《计算机辅助工程分析技术》读书报告

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昆明理工大学机电工程学院

弹性力学和有限元基本理论

【摘要】：随着CAD/CAE/CAM技术的日益成熟以及计算机技术的不断发展，产品的设计与制造方法、方式也随之发生了根本性的改变。为了更好地满足使用者的需求，现代企业越来越关注产品质量、-产品的开发周期和开发成本，有限元法及其软件作为产品开发的重要技术之一，其应用价值日益显现。

1、基本理论的综合和总结

1.1弹性力学

1.1.1弹性力学的概念

弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

1.1.2基本内容

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15

个函数。从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，起

主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。

数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。

在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如，把切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程。对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。

1.1.3基本假定

（1）假定物体是连续的，就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（2）假定物体是完全弹性的，就是假定物体完全服从胡克定律——应变与引起该应变的那个应力分量成比例。

（3）假定物体是均匀的，就是整个物体是由同一材料组成的。

（4）假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。

（5）假定位移和形变是微小的。

1.1.4基本方程

在各向同性线性弹性力学中，为了求得应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程和边界条件的表达式。

（1）直角坐标系下的弹性力学的基本方程为平衡微分方程：

（2）几何方程：

（3）物理方程：

(1)式中的σx、σy、σz、τyz=τzy、τxz=τzx、τxy=τyx为应力分量，X、Y、Z为单位体积的体力在三个坐标方向的分量；(2)式中的u、v、w为位移矢量的三个分量（简称位移分量），εx、εy、εz、γyz、γxz、γxy为应变分量；(3)式中的E和v分别表示杨氏弹性模量和泊松比。

（4）在物体的表面，如已知面力，则边界条件表示为：

这里的X、Y、Z表示作用在物体表面的单位面积上的面力矢量的三个分量，l、m、n表示物体表面外法线的三个方向余弦。这样就将弹性力学问题归结为在给定的边界条件下求解一组偏侮分方程的问题。

1.2有限元基本理论

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成

不同的有限元方法。

1.2.1加权余量法：

是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。（Weighted residual method WRM）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:

在V域内 L(u)?f?0

在S边界上 B(u)?g?0

式中 :

L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；

f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值；

u——为问题待求的未知函数 (5.1.1) (5.1.2)

1.2.2、虚功原理

——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式

虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。

虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；

虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。

虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。

虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。

虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。

1.2.3最小总势能法

应变能：作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以弹性能的形式储存在物体中，即为应变能。

由n个单元和m个节点组成的物体的总势能为总应变能和外力所做功的差：

nm

e ?=??

e?1??Fiui i?1

最小势能原理：对于一个稳定的系统，相对于平衡位置发生的位移总会使系统的总势能最小，即：

??

?ui???uin??e?1(e)???uim?Fuii?1i?0，i=1,2,3,……,n

1.2.4有限元法的收敛性

有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。

有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。

有限元的收敛条件包括如下四个方面：

（1）单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。

（2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。

（3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。

由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。

4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。

但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。

总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。

前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。

在实际应用中，要使选择的位移函数全部满足完备性和协调性要求是比较困难的，在某些情况下可以放松对协调性的要求。

需要指出的是，有时非协调单元比与它对应的协调单元还要好，其原因在于近似解的性质。假定位移函数就相当于给单元施加了约束条件，使单元变形服从所加约束，这样的替代结构比真实结构更刚一些。但是，这种近似结构由于允许单元分离、重叠，使单元的刚度变软了，或者形成了（例如板单元在单元之间的绕度连续，而转角不连续时，刚节点变为铰接点）对于非协调单元，上述两种影响有误差相消的可能，因此利用非协调单元有时也会得到很好的结果。在工程实践中，非协调元必须通过“小片试验后”才能使用。

1.2.5有限元法求解步骤

1.结构离散化

对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；

2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)

[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)=[K](e) {Φ}(e)

3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：

总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}= [K] {Φ}，此即为总体平衡方程。

4.引入支撑条件，求出各节点的位移

节点的支撑条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。

5.求出各单元内的应力和应变。

对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为:

(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。

(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。

(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

2、心得体会

上了《计算机辅助工程分析技术》这一门课，我觉得我在课堂上就已经了解和学习了很多专业方面的知识，为更深入专业分析做了很好的基础，不仅开阔了我的视野，让我从基础的一些实际例子当中感受到计算机辅助工程分析技术在实践当中的应用，更是激发了我对这么课学习的热情，对我自己所选择的专业方向充满了好奇和求职的心态。作为教学任务的一

