【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有1种的

C100取5－C98取5＝7376656

（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424）

【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的

C100取5－C98取3＝75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）

(A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种

--------------------------------------------------------

【解析】根据条件我们可以分2种情况

第一种情况：2台甲＋1台乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30

第二种情况：1台甲＋2台乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40

所以总数是 30＋40＝70种

7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__种. -------------------------------------------------------

【解析】至少有3件 则说明是3件或4件

3件：C4取3×C46取2＝4140

4件：C4取4×C46取1＝46

共计是 4140＋46＝4186

8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ）

(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【解析】分步完成

第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4＝210

第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12种情况 则根据分步原则 乘法关系 210×12＝2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有__

C(4,12)C(4,8)C(4,4)

___种

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

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【解析】每个路口都按次序考虑

第一个路口是C12取4

第二个路口是C8取4

第三个路口是C4取4

则结果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要P33吗 其实不是这样的 在我们从12人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再×P33 则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要÷P33

10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【解析】

这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法

直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去插10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990种。

另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3)种，再在余下的8个位置补上原有的8个节目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990种。

4. 【分享】排列组合新讲义

作者：徐克猛（天字1号） 2009-2-19

一、 排列组合定义

1、什么是C

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用， 这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合。即C（3，2）＝3

2、什么是P或A

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。

例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C（3，2）后排P22，就构成了 C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）

3、A和C的关系

事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。

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4、计算方式以及技巧要求

组合：C（M，N）＝M！÷（ N！×（M－N）！） 条件：N<=M

排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！ 条件：N<=M

为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（M，N）当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C（M，

[M－N]），因为 C（M，N）＝C（M，[M－N]）

二、 排列组合常见的恒等公式

1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n

2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）

针对这2组公式我来举例运用

(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？

解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512

(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法 之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？

C（8，n）＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。

三、 排列组合的基本理论精要部分（分类和分步）

(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零， 例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看，

第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A（5，5）

第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A（5，5）

我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。 这就是分类原则。 这样就是A（5，5）＋A（5，5）＝240

(2)、乘法原理（实质上就是一种分步原则）：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×?×mn种不同的方法．

例如： 7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则， 第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，A（5，5） 第二步：我们再排甲乙，A（2，2）

这样就是 A（5，5）×A（2，2）＝240

如何区分两个原理：

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我们知道分类原则也就是加法原则，每一个分类之间没有联系，都是可以单独运算，单独成题的，也就是说，这一类情况的方法是独立的，所以我们采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；

我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．说明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来

（3）特殊优先，一般次要的原则

例题：

（1）从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有___个。

第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。

（2）在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有一种选择，

同理A、B位置互换 ，共12种。

（3）从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

(A)240 (B)180 (C)120 (D)60

分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有C（6，1）种方法；

（二）从剩下的5双手套中任选2双，有C（5，2）种方法。

（三）这2双可以任意取出其中每双中的1只，保证各不成双；

即 C（6，1）*C（5，2）*2^2=240

（4）身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）=90种。

四、 解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把这个集合看成数学上的单位1，那么1＝a＋b 就是我们构建逆向思维的数学模型了， 当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出a＝1－b。

例题：7个人排座，甲坐在乙的左边（不一定相邻）的情况有多少种？

例题：一个正方体有8个顶点 我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构

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成四面体的。

例题：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：

（1）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集

例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?

（2）包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系

例题：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?

P55×－P44＝120－24＝96

用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?

25，75 （3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60

（3）影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例题：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?

3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略

例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。

简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有C4取2种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有6×10=60个

4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。

例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种。144

5、插板法

插板法的条件构成： 1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个

插板法的类型：

（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插板法 点评略）

（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法： 这个题目对照插板法的3个条件我们发现 至少满足1个这个条件没有， 所以我们必须使其满足，最好的方法 就是用14块奶糖来分，至少每人1块 ，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分了，就回归到了原题）

（3）、10块奶糖放到编号为1，2，3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，则有几种方法？（定制插板法： 已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学会先去安排 使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路出发，跟第二个例题是姊妹题 思路是一样的 对照条件 想办法使其和条件吻合！）

（4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1～11的盒子里面，每个盒子至少放1个，有多少种方法？（多次插空法 这里不多讲，见我排列组合基础讲义）

6、递归法（枚举法）

公考也有这样的类型， 排错信封问题，还有一些邮票问题

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归纳法：

例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？

枚举法：

例如：10张相同的邮票 分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种方法？

枚举：

1，1，1，7

1，1，2，6

1，1，3，5

1，1，4，4

1，2，2，5

1，2，3，4

1，3，3，3

2，2，2，4

2，2，3，3

9种方法！

五、 疑难问题

1、如何验证重复问题

2、关于位置与元素的相同问题，

例如： 6个人平均分配给3个不同的班级，跟 6个学生平分成3组的区别

3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。

例题： 1，2，3，4，5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？

例题：7个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？

注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。 当对立情况的概率相等，即对称原理。

4、环形排列和线性排列问题。（见我的基础排列组合讲义二习题讲解）

例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。 问有多少种方法？

例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？

注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的范畴，我们知道，环形排列中 每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个人坐下来作为参照位置。

5、几何问题：见下面部分的内容。

例析立体几何中的排列组合问题

在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。 1 点

1．1 共面的点

例题： 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（ ）

A．30种 B．33种 C．36种 D．39种

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答案：B

点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1．2 不共面的点

例2： 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A．150种 B．147种 C．144种 D．141种

解析：从10 个点中任取4个点有C（10，4）＝210 种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C（6，2）＝15种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141 种。 答案：D。

点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

几何型排列组合问题的求解策略

有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解策略.

一 分步求解

例1 圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为______． 解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从2n个点中构成直径（即斜边）共有n种取法；再从余下的(2n－2)个点中取一点作为直角顶点，有(2n－2)种不同取法．故总共有n(2n－2)＝2n(n－1)个直角三角形．故填2n(n－1)．

例2： 从集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的经过坐标原点原直线共有____条（结果用数值来表示）.

解：因为直线过原点，所以C＝0. 从1、2、3、5、7、11这6个数中任取2个作为A、B， 两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为 P（6，2）＝30．

二 分类求解

例3 四边体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面上，不同取法有（ ）

(A)30种 (B)33种 (C)36种 (D)39种

解：符合条件的取法可分三类：① 4个点（含A）在同一侧面上，有3 ＝30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种；由加法原理知不同取法有33种，故选B.

三 排除法求解

例4 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）

(A) 8种 (B) 12种 (C) 16种 (D) 20种

解：由六个任取3个面共有 C（6，3）＝20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有 20－8＝12种，故选(B)．

例5 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（ ）个？

解：从7个点中任取3个点，共有C（7，3）＝35 个，排除掉不能构成三角形的情形．3

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点在同一直线上有3个，故符合条件的三角形共有 35－3＝32个．

四 转化法求解

例6 空间六个点，它们任何三点不共线，任何四点不共面，则过每两点的直线中有多少对异面直线？

解：考虑到每一个三棱锥对应着3 对异面直线，问题就转化为能构成多少个三棱锥. 由于这六个点可构成C（6，4）＝15 个三棱锥，故共有3×15 ＝45对异面直线.

例7 一个圆的圆周上有10个点，每两个点连接一条弦，求这些弦在圆内的交点个数最多有几个？

解：考虑到每个凸四边形的两条对角线对应一个交点，则问题可转化为构成凸四边形的个数．显然可构成 C（10，4）＝210个圆内接四边形，故10个点连成的点最多能在圆中交点210个.

6、染色问题：

不涉及环形染色 可以采用特殊区域优先处理的方法来分步解决。

环形染色可采用如下公式解决：

An＝（a－1）^n+(a-1)×(-1)^n n表示被划分的个数，a表示颜色种类

原则：被染色部分编号，并按编号顺序进行染色，根据情况分类

在所有被染色的区域，区分特殊和一般，特殊区域优先处理

例题1：将3种作物种植在如图4所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法？

图1

例题2：用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色，相邻部分不能同色，但同一种颜色可以反复使用，也可以不使用，则符合要求的不同染色方法有多少种？

图2

例题3：将一个四棱锥的五个顶点染色，使同一条棱的2个端点不同色，且只由五个颜色可以使用，有多少种染色方法？

图3

例题4：一个地区分为如图4所示的五个行政区域，现在有4种颜色可供选择，给地图着色，

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要求相邻区域不同色，那么则有多少种染色方法？

图4

例题5：某城市中心广场建造了一个花圃，分6个部分（如图5） 现在要栽种4种不同的颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能种同样颜色的花，则有多少种不同栽种方式？ 图5：

5. 【分享】无私奉献万华的排列组合题（系列之二）

上次发了万华的数字推理５０道，大家反映良好，现在我把万华原创的几道排列组合奉献给大家．还是那句老话，如果觉得可以的话，看后要回帖！以表示对别人的尊重！！

一） 1, 2, 3, 4作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。

[解析]

组成3位数 我们以其中一个位置(百位,十位,个位)为研究对象就会发现 当某个位置固定 比如是1,那么其他的2个位置上有多少种组合? 这个大家都知道 是剩下的3个数字的全排列 P32

我们研究的位置上每个数字都会出现P32次

所以每个位置上的数字之和就可以求出来了

个位是:P32*(1+2+3+4)=60

十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600

百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000

所以总和是6660

（二） 将“PROBABILITY ”11个字母排成一列，排列数有______种，若保持P, R, O次序，则排列数有______种。

[解析]

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这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:在我的另外一个帖子里面有介绍:/read-htm-tid-9487547.html

(1)我们首先把相同元素找出来,B有2个, I 有2个 我们先看作都是不同的11个元素全排列 这样就简单的多是P11,11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,

2)=9979200。

(2)第2个小问题 因要保持PRO的顺序，就将PRO视为相同元素（跟B，I类似的性质），则其排列数有11！/（2！×2！×3！）= 166320种。

（三） 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共10人围坐一圆桌聊天，试求下列各情形之排列数：

 （1）男女间隔而坐。

（2）主人夫妇相对而坐。 

（3）每对夫妇相对而坐。

 （4）男女间隔且夫妇相邻。

（5）夫妇相邻。

（6）男的坐在一起，女的坐在一起。

[解析]

(1) 这个问题也在/read-htm-tid-9487547.html介绍过

先简单介绍一下环形排列的特征,环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物.第一个坐下来的人是没有参照物的,所以无论做哪个位置都是一样的. 所以从这里我们就可以看出 环形排列的特征是 第一个人是做参照物,不参与排列.

下面就来解答6个小问题:

(1)先让5个男的或5个女的先坐下来 全排列应该是 P44, 空出来的位置他们的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列这个时候有了参照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880种

(2)先让主人夫妇找一组相对座位入座 其排列就是P11(记住不是P22 ),这个时候其他8个人再入座,就是P88,所以此题答案是 P88

(3)每对夫妇相对而坐,就是捆绑的问题.5组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入

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座的夫妇的,剩下的4组位置就是P44, 考虑到剩下来的4组位置夫妇可以互换位置即 P44*2^4=384

(4)夫妇相邻,且间隔而坐. 我们先将每对夫妇捆绑 那么就是5个元素做环形全排列 即P44 这里在从性别上区分 男女看作2个元素 可以互换位置 即答案是P44*2=48种(值得注意的是,这里不是*2^4 因为要互换位置,必须5对夫妇都得换 要不然就不能保持男女间隔)

(5) 夫妇相邻 这个问题显然比第4个问题简单多了,即看作捆绑 答案就是P44 但是这里却是每对夫妇呼唤位置都可以算一种方法的. 即 最后答案是P44*2^5

(6)先从大方向上确定男女分开座,那么我们可以通过性别确定为2个元素做环形全排列.即P1,1 , 剩下的5个男生和5个女生单独做直线全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55

（四）在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？

[解析]

这个题目相信大家都见过 就是我们这次20xx年国家公务员考试的一道题目:

这是排列组合的一种方法 叫做2次插空法或多次插空法

直接解答较为麻烦，我们知道8个节目相对位置不动,前后共计9个间隔,故可先用一个节目去插9个空位，有C9取1种方法；这样9个节目就变成了10个间隔,再用另一个节目去插10个空位，有C10取1种方法；同理用最后一个节目去插10个节目形成的11个间隔中的一个，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为9*10*11=990种。

方法2: 我们先安排11个位置,把8个节目按照相对顺序放进去,在放另外3个节目,11个位置选3个出来进行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990

（五） 0，1，2，3，4，5五个数字能组成多少个被25整除的四位数？

[解析] 这里考察了一个常识性的问题 即 什么样数才能被25整除 即这个数的后2位必须

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是25或者50，或者75或者00 方可.

后两位是25的情况有:千位只有3个数字可选(0不能) 百位也是3个可选 即3*3=9种 后两位是50的情况有:剩下的4个数字进行选2位排列 P4,2=12种

75不可能，因为数字中没有7

00也不可能，因为数字不能重复

共计 9+12=21种

6. 【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析

在说这2 道关于“插板法”的排列组合题目之前，我们需要弄懂一个问题：

插板法排列组合是需要什么条件下才可以使用？这个问题清楚了，我们在以后的答题中 就可以尽量的变化题目使其满足这个条件。

这个条件就是： 分组或者分班等等 至少分得一个元素。 注意条件是 至少分得1个元素！

好我们先来看题目，

例题1：某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【解析】

这个题目是Q友出的题目，题目中是不考虑节目的不同性 你可以视为18个相同的节目 不区分！

发现3个年级都是需要至少4个节目以上！ 跟插板法的条件有出入， 插板法的条件是至少1个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路 ，为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。

这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了

3×3＝9 还剩下18－9＝9个

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剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。 9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份（班级）！

C8取2＝28

练习题目：

有10个相同的小球。 分别放到编号为1，2，3的盒子里 要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。那么有多少种放法？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【解析】

还是同样的原理。 每个盒子至少的要求和插板法有出入 那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。

编号1的盒子是满足的 至少需要1个，

编号2至少需要2个，那么我们先给它1个， 这样就差1个

编号3至少需要3个，那么我们先给它2个， 这样就差1个

现在三个盒子都满足插板法的要求了 我们看还剩下几个小球 ？

10－1－2＝7

7个小球6个间隔 再按照插板法来做 C6，2＝15种！

7. 【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题

有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？（ ）

A．9 B．12 C．18 D．24

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很多教材给出的答案是18

这里我更正以下：

请大家注意红色字体 “相同”

如果一个显示3，一个显示1， 交换以下 是 1，3 是否是2种呢？

显然不是 是1种 这是这个题目存在的陷阱

－－－－－－－－－－－－－－－－－－

方法一：

为偶数的情形 分2种情况

（1）、奇数＋奇数：（1，3，5）

C（3，1）×C（3，1）注意因为这里是相同的两个色子。所以 3，1和1，3是不区分的 要去掉C3，2＝3种 实际上是6种，

（2）、偶数＋偶数（2，4，6）

偶数的情况跟奇数相同 也是6种！

答案是 6＋6＝12

方法二：

当然我们也可以算总的， 那么就是 C6，1×C6，1－C6，2＝36－15＝21种

（为什么要减去C（6，2 ）， 因为任意2个数字颠倒都是一种情况）

看奇数： 奇数＝奇数＋偶数 C3，1×C3，1＝9种

所以答案是 21－9＝12种

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8. 【讨论】裴波纳契数列的另类运用

先说典型的裴波纳契数列：

图片：

总结多篇行测数量关系题型分类与解题技巧并附带行测重点行程问题保存

裴波纳契数列 就是移动求和A＋B＝C

因为第一个月这对小兔长成大兔 所以第一个月还是1对 即A从1开始。 第2个月开始剩下一对小兔 合计2对 B从2开始。

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233

小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

A：54 B：64 C：57 D：37

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

这个题目刚刚看到讨论 我也用排列组合的办法参与了讨论 现在我再来说说裴波纳契数列的解法

楼梯级数：1，2，3，4，5，6........

走法情况：0，1，1，1，2，2........

这是一个裴波纳契的间隔运用 因为他没有走1步的情况

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即A＋B＝D

0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37

在举例1题：小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级，两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

因为是1，2，3级都可以所以可以采用

A＋B＋C＝D的 裴波纳契数列变式！

列举前3个 分别是1，2，3

则 10个是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，274

练习题目：小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈一级或三级台阶。已知相邻楼层之间有10级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

9. 【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析

所谓临界点问题 我们也可看作是青蛙跳井问题， 这类问题的特征是 将2次具有结果上互斥（相反）的操作看作1组操作的运算

例如典型的青蛙跳井，每跳上去5米 会滑下来3米 5米和3米的2个结果对应的操作就是互斥操作。

对于这样的类型问题 其考查的要点是： 我们最终要求的结果 有可能是在某一组互斥操作的上半部分的操作时就已经达到目的或者说已经完成任务。 如果仍然看作一组来结果 就会使其从到达目的得位置上被互斥操作得另一个相反操作给拖回去。所以不对最后一组临界点情况做提前判断 就容易产生结果变大得情况！

下面我们结合3个例题来看这个类型的题目！

例一： 一个数是20 现在先加30，再减20，再加30 ，再减20， 反复这样操作 请问至少经过多少次操作 结果是500？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

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我们先找最后一组达到500的临界点 也就是我们把＋30，－20 2次操作看作1组， 我们必须看＋30的时候是否能够达到500

先找临界点

最后一次增加 是需要＋30 基数是20 每一组操作是增加10

那么计算是这样的 （500－30－20）/10=45 组 也就是说经过45组即90次操作达到了470

答案就是91次

例二：小明的爸爸在高山上工作,那里的气温白天和夜晚相差很大,他的手表由于受气温的影响走得不正常,白天快1/2分钟,夜里慢1/3分钟,他10月1日白天对准时间,问到哪一天手表正好快5分钟?( )

A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我们知道 白天 和晚上 为一组 即一天 整体情况是 可以块1/2-1/3=1/6分钟

要得结果是快5分钟 即我们必须最后一个白天情况进行判断

即我们找出临界点是 5－1/2=4.5天

按照每天快1/6 则要快4.5天 需要4.5/（1/6）=27天 这时候 我们发现此时再加上一个白天即可完成 说明经过了28天快了5分钟

答案就是10月28日。

例三：机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？

A 104 B 108 C 112 D 116

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点状态的一些变化。

碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。 例如“青蛙跳井”问题， 10米深的井，青蛙每次跳5米 就会下滑4米。 问几次能够跳上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口！也就是说我们只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，这里都是常规计算 （10－5）/(5-4)=5次。最后一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。

同样这个题目很多人做出116分钟，其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓的临界点就是

当机场剩下1架飞机的时候

假设是N分钟剩下一架飞机！

N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +（10-1）

为什么两边都＋1 那是因为这是植树问题。 从0分钟开始计算的 所以要多加1次 解得N＝104分钟

所以我们知道104分钟的时候是临界点 飞机场只有1架飞机没有起飞。

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当108分钟的时候，飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候， 所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！

答案应该选B

10. 【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析

这个帖子主要是讨论在一些存在三个变量公式中，由于某个变量守恒，另外两个变量之间的关系引出的 通过变量发生改变的部分缩小范围和数值来求解的方法 ，简称比例法

比例法我粗略分为2类

（一） 变量变化之比例

这部分大家可以参考上面链接的习题 常识去掌握这部分的题目

（二） 变量守恒之比例

这部分是通过 我们求解的试题中 某个变量恒定的把握。通过这个恒量在整个比例中所得的比例点的不同参照物下的变化 来反向了解整体变化 或者是与之相关联的变量变化的情况。

下面我们通过试题来了解这样的类型

【20xx年安徽真题】

一个袋子里放着各种颜色的小球，其中红球占四分之一，后来又往袋子里放了10个红球，这时红球占总数的三分之二，问原来袋子里有多少小球？

A8 B12 C16 D20

―――――――――――――――――――――――

这个题目中我们可以直接看出不变的部分 是除红色小球以外的部分 我们称之为 非红色部分

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小球个数＝红色＋非红色

刚开始 非红色：整体＝3：4

添加10个红球之后是

非红色：整体＝1：3

这两个比例的参照对象是不同的 他们相差10个球

我们可以将表示同一恒量的比例值统一起来看

3：4

1：3＝3：9

我们发现 整体的比例值发生了变化 变化了多少 9－4＝5个比例点 对应的就是10个小球

所以每个比例点是2个小球 则答案应该是 2×4＝8个小球

【习题二】某校六年级有甲,乙两个班,甲班学生人数是乙班的5/7,如果从乙班调3人到甲班,甲班人数是乙班的4/5,则乙班原有学生多少人?