部分，老师为我们布置了自学弹性力学及有限元基础理论的学习。首先我觉得这是教学的一大突破，不仅仅让我们在课堂上“填鸭式”的接受知识，而是让我们在了解并感兴趣后，自主性的去研究和学习，授之以鱼，更授之以渔！同时我想就我在自学弹性力学及有限元基本理论过程中的深刻体会呈现于下文。

首先，我了解到弹性力学的概念，它是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 同时，弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。了解到这些基本的概念，为我之后的学习奠定了非常厚实的基础。之后我又了解了弹性力学的四大发展时期，发展历史之久，也看到了技术发展的必要酝酿的时期和他的进步。由此我感受到，作为一名技术研究人员，我们一定要有一定的毅力和突破力，这样才能在科技的舞台上发光发热。

之后我不仅了解了有限元理论的基础，更是深入学习了ＡＮＳＹＳ软件。这样由表及里的过程虽然是比较的痛苦，但是我在这个过程中却乐此不疲。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I－DEAS, AutoCAD等， 是现代产品设计中的高级CAE工具之一。概念看似非常的简单，但是学起来还真是不那么的轻松。为了能更权威的学习这个软件，我专门跑到学校图书馆，借阅了大量的书籍，一开始就让我有点胆怯，我自认为好一些的教程大多是英文的，这对于我这个英语不太好的学生来说，可真是有点不小的压力，最后我选择了一本自己认为比较贴近课程的书借了回来。接下来的时间可以说用几乎于废寝忘食的学习这么软件，不懂的关键单词就去查词典，看到不懂的地方就借助于自己的前后文章的分析，以及网络资源的辅助将它搞懂，后来随着学习的深入，面对的问题也越来越专业，但是我并没有被眼前的困难吓倒，我更加投入全面的学习这个软件，并且和有研究这个软件的同学一起探讨和探究，过程就没那么的枯燥。后来我发现我们学院有很多对于我来说ＡＮＳＹＳ软件的高手，我一有时间就去向他们请教，不仅解决了问题，还更学习到如何学习这个软件的窍门，以及吸收了他们学习的一些精华。我觉得真的是受益匪浅！同时，在一边学习的工程中，我还完成了一个学习报告，这两个报告可以说是就是对我学习成果的检验。两个学校报告可以说让我学的知识再次得到了巩固，在建模、分析的过程中，我学会了如何更

专业的去看到学术中遇到的问题，更加合理化的去解决问题。我觉得这两个报告是对我自身的检验，也是对我所学知识用于理论的可行性的检验。

在整个自学弹性力学及有限元基本理论的过程中，我真觉得所有的知识并没有我们想象的那么的简单，而是我们有的时候过于的肤浅，也让我自身再次沐浴在知识雨林中。整个自学的过程无疑是困难和艰辛的，但是却又是那么的充实！我相信我会在学习的道路上继续前行，像我们一些老的技术研究专家一样，精益求精，在掌握一门技术的基础上能够有所突破，也希望我将来能对专业技术的发展有所贡献，我知道这个道路任重而道远，但既然选择了远方，就只顾风雨兼程！

3、课程理解及看法

ANSYS有限元软件包是一个多用途的有限元法计算机设计程序，可以用来求解结构、流体、电力、电磁场及碰撞等问题。因此它可应用于以下工业领域： 航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。

通过这门课程的学习，虽然时间不长，但是我还是觉得很值得。几周的学习我学会了运用ANSYS软件进行初步的前期处理：建模、网格划分、加载和求解等，还有通用的后处理。这些东西我觉得对我们来说是一个很新鲜的事情，因为以前我们接触的软件都是一些建模和运动仿真，很少有这种分析的，所以吸引力比较大，因此自己学的时候也比较用心。但是，我觉得我们对这个课程的学习只能说是：迟和短。我觉得可以适当的提前来学习这个软件，因为现在是大四了，大家都忙着找工作和考研，大部分的心思都不是放在这些软件的学习上，所以对这个软件都是大概的了解一下。再加上学习的时间又短，所以学习的还更少了。所以可以建议优化我们的课程安排。

参考文献

[1]徐秉业.弹性力学[M].北京：清华大学出版社，2007.

[2]张洪信，管殿柱.有限元基础理论与ANSYS11.0应用[M].机械工业出版社,2009.

[3]张应迁，张洪才.ANSYS有限元分析[M].北京：人民邮电出版社，2010.2-6.