A. 49 B.63 C.72 D.84

――――――――――――――――――――――――――

这个题目的恒量是甲乙两个班级的总人数，我们发现题目所有的变动 只是内部活动 没有外界的加入和整体的流失。 所以总人数就是一个恒定量

开始的时候

乙班人数：总人数＝7：12

从乙班调3人进入甲班 则比例发生变化为

乙班人数：总人数＝5：9

总人数分别是12和9个比例点 是不统一的 即每个比例单位值不相同了 所以我们首先进行的就是统一比例值

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12和9的最小公倍数是 36

那么调动前后的比例就可以表示为

21：36 和 20：36 我们发现甲班的人数多了一个比例点 那么这1个比例点就是对应的调入的3人 总人数是36个比例点 则总人数3×36＝108人 而乙班人数则是3×21＝63人

【习题三】有银铜合金10公斤，加入铜后，其中含银2份，含铜3份。如加入的铜增加1倍，那么银占3份，铜占7份，试问初次加入的铜是多少公斤？

A 3 B 4 C 5 D 6

――――――――――――――――――――

此题的恒量我们可以看得出来是银，

最初的一次 银：铜＝2：3

再次加入铜后，银：铜＝3：7

我们根据银是固定的 统一一下比例

2：3＝6：9

3：7＝6：14

我们发现铜增加了14－9＝5个比例点 那么增加的部分 很容易就可以从选项里面看到5这个答案了

如果要具体求值 再继续思考

我么知道 2次增加的铜是一样多。

那么回归到10公斤的时候 铜应该是9－5＝4个比例点 4＋6＝10 每个比例点就是1公斤

自然我们就知道准确的值就是5公斤了

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总结： 很多问题其实其实就是学会寻找一个折中 或者学会抓住一个特质

比例法就是让我学会在都在变化的变量中找准变化比例规律。进而找出变化的环境和范围。

或者 找出守恒的变量 通过它找到对等的关系

11.

15 【讨论】“五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数”一题

五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数,并且各不相同.则体重最轻的人,最重可能是( )斤

A.80 B.82 C.84 D.86

有人说这个题目少条件，其实不少条件， 为什么这么说呢， 这是需要来根据题目的提问分析的

我们能够知道的就是5个人的总重量是固定的 还有就是他们的体重都是整数，且各不相同，注意看提问“体重最轻的人 最重是多少？”

首先你这样想 因为体重各不相同，肯定有人最轻，但是我们要想办法让他轻也要尽可能的重些。

举个简单的例子， 就说2个人把 体重是150， 那么你说是不是只有当2个人的体重无限接近的时候，最轻的人的体重才是可能性中最重的。最重的人的体重也就被拖低了，

同样这个道理。5个人也是。当他们5个体重无限接近的时候 重的人的优势不明显了 因为这些优势都在轻的人身上，但是却没有超出。无限接近且保证是整数，那么自然就是连续自然数这样的情况了

所以我们直接考虑连续自然数 423/5=84 余数是3 中间重量是84斤

那么这个连续自然数就是 82，83，84，85，86 这时候有人问 那多余的3斤怎么办 很简单 我们把这3斤分配给最重的3人其中的一个或者2个人都可以。因为这对轻者的体重

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无影响。如果分配给轻者，那么就会出现体重轻的人加上1～3斤的时候 和后面的某一个人的体重重复，

所以我们只要看连续自然数最小的一个自然数即可

同样我们来看一个姊妹题

例题：现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。

A.7 B.8 C、9 D.10

这个题目提问的是 最多的人至少分得多少

道理是一样的。 只有连续自然数才能让 少的人尽可能多，多的人尽可能少

所以21/5=4 余数是1 注意这里余数是必须要考虑的

我们知道中间数是4， 这个连续自然数是 2，3，4，5，6 最大的是6 剩下的1 只能分给最大的 否则分给其他的 都会出现重复数字。

答案就是6＋1＝7

不管余数是多少 答案就是最大数＋1 为什么这么说，

我们来看 假如鲜花数量是24 也是分给5个人

24/5=4 余数是4 连续自然数序列是 2，3，4，5，6 余数就分给最多的4个人 变成 2，4，5，6，7

所以这里余数是多少不重要 直接用最大数＋1 即可

12.

【经验分享】浅谈mn/(m+n)公式的由来（盐水交换问题）

有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

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公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48

公式的由来是通过2个十字交叉法得到的

你假设交换的部分是a克盐水

假设120克的盐水 浓度是P1， 80克的盐水浓度是P2，

那么对于120克的盐水来讲 建立十字交叉法

120－a（P1） P－P2 P

a（P2） P1－P

我们得到

（120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）

那么对于80克的盐水来讲 建立十字交叉法

80－a（P2） P1－P P

a（P1） P－P2

鲤鱼网——成功在于执着 交换混合后相同的浓度是P

我们得到

（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）

根据这2个比例的右边部分我们可以得到

（120－a）：a＝a：（80－a）

化简得到 a＝120×80/(120+80) 说明跟各自的浓度无关！

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

补充方法：

因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。

所以我们假设交换了a克

a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质量也是同一比例。

即

(120－a)/a=120/80 a=48克

或者

（80－a）/a=80/120 a=48克

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13. 【周末练习】4道经典习题（已公布解析DONE）

习题一：.1到500这500个数字 最多可取出多少个数字 保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。

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【万华解析】

每7个数字1组，余数都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三个数字之和不是7的倍数，那么其余数之和就不是7的倍数。

我们应该挑选 0，1，2，或者0，5，6

因为7/3=2 也就是说最大的数字不能超过2 ，例如 如果是1，2，3 那么 我们可以取3，3，1 这样的余数，其和就是7

500/7=71 余数是3， 且剩下的3个数字余数是1，2，3

要得去得最多，那么我们取0，1，2比较合适 因为最后剩下的是1，2，3 所以这样就多取了2个

但是还需注意 0 不能取超过2个 如果超过2个 是3个以上的话 3个0就可以构成7的倍数 0也能被7整除

所以答案是71个1，2 和剩下的一组1，2 外加2个0

71×2＋2＋2＝146

习题二： 将50个苹果分成相同的3堆，每堆至少1个，有多少种分法？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【万华解析】

这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究

那么就是 C49取2＝1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的，这里是相同的堆。所以计算重复了

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我们按照三个堆各不相同为标准 恢复到这个状态来做。 我们少算了多少个

1，1，48

2，2，46，

3，3，44

4，4，42

.。。。。。

50/2=25

所以直到

24，24，2

这样的情况少算了 P33-P33/P22=3次

所以一共少算了 24×3＝72

按照标准情况来看应该是 1176＋72＝1248种

所以我们每组都需要扣除6种情况变为1种 因为不区分组

所以答案是

1248/P33=208种

习题三：1～1998，有多少个数字其各个位置上的数字之和能被4整除？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【万华解析】

差不多每个4个数字都可以满足题目的条件

我距离每40个数字1组就是一个周期

例如：12不行 13可以， 20不行22可以， 32不行 35可以。 40～50之间都满足。 这就是一个周期

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所以我们看最后一个倍数是多少

1996 这是最后一个4的倍数 1＋9＋9＋6＝25 不行 还差3个 应该是1999补上它 所以答案是 1996/4=499 但是 1999不含在其中 所以答案是 499－1＝498

习题四：有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根本条作为三条边，可围成一个三角形。如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

【万华解析】

看看这个题目 你就觉得简单了

1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）

(A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个

【解析】

根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

可见最大的边是11

则两外两边之和不能超过22 因为当三边都为11时 是两边之和最大的时候

因此我们以一条边的长度开始分析

如果为11，则另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1

如果为10 则另外一个边的长度是10，9，8。。。。。。2，

（不能为1 否则两者之和会小于11，不能为11，因为第一种情况包含了11，10的组合）

如果为9 则另外一个边的长度是 9，8，7，。。。。。。。3

（理由同上 ，可见规律出现）

规律出现 总数是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝36

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14. 【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析

一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？

A 10 B 8 C 6 D 4

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我们知道这个题目出现了2个情况，就是

（1）汽车与骑自行车的人的追击问题，

（2）汽车与行人的追击问题

追击问题中的一个显著的公式 就是 路程差＝速度差×时间

我们知道这里的2个追击情况的路程差都是 汽车的间隔发车距离。是相等的。因为我们要求的是关于时间 所以可以将汽车的间隔距离看作单位1.

那么根据追击公式

(1) (V汽车－V步行)=1/10

(2) (V汽车－3V步行)=1/20

(1)×3－(2)=2V汽车＝3/10-1/20 很快速的就能解得 V汽车＝1/8 答案显而易见是8

再看一个例题：小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。如果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶梯上 问多长时间可以到达二楼？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

跟上面一题一样。 这个题目也是2个行程问题的比较

（1）小明跟扶梯之间是方向相同

(1) (V小明＋V扶梯)=1/2

（2） 小芳跟扶梯的方向相反

(2) (V小芳－V扶梯)=1/8

(1)-2×(2)=3V扶梯＝1/4 可见扶梯速度是 1/12 答案就显而易见了。

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总结：在多个行程问题模型存在的时候。我们利用 其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。可以很轻松的一步求得结果！

习题：

1、电扶梯由下往上匀速行驶.男孩以每秒2个梯级的速度沿电扶梯往上走,40秒种可达电扶梯顶部.一女孩以每2秒3个梯级的速度往上走,50秒可以达到顶部.则静止时电扶梯的梯级数为( )

A 80 B 75 C 100 D 1202、

2、某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少????

15.

【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结

“牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原本有多少 ？不是我们关心的内容，为什么这么说，因为在我们计算的时候，实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量都是一样， 有些题目可能面积不一样，但是每亩地的原始草量确实一样的。！ 废话少说，就下面2个题目来讨论一下：

1．一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每头牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这一片草，几天可以吃完？（ ）

A.10 B.8 C.6 D.4

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 我们先要确定一个单位，即一头牛每天吃的草量为1个标准单位，或者叫做参照单位 因为此题中出现了牛和羊，这两个吃草效率不等，转化一下

4羊＝1牛。

看题目

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（1）“一片牧草，可供16头牛吃20天”

说明 这片牧草 吃了20天即原有的草和20天长出来的草共计是20×16＝320个单位

（2）“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”

说明这片牧草吃了12天即原来的草和12天长出来的草共计是12×20＝240个单位

两者相减 320－240＝80 就是多出的8天所长的草量 即每天草长速度是80÷8＝10个单位 现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草”

牛多了，自然吃的天数就少了

我们还是可以根据上面的方法，挑选（1）或者（2）来做比较。

就挑选（1）

320－25a＝（20－a）×10

这个等式，a表示我们要求的结果 即可解得 a＝8天。

3．22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（ ）

A.50 B.46 C.38 D.35

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

再看这个有面积的题目

其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的， 面积不一样，但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。

根据这个

条件1：

(22×54)/33 这是每公亩的情况

条件2：

(17×84)/28 这是每公亩的情况

相减 (17×84)/28 －(22×54)/33＝（84－54）×a a表示每亩草长速度

解得a＝0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位

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最后我们假设x头牛24天可以吃完40公亩草

那么挑选上面的一个情况拿过来做对比：

(22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5

即可解得x＝35头牛

16.

【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑！

一本书有400页,,问数字1 在这本书里出现了多少次？

解析:关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/5，再加上100

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

对于这个解法我觉得有待商榷！ 这种公式局限于 1000以内的解法 不适合1000以上

例如 ：

一本书有4000页,,问数字1 在这本书里出现了多少次？

1000＋4000/5=1800 这个答案显然是错误的！

事实上答案是 C（4，1）×C（10，1）×C（10，1）×3＋10^3=2200

在这里我提供一组利用排列组合来解决此题的方法

我们看4000 分为千，百，十，个四个数字位置

千位是1的情况： 那么百、十、个 三个位置的选择数字的范围是0～9 共计10个数字

就是10*10*10=1000

百位是1的情况， 千位是（0，1，2，3）4个数字可以选择

十位，个位还是0～9 10个数字可以选择

即 4×10×10＝400

十位和个位都跟百位一样分析。那么答案就是 1000＋400×3＝2200

17.

【总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析）

先从几个题目开始说

（1） 699页的书页码当中含有多少2？

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可以采用排列组合来做， 我们将这1~999个数字 按照这样的方式来看

首先 001 表示1， 我们把 百位，十位，个位单独来看

百位如果是2的情况有多少种？

主要是取决于 十位和个位的选择情况， 十位有0~9 10个选择， 个位有0~9十个选择 即 10*10=100个

十位如果是2的情况有多少种？

百位的选择 是0~6 即7种选择， 个位0~9这 10个数字选择，即 7*10=70

个位如果是2的情况有多少种？

百位的选择0~6， 即7种选择 ，十位0~9 10个数字可以选择， 即和十位是2的情况一样 7*10=70

则答案是 100+70*2=240个

注解：例如 522 是含有2个2， 当百位是0 十位是2 个位是2的时候 即022 表示的是页码22

（2） 999页码的书有多少页不含2的页码？

这个题目跟上一题不一样求的是页码 ，比如说522这个页码 虽然含有2个2，但是这是一个页码

这个题目我们同样采用排列组合

每个位置不是2的 种类选择， 即都是0~9 排除2， 9个数字可以选择，所以不含2的页码是 9*9*9=729 但是当三个位置都是0时，即表示为0，页码当中没有0页码，所以最终答案是729-1=728个页码 不含2

（3）999页的书有多少页含2的页码？

上面我们已经分析了 ，借助上面做法

含2的页码就是 999-728=271个页码

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18. 【开会时间分针时针互换问题】新题型的2道问题的解析

小王去开会，会前会后都看了表，发现前后时钟和分钟位置刚好互换，问会开了1小时几分（）

A.51 B 49 C47 D45

这个题目我刚才做了一下 我是这么做的

分针时针互换

因为时间不超过2小时 也就是说。分针转动的时间不超过120分钟

我们根据位置互换，可以发现时针走的度数＋分针走的度数是360度×n

要得在大于1小时小于2小时 则 n＝2

根据路程之和可知2者的路程是360×2＝720度

答案是 720÷（6＋0.5）=1小时51分钟（估算值）

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置.会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束,请问会议何时召开?

【解析】

首先可以确定 顺时针方向 分针在时针的前面。 否则 时针要转大半圈才能到达分针的位置。

其次可以发现分针时针走的路程之和是 360度×N 因为时间是控制在1～2个小时内 则N=2

720÷（6＋0.5）=1440/13分钟 说明会议时间是这么多分钟

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根据时间的比例 开始时的分针是5～6之间 说明时针在3～4之间还没有过半 即最后分针停留的位置应该不超过17～18分钟

那我们按照5点17分－1440/13分钟 应该是3点26分钟左右

19. 【分享】（绝对经典）20道比列及列式计算

1、某人工作一年的报酬是8400 元和一台电冰箱，他干了7 个月不干了，得到3900 元和一台电冰箱。这台电冰箱价值多少元？ （用比例的思维 。这题在比列中算是比较简单的题了）

【解析】

一年的报酬：8400+电冰箱一台

7个月的报酬：3900+电冰箱

所以5个月的报酬就是：8400-3900=4500

每个月的报酬就是：4500/5=900

一年的报酬就是：900*12=10800

电冰箱就是：10800-8400=2400

2、甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。那么A，B两地相距多少千米？

【解析】

方法一（七夜解法）：

假设全程为9份，相遇的时候，甲走5份，乙走了4份，之后速度开始变化，这样甲到达B地，甲又走了4份

根据速度变化后的比值，乙应该走了4×6/5＝24/5份

所以这样离A地还有5－（24/5）份 10*9/(1/5)=450

方法二（我的解法）：

假设全程是9份，相遇时，甲走5份，乙走4份

甲乙的路程比就是速度比变为，5：4

之后由于变速甲乙速度比变为，4：4.8

所以当甲到B点时（即走了5+4=9份），乙走了4+4.8=8.8份

乙距离全程还相差9-8.8=0.2份

0.2份对应的是10千米

所以9份对应的是9*10/0.2=450千米 （大家觉得七夜的解法和我的解法哪个好点？）

3、小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？

【解析】

方法一：（小学生的做法，也就是列式计算法）

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要提前6分钟到校，所以用时是30-6=24分钟

而这6分钟走的路程正好就是小明每分钟加快多走25米，走了24分钟才走好的 因此小明用正常速度走6分钟的路程就是：24*25=600米

所以小明正常的速度就是：600/6=100米/分钟（怎么这么慢捏？）

所以S=100*30=3000米

方法二：

时间比是30：24=5：4

所以速度就是时间比的反比4：5

5-4=1，1个比例点对应25米，所以4个比例点对应4*25=100米（正常的速度） 所以S=100*30=3000米

4、甲读一本书，已读与未读的页数之比是3：4，后来又读了33 页，已读与未读的页数之比变为5：3。这本书共有多少页？

【解析】

这题要注意的就是书的页数始终保持不变（我废话了=。=）

一开始，已读与未读的页数之比是3：4，所以已读的页数与整本书的页数比就是3：（3+4）=3：7

后来又读了33页，已读与未读的页数之比变为5：3，所以已读的页数与整本书的页数比就是5：（5+3）=5：8

因此，整本书的页数就是：

33/（5/8-3/7）=168

（这里我想扯开讲讲代入法了，因此之前是3/7，之后是5/8，因此整本书的页数一定就是7、8的公倍数，也就是56的倍数，有选项的话直接秒，嘎嘎）

5、一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？

【解析】

先看前半句“如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达”

得到原速与加速比是5：6，所以时间比就是6：5，6-5=1，1个比例点对应1小时 所以用原速度行驶完全程需要6*1=6小时

再看这句话“如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达” 提速后，原速与变速比是4：5，时间比是5：4，5-4=1，1个比列点对应2/3小时 所以车子用原速行驶后半程的话就是用了5*2/3=10/3小时

故前面的120千米行驶的路程用时是6-10/3=8/3小时

得到原速度就是120/8/3=45千米/小时

所以S=45*6=270千米

6、甲、乙两城相距91千米，有50人一起从甲城到乙城，步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度为35千米／小时，他们有一辆可乘坐五人的面包车，最短用多少时间使50人全部到达乙城？（这题的汽车速度没有变化，飞飞在这里总结了一种直接可以套上用的类似公式的计算式，希望大家能掌握）

【解析】

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速度比是35：5=7：1

7-1=6

6/2=3

路程可分成：1+3+9=13份 （注，1+3是第一批人下车的路程，9是因为共有50人，5人一组，因此有10组，但每一组人要走10-1=9份路程。当公式记住吧）

91*（4/13/35+9/13/5）=67/5=13.4小时

7、一只船从甲码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时多行16千米。那么甲，乙两个码头距离时多少千米？

【解析】

这题是个模块，只要记住这个模块就行了

顺水的时间是：16/12=4/3小时

则逆水时间是：4-4/3=8/3小时

时间比等于速度比的反比，V顺：V逆=8/3：4/3=2：1

V顺=V逆+12

所以V顺=24

所以S=24*4/3=32KM

8、甲乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不间断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时35千米，甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米，求A、B两地的距离

A、200千米 B、250千米 C、300千米 D、350千米

【解析】

速度比是15：35=3：7

全程分成10份

第三次甲行的路程是：3*（2*2+1）=15份

第四次甲行的路程是：3*（2*3+1）=21份

两次相距5-1=4份，对应100KM

所以10份对应的就是250KM

9、某工程有甲乙合作，刚好按时完成，如果甲工作效率提高20%，哪么2个人只需要规定时间9/10 就可以完成如果乙工作效率降低25%，那么2人就需要延迟2.5小时完成工程，球规定时间。

【解析】

甲提高效率，整体效率提高了10/9-1=1/9，所以甲是1/9/20%=5/9，所以乙是4/9 所以原来甲乙之比是5：4

乙变速后甲乙之比是5：3（做到这里，我觉得方程更直观，我分两步做吧）

（1）先用方程

可得到方程是：

9T=8*（T+2.5）

T=20小时

（2）用比列做

乙降低1份，对应多用的时间就是2.5

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现在共5+3=8份，所以时间就是8*2.5=20小时

10、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。

【解析】

V甲=50*（6+26）/20=80

S=6*（80+50）=780

11、小王和小李合伙投资，年终每人的投资进行分红，小王取了全部的1/3另加9万元，小李取了剩下的1/3和剩下的14万元。问小王比小李多得多少万元

【解析】

小李取了剩下的1/3和剩下的14万元

所以14万就是小李取的2/3，所以在小王取完之后就剩下14/2/3=21万

小王也一样，取的2/3就是21+9=30，所以全部的钱钱就是30/2/3=45万

所以就知道小王是24万，小李是21万

12、甲从A地步行到B地，出发1小时40分钟后，乙骑自行车也从同地出发，骑了10公里时追到甲。于是，甲改骑乙的自行车前进，共经5小时到达B地，这恰是甲步行全程所需时间的一半。问骑自行车的速度是多少公里/小时？

【解析】

走完全程需要的时间是5*2=10小时

一直骑车需要的时间是5-5/3=10/3小时

所以人的速度与自行车的速度比是10：10/3=3：1

车追上人需要：5/3/(3-1)=5/6小时，对应10公里的路程

所以车子的速度就是：10/5/6=12KM/H

13、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？

【解析】

解析：甲车和乙车的速度比是15：10＝3：2

相遇时甲车和乙车的路程比也是3：2

3-2=1，1个比列对应12千米，共有3+2=5个比例

所以S=12*5=60

14、甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件，已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的；乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的；丙车床每加工5个零件中有4个是圆形的。这天三台车床共加工了58个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4：3：3，那么这天三台车床共加工零件几个？

A.68 B.76 C.78 D.88

【解析】

甲车床加工方形零件4份，圆形零件4*2＝8份

乙车床加工方形零件3份，圆形零件3*3＝9份

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丙车床加工方形零件3份，圆形零件3*4＝12份

圆形零件共8＋9＋12＝29份，每份是58÷29＝2份

方形零件有2*（3＋3＋4）＝20个

所以，共加工零件20＋58＝78个

15、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？

A.360 B.450 C.540 D.720

【解析】

原速度：减速度=10：9，

所以减时间：原时间=10：9，

所以减时间为：1/（1-9/10）=10小时；原时间为9小时；

原速度：加速度=5：6，原时间：加时间=6：5，

行驶完180千米后，原时间=1/（1/6）=6小时，

所以形式180千米的时间为9-6=3小时，原速度为180/3=60千米/时，

所以两地之间的距离为60*9=540千米

16、一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小时30分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米

A.280/3 B.560/3 C.180 D.240

【解析】

船的顺水速度：60＋20＝80米／分，船的逆水速度：60－20＝40米／分。

因为船的顺水速度与逆水速度的比为2：1，所以顺流与逆流的时间比为1：2。

这条船从上游港口到下游某地的时间为：

3小时30分＊1／（1＋2）＝1小时10分＝7／6小时。 （7/6小时＝70分） 从上游港口到下游某地的路程为：

80＊7／6＝280／3千米。（80×70＝5600）

17、（先看18题）一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的80%。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的。那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的

A 11点01分 B11点05分 C11点10分 D.11点15分

【解析】

大轿车行完全程比小轿车多17－5＋4＝16分钟

所以大轿车行完全程需要的时间是16÷（1－80％）＝80分钟

小轿车行完全程需要80×80％＝64分钟

由于大轿车在中点休息了，所以我们要讨论在中点是否能追上。

大轿车出发后80÷2＝40分钟到达中点，出发后40＋5＝45分钟离开

小轿车在大轿车出发17分钟后，才出发，行到中点，大轿车已经行了17＋64÷2＝49分钟。 说明小轿车到达中点的时候，大轿车已经又出发了。那么就是在后面一半的路追上的。

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既然后来两人都没有休息，小轿车又比大轿车早到4分钟。

那么追上的时间是小轿车到达之前4÷（1－80％）×80％＝16分钟

所以，是在大轿车出发后17＋64－16＝65分钟追上。

所以此时的时刻是11时05分。

18、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离。乙车的速度是甲车速度的80%。已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地。最后乙车比甲车迟4分钟到C地。那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车。

A.25 B.26 C.27 D.28

【解析】

乙车比甲车多行11－7＋4＝8分钟。

说明乙车行完全程需要8÷（1－80％）＝40分钟，甲车行完全程需要40×80％＝32分钟 当乙车行到Ｂ地并停留完毕需要40÷2＋7＝27分钟。

甲车在乙车出发后32÷2＋11＝27分钟到达Ｂ地。

即在Ｂ地甲车追上乙车。

19、小明步行从甲地出发到乙地，骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明.如果不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，共追上小明几次？

A3 B 4 C 5 D 7

【解析】

当第二次相遇时小明走了16份，走了48*2+16=112份，速度比为1：7，当小明走了1个全程，走了7个全程，

追上次数=（7-1）/2=3

20. 兄、弟一同栽树要8小时完成，兄先栽3小时，弟再栽1小时，还剩11/16没有完成，已知兄比弟每小时多栽7棵树，问问这批树共有多少棵？（ ）

A. 120 B. 112 C. 108 D. 96

哥哥栽3小时，弟弟栽1小时，相当于，哥哥弟弟一起栽了1小时，哥哥再栽2小时 所以哥哥的效率是：（5/16-1/8）/2=3/32

弟弟的效率就是：1/8-3/32=1/32

效率差是：3/32-1/32=1/16，对应的是7棵树

所以哥哥弟弟共栽了：7*16=112棵树

20. 【分享】60道数学题的解析

1. 在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有( )个零。

A.172 B.174 C.176 D.179

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【万华解析】

此题我们现需要了解0是怎么形成的，情况只有1种，那就是5跟一个偶数相乘就可以构成一个0， 但是还要注意25算几个5呢？ 50算几个5呢？ 125算几个5呢，具有几个5 主要是看他能否被几个5的乘积整除，

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例如

25＝5×5

所以具有2个5，

50＝2×5×5 也是2个5

125＝5×5×5

具有3个5

方法一：

我们只要看 700个数字里面有多少个5的倍数

700/5=140

还不行 我们还要看有多少25的倍数

700/25=28

还要看有多少125的倍数

700/125=5

625的倍数： 700/625=1

其实就是看 700里有多少的5^1,5^2,5^3,5^4……5^n

5^n必须小于700

所以答案就是 140＋28＋5＋1＝174

方法二：

原理是一样的，但是我们可以通过连除的方式不听的提取5的倍数 直到商小于5 700/5=140

140/5=28

28/5=5

5/5=1

答案就是这些商的总和即174

140 是计算含1个5的 但是里面的25的倍数只被算了一次，所以我们还需要将140个5的倍数再次挑出含5的数字，以此类推，就可以将所有含5的个数数清！

2. 王先生在编一本书，其页数需要用6869个字，问这本书具体是多少页？

A.1999 B.9999 C.1994 D.1995

―――――――――――――――――――――――――

【万华解析】

这个题目是计算有多少页。

首先要理解题目

这里的字是指数字个数，比如 123这个页码就有3个数字

我们通常有这样一种方法。

方法一：

1～9 是只有9个数字，

10～99 是 2×90＝180个数字

100～999 是 3×900＝2700个 数字

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那么我们看剩下的是多少

6869－9－180－2700＝3980

剩下3980个数字都是4位数的个数

则四位数有 3980/4=995个

则这本书是 1000＋995－1＝1994页

为什么减去1

是因为四位数是从1000开始算的！

方法二：

我们可以假设这个页数是A页

那么我们知道，

每个页码都有个位数则有A个个位数，

每个页码出了1～9，其他都有十位数，则有A－9个十位数

同理: 有A－99个百位数,有A－999个千位数

则： A＋（A－9）＋（A－99）＋（A－999）＝6869

4A－1110＋3＝6869

4A＝7976

A＝1994

3. 在一个两位数之间插入一个数字，就变成一个三位数。例如：在72中间插入数字6，就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍，求出所有这样的两位数有多少个？

A、 4 B、5 C、3 D、6

――――――――――――――――――

【万华解析】

我们先进行简单的判断，首先什么数字个位数×9得到的数个位数还是原来的

乘法口诀 稍微默念一下就知道是5×9

或者0×9 （个位数是0的2位数×9 百位数肯定不等于原来的十位数 所以排除）

好我们假设这个2位数是 10m＋5 ，m是十位上数字，我们在这个数字中间插入c 这个数字

那么变成的三位数就是 100m＋10c＋5

根据关系建立等式：

100m＋10c＋5＝9×（10m＋5）

化简得到 ： 10m＋10c＝40

m＋c＝4

注意条件 m不等于0，

则有如下结果（1，3），（2，2），（3，1），（4，0） 四组， 答案是选A

4. 有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取偶数位置上的牌，问最后剩下的一张牌是多少号？

A、1 B、16 C、128 D、256

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【万华解析】

这个题目本身并不难，但是一定要看清楚题目，题目是抽取偶数位置上的牌，1是奇数位置上的，这个位置从未发生变化，所以1始终不可能被拿走，即最后剩下的就是编号1的骨牌。

当然如果每次是拿走奇数位置上的，最后剩下的是编号几呢？

我们做一个试验，将1到100按次序排开。每轮都拿掉奇数位置上的骨牌。我们发现，骨牌数目基本上是呈现倍数缩小。同时我们有一个更重要的发现，那就是什么样的数字才能确保它的1/2仍然是偶数。这个自然我们知道是2^n，但是当2^n＝2时它的一半就是1，在接下来的一轮中就会被拿走。因此我们发现每一轮操作2^n位置上的数都会变为2^(n-1) 当2^n=1时 被拿走。按照这样的操作，100个多米诺骨牌每次少1/2， 当操作6次即剩下的数目小于2个（100÷2^6<2）。根据上面我们发现的规律，必然是最后留下了2^6＝64 移动到了第1位 也就是仅剩下的1位。所以答案是100内最大的2^n=64

总结：大家记住这样一个规律 直线排列最后剩下的是总数目里面最大的2^n次方

此题300内最大的2的n次方就是256

所以如果每次拿走奇数位置上的骨牌，那么最后剩下的就是编号256

5. 两人和养一群羊，共n只。到一定时间后，全部卖出，平均每只羊恰好卖了n元。两人商定评分这些钱。由甲先拿10元，再由乙拿10元，甲再拿10元，乙再拿10元，最后，甲拿过之后，剩余不足10元，由乙拿去。那么甲应该给以多少钱？

A.8 B.2 C.4 D.6

――――――――――――――――――――

【万华解析】

这个题目就是一个常识的题目没有什么可以延伸的空间，所以我就主要介绍一下解答方法。 X^2是总钱数，分配的时候10 元， 2次一轮，最后单下一次， 说明总钱数是10的奇数倍数根据常识，只有个位数是4，或者6才是十位数是奇数，那么个位数都是6

说明 最后剩下6元 乙应该给甲 10－（10＋6）/2=2元

6. 自然数A、B、C、D的和为90，已知A加上2、B减去2、C乘以2、D除以2之后所得的结果相同。则B等于：

A．26 B．24 C．28 D．22

――――――――――――――――――

【万华解析】

结果相同，我们可以逆推出A，B，C，D

假设这个变化之后四个数都是M

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那么

A＝M－2

B＝M＋2

C＝M/2

D=2M

A＋B＋C＋D＝90＝4.5M

M＝20,则B＝20+2=22

7. 自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P除以9的余数为8，P除以8的余数为

7。如果：100<P<1000，则这样的P有几个?

A、不存在 B、1个 C、2个 D、3个

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【万华解析】

根据题目的条件我们看

P＝10X＋9＝10（X＋1）－1

P＝9Y＋8＝9（Y＋1）－1

P＝8Z＋7＝8（Z＋1）－1

这样我们就发现了 P＋1 就是 8，9，10的公倍数

我们知道 8，9，10的最小公倍数是360

则100～1000内有 2个这样的公倍数。

所以满足条件的P 就是 360－1＝359，

或者 720－1＝719

8. 三个连续的自然数的乘积比M的立方少M，则这三个自然数的和比M大多少（）

A 2M B4M C 6M D 8M

――――――――――――――――

【万华解析】

方法一：特例法你可以随便找3个连续自然数试试看，

例如 1×2×3＝6

比6稍大的立方数是8 即2^3=8

8-6刚好是2

所以说明 M＝2， 那么我们看 1＋2＋3＝6

6－M＝4

可见是2M

方法二：

平方差公式： 我们假设这三个连续自然数中间的数字是a，那么 这三个数字分别是， a－1，a，a＋1

乘积是 a×（a－1）×（a＋1）＝a×（a^2－1）＝a^3-a

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跟题目说的比M^3少M条件对比 我们发现 M就是a

再看 （a－1）＋a＋（a－1）＝3a ＝3M

可见 答案就是2M

9. 一个7×7共计49个小正方形组成的大正方形中，分别填上1～49这49个自然数。每个数字只能填1次。使得横向7条线，纵向7跳线，两个对角线的共计16条线上的数字和相等！则其中一个对角线的7个数字之和是（）

A 175 B 180 C 195 D 210

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【万华解析】

这个题目猛一看好复杂，其实仔细看看就会发现端倪。虽然看上去像是一个幻方问题 或者类似于九宫图，但是这里并不是让你关注这个。

49个数字全部填入， 满足条件后，我们发现横向有7条线 产生7个结果 并且相等。那么这个7个结果的和 就是这7条线上的所有数字之和，很明显就发现了 就是1～49个数字之和了

，根据等差数列求和公式：（首项＋尾项）×项数/2=总和

（1＋49）×49/2＝25×49

则每条线的和是 25×49/7=175

因为对角线和横线7条线的任意一条的和相同所以答案就是175.

10. 把1～100这100个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，留1，擦去2,3,4，留5，擦去6,7,8……（每擦去3个数，留一个数）。直到最后剩下的一个数是多少？

A、47 B、48 C、49 D、64

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【万华解析】

考察点：周期循环等比数列的问题

这个题目考到的可能性不是特别大，但是不排除。就只介绍规律吧。

主要是看间隔编号的个数。 如该题 间隔编号就是1个。例如 留1拿走2，留3拿走4，间隔是1：

以下公式是按照从去1开始的。

那么 公式是： 2/1×（A－2^n） 这是最后剩下的数字 2^n表示A内最大的值 A表示原始的编号总数。

间隔是2：3/2×（A－3^n）

间隔是3：4/3×（A－4^n）

间隔是4：5/4×（A－5^n）

特别注意的是：此题的A值不是随便定的 必须满足 A－1要能够除以间隔编号数目。否则最后的结果就是全部被拿走。

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该题答案是： 按照公式4/3×（100－4^3）=48 但是这是按照去1开始得如果是留1 那么答案是 48＋1＝49

11. 下列哪项能被11整除？

A．937845678 B．235789453 C．436728839 D．867392267

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【万华解析】

9＋7＋4＋6＋8＝34

3＋8＋5＋7＝23

34－23＝11

所以 答案是A

所有的奇数位置上的数之和－所有偶数位置上数字之和＝11的倍数 那么这个数就能被11整除。

这类题目属于数字整除特性题目我们这里就顺便介绍几个这样的规律：

（1）

1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（2）

若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）

若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4） 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5） 若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6） 若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截

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尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除

12. 甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时

A．2 B．3 C. 4 D．6

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【万华解析】

这个题目只要抓住固定不变的部分，不管他的时间怎么边速度比是不变的。

假设相遇时用了a小时

那么甲走了a小时的路程 乙需要4小时

根据速度比＝时间的反比

则V甲：V乙＝4 ：a

那么乙走了a小时的路程 甲走了1小时

还是根据速度比＝时间的反比

则 V甲：V乙＝a ：1

即得到 4：a＝a:1

a=2

所以答案是甲需要1＋2＝3小时走完全程！

13. 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4八个数字做成的八位数，共可做成______个。

A 2940 B 3040 C 3142 D 3144

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【万华解析】

这个题目 我在另外一个排列组合的帖子曾经讲过！

我们不妨先把这8个数字看作互不相同的数字，0暂时也不考虑是否能够放在最高位

那么这组数字的排列就是P(8,8)，但是，事实上里面有3个1，和2个2，我们知道3个1我们在P(8,8)中是把它作为不同的数字排列的，现在相同了，那我们就必须从P(8,8)中扣除3个1的全排列P（3，3）关键这里是怎么扣除呢？ 记住因为全排列是分步完成的，我们知道在排列组合中，分步相乘，分类相加。 可见必须通过除掉P（3，3）才能去掉这部分重复的数字形成的重复排列。 2个2当然也是如此

所以不考虑0作为首位的情况是 P88/(P33×P22)

现在我们再来单独考虑0作为最高位的情况有多少种：P77/(P33×P22)

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最后结果就是：P88/(P33×P22)－P77/(P33×P22)＝2940

14. A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。三本书全读过的有多少人？（）

A.5 B.7 C.9 D.无法计算

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【万华解析】

这个题目我是借鉴的“天使在唱歌”总结的公式组来解答。根据题目的不同可以挑选其中的任意2组或者3组公式答题。

先来介绍一下公式：

总结多篇行测数量关系题型分类与解题技巧并附带行测重点行程问题保存

首先这里不考虑都不参与的元素

（1）

A+B+T=总人数

（2）

A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数

（3）

B＋3T＝至少包含2种的总人数

这里介绍一下A、B、T分别是什么

看图 A＝x＋y＋z； B＝a＋b＋c；T＝三种都会或者都参加的人数

看这个题目我们要求的是看三本书全部读过的是多少人？实际上是求T

根据公式：

（1）

A＋B＋T＝20

（2）

A＋2B＋3T＝10＋12＋15＝37

（3）

B＋3T＝8＋9＋7＝24

（2）－（1）＝B＋2T＝17

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结合（3）

得到T＝24－17＝7人

15. 一个9×11个小矩形组成的大矩形一共有多少个矩形？

A.2376 B.1188 C.2970 D.3200

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【万华解析】

这个题目其实很简单，主要是善于抓住题目的关键。这个题目我们看 问有多少个矩形。并不是我们认为的就是9×11＝99个。 事实上上上下下，左左右右可以由很多小的矩形组成新的大一点的矩形。所以。这个题目看上去比较棘手。那么我们为何不从矩形的概念入手呢。矩形是由横向2条平行线。纵向2条平行线相互垂直构成的。

知道这个我们就发现了解题的方法了， 9×11的格子 说明是10×12条线。

所以我们任意在横向和纵向上各取2条线 就能构成一个矩形。

所以答案就是 C10取2×C12取2＝2970

16. 一个布袋中有35个大小相同的球，其中白、红、黄三中颜色的球各10个，另有篮、绿两种颜色的球分别是3个、2个，试问一次至少取出多少个球才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色？

A、15 B、 16 C、17 D、14

―――――――――――――――――

【万华解析】

这个题目是抽屉原理题目，我们在解答抽屉原理题目的时候要学会先找到什么是抽屉。抽屉有几个？然后还得注意在给抽屉平均分配的时候，会不会出现抽屉个数减少等问题。

这个题目我们先找什么是抽屉。很明显 颜色就是抽屉。 共计5种颜色，我们就确定了5个抽屉。 每种颜色的抽屉容量是各不相同的，这就导致后面有可能出现抽屉减少的现象。 要求是至少保证取出的球是4个同一颜色的。

我们最接近的是给每个抽屉放3个。 3×5＝15

但是请注意，绿色的抽屉容量只有2，所以我们只能放15－1＝14个。再放就必然导致前面的3个抽屉的某一个达到4个同色了。

此题答案选A

17. 22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽，17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可以吃尽。请问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天吃尽？（ ）

A.50 B.46 C.38 D.35

―――――――――――――――

【万华解析】

“牛吃草”的问题 主要抓住草每天的增长速度这个变量。至于其原始草量有多少 ？不是我们关心的内容，为什么这么说，因为在我们计算的时候，实际上是根据差值求草长速度，那么原有的草量在2种情况中都是一样， 差值的时候被相减抵消了。有些题目可能面积不一样，但是每亩地的原始草量确实一样的。

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再看这个有面积的题目，其实道理是一样的。我们只要将不同的转化为相同的， 面积不一样，但是没公亩的原有量和每天每亩草长的量是相同的。

根据这个

条件1：

(22×54)/33 这是每公亩的情况

条件2：

(17×84)/28 这是每公亩的情况

相减 (17×84)/28 －(22×54)/33＝（84－54）×a a表示每亩草长速度

解得a＝0.5 单位依旧是没头牛每公亩吃草的单位作为标准单位

最后我们假设x头牛24天可以吃完40公亩草

那么挑选上面的一个情况拿过来做对比：

(22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5

即可解得x＝35头牛

18. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离

A、2 B、3 C、4 D、5

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【万华解析】

这个题目是关于多次相遇问题的类型。我先介绍一下多次相遇问题的模型。

例如：有这样一个多次相遇问题的模型图

S……………M…………N……E

SE这段路程，甲从S出发，乙从E出发，甲乙两个人在M处第一次相遇了，相遇的时候我们知道 甲行驶了 SM的长度。甲乙路程之和是SE 一个完整的路程。

N点是第2次相遇的地点。我们发现 此时从第一次相遇的点M开始到第2次相遇的点N。 甲走了ME＋EN，而乙在跟甲相同的时间下走了MS＋SN

我们再次发现：甲乙两者路程之和是 ME＋EN＋MS＋SN＝2SE

是2倍的全程。 你可以继续研究第3次相遇的情况。或者更多次。我们发现：

第一次相遇时，甲的路程或者乙的路程是1份的话。第2次相遇时 甲或者乙又行驶了2倍的第一次的路程。

看上述题目：我们发现 第一次相遇距离A点4千米。那么我们知道 从A出发的甲是走了4千米， 相遇后2人继续行驶，在距离B点3千米处相遇。说明甲又走了2×4＝8千米 画个图：

A．。。。。。。4.。。。。。3.。。。。。B

我们发现甲从开始到最后的总路程就是AB＋3

也就是3倍的第一次的距离。

所以AB＝3×4－3＝9千米

那么两个相遇点之间的距离就是 9－4－3＝2千米。 选A

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19. 在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么相邻两车间隔多少分钟？

A.45 B50 C.60 D.80

―――――――――――――――――――

【万华解析】

我们知道 间隔一顶的时间就有一辆公交车超过小光或者小明。说明他们之间构成了追击问题。追击问题就是时间＝路程差/速度差。

再看，当汽车追上小光或者小明的时候，下一辆公交车在哪里呢就是公交车发车间隔时间的汽车距离。即发车间隔时间×汽车的速度。这就是汽车跟小光或者小明的路程差。

所以我们发现

小光被超过是10分钟，说明 V车－V小光＝1/10

（1）

小明被超过是20分钟

说明 V车－V小明＝1/20

（2）

我们要求间隔发车时间，只要知道汽车的速度就可以知道间隔发车时间了因为我们这里的汽车发车间隔距离都是单位1.

上面得到了（1），（2）两个推断。 同时我们知道小明的速度是小光的3倍

那么（1）×3－（2）＝2倍的汽车速度了

则汽车速度就是 (3/10-1/20)/2=1/8

则答案是 1/(1/8)=8分钟。

20. 一只船从甲码头到乙码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米，因此后2小时比前2小时多行18千米。那么甲乙两个码头距离是多少千米？

A、36 B、45 C、54 D、60

――――――――――――――――――――――

【万华解析】

前2小时是逆水，后2小时是部分逆水＋顺水

如图：

0.。。。。。。。。。。。。。。。。逆水。。。。。。。。。。。。。。。。2（小时）

2.。。。逆水。。。X。。。。。。。。。。。顺水。。。。。。。。4（小时）

我们知道后2小时比前2小时多行18千米

我们看 ，把部分逆水的跟前2个小时相互抵消， 其实后2个小时就是顺水部分比逆水多出来的18，我们知道顺水速度每小时比逆水速度多12千米。那么18千米需要多少小时？ 所以18/12=1.5小时 就是顺水时间。即X到4小时之间的时间间隔。 从而知道逆水时间是

2.5小时。时间比是 3：5 可见速度比是 5：3 差2个比例点 对应12千米 则顺水速度是 12/2×5＝30

答案是30×1.5＝45

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21. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，全部人员同时到达。已知步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？

A、5.5 小时 B、 5 小时 C、4.5小时 D、4 小时

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【万华解析】

这个题目已经成为典型的形成模型问题了，这个团的人分2部分步行, 要得同时到达 那么必然是步行的路程都相同，乘车的路程也相同。抓住这个我们就好办了！

根据题目条件, 我先给大家画个图

甲...............P.............................Q...............乙

图中：P是汽车回来接先步行的人的地点

Q是汽车把先乘车的人放下的地点。

那么我们可以看出，甲～P是先步行的人步行的举例。Q～乙是先乘车的人步行的举例 甲～P＝Q～乙

在根据相同时间内 路程之比=速度比=40:8=5:1

假设先步行的人步行的举例为1份，

那么汽车的行驶距离就是5份，我们发现 汽车走得路程是 甲～Q～P 这段距离是5份， 已知，甲～p＝1份， Q～乙＝甲～P＝1份

那么全程就是 甲乙路程=(5+1+2)/2=4份

则总路程分成4个单位

每个单位是 100/4=25

则以先乘车的人为例 计算时间是 75/40+25/8=5小时

【总结】这类汽车接送的问题 主要是抓住速度之比转换成路程之比，进而将问题大大简化。

下面提供3道练习题目！

例一：100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间最少是?

例二：有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，最终两个班的学生同时到达少年宫。已知学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，问第一班的学生步行了全程的几分之几？

A.1/7 B.1/6 C.3/4 D.2/5

例三：甲乙两班同时从学校去公园，甲步行每小时4千米，乙步行每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好只能做一个班的学生，为了使这两个班学生在最短的时间内到达，那么甲与乙学生需要步行的距离之比是（）。

A、15：11B、17：22 C、19：24D、21：27

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22. 从360到630的自然数中有奇数个约数的数有（）个？

A.25 B.23 C.17 D.7

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【万华解析】

这个题目我一般都是从问题提到的对象入手，自然数的约数？我们知道，求自然数约数无非就是将这个自然数分解因式然后看构成的数字形成多少个不同的乘积。

那么这个自然数就可以表示为自然数＝A×B

A和B都是这个自然数的因数，也就是约数。

很明显一般情况下自然数的约数都是成对出现的，如 12＝2×6，12＝3×4，12＝1×12，2和6是一对，3和4是一对，1和12是一对。既然是成对出现，那么这个自然数理论上说它的约数应该是偶数个才对。现在是奇数个。 什么样的情况会导致它是奇数个约数呢？

我们发现只有当这个自然数种一对约数相等的时候，就会少了1个约数，即A＝B， 那么我们就看出这个自然数是一个平方数！

360～630 之间的平方数可以这样确定， 我们知道19的平方是361，25的平方是625，那么 这样的自然数就是 19～25 共计7个自然数的平方值。

23. 王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于技术改进，每天可多加工5个，结果提前3天完成，问，：这批零件有多少个？

A 300 B280 C360 D270

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【万华解析】

这个题目我们可以通过比例法来解决。我们知道当A＝m×n的时候

当A固定，m和n就是成反比，

当m固定A和n就是成正比，

当n固定，A和m也成正比

看这个题目，注意比较前后2种情况，

情况（1）：每天加工20个 提前1天

情况（2）：先工作4天（每天20个），以后每天是加工25个，可以前3天

我们发现两种情况对比

实际上情况（2）比情况（1）提前了3－1＝2天

这2天是怎么节约出来的呢？ 很明显是因为后面有部分工作每日工作效率提高了，所以那部分所用时间缩短了

根据4天后剩下的总工作量固定。 时间之比＝每日效率的反比＝20：25＝4：5

5－4＝1个比例点。即所提前的时间2天 ，1个比例点是2天。说明每日工作20个所需时间是对应的5个比例点就是2×5＝10天， 意思就很清楚了，当工作4天后，如果不提高效率，还是每天20个，那么需要10天时间

所以这个题目的总工作量是20×（10＋4）＝280个

此题描述比较烦琐，但是比例法确实是一种快速解答问题的方法，希望大家能够花点时间去

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研究一下。

24. 某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人即会说英又会说法,有2人既会说法又会说西;有2人既会说西又会说英;有1人这三种语言都会说.则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多:

A1 B2 C3 D5

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【万华解析】

在前面的有道题目种我们总结了几个公式：

（1）A+B+T=总人数

（2）A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数

（3）B＋3T＝至少包含2种的总人数

（4）T是三者都会的

这里介绍一下A、B、T分别是什么

看图 A＝只会1种的总人数； B＝只会2种的总人数；T＝三种都会或者都参加的人数 根据题目我们得到如下计算：

（1）A＋B＋T＋P＝12

（P表示一种都不会说的）

（2）A＋2B＋3T＝6＋5＋5＝16

（3）B＋3T＝3＋2＋2＝7

（4）T＝1

我们可以很轻松的得到 B＝4，A＝5

T＝1

那么P＝2

答案就是 A－P＝5－2＝3

25. 为了把20xx年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗：( )

A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵

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【万华解析】

这个题目是20xx年的一道国考试题，题目看上去非常的烦琐复杂，还加上了植树问题。其实这就考验我们如何能够化繁为简的能力，甚至有些数字更本可以不用。

我们先对题目进行分析。他提供给我们2种情况：

情况（1）：每隔4米栽1棵，则少2754棵

情况（2）：每隔5米栽1棵，则多396 棵

我们知道这2条马路的总长度是固定不变的，我们可以通过这2种情况先求出总长度。 4和5的最小公倍数是20米 也就是说 每20米情况（1）就要比情况（2）多栽1棵树。 那么这2种情况相差多少颗树

就说明有多少个20米。

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据题意得

情况（1）跟情况（2）相差2754＋396＝3150棵树

说明总距离是 3150×20＝63000米

我们在回头拿出其中一种情况来分析，就选情况（2）

每隔5米栽1棵，还多出396棵，不考虑植树问题，我们先理论的计算一下。

63000/5＋396＝12996棵

这个时候还需要小心我们必须注意2条马路是4个边 ，根据植树原理，每个边要多出1棵 所以答案应该是 12996＋4＝13000棵

26. 一辆车从甲地开往乙地，如果提速20％，可以比原定时间提前一小时到达。如果以原速走120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到。那么甲、乙两地相距多少千米？

A、240 B、270 C、250 D、300

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【万华解析】这个题目依然可以采用比例法来计算：

从第一句话我们看到

提速之后的速度比是

5：6

那么时间比就是 6：5

差1个比例点对应的是1小时。

所以可见原速度行驶的话就是1×6＝6个小时了

再看原速度走了120千米。 剩下的路程 速度提高25％， 那么提高后的速度比是4：5， 那么剩下部分路程所需时间之比是 5：4 差1个比例点对应的就是40分钟 （2/3小时） 那么可以得到如果是原始速度行驶 所需时间就是 5×2/3=10/3 小时。

前面我们知道原始速度行驶需要6小时。 后面部分需要10/3小时 则120千米需要 6－10/3=8/3小时

这个时候我们再看：8/3 走120千米，6小时走多少千米呢

8/3:120=6:x x=270 千米。

27. 有一个四位数，它的4个数字相乘的积是质数，这样的四位数有多少个?

A 4个， B 8个 C 16个 D 32个

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【万华解析】

这个题目主要是抓住数字的特殊性质

结合其概念来作出有利于解答的判断。

我们发现四个数字之和是质数，从质数的概念除法，质数的约数只有1和它本身

由此我们可以肯定这四个数字中只出现2个不同的数字 就是1和一个质数。就是乘积。 可见这四个数字中有3个1，另外一个是质数 个位数是质数的有，2，3，5，7这四个。 根据排列组合从四个质数里面选出1个， 放入四位数种的任意一个位置。

可见答案是 C4，1×C4，1＝16个

28. 一队法国旅客乘坐汽车去旅游中国长城，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车

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乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有（）名旅客

A、507 B、497人 C、529人 D、485人

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【万华解析】

这个题目我觉得就是一个数字游戏，还是考察的质数概念问题。

还是看情况

情况（1）： 每辆车子22人，多出1人

情况（2）：开出1辆车子，刚好平均。

我们看 如果开出1辆车子 我们还是按照每辆车子22人 ，那么就多出22＋1＝23人 注意：23人是质数

不能分解因式，所以 所以23人如果要能被平均分配到剩下的车子上，说明每辆车子只能再添1人。不能添23人因为车子的最大容量是32人 如果再添23人那就是45人超出容量了。 好，分析到这里我们就知道 开走1辆车子 还剩下23辆 刚好每辆1人。 所以原来是24辆车子。 那么总人数就是22×24＋1＝529人

29. 如果2斤油可换5斤肉，7斤肉可换12斤鱼，10斤鱼可换21斤豆，那么27斤豆可换（ ）油。

A．3斤 B．4斤 C．5斤 D．6斤

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【万华解析】

这个题目看上去很好玩，就好像古代尚未有钱币的时候商品的流通就是通过这样的等价交换。

我们发现起始的油换肉。最重又回来了豆换油。形成了一个循环。

我们可以将兑换左边的物品放在一起，兑换右边的物品放在一起就构成了一个等式关系。 如： 2×7×10×27＝5×12×21×A，这样很容易解答出 A＝3

答案就是A了

30. 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？

A. 3 B.4 C.5 D.6

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【万华解析】

这个题目除了总人数没有一个准确的数值，而问题确实要求一个确切的数值，由此我们可以肯定这是一个完全符合极限法的题目，所以的数值只能有一个数值满足。

那么我们就开始按照极限法来假设。

总人数22，

（1）家长比老师多，那么家长至少12人 老师最多10人

（2）妈妈比爸爸多，那么说明妈妈至少7人，爸爸最多5人

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（3）女老师比妈妈多2人 那么女老师至少7＋2＝9人， 因为老师最多10人。说明男老师最多就是1人，

（4）至少有1名男老师。 跟（3）得出的结论形成交集 就是男老师就是1名。

以上情况完全符合假设推断。 所以爸爸就是5人

31. 某路公共汽车,包括起点和终点共有15个车站,有一辆车除终点外,每一站上车的乘客中,恰好有一位乘客到以后的每一站下车,为了使每位乘客都有座位,问这辆公共汽车最少要有多少各座位?

A53 B54 C55 D56

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【万华解析】

这个题目实际上是寻找何时是峰值，我们按照题目的要求，所有的条件都是选择最小数字完成，那么就符合题目的要最少需要安排多少个座位。

题目要求： 汽车驶出起始站 在后面的每站都有人下车，一直到最后一直站。那说明起始站上车的最少人数应该是14人（确保每站都有一个人下车）

同理要的前面上车的人 后面每站都有1人下车，说明第1站上车的人 至少是13人。以此类推。第2站是需要12人 ，第3站需要11人。。。。

我们看车子上面什么时候人数最多。当上车人数>=下车人数的时候 车子上的人一直在增加。知道相等 达到饱和 。

我们看到上车的人数从起始站开始，下车的人数也是从起始站开始。列举一下

起始站（上车）：14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0

起始站（下车）：0 ，1， 2， 3， 4， 5，6，7，8，9，????..

我们发现当上车人数＝7的时候下车人数也是7

达到最大值

所以答案是

14＋（13－1）＋（12－2）＋（11－3）＋（10－4）＋（9－5）＋（8－6）＝56人

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32. 自然数乘1999，末尾6位数都是9，是哪个数？（ ）

A .2001 B.2011 C.2111 D.20001

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【万华解析】

此题看上去貌似很复杂，其实还是我们常见的考察知识点

我们知道这个数末尾6个数字全是9 ，如果这个数字＋1，那么末尾6个数字应该都是0了

我们根据平方差公示 这个数的开方应该是3个0

A^2-1=(A+1)*(A-1)

因为一个数字是1999

只能是A－1＝1999

A＝2000

那么另外一个数字就是A＋1＝2001

选A

33. 参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有（）人。

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

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【万华解析】

每个人握手的次数是N－1次，N人就握手了N×（N－1）次 但是每2个人之间按照上述方法计算重复了一次。 所以要除以2， 即公式是 N×（N－1）÷2＝36 这样N＝9 如果不理解。我们还可以这样考虑

假设这些人排成一排。 第一个人依次向排尾走去。一个一个的握手。第2个人跟着第一个人也是这样。第一个人是N－1次。第2个人是N－2次 第3个人是N－3次

、、、、、、最后第2人是1次，最后一个人不动，所以他主动握手的次数是0次。

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这样我们就看出这些人握手的次数是一个线段法则规则 我在我的45题练习里面解析了关于线段法则的运用情况

即总握手次数就是 1＋2＋3＋4＋5＋、、、、、、＋N－1 计算公式 就是（首项＋尾项）×项数÷2

当然如果是这样的题目 你还可以通过排列组合计算 这么多人中 任意挑出2人即多少种就有多少次握手： Cn取2＝36 也就是 N×（N－1）÷2！＝36 解得 N＝9 这个只适用于比较简单的握手游戏 取2 如果C取值大于2 则就不要用排列组合了，

例如这样一道例题：

某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有（ ）人

A、16 B、17 C、18 D、19

【天使在唱歌解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人

34. 商场的自动扶梯匀速自下而上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用40秒到达，女孩用50秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有：

A 80 B 100 C 120 D 140

――――――――――――――

【万华解析】

关于电梯问题实际上也是一种行程问题，而不是我们所理解的“牛吃草”问题：但跟行程问题却又很大的不同！下面就来说说其不同之处！

行程问题里面我们常见的有2种

一种是相遇问题：同时想向而行！ 何时相遇的行程问题。

一种是追击问题：是一个人在另外一个人的前面，两个人同方向走。后面的人速度快，前面人速度慢，什么时候能追上的问题。

我们先分析2种模型：

（1）： 人的方向跟电梯方向同向

，当人在扶梯的底端开始往上走。而扶梯也是自动往上走，方向相同，我们发现虽然方向相同，但是扶梯是帮助人往同一个方向走的。并且共同走过了扶梯的总级数，

说明（人的速度＋扶梯的速度）×时间＝扶梯级数，这就好比行程问题里面的相遇问题。这

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不过这里的方向是同向。

（2）：人的方向跟电梯方向反向， 人本来是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。行程了反向，人走的路程往往被扶梯同时间内出来的级数抵消一部分。所以人的速度一定要大于扶梯的速度才能到达顶部。当到达顶部的时候，我们不难发现。其实就是（人的速度－扶梯的速度）×时间＝扶梯级数。 这就好比行程问题里面的追击问题，只不过这里的方向是相反 ！

我们再来分析例题：首先确定是同向。确定为相遇问题

速度和×时间＝电梯级数

对于男生： （2＋V电梯）×40

对于女生： （1.5＋V电梯）×50

建立等式关系： （2＋V电梯）×40＝（1.5＋V电梯）×50

解得V电梯＝0.5 则电梯级数＝2.5×40＝100或者 2×50＝100

例如我们在举例一个反向的例子：

【例题练习】：商场的自动扶梯匀速自上而下行驶，两个孩子从下往上走，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上行走2个阶梯，女孩每2秒向上走3个阶梯。如果男孩用50秒到达，女孩用40秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有：

A 80 B 100 C 120 D 140

35. 有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

A 24

B 48

C 32

D 16

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【万华解析】

公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48

公式的由来是通过2个十字交叉法得到的

你假设交换的部分是a克盐水

假设120克的盐水浓度是P1， 80克的盐水浓度是P2，

交换混合后相同的浓度是P

那么对于120克的盐水来讲建立十字交叉法

120－a（P1） P－P2

P

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a（P2） P1－P

我们得到 （120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）

那么对于80克的盐水来讲建立十字交叉法

80－a（P2） P1－P

P

a（P1） P－P2

我们得到

（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）

根据这2个比例的右边部分我们可以得到

（120－a）：a＝a：（80－a）

化简得到 a＝120×80/(120+80) 说明跟各自的浓度无关！

补充方法：

因为2种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将2种溶液直接混合，在按照比例分开成2部分。所以我们假设交换了a克

a克相对于120克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例

跟原始的参照质量也是同一比例。即

(120－a)/a=120/80 a=48克

或者 （80－a）/a=80/120 a=48克

36. 甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?

A. 14 B.16 C.112 D.124

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【万华解析】

这种类型的题目我们首先求出其速度！

甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙频率之比=5：4

而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝7：9

所以，我们来看 相同时间内甲乙得速度之比，5×7：4×9＝35：36

说明，乙比甲多出1个比例单位

现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7＝28个单位

而事实上乙每4浆才能追上36－35＝1个单位，说明28个单位需要28×4＝112浆次追上！ 选C

37.

一个游泳者逆流游泳，在Ａ桥遗失一只空水壶，水壶浮在水面，随水漂流．游泳者继续逆游了１小时到达Ｄ桥，发觉水壶遗失，休息了１２分钟再游回去找寻水壶，又游了１.０５小

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时后，在Ｂ桥找到了水壶．求Ａ，Ｄ两桥的距离是Ａ，Ｂ两桥距离的几倍．

A．1.5倍 B 4/3倍 C 2倍 D 2.5倍

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【万华解析】

B。。。。。A。。。。。。。。。D

从A掉下是逆水行使到D 跟水壶的速度差都是静水速度。时间1小时，从D到B 是顺水行使，跟水壶的速度差也是静水速度。 所以追上水壶用时也应该是1小时。 但是因为中间休息了12分钟,水壶还在飘向B 所以才会延长了追上的时间延长了1.05-1=0.05小时 说明：

水壶速度：游泳者的静水速度＝时间的反比＝0.05小时：12分钟＝1：4

AD＝1小时的逆水＝（4－1）的水流速度

AB＝（1＋1.05＋0.2）小时的水流速度＝2.25

AD：AB＝3/2.25=4/3

38.

机场上停着10架飞机，第一架起飞后，每隔4分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞机起飞后2分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分钟就有一架飞机在机场上降落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔4分钟在原10架之后起飞。那么，从第一架飞机起飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？

A 104 B 108 C 112 D 116

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【万华解析】

这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点状态的一些变化。

碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。 例如“青蛙跳井”问题， 10米深的井，青蛙每次跳5米 就会下滑4米。 问几次能够跳上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳5米的时候刚好到井口！也就是说我们只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，这里都是常规计算 （10－5）/(5-4)=5次。最后一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。

同样这个题目很多人做出116分钟，其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓的临界点就是

当机场剩下1架飞机的时候

假设是N分钟剩下一架飞机！

N/4 +1= (N-2)/6 + 1 +（10-1）

为什么两边都＋1 那是因为这是植树问题。 从0分钟开始计算的 所以要多加1次 解得N＝104分钟

所以我们知道104分钟的时候是临界点 飞机场只有1架飞机没有起飞。

当108分钟的时候，飞机起飞了。 而下一架飞机到机场则是在110分钟的时候， 所以从108～110这段时间是机场首次出现没有飞机的现象！

答案应该选B

39. 某校参加“祖冲之杯”数学邀请赛的选手平均分是75，其中男选手比女选手人数多百分之八十，而女选手比男选手的平均分高百分之二十，则女选手平均分是多少？

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A75 B 90 C70 D84

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【万华解析】

方法一：

就这个题目你可以建立十字交叉法来解答

假设男生平均成绩是a,女生 就是1.2a

男生人数跟女生人数之比就是最终之比 1.8:1=9:5

男生: a 1.2a-75 (9)

全班平均成绩(75)

女生:1.2a 75-a (5)

根据交叉法得到的比例 (1.2a-75):(75-a)=9:5

解得a=70。女生就是1.2a=84

方法二：

根据十字交叉法的公式我们发现，0.2a

是多出来的平均值,这就是两者的差值.

根据我们上面衍生出来的公式 应该=最重比例之和9+5=14 再乘以系数M

0.2a=14M 得 a=70M

因为分数不可能超过100 所以M只能=1,即a=70,女生就是1.2a=84

40. 甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？（

）

A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310

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【万华解析】

像这样的行程问题，比例法是最佳的解答方法。 首先我们确定需要几次相遇速度相等 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等

160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方

N代表了次数 解得N＝3 说明第三次相遇即达到速度相等

第一次相遇前：

开始时 速度是160：20＝8：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比 ＝8：1

所以8－1＝1圈对应的比例即210 所以2人路程之和是210÷7×（8＋1）＝270 第二次相遇前：

速度比是 甲：乙＝4：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比＝4：1

所以4－1＝3等于1圈的距离对应的比例 即210 所以 这个阶段2人路程之和是 210÷3×（4＋1）＝350

第三次相遇前：

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速度比是 甲：乙＝2：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比=2：1

所以2－1＝1对应的是1圈的比例 即210 所以第3阶段2人路程之和 是210÷1×（2＋1）＝630

则总路程是 270＋350＋630＝1250

41. 有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换，轮胎在前轮位置可以行驶5000千米，在后轮位置可以行驶3000千米，问使用两个新轮胎，这辆自行车最多可以行多远？

A 4250 B 3000 C 4000 D 3750

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【万华解析】

这个题目主要是看单位内（1千米）的消耗率，前轮是1/5000, 后轮是1/3000 单位内消耗的总和是1/5000+1/3000＝4/7500, 因为两个轮子的消耗总量是1＋1＝2，所以可以行使2÷4/7500=3750千米

42. 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字的和，直到不能写为止，如257，1459等等，这类数字有（）个

A、45，B、60，C120，D、无数

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【万华解析】

此题主要把题目理解清楚，“直到不能为止” 这个是关键

例如： 123，1235，12358，这算一个数字，就是12358， ， 123和1235还能继续往下写 题目要求不能写为止，所以不符合题目要求，

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不过我们也发现 其实我们只要去看前2位就可以， 就能区别于其他数字 因为前2位决定后面的数字。

看看前2位的组合

10，11，12，13，。。。。。。17，18，

。。。。。。

60，61，62，63

70，71，72

80，81

90，

可见这是呈现一个等差数列规律

个数为 （1＋9）×9÷2＝45

43. 有一水池，单开A管10小时可注满，单开B管12小时可注满，开了两管5小时后，A管坏了，只有B管继续工作，则注满一池水共用了多少小时？（ ）

A.8 B.9 C.6 D.10

【万华解析】

这个题目我拿出来说，是要引起大家重视的，主要是学会识别题目设置的障眼法，

如果我们按部就班的来做，恐怕需要多费些时间。所以我们在看完题目可以迅速的做一个思考。

什么思考？

题目问：则注满一池的水共用多少小时？我们知道乙全程都在参与。所以实际上乙工作了多少小时，就是我们最终要求的结果。

鲤鱼网——成功在于执着

从工作的情况看，A参与了5小时 则相当于 5/10=1/2 还剩下1/2 这部分都是乙做的。乙做1/2需要多少时间呢 12×1/2=6小时 答案就是6小时

44. 五个人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同。则体重最轻的人最重可能是（）

A80 B82 C84 D86

【万华解析】

这个题目跟一道分花的题目是“姊妹”题型！我把这个题目作为例题给大家练习

就本题来看。题目要求最轻的人最重是多少？ 而且5个人的体重各不相同。也就是说，总体重一定的情况下。数字大的尽可能和数字小的靠近 那样数字小的才会相对最重。

只有连续自然数满足这个条件。

我们看，5个人的总重量是 423斤， 根据连续自然数的特征，423/5=中间数（平均数）＝84 余数是3

那么我们知道这5个自然数的序列是 82，83，84，85，86 还剩下3斤不可能分配给最小的几个人 否则他们就会跟后面的数字重复了 所以这3斤应该是分配给最重的几个人，对轻者无影响。答案就是82 选B

例题：现有鲜花21朵分给5人，若每个人分得的鲜花数目各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。

鲤鱼网——成功在于执着

A.7 B.8 C、9 D.10

45. 有一项工程，甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好甲用整数天完成；如果按乙、丙、甲次序轮做，比原计划多用1/2天完成；如果按丙、甲、乙次序轮做，也比原计划多用1/2天完成。已知甲单独做用10天完成，且三个工程队的工作效率各不相同，那么这项工程由甲、乙、丙三对合作要多少天可以完成？

A.7 B.19/3 C.209/40 D.40/9

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【万华解析】

我们先把题目告诉我们的条件分类

（1）甲，乙，丙 甲整数天 （注意，甲收尾 刚好完成）

（2）乙，丙，甲，多用0.5天 （剩余的部分给乙做，也是需要多做0.5天，即丙做.）

（3）丙，甲，乙，多用0.5天。 （剩余的部分给丙做，也是需要多做0.5天，即甲做） 甲单独做10天完成，甲的工作效率是1/10

看（3） 甲的1/10 给丙做，丙需要1天 还得让甲做半天。 所以丙的效率是甲的一半。即为1/20

再看（2），1/10=乙＋1/20×0.5 得到乙的效率是 3/40

合作需要 1/(1/10+3/40+1/20)=40/9 选D

46. 某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组，

鲤鱼网——成功在于执着

甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；

乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；

丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；

丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。

现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），则7天内这四个组最多可以缝制衣服多少套）

A 110 B 115 C 120 D125

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【万华解析】

主要我们采用的主要思路是：让善于做裤子的人做裤子，善于做上衣的人做上衣。这样才能发挥各自的长处，保证最后的总数最大。相等的可以做机动的补差！进行微调！ 综合系数是（8＋9＋7＋6）：（10＋12＋11＋7）＝ 3：4

单独看4个人的系数是

4：5 大于综合系数

3：4 等于综合系数

7：11 小于综合系数

6：7 大于综合系数

则 甲，丁做衣服。 丙做裤子。 乙机动

7×（8＋6）＝98

11×7＝77

多出98－77＝21套衣服

机动乙根据自己的情况 需要一天12＋9套裤子才能补上 9/(12-9)=3 需要各自3天的生产（3天衣服＋3天裤子）＋1天裤子

则答案是 衣服 98＋3×9＝125 裤子是 77＋4×12＝125

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47. 五个瓶子都贴了标签，全部贴错的可能性有多少种？

A6 B.12 C.26 D44

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【万华解析】

首先我们从简单的1封信开始

1封： 不可能贴错 0种

2封： 贴错的情况是相互交换 1种

3封： 贴错的情况是2种

4封： 贴错的情况是9种

5封： 贴错的情况是44种

大家就像记住平方数一样记住就可以了，一般如果考试考到 也就是查不到在5以内的情况。

好 我们接着对这些数字形成的数列进行归纳： 0，1，2，9，44

得到了这样一个递归公式：

Sn＝n×S(n-1)＋(-1)^n

Sn表示n个贴错的情况种数

如S1＝0

S2=2×S1+(-1)^2=1

S3=3×S2+(-1)^3=2

S4=4×S3+(-1)^4=9

S5=5×S4+(-1)^5=44

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48. 某书店得优惠政策,每次买书200元至499.99元优惠5％，每次买书500元以上（含500元)优惠10％，某顾客买了3次书，如果第一次于第二次合并买比分开买便宜13.5元，如果三次合并买比三次分开买便宜39.4。已知第一次付款是第三次付款得5/8，求第二次买了多少钱书？

A115 B120 C125 D130

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【万华解析】

第一次与第二次购书的合价=13.5/5%=270

第三次购书优惠=39.4-270*10%=12.4

如果第三次购书原价=12.4/10%=124

则三次购书款=270+124=394，

不符合题意

所以第三次购书款应该是200以上的，即已经享受优惠。

则第三次购书原价=12.4/（10%-5%）=248

第一次书价=248*5/8=155

第二次书价=270-155=115

49. 电车公司维修站有７辆电车需要进行维修．如果用一名工人维修着７辆车的修复时间分别为１２．１７．８．１８．２３．３０．１４分钟．每辆电车每停开一分钟经济损失为１１元．现在由３名工人效率相等的维修电车，各自独立工作。要使经济损失减少到最小程度，最少损失多少钱？

Ａ ２３２１ Ｂ ２１５６ Ｃ １９９１ Ｄ １８５９

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【万华解析】

这是一道统筹问题，抓住题目的关键 ：耗时多的放到最后 这样大家等待时间就少 A：8 17 30 耗时＝8×3＋17×2＋30＝88

B：12 18 耗时 12×2＋18＝42

C：14 23 耗时 14×2＋23＝51

总耗时＝88＋42＋51＝181

则费用是181×11＝1991

50. 1^2007+3^2007+5^2007+7^2007+9^2007的值的个位数是（）

A、2 B、3 C、5 D、7

鲤鱼网——成功在于执着

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【万华解析】

这里不再多说 给大家介绍一下我总结的规律

当某2个数的个位数之和是10的时候这2个数字的相同奇数次方的个位数和还是10，相同的偶数次方的个位数相同。

举例： 4^4跟6^4： 4＋6＝10 那么他们的偶数次方个位数相同 4^4=256 6^6=个位数也是6

4^5和6^5次方 其个位数之和是 4＋6＝10

此题我们先分组 （1，9）（3，7）（5） 根据上述规律

其次方数是2007 奇数次方。 那么其个位数之和是 10＋10＋5＝25 则答案是选C

51. 甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题?

A、6 B、5 C、4 D、3

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【天使在唱歌解析】

第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的

/read-htm-tid-9818850.html 第14题

我们设A表示难题，B表示中档题目，T表示简单题目

（1）：A＋B＋T＝20

（2）：A＋2B＋3T＝12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的

将 （1）×2－（2）＝A－T＝4

这就是我们要求的难题比简单题目多出4

可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当你完全了解和熟练运用：A＋2B＋3T这个公式的时候，这个题目我在第一部分就有说明！

52. 甲夫妇邀请 乙丙两对夫妇来家做客，大家随意围坐在一个圆桌上用餐。请问每对夫妇相邻而坐的概率是多大？

A. 1/15 B.2/15 C1/5 D.4/15

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【万华解析】

鲤鱼网——成功在于执着

这个题目我们必须先掌握一个基础知识

环形排列跟直线排列的区别。 我们知道直线排列 例如 5个人站成一排 有多少种方法 P55＝120，

但是如果问 5个人围成一圈有多少种方法呢？ 我们必须注意环形排列的特别之处， 环形的开始也就是结束。首尾相连的。 所以没有绝对位置之分，只有相对位置。 所以第一个人一般是作为参照物。不参与全排列。所以5个人围成一圈是P44＝24种方法

再看这个题目。

先看 三对夫妇六个人全排列应该是P55＝120种

满足条件的情况：我们我可以先将这三对夫妇捆绑 视为3个人 那么围成一桌的全排列是 P22＝2种，然后我们再对每对夫妇进行调换位置 那就是 2*2*2=2^3

所以满足情况的方法有2×8＝16种

答案是16/120=2/15

53. 一个袋里有四种不同颜色的小球，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次?

A 55 B 87 C 41 D 91

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【万华解析】

这个题目是一个典型的“抽屉原理”题目！

碰到抽屉原理类型的题目，我们首先需要去寻找什么是抽屉。其次是抽屉的个数。 当这些都确定以后。我们可以根据题目提供的条件 对抽屉进行极限化分配。

什么是抽屉，题目中告诉我们 四种不同颜色的小球任意取2个小球组成的不同组合，这里就是指不同颜色的搭配形成的组合

那么我们看 有多少个抽屉（组合）呢

4种颜色的搭配应该是 分两种情况

（1） 不同颜色的组合： C（4，2）＝6

（2） 相同颜色的组合： C（4，1）＝4

很明显了 抽屉（组合）的种数就是6＋4＝10种

要的10次所摸的结果一样。最坏的情况就是每种组合都会摸到最大限度

最大限度就是10－1＝9种

所以答案是9×10＋1＝91 选D

54. 已知连续四个自然数的积是1680,这四个数的和是（ ）

A、22 B、24 C、26 D、28

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【万华解析】

此题是个不错的题目，属于比较简单的题目。方法有3种。

方法一：分解因式法

1680＝2×2×2×5×6×7 一目了然 这四个数是5，6，7，8 和为26。这个方法对于比较小的

鲤鱼网——成功在于执着

数字适合。如果数字比较大的话。分解因式是个耗时的做法。另外当四个连续自然数全是合数的情况，那么分解因式来解决此类型题目就更加困难。

方法二：数字特性法

这里告诉大家一个数字规律常识：连续四个自然数的乘积必是一个数的平方－1

数字概念特性 N的平方＝（N＋1）×（N－1）＋1 也就是说 一个数的平方＝这个数的两边数字乘积＋1。根据这个我们可以确定1681是某个数字的平方＝41的平方 可以直接估算出来。根据上述特性 1680＝40×42 则结果出来了 42＝6×7 40＝5×8

方法三：排除法

根据选项我们发现最小的是22，最大的是28 连续四个自然数之和。大概是在4～9这个范围内的某四个连续自然数，稍微试一试就出来了

55. 甲乙丙三人共同进货回来，在平均分配的时候，甲比丙多了3吨，丙比乙少了3吨， 为了公平起见，甲乙各自给了丙12000元。 则每吨货值（ ）元

A、4000元 B、8000元 C、16000元 D、12000元

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【万华解析】

此题非常的好，这是一个参照物选择的问题。从题目表面看似乎就是甲乙跟丙的比较。其实是三者跟平均数的比较。平均数才是这个题目的参照标准。如此题：

我们知道，甲乙比丙都多了3吨，则总共多了3×2＝6吨。平均分给3个人。则每个人是2吨。相比原先多出3吨的情况，甲乙其实都是只比平均数多了1吨。公平起见。每个人都应该分得平均数。现在甲乙都是多拿了1吨，则 每个人付出的12000元就是1吨货物的钱。此题选D

56.有8件产品，其中有3件是次品，能够恰好在第5次找出3件次品的概率是（）

A 3/28 B 1/8 C 1/7 D 3/56

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【万华解析】

这个题目我们先看8件产品里面任意去3种次品的情况是多少种 C（8，3）＝56 再看恰好是第5次找到 注意这句话的“恰好”这个词

一般情况是 第5次肯定就是最后第3个次品被找到

前面4种情况就出现了2个次品，所以是C（4，2）＝6种

注意，这里还隐藏了一种情况，那就是前面5次都是好成品，没有次品。那么就可以确定剩下的3个都是次品。

则第5次能够恰好找到次品的种数是 6＋1＝7种

则概率是 7/56=1/8

57.某食堂有大、中、小三种碗共计1060只、按照规定，2人一个小碗，3人2个中碗，5人3个大碗。某日中午该食堂开饭。所有碗都被用光。问此时来进餐的有（ ）人

A、480 B、600 C、640 D、720

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【万华解析】

这个题目相对比较简单，我们先来介绍基础的方法

解法一：

根据食堂规定：2人一个小碗，3人2个中碗，5人3个大碗 则表示1个人占用了1/2个小碗，2/3个中碗，3/5个大碗 则一个人需要（1/2+2/3+3/5）=53/30个碗。1060个碗中有1060÷53/30＝600个 说明就有600个人

解法二：

我们看2，3，5的最小公倍数是30 ，那么我们看30人需要30÷2＝15个小碗，30÷3×2＝20个中碗，30÷5×3＝18个大碗。则30个人总共需要15＋20＋18＝53个碗，1060中有多少53个碗 就有多少个30人，1060÷53＝20 则总人数是20×30＝600人

58－1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（）瓶啤酒？

A 13 B 14 C 15 D16

58－2. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？

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【万华解析】

这2道题目是同属姐妹题。

58－1这道题目 是通过3个空瓶去换1瓶啤酒。这里需要了解的是 存在酒瓶相差1个的情况下可以借空瓶的说法。 3空瓶＝1瓶酒 我们发现这换来的1瓶酒 也有一个酒瓶 实际上我们发现是2个空瓶换了一瓶酒（不含瓶子） 而最重的结果也是不留任何空瓶全部兑换出去了

所以我们实际上就是看10个空瓶可以换多少酒瓶里面的酒 10/2=5瓶

答案就是10＋5＝15

再看58－2，

我们先知道了 总共喝了161瓶。 还知道空瓶换酒是 4个空瓶换1瓶酒。假设原来是购买了a瓶酒。根据上述推理 我们可以得到 a＋a/(5-1)=161 解得 a＝644/5=128.8 这里注意 因为存在借酒瓶的问题。所以碰到小数不管是多少 直接进一 所以答案是129

或者你可以采用“求余反商”的方法

我们知道5个空瓶换一个。 那么实际上这个同学是喝掉了161个空瓶的汽水。 应该说 5个空瓶跟换来的1瓶看作一组 就是5＋1＝6个瓶子。

我们看看这161里面有多少个

161/6=26 余数是5

(26＋5)/6=5 余数是 1

(5＋1)/6=1

实际上就是多喝了 26＋5＋1＝32瓶

原来购买的就是161－32＝129瓶！

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59. 甲乙2人相约中午12点至1点钟见面，并约定“第一人到达后可以在等第二人15分钟后不见人来就可离去。”假设他们都以各自设想的时间来到见面地点，则他们2人能见上面的机率有多大？

A.1/16; B.1/4; C.3/8; D.以上三者均不对

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【万华解析】

我们先看这个图形：

总结多篇行测数量关系题型分类与解题技巧并附带行测重点行程问题保存

我们可以将概率问题转换为计算图形面积问题。

x，y坐标表示2个人等待的时间时刻。

中间部分构成的就是其相交的面积

真个面积 我们把一个单位看作15分钟， 那么整个面积就是4×4＝16个单位。 其中相交的部分就是中间斜着的部分

面积是1×1+根号2×3根号2＝1＋6＝7 所以 概率是 7/16

60. 将50个苹果分成相同的3堆，每堆至少1个，有多少种分法？

A 200 B 208 C 216 D 243

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【万华解析】

这个题目 我们可以先将其看作插孔法来研究

那么就是 C49取2＝1176 事实上插孔法是针对的不同组不同分类的情况来做的，这里是相同的堆。所以计算重复了我们按照三个堆各不相同为标准，如果三个各不相同，那么插孔法得到的结果就是P33＝6种，但是这个题目里面插孔法得到的情况有些不是6种的，下面我们就对这些不是6种的情况进行研究。 努力把这些情况恢复到6种， 事实上因为不去分组，所以的6种情况都是一样的，所以除以6就是我们需要的结果

1，1，48

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2，2，46，

3，3，44

4，4，42

.。。。。。

50/2=25

所以直到

24，24，2

这样的情况少算了 P33-P33/P22=3次

所以一共少算了 24×3＝72

按照标准情况来看应该是 1176＋72＝1248种

所以我们每组都需要扣除6种情况变为1种 因为不区分组

所以答案是

1248/P33=208种

例一：100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间最少是?

解法

A...........P.....R.....C.....S.....T.....Q...........B

AQPTRSC=AQ+QP+PT+TR+RS+SC=(55/5)*QB=11QB＝１１份

总共考虑全程的6倍

按例题思路

S1+（1/3+2）＝２S (S1=AQ+QP)

S2+（1/3+2/3+2*2/3）=2S (S2=PT+TR)

S3+（2/3+1+2*1/3)=2S (S3=RS+SC)

S1+S2+S3=11份

11+（1/3+2）+（1/3+2/3+2*2/3）+（2/3+1+2*1/3）=6S

所以总路程S=3份

所以汽车走2份，人走1份

22/55+11/5=13/5

例二：有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往少年宫，最终两个班的学生同时到达少年宫。已知学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车是50公里/小时，问第一班的学生步行了全程的几分之几？

A.1/7 B.1/6 C.3/4 D.2/5

解析

A.......P........Q..........B

(40/5)QB<AQP<(50/5)QB

即AQP在１０份到１２份之间

又AQP+1+2*1=2S（２倍全程）

所以１３＜２S＜１５

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即６．５＜S<7.5（省略单位均为份）

步行占全程就是１份／S

即应该在１／6.5到1/7.5之间

所以为1/7

例三：甲乙两班同时从学校去公园，甲步行每小时4千米，乙步行每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好只能做一个班的学生，为了使这两个班学生在最短的时间内到达，那么甲与乙学生需要步行的距离之比是（）。

A、15：11B、17：22 C、19：24D、21：27

未按天自一号例题思路解析

引用别人的（方法来自sunbbird）

个人觉得此方法用于变速的解题很好，恒速选万华方法很好

解答：先来画个全程图

A。。。。。。P..............Q。。。。。。B

假设甲班先坐车，A为学校起点，B为公园终点，Q为甲班下汽车的地点，P为汽车接乙班的起点

那么QB为甲学生步行的距离，AP为乙学生步行的距离

最短的时间内到达肯定是两个班同时到达终点B

那么AQ/V车+QB/V甲=AP/V乙+PB/V车 （AP+PQ）/48+QB/4=AP/3+(PQ+QB)/48 QB/4-QB/48=AP/3-AP/48 11QB/48=15AP/48 QB/AP=15/11

答案应该是A

23. 王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于技术改进，每天可多加工5个，结果提前3天完成，问，：这批零件有多少个？

A 300 B280 C360 D270

解析：

设总零件为X个

根据前后两次天数一致列方程得：

x/20+1=(x-20*4)/25+3+4(切记要＋４，因为前面用了４天)

解方程得x=280

24. 某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人即会说英又会说法,有2人既会说法又会说西;有2人既会说西又会说英;有1人这三种语言都会说.则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多:

A1 B2 C3 D5

解析，此方法没有万华的公式普用

但具体问题具体分析

可解析出每种具体人数

首先：三种都会：１人

只会两种：

只会英法：３－１＝２

只会法西：２－１＝１

只会西英：２－１＝１

只会一种：

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只会英：６－１－２－１＝２

只会法：５－１－２－１＝１

只会西：５－１－１－１＝２

一种也不会：１２－１－（２＋１＋１）－（２＋１＋２）＝２

所以只会一种比一种不会多：

２＋１＋２－２＝３

25. 为了把20xx年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗：( )

A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵

设距离为S,树的树木为x,根据题意列出方程组

[（3S+6000）/4+1]*4=x+2754

[(3S+6000)/5+1]*4=x-396

根据方程组，消去S可以得到：

X=13000

一辆车从甲地开往乙地，如果提速20％，可以比原定时间提前一小时到达。如果以原速走120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到。那么甲、乙两地相距多少千米？

A、240 B、270 C、250 D、300

设速度为x,距离为S,根据两次情况可列方程组：

S/(6x/5)=S/x-1;(1)

120/x+(S-120)/(5x/4)=S/x-2/3;(2)

由一式得s/x=6 (3)

代2得x=45

代入3得s=270

公务员考试行测数量关系行程问题涉及范围较广，也是很多考生学习的难点。结合多年的教学经验，就行程问题进行了分类总结，并辅以真题示例，以助各位考生梳理行程问题解题思路。

公务员考试行测数量关系行程问题可分为以下几类：

一、相遇问题

要点提示：甲从A地到B地，乙从B地到A地，甲，乙在AB途中相遇。

A、B两地的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=速度和×相遇时间

1、同时出发

例1：两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米/秒，第二列车的车速为12.5米/秒，第二列车的旅客发现第一列车在旁边开过时用了6秒，则第一列车的长度为多少米?

A.60米 B.75米C.80米D.135米

解析：D。A、B两地的距离为第一列车的长度，那么第一列车的长度为(10+12.5)×6=135米。

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2、不同时出发

例2：每天早上定时离家上班，张大爷定时出家门散步，他们每天都相向而行且准时在途中相遇。有一天因有事提早离家出门，所以他比平时早7分钟与张大爷相遇。已知每分钟行70米，张大爷每分钟行40米，那么这一天比平时早出门( )分钟

A.7 B.9C.10 D.11

解析：D。设每天走X分钟，张大爷走Y分钟相遇，今天提前Z分钟离家出门，可列方程为70X+40Y=70×(X+Z-7)+40×(Y-7)，解得Z=11，故应选择D。

3、二次相遇问题

要点提示：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。第二次相遇时走的路程是第一次相遇时路程的两倍。

例3： 两汽车同时从A、B两地相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，在离A城44千米处相遇。两城市相距( )千米

A.200 B.150C.120 D100

解析：D。第一次相遇时两车共走一个全程，第二次相遇时两车共走了两个全程，从A城出发的汽车在第二次相遇时走了52×2=104千米，从B城出发的汽车走了52+44=94千米，故两城间距离为(104+96)÷2=100千米。

4、绕圈问题

例4：在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要( )?

A.24分钟 B.26分钟 C.28分钟 D.30分钟

答案：C。解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。即两人16分钟走一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走半圈，即从A到B是半圈，甲从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14×2=28分钟。

二、追及问题

要点提示：甲，乙同时行走，速度不同，这就产生了“追及问题”。假设甲走得快，乙走得慢，在相同时间(追及时间)内：

追及路程=甲的路程-乙的路程 =甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 =速度差× 追及时间

核心是“速度差”。

例5：一列快车长170米，每秒行23米，一列慢车长130米，每秒行18米。快车从后面追上慢车到超过慢车，共需( )秒钟

A.60 B.75C.50 D.55

解析：A。设需要x秒快车超过慢车，则(23-18)x=170+130，得出x=60秒。

例6：甲、乙两地相距100千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出15千米;当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有10千米。那么汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的?

A.60千米B.50千米 C.40千米D.30千米

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总结多篇行测数量关系题型分类与解题技巧并附带行测重点行程问题保存

解析：C。汽车和拖拉机的速度比为100：(100-15-10)=4：3，设追上时经过了t小时，那么汽车速度为4x，拖拉机速度则为3x，则3xt+15=4xt，得xt=15，即汽车经过4xt=60千米追上拖拉机，这时汽车距乙地100-60=40千米。

三、流水问题

要点提示：

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=(顺水速度+逆水速度)/2

水速=(顺水速度-逆水速度)/2

例7：一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为( )

A.44千米 B.48千米 C.30千米 D.36千米

解析：A。顺流速度-逆流速度=2×水流速度，又顺流速度=2×逆流速度，可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时，逆流速度=2×水流速度=4千米/时。设甲、丙两港间距离为X千米，可列方程X÷8+(X-18)÷4=12 解得X=44。

要想有效提高公务员考试行测数量关系行程问题解题速度，必须熟练掌握并能自如运用各类题目的解题方法。建议考生复习时按上述方法进行分类总结，提升解题能力。

八招让你行测数量关系解题不再难

所有参考公务员考试的考生在备考之前必须深刻明白这样一个道理：在行政职业能力测验考试中的“数量关系”的复习，既不能只依靠盲目的题海战术，也不能仅凭借自己十几年来自认深厚的数学功底，更不能把希望完全寄托在三、五天的培训课堂上。考生要想最大程度的挖掘自己的做题潜能，把握正确的方向、运用科学的方法、进行有效的练习才是克题制胜的关键。为此，华图公务员考试研究中心李委明老师就考生务必掌握以下八大要点进行了解读。

公务员录用考试行政职业能力测验考试“数量关系”备考务必把握的八大要点： 题 型

首先，考生必须熟练的把握所考题型的“完全”分类、了解题型之间的逻辑关系并且判别不同题型的基本特征。譬如提到经典的数字推理题，考生必须明白其五大题型是如何进行分类的，各自有什么形式特征，题型之间又是如何综合联系的。其二，无论你参加哪种形式的行政职业能力测验，你所考的试题当中几乎所有题目都能在往年国家、地方考试试卷中找到类似甚至完全相同的题型，因此，大题量、大范围的真题复习显得尤为重要。第三，最近两年各地新出现的试题形式，往往会成为当下考试的新趋势，值得大家特别关注。 数学基础知识

数学基础知识自然是解题必不可少的关键，考生必须掌握所有基础的数字知识和数学公式。如果不熟练常用幂次数，将不会有基本的数字敏感；如果不了解整数的整除特性，应对数字关系将寸步难行；如果没有基础的数学公式储备，很多运算题你将无从下手。 数学解题思想

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构造法、极端法、枚举法、归纳法、逆向法、图示法、设“1”法等等，都是数学题当中常见的典型解题思想，每一种方法都是一把破解难题、节省时间的金钥匙，需要各位考生在实战中细细领悟。

方 程

列方程和解方程是大家从小就开始训练的基本能力，而能用方程解题是区分数学运算题与小学奥数题的两大基本特征之一，因此，很多题目将因方程的运用而变得简单。譬如鼎鼎大名的“牛吃草问题”，在方程组的帮助下就变得异常普通。考生一定要了解哪些题型常用方程求解、掌握如何合理设定未知数列方程以及如何快速有效求解方程的方法。此外，由一般方程或方程组引申出来的不定方程和不等式，同样是现今行政职业能力测验考试数量关系考察的重要方向。

模 板

所谓“模板”，是指专为公务员考试“数学运算”量身定造（包括之前业已存在但被重新提炼的情形）的、注重最终结果而省略中间思维过程的解题方法。譬如用平均分段法解决典型年龄问题，用相应“口诀”解答星期日期问题、乘方尾数问题、同余问题、典型统筹问题，用特殊公式解裂项相加问题、两集合容斥原理问题、时钟追及问题等等。

技 巧

如果会用“十字交叉法”，你可以跳过方程直接口算出答案；如果会用“代入排除法”，你可以回避很多复杂计算和公式，过程的简单将让你意想不到；如果会用“数字特性法”，利用肉眼直接区分选项的尾数、大小、奇偶、因子、倍数、余数等特征，你将发现解题变得如此轻松。总之，“数学运算”特有的“客观单选”性让技巧的发挥有了充分的空间和余地。

训 练

所有的学习过程都是让自己“已知”的过程，而在此基础上的大量有效的训练就是让自己“会用”的过程。训练要掌握节奏：一开始多尝试一题多解（寻找最优方法）和一解多题（掌握方法的适用范围），细细品味题型的识别和方法的选用；然后再通过同类练习巩固自己对各种方法的熟练掌握；最后进行定时定量模拟训练，检验自己的学习，寻找真实考场的感觉。

心 态

心态的好坏决定了考场上战术与战略的成败。从整体来说，一定要学会“先易后难”的做题顺序，将最珍贵的分分秒秒投入到自己最有把握的题型上来。而针对具体题型，一定要遵从“机械程序化”的解题思维，考场时间特别有限，并不是大家发挥创造性思维的场所，宁愿遵从统一的思维方式，也不要为了“具体问题具体分析”而浪费更多思考的时间。

一、数字推理

1．2，3，6，15，( )

A．20 B．24 C．32 D．42

2．60，80，104，120，( )

A．164 B．144 C．142 D．201

3．2,4,1,5,0,6,( )

A．-1 B．0 C．1 D．3

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4．3，30，29，12 , ( )

A．92 B．7 C．8 D．10

5．2，4，9，23，64，( )

A．92 B．124 C．156 D．186

二、数学计算。共10题

6．在一次法律知识竞赛中，甲机关20人参加，平均80分，乙机关30人参加，平均70分，问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少?

A．76 B．75 C．74 D．73

7．一单位组织员工乘车去泰山，要求每辆车上的员工数相等。起初，每辆车22人，结果有一人无法上车;如果开走一辆车，那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各辆车上，已知每辆最多乘坐32人，请问单位有多少人去了泰山?

A．269 B．352 C．478 D．529

8．某单位的员工不足50人，在参加全市组织的业务知识考试中全单位有1／7的人得

90—100分，有1／2时人得80—89有l／3的人得60—79分，请问这个单位得60分(不包含60分)以下考试成绩的有多少人?

A．1 B．2 C．3 D．4

9．某市一体育场有三条同心圆跑道，里圈跑道长1／5公里，中圈跑道长1／4公里，外圈跑道长3／8公里，甲乙丙分别在里中外同时同向起跑，甲平均每小时3．5公里，乙4公里，丙5公里，问几小时后三个人同时回到出发点?

A．8 B．7 C．6 D．5

10．同时点燃两根长度相同的蜡烛，一根粗一根细，粗的可以点五个小时，细的可以点四个小时，当把两根蜡烛同时点燃，一定时间吹灭时，粗蜡烛剩余的长度是细蜡烛的4倍，问吹灭时蜡烛点了多少时间?

A．1小时45分 B.2小时50分 C．3小时45分 D．4小时30分

11．一个男孩子的兄弟和姐妹一样多，而他的一个妹妹只有比她的兄弟少一半的姐妹问他家共有多少男孩子。

A. 2 个 B.3个 C.4个 D.5个

12．某一地区在拆迁时，拆迁办组织三个部门的人将长木锯成短木，树木的粗细都相同，只有长度不一样，甲部门锯的树木是2米长，乙部门锯的树木是1．5米长，丙部门锯的树木是1米长，都要求按0．5米长的规格锯开，时间结束时，三个部门正好gkz6.net把堆放的树木锯完，张三那个部门共锯了27段，李四那个部门共锯了28段，王五那个部门共锯了34段，请问张三属于那个部门?那个部门锯得最慢?

A．属于丙部门，甲部门最慢。 B．属于乙部门，丙部门最慢。

C．属于甲部门，并部门最慢。 D．属于乙部门，乙部门最慢。

13．两个车站有几个站台，两两之间采用不同的票，后来又增加几个站台，增加了26种票，问两个车站之间一共有几个站台?

A．8 B．7 C．6 D．4

14．有一个四位数，能被72整除，其千位与个位之和为10，个位数是为质数的偶数，去掉千位与各位得到一个新数为质数，这个四位数是多少?

A．8676 B．8712 C．9612 D．8532

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15．甲乙两地有公共汽车，每隔3分钟就从两地各发一辆汽车，30分驶完全程。如果车速均匀，一个人坐上午9点的车从甲地开往乙地，一共遇上多少辆汽车?

A．15 B．18 C．19 D．20

参考答案和详解

1.【答案】D 解析：二级等差数列的变式 2， 3， 6， 15， ( 42 ) 二级等比数列 1 3 9 (27)

2.【答案】A 解析：每个数除以三的余数是0，2，2，0，2；每三个相邻余数之和均等于4。

3.【答案】A 解析：奇偶数项都是等差数列。

4.【答案】B 解析：3=14+2, 30=33+3, 29=52+4, 12=71+5, ( )=90+6=7

5.【答案】D 解析：4=2×3-2,9=4×3-3,23=9×3-4,64=23×3-5,( )=64×3-6=186

6.【答案】C 解析：(20×80+30×70)÷(20+30)=74

7.【答案】D 解析：由题目可知道，总人数一定除去22余1。那么总人数一定是奇数，排除BC。269=22×12+5,529=22×24+1,因此，排除A，只能选D。另外，本题可通过列方程求解。

8.【答案】A 解析：由题目可知，该单位员工人数为42人。那么得60分以下的人为42×(1－1／7－1／2－l／3)=1.

9.【答案】C 解析：甲每小时跑3.5÷(1／5)=35/2圈，乙每小时跑16圈，丙每小时跑40/3圈，因此，要使他们同时在出发点相遇，一定使他们的圈数均为整数，应选C

10.【答案】C 解析：每根蜡烛所点的时间和它本身的高度是成比的。假设吹灭时蜡烛点了x个小时，那么5-x/5 = (4-x/4)X4, x=3,所以应选C

11.【答案】C 解析：代入法，该家庭有3个女儿和4个男孩的时候，符合题目要求。

12.【答案】B 解析：由题目可知道，在相同时间里，李四所在的甲部门锯了7棵树，共锯了21次；张三锯了27段，属于乙部门，锯了9棵树，锯了18次；王五所在的丙部门锯了17棵树，锯了17次；因此，选择B。

13.【答案】A 解析：每增加一个站台，增加的站台票数等于原有的站台个数。由于

26=5+6+7+8,因此，原有站台是4个，后来增加了4个站台，两个车站之间共有8个站台。

14.【答案】B 解析：由题目可知，个位数是2，那么千位数应是8，去掉千位和个位的新数是质数，BD都是质数，所以只能拿BD的数去除72，只有B才能被72整除。

15.【答案】B 解析：在上午8点半到9点半，乙地共发送20辆车，但是8点半和9点半发出的车此人只能在车站遇见，因此，共计20－2＝18辆。

一、数字推理：共8题。给你一个数列，但其中缺少一项，要求你仔细观察数列的排列规律，然后从四个供选择的选项中选出你认为最合理的一项，来填补空缺项。

请开始答题：

1．1，6，6，36，( )，7776

A.96 B．216 C．866 D．1776

2．2，7，13，20，25，31，( )

A．35 B．36 C．37 D．38

 3. 1/9, 1/28 , ( ), 1/126

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A．1/55 B．1/54 C．1/65 D. 1/75

4. 1/2, 1, 4/3, 19/12 , ( )

A．130/60 B．137/60 C 107/60 D．147/60

5．2，12，121，1121，11211，( )

A．11121 B．11112 C．112111 D．111211

6．5，4，10，8，15，16，( )，( ) 

A．20，18 B．18，32 C．20，32 D．18，64

7．1，2，2，3，4，( )

A．4 B．5 C．6 D．7

8．17，18，22，31，47，（ ）

A．54 B．63 C．72 D.81

二、数学运算：共7题。要求你在四个选项中，选出你认为正确的一项。要求你充分利用所给条件，寻求解决问题的捷径。

请开始答题：

9．一个等腰三角形，一边长是30厘米，另一边长是65厘米，则这个三角形的周长是( )。

A．125厘米 B．160厘米

C．125厘米或160厘米 D．无法确定

10．学校举行运动会，要求按照红、黄、绿、紫的颜色插彩旗于校门口，请问第58面旗是什么颜色？（ ）

A．黄 B．红 C．绿 D．紫

11．参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人?( )

A．441 B．400 C．361 D.386

12．(1296-18)÷36的值是（ ）。

A．20 B．355 C．19 D．36

13．20xx年7月1日是星期五，那么20xx年7月1日是星期几？（ ）

A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期二

14．小明每天必须做家务，做一天可得3 元钱，做得特别好时每天可得5元钱，有一个月(30天)他共得100元，这个月他有（ ）天做得特别好。

A．2 B．3 C．5 D．7

15．有一种长方形小纸板，长为29毫米，宽为11毫米。现在用同样大小的这种小纸板拼合成一个正方形，问最少要多少块这样的小纸板？（ ）

A．197块 B．192块 C．319块 D．299块

一、数字推理

1．B【解析】从前四个数字不难看出规律，即an+2=an+1×an，6×36=216，再用所给数列中的第六项来进行验证，36×216=7776，故正确选项为B。

2．D【解析】用后一项减去前一项，分别得到5、6、7、5、6，可见，所给数列中，相邻两

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项的差是以5、6、7为一个循环，则数列第七项减去第六项应该为7，故正确选项为D。

3．C【解析】先观察分母，9＝23＋1，28＝33＋1，126＝53＋1，则可推出空白项分母为43＋1＝65。故正确选项为C。

4．C【解析】1=1÷2+1÷2，4÷3=1+1÷3，19÷12=4÷3+1÷4，( )=19÷12+1÷5=107÷60。故正确选项为C。

5．D【解析】该数列的gkz6.net偶数项=前一项+10N-1（其中N为项数），如第四项1121=121+103 ；奇数项=前一项×10+1（第一项不计），如第三项121=12×10+1。则第六项=11211+105=111211，故正确选项为D。

6．C【解析】该数列偶数项是以2为公比的等比数列，奇数项是以5为公差的等差数列，故正确答案为C。

7．B【解析】该数列规律为an+3=an+1+an，故正确答案为B。

8．C【解析】该数列规律为an+1-an=n2，故正确答案为C。

二、数学运算

9．B【解析】已知该三角形是等腰三角形，由三角形任意两边的和大于第三边可知，另一条腰为65cm，因为30＋30＜65，则其周长为160厘米。故正确答案为B。

10．A【解析】通过题干可知，彩旗插放顺序是以4为周期，58÷4=14余2，则第57面旗为红色，第58面旗为黄色。故正确答案为A。

11．A【解析】设每一排官兵人数为x，x×4-4=80，x=21，则每排官兵人数为21人，那么方阵人数为21×21=441。故正确答案为A。

12．B【解析】 由于362=1296，则原式=1296÷36-18÷36=36-05=355，故正确答案为B。 

13．Ｄ【解析】2005，2006，2007都是平年(365天)，2008是闰年(366天)，365=52×7+1，所以，经历一个平年(365天)，星期往后推一天，366=52×7+2，所以，经历一个闰年(366天)，星期往后推两天，因为20xx年7月1日是星期五，所以20xx年7月1日是星期五+1+1+2=星期日＋2=星期二。故正确答案为Ｄ。

14．C【解析】设做得特别好的天数为x，则5×x+3×（30-x）=100，解得x=5。故正确答案为C。

15．C【解析】本题可转化为求29与11的最小公倍数，即为29×11＝319，则组成正方形的边长为319，从而可得组成正方形的小纸板数为319×319÷（29×11）＝319（块）。故正确答案为C

【例题】1，16，27，16，5，（ ）

A.36 B.25 C.1 D.14

【例题】4，4，6，11，20，（ ）

A.19 B.27 C.29 D.34

【例题】1.1，2.2，4.3，7.4，11.5，（ ）

A.16.6 B.15.6 C.15.5 D.16.5

【例题】2，1，5，11，111，（ ）

A.1982 B.l678 C.1111 D.2443

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【解析】C。原数列可化为1，2，3，4，5，（6）。

【解析】D。三级等差数列，相邻两数相减两次后得到自然数数列。

【解析】A。整数部分相邻两数相减得到自然数数列，小数部分自然数数列。

【解析】D。第n项等于第n-2项与第n-1项的积的两倍再加上1。

一、数字推理：共5题，每题l分。共5分。给你一个数列，但其中缺少一项。要求你仔细观察数列的排列规律，综合判断，然后从四个供选择的选项中选出最恰当的一项，来填补空缺项。

【例题】l，3，5，7，9，( )

A．7 B．8 C．11 D．未给出

【解答】正确答案为C。原数列是一个奇数列，故应选ll。

请开始答题：

1．-2，0，1，1，( )

A．-l B．0 C．1 D．2

2．0，0，1，5，23，( )

A．119 B．79 C．63 D．47

3．3，2，11，14，( )

A．17 B．19 C．24 D．27

4．1，2，2，3，4，( )

A．3 B．7 C．8 D．9

5．227，238，251，259，( )

A．263 B．273 C．275 D．299

二、数学运算：共l0题，每题l分，共10分。你可以在题本上运算，遇到难题，你可以跳过不做，待你有时间再返回来做。

【例题】84．78元、59．50元、l21．61元、l2．43元以及66．50元的总和是( )。

A．343．73 B．343．83 C．344．73 D．344．82

【解答】正确答案为D。实际上你只要把各项数值的最后一位小数加一下，就会发现和的最后一位数是2，只有D符合要求。就是说你应当动脑筋想出解题的捷径。

请开始答题：

6．地球表面的陆地面积和海洋面积之比是29：71，其中陆地的四分之三在北半球，那么南、北半球海洋面积之比是( )。

A．284：29 B．113：55 C．371：313 D．171：113

7．小明前三次数学测验的平均分数是88分，要想平均分数达到90分以上，他第四次测验至少要达到( )。

A．98分 B．96分 C．94分 D．92分

8．一个长方体的长、宽、高恰好是三个连续的自然数，并且它的体积数值等于它的所有棱长之和的2倍，那么这个长方体的表面积是( )。

A．74 B．148 C．150 D154

9．甲、乙、丙、丁四人共同做一批纸盒，甲做的纸盒数是另外三人做的总和的一半，乙做的纸盒数是gkz6.net另外三人做的总和的1／3，丙做的纸盒数是另外三人做的总和的1／4，

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丁一共做了l69个，则甲一共做了( )纸盒。

A．780个 B．450个 C．390个 D．260个

10．有浓度为4％的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成l0％，再加入300克4％的盐水后，变为浓度6．4％的盐水，则最初的盐水是( )。

A．200克 B．300克 C．400克D．500克

11．某校参加数学竞赛的有l20名男生．80名女生，参加语文竞赛的有l20名女生，80名男生。已知该校总共有260名学生参加了竞赛，其中有75．名男生两科都参加了，则只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有( )。

A．65人 B．60人 C．45人 D．15人

12．甲早上从某地出发匀速前进，一段时间后，乙从同一地点出发以同样的速度同向前进，在上午10点时，乙走了6千米，他们继续前进，在乙走到甲在上午l0时到达的位置时，甲共走

了16．8千米，则此时乙走了( )。

A．11．4千米 B．14．4千米 C．10．8千米 D．5．4千米

13．科学家对平海岛屿进行调查，他们先捕获30只麻雀进行标记，后放飞，再捕捉50只，其中有标记的有lo只，则这一岛屿上的麻雀大约有( )。

A．150只 B．300只 C．500只 D．1500只

14．一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，完成的天数恰好是整数。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩40个不能完成，已知甲、乙工作效率的比是7：3。则甲每天做( )。

A．30个 B．40个 C．70个 D．120个

15．水池装有一个排水管和若干个每小时注水量相同的注水管，注水管注水时，排水管同时排水，若用】2个注水管注水，8小时可注满水池，若用9个注水管，24小时可注满水，现在用8个注水管注水，那么可用( )注满水池。 A．12小时 B．36小时 C．48小时 D．72小时

1．B【解析】后一项减前一项的差值得到一个以2为首项、以一l为公差的等差数列，故未知项应为：1+(一1)=0。

2．A【解析】各项乘以它的项数再加上一个自然数列都等于后一项。即0＝0×l+0，1=0x2+1，5=1x 3+2，23=5×4+3。因此，未知项=23×5+4=119。

3．D【解析】 3＝1×1+2，2＝2×2—2，11＝3 x 3+2，14＝4×4—2。因此，未知项应为：5×5+2＝27。

4．【解析】D前两项相乘减去一个自然数列等于后一项。即2=1×2—0，3=2×2一l，4=2×3—2。未知项应为：3×4—3=9。

5．C【解析】238=227+2+2+7，251=238+2+3+8，259=251+2+5+1，每一项都等于前一项加上该项各位数上的数值，按照此规律，未知项应为：259+2+5+9—275。

6．D【解析】根据题干中的比例关系，可以推断出南、北半球的海洋面积之比为：(50一29×0．25)：(50—29×0．75)=42．75：28．25=171：113。

7．B【解析】90×4—88×3＝96分或者90+2×3＝96。

8．B【解析】设该长方体的长、宽、高分别是x一1，X，X十l。那么有，(x一1)x(x+1)=2×4 F-(x—1)+x+(x+1)]，解得x＝5。所以这个长方体的表面积为：(4×5+4×6+5×6)×2=148。

9．D【解析】 不必列方程，分析题意可知：甲、乙、丙分别做了总纸盒数的1／3，1／4和1／5。那么总纸盒数是l69÷(1—1／3—1／4—1／5)=780个，甲一共做了260个。

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10．D【解析】列方程比较麻烦，可以采用带入法，将选项代入题干中。

11．D【解析】共有(120+80)×2—260—140人同时参加两科竞赛，其中女生人数是140—75＝5人。那么只参加数学竞赛的女生有80—65=l5人。

12．A【解析】本题看似复杂，其实简单。分析题意可知，当乙从上午l0点位置走到甲在上午10点所到达位置时，这段时间内甲乙走的路程相等，均为(16．8—6)÷2=5．4千米。所以此时乙一共走了6+5．4=11．4千米。

13．A【解析】捕回50只麻雀，其中10只有标记，说明标记的麻雀与岛上所有麻雀的比例为1：5，则岛上大约有麻雀30×5＝150只。

14．C【解析】 因为同样的天数甲、乙按不同的轮流方法完成的零件个数却不一样，说明上次轮流完成所用的天数肯定是奇数。因此，40个就是乙比甲一天少做的个数，而甲、乙工作效率之比为7：3，所以甲每天做的个数应该是70个。

15．D【解析】设每个注水管每小时注水为l，12个注水管8小时注水l2×8=96；9个注水管24小时注水24×9=216。那么排水管每小时排水为(216—96)÷(24—8)=7．5。那么水池里可以装水l2×8—7．5×8=36。如果用8个注水管注水，需要的时间则为36÷(8—7．5)=72小时。

【例题】某单位今年新进了3 个工作人员，可以分配到3 个部门，但每个部门至多只能接收2 个人，问：共有几种不同的分配方案？（）

A．12 B．16 C．24 D．以上都不对

【例题】某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工50 双，要比原计划晚3 天完成，如果每天加工60 双，则要比原计划提前2 天完成，这一订单共需要加工多少双旅游鞋？（ ）

A．1200 双 B．1300 双 C．1400 双 D．1500 双

【例题】有一堆棋子（棋子数大于1），把它们四等分后剩一枚，拿去三份零一枚，将剩下的棋子再四等分后还是剩一枚，再拿去三份零一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚。问原来至少多少枚棋子？（ ）

A．23 B．37 C．65 D．85

【例题】张先生向商店订购某种商品80 件，每件定价100 元。张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减1 元，我就多订购4 件。”商店经理算了一下，他如果减价5%，那么由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，这种商品的成本是多少元？（ ）

A．65 B．70 C．75 D．80

【例题】一个人乘车去旅行，车走了1/3 路程他就睡着了，当他醒来时车还需继续行驶他睡着时的1/3 的距离，则他睡着时车行驶了全程的几分之几？（）

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A．3/8 B．3/7 C．1/2 D．3/5

【解析】每部门都有三种选择，再减去3人同一部门的情况，所以3的3次方-3=24，选C。

【解析】能被50、60整除的，排除B和C，再依次代入A和D，A不符合，所以选D。

【解析】倒推可以求出，3次四等分，而且每次都有余，所以一定比64大得多，直接选D。

【解析】原来是100元，减价5%，所以是95元； 减了5元，所以多了5×4=20件商品，80+20=100件。 设成本X元， 根据题意有（100-X）/（95-X）=100/80=5/4（可以代“95-选项”后被4整除的，加快速度） 解得X=75，选C。

【解析】直接列方程，1/3+X+1/3×X=1，所以解得X=1/2。

请开始答题：

1. 1，8，9，4，（ ），1/6

A.3 B.2 C.1 D.1/3

2. 123，456，789，（ ）

A.1122 B.101112 C.11112 D.100112

3. 1，0，9，26，65，（ ）

A.123 B.124 C.125 D.126

4. 2，6，13，39，15，45，23，（ ）

A.46 B.66 C.68 D.69

5. 133/57，119/51，91/39，49/21，（ ），7/3

A.28/12 B.21/14 C.28/9 D.31/15

二、数学运算：你可以在草稿纸上运算。遇到难题，可以跳过暂时不做，待你有时间再返回解决它。

请开始答题：

（ （）6. 19981999＋19991998的尾数是：

A.3 B.6 C.7 D.9

7. 1/（12×13）＋1/（13×14）＋?＋1/（19×20）

A.1/20 B.1/30 C.1/40 D.1/12

8. 汤姆步行，第一天走了216公里，第二天又以同样的速度走了378公里，如果第一天比第二天少走了3小时，问他旅行的速度是多少公里/小时？

A.31 B.38

C.50 D.54

9. 20032003×2002与20022002×2003的差是

A.2002 B.0 C.1 D.2003

10.半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘米？

A.25 B.5π

C.50 D.50+5π

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11.假设5个相异正整数的平均数是15，中位数是18，则此5个正整数中最大数的最大值可能为

A.24 B.32 C.35 D.40

12.某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是

A.22 B.18 C.28 D.26

13. 一根竹竿插入水中，浸湿的部分是1.8米，再掉过头来把另一端插入水中，这时这根竹竿还有比一半多1.2米是干的，则这根竹竿长多少米？

A.4.8 B.6 C.9.8 D.9.6

14.餐厅服务员正在洗碗，厨师问：来了多少人？

服务员说：客人每2位共用一吃饭碗，每3位共用一只菜碗，每4位共用一只汤碗，共用去65至晚，你说有多少位客人？

A.50 B.60 C.65 D.75

15. 一种衣服过去每件进价60元，卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低，为了促销，商家将衣服八折出售，毛利润却比过去增加了30%，请问现在每件衣服进价是多少元？

A.28 B.32 C.40 D.48

参考答案

1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A 7.B 8.D 9.B 10.C

11.C 12.A 13.D 14.B 15.A

【例题】 甲乙同时从A 地步行出发往B 地，甲60 米/分钟，乙90 米/分钟，乙到达B 地折返与甲相遇时，甲还需再走3 分钟才到达B 地，求AB 两地距离？

A.1350 B.1080 C.900 D.750

【例题】2 年前甲年龄是乙年龄的2 倍，5 年前乙年龄是丙年龄的1/3，丙今年11 岁，问甲今年几岁？

A.12 B.10 C.9 D.8

【例题】某人工作一年的报酬是18000 元和一台洗衣机，他干了7 个月不干了，得到9500元和一台洗衣机，这台洗衣机价值多少钱？

A.8500 B.2400 C.2000 D.1500

【例题】每次加同样多的水，第一次加水浓度15%，第二次加浓度12%，第三次加浓度为多少？

A.8% B.9% C.10% D.11%

【例题】60 个人里面有12 个人穿白衣服蓝裤子，有34 个人穿黑裤子，有29 人穿黑上衣，求黑裤子黑上衣多少人？

A.13 B.14 C.15 D.20

【解析】甲需要多走3分钟到B地，3×60=180米，速度比是2：3，所以路程比也是2：3，设全长X米，则（X-180）/（X+180）=2/3，求出X=900，实际也是选个180倍数的选项，排除AD。

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【解析】五年前乙是（11-5）/3=2岁，所以今年是7岁，两年前是5岁。所以2年前甲是10岁，今年是12岁，选A。

【解析】7个月得到9500元和一台洗衣机，所以选项加上9500后能被整除的只有2400， 选B。

【解析】8%跟11%一个相差太大，一个相差太小，排除AD。12%跟15%相差3%，9%也跟12%相差3%，添加后浓度差一定会变，所以排除B，选C。

上面的解法也许有人会认为过于极端，但是不断加水后，浓度差肯定会渐渐变小，另外可以这样解： 因为溶质质量始终不会改变的，所以设盐水有60克的盐（15跟12的最小公倍数） 则第一次加水后溶液是0/0.15=400克，第二次加水后溶液是60/0.12=500克， 所以可知是加了100克水，第三次加水后浓度是60/（500+100）=0.1，也就是10%，选C。

【解析】直接容斥定理：34+29-(60-12）=15，选C。

【例题】 一项任务甲做要半小时完成，乙做要45 分钟完成，两人合作需要多少分钟完成？

A.12 B.15 C.18 D.20

【例题】22008 + 32008 的尾数是( )

A.1 B.3 C.5 D.7

【例题】 若在边长20 厘米的正立方体表面上挖一个边长为10 厘米的正方体洞，问其表面积增加多少平方厘米？

A.100 B.400 C.500 D.600

【例题】某医院内科病房有护士15人，每两人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次这两人再同值班，最长需 （ ）天。

A. 15 B. 35 C. 30 D. 5

【例题】有从1到8编号的8个求，有两个比其他的轻1克，用天平称了三次，结果如下：第一次 1+2>3+4 第二次5+6<7+8 第三次 1+3+5＝2+4+8，求轻的两个球的编号（ ）

A.1和2 B.1和5 C.2和4 D.4和5

【解析】直接设90的总量，两人每分钟分别是3和2。所以90/（3+2）=18。

【解析】求尾数的题目，底数留个位，指数除以4留余数（余数为0看为4），比如2068题目中2008除以4余数为0，取4；所以等于变成2的4次方+3的4次方，尾数是7。

【解析】实际增加了边长10厘米的4个面面积，所以4×10×10=400。

【解析】B。15×14/2＝105组，24/8＝3每24小时换3组，105/3＝35

【解析】D。思路一：1+2>3+4 ，说明3和4之间有个轻的，5+6<7+8 ，说明5和6之间有个轻的，1+3+5＝2+4+8，说明因为3和4必有一轻，要想平衡，5和4必为轻，综上，选D。思路二：用排除法，如果是A的话那么1+2>3＝4就不成立，如果选B，则1+3+5＝2+4+8不成立，如果选C，则1+2>3+4 和1+3+5＝2+4+8 不成立，综上，选D。

请开始答题： 3847 就是留底数个位8，3847除以4得数是余3，取3，就变成求8的3次方尾数；因此在这个

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1．343，453， 563， ( )。

A．673 B．683 C．773 D．783

2．2， 10， 6， ( )， 3， 1 5。

A．5 B．4 C．2 D．O

3．2， 3， 5， 10， 20， ( )。

A．30 B．35 C．40 D．45

4．21， 23， 26， 31， 38， ( )，

A．47 B．49 C．51 D．53

5．1， 2， 2， 4， 4， 6， 8， 8， ( )。

A．12 B．14 C．10 D．1 6

6．1， 2， 9， 121， ( )。

A．210 B．16900 C．289 D．25600

7．16， 29， 55， ( )， 211。

A．101 B．109 C．126 D．107

8．4， 5， ( )， 14， 23， 37。

A．6 B．7 C．8 D. 9

9．8， 12， ( )， 34， 50， 68。

A．16 B．20 C．21 D．28

10．34， 36， 35， 35， ( )， 34，

A．36，33 B．33，36 C．34，37 D．37，34

鲤鱼网——成功在于执着 。 ， ( )。 62 37

二、数学运算：共10题。要求你在四个选项中。选出你认为正确的一项。

请开始答题：

11．3条直线最多能将平面分成几部分?( )。

A．4部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分

12．从4点到5点，时针与分针成直角的机会有几次?( )

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次

13．商场为了促销，将原价75元的商品，先提价40％，再打8折，该商品实际售价是多少元?( )

A．80 B．72 C．78 D．84

14．某校八年级学生数学竞赛共有20道题目，每答对一道得5分，不答或答错扣一分，80分以上至少要答对的题目数是多少?( )

A．15道 B．16道 C．17道 D．18道

15．小明步行45分钟可从甲地到乙地，小华开车l 5分钟能从乙地到甲地，当两人在路上相遇时，小明已经走了30分钟，小华开车送小明返回甲地，还需要多少分钟?( )

A．10 B．15 C．3 D．5

16．一船顺水而下，速度是每小时6千米，逆流而上每小时4千米。求往返两地相距24千米的码头间平均速度是多少?( )

A．5 B．4.8 C．4.5 D．5.5

17．把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米。得到一个长方形，它与原正方形的面积相等，那么，正方形面积是多少平方米?( )

A．8 B．10 C．16 D．64

18．一个小于100的整数与5的差是4的倍数，与5的和是7的倍数，这个数最大是多少?( )

A．85 B．89 C．97 D．93

19．纽约时间是香港时间减13小时，你与一位在香港的朋友约定香港时间6月1日晚上8时与他通电话，那么在纽约你应几月几日几时给他打电话?( )

A．6月1日上午7时 B．5月31日上午7时

C．6月2日上午9时 D．6月2日上午7时

1.A【解析】这是一组机械分组数列，每一项的百位和十位构成新的数列为34，45，56，（），是一组公差为11的等差数列，则下一项当为67，而个位数为常数数列，常数为3，所以原数列中的下一项当为673，A项为正确答案。

2.A【解析】这组数列是对称数列的变式，即2×15=30，10×3=30，6×（5）=30，所以A项为正确答案。

3.C【解析】这是一组递推和数列，从第三项起，每一项为其前面所有项的和，即5=2+3，10=2+3+5，20=2+3+5+10，（）=2+3+5+10+20=40，所以C项为正确答案。

4.B【解析】这组数列做一次差运算，可得新数列为2，3，5，7，（），（），是一组质数数列，可知下两项当为11和13，38+11=49，49+13=62，所以B项为正确答案。

5.D【解析】这是一组奇偶项数列，奇数项为1，2，4，8，（），是一组公比为2的等比数

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列。偶数项为2，4，6，8，是一组公差为2的等差数列，所以D项为正确答案。

6.B【解析】这组数列的规律是：（1+2）2=9，（2+9）2=121，故下一项当为（9+121）2=16900，所以B项为正确答案。

7.D【解析】这道题先做一次差运算后可知是一组公比为2的等比数列，即13，26，26×2，26×4，倒回去可算出括号内为107，所以D项为正确答案。

8.D【解析】这是一组递推和数列，4+5=9，5+9=14，14+23=37，所以D项为正确答案。

9.C【解析】先进行一次差运算，为4，（9），（13），16，18，再进行一次差运算，可得

（5），（4），（3），2，是一组公差为-1的等差数列，倒算回去，可知C为正确答案。

10.A【解析】这是一组奇偶项数列。奇数项数列为：34，35，（），37，是公差为1的等差数列。偶数项数列为36，35，34，（），是公差为-1的等差数列。所以答案为A项。

二、数学运算

11.C【解析】两条直线交叉，第三条直线在除两条直线交点之外，与两条线都交叉，可以将平面共分成7个部分，所以答案为C项。

12.B【解析】一次是四点五分，第二次是四点三十五分，只有这两次，所以答案为B项。

13.D【解析】列出算式为75×（1+40%）×80%=84元，所以答案为D项。

14.C【解析】由题目可知，如果不考虑扣分，要拿到80分，则必须答对16道题，而因为不答或答错扣一分，所以四题gkz6.net扣四分为76分，为保证80分以上，至少要答对17道题，所以答案为C项。

15.A【解析】小明走了30分钟，即已走了2/3，而小华开车只需10分钟，本题需要留意的是小明是返回甲地，而不是继续向乙地前进。所以A项为正确答案。

16.B【解析】顺流而行时，24千米÷6千米/小时=4小时，逆流而行时，24千米÷4千米/小时=6小时，共用了10小时，平均速度为24×2÷10=4.8公里/小时，所以答案为B项。

17.D【解析】设正方形的边长为a，则正方形的面积为a2=(a+2)·a·(1-20%),解方程得a=8，则正方形的面积为64，所以D项为正确答案。

18.D【解析】这道题可用试算法，因为要找最大的数，所以可从选项中从大往小试算，

97+5=102，无法被7整除，排除C项。93+5=98，可以被7整除；93-5=88，可以被4整除，所以答案为D项。

19.A【解析】晚上8点即20点，减13小时即为7点，日期并没有变，所以答案为A项。

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