七年级数学(下)辅导资料(4)
【知识要点】
1.算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。
2. 如果x2=a,则x叫做a的平方根,记作“±”
(a称为被开方数)。
3. 正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系:
区别:正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个。
联系:(1)被开方数必须都为非负数;(2)正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。(3)0的算术平方根与平方根同为0。
5. 如果x3=a,则x叫做a的立方根,记作“”
(a称为被开方数)。
6. 正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
7. 求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
8. 立方根与平方根的区别:
一个数只有一个立方根,并且符号与这个数一致;只有正数和0有平方根,负数没有平方根,正数的平方根有2个,并且互为相反数,0的平方根只有一个且为0.
9. 一般来说,被开放数扩大(或缩小)倍,算术平方根扩大(或缩小)倍,例如.
10.平方表:(自行完成)
题型规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数,有非负性,即≥0;有意义的条件是a≥0。
4、公式:⑴()2=a(a≥0);⑵=(a取任何数)。
5、区分()2=a(a≥0),与 =
6.非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
【典型例题】
1.下列语句中,正确的是( D )
A.一个实数的平方根有两个,它们互为相反数
B.负数没有立方根
C.一个实数的立方根不是正数就是负数
D.立方根是这个数本身的数共有三个
2.下列说法正确的是( C )
A.-2是(-2)2的算术平方根
B.3是-9的算术平方根
C.16的平方根是±4
D.27的立方根是±3
3.已知实数x,y满足 +(y+1)2=0,则x-y等于
解答:根据题意得,x-2=0,y+1=0,
解得x=2,y=-1,
所以,x-y=2-(-1)=2+1=3.
4.求下列各式的值
(1);(2);(3);(4)
解答:(1)因为,所以±=±9.
(2)因为,所以-.
(3)因为=,所以=.
(4)因为,所以.
5.已知实数x,y满足 +(y+1)2=0,则x-y等于
解答:根据题意得,x-2=0,y+1=0,
解得x=2,y=-1,
所以,x-y=2-(-1)=2+1=3.
6.计算
(1)64的立方根是 4
(2)下列说法中:①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。其中正确的有 ( B )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7.易混淆的三个数(自行分析它们)
(1)(2)(3)
综合演练
一、填空题
1、(-0.7)2的平方根是
2、若=25,=3,则a+b=
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4,则a的值是
4、= ____________
5、若m、n互为相反数,则=_________
6、若 ,则a______0
7、若有意义,则x的取值范围是
8、16的平方根是±4”用数学式子表示为
9、大于-,小于的整数有______个。
10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=__ ___,x=___ __。
11、当时,有意义。
12、当时,有意义。
13、当时,有意义。
14、当时,式子有意义。
15、若有意义,则能取的最小整数为
二、选择题
1. 9的算术平方根是( )
A.-3 B.3 C.±3 D.81
2.下列计算正确的是( )
A.=±2 B.=9
C. D.
3.下列说法中正确的是( )
A.9的平方根是3 B.的算术平方根是±2
C. 的算术平方根是4 D. 的平方根是±2
4. 64的平方根是( )
A.±8 B.±4 C.±2 D.±
5. 4的平方的倒数的算术平方根是( )
A.4 B. C.- D.
6.下列结论正确的是( )
A B
C D
7.以下语句及写成式子正确的是( )
A、7是49的算术平方根,即
B、7是的平方根,即
C、是49的平方根,即
D、是49的平方根,即
8.下列语句中正确的是( )
A、的平方根是 B、的平方根是
C、 的算术平方根是 D、的算术平方根是
9.下列说法:(1)是9的平方根;(2)9的平方根是;(3)3是9的平方根;(4)9的平方根是3,其中正确的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.4个
10.下列语句中正确的是( )
A、任意算术平方根是正数
B、只有正数才有算术平方根
C、∵3的平方是9,∴9的平方根是3
D、是1的平方根
三、利用平方根解下列方程.
(1)(2x-1)2-169=0;
(2)4(3x+1)2-1=0;
四、解答题
1、求的平方根和算术平方根。
2、计算的值
3、若,求的值。
4、若a、b、c满足,求代数式的值。
5、已知,求7(x+y)-20的立方根。
6、阅读下列材料,然后回答问题。
在进行二次根式去处时,我们有时会碰上如,,一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
=;(一)
=(二)
==(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简:
=(四)
(1)请用不同的方法化简:
?参照(三)式得=__________________;
?参照(四)式得=___________________。
(2)化简:
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第一章 有理数
1.1 正数和负数
(1)正数:大于0的数;
负数:小于0的数;
(2)0既不是正数,也不是负数;
(3)在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义;
(4)-a不一定是负数,+a也不一定是正数;
(5)自然数:0和正整数统称为自然数;
(6)a>0 ? a是正数; a≥0 ? a是正数或0 ? a是非负数;
a<0 ? a是负数; a≤ 0 ? a是负数或0 ? a是非正数.
1.2 有理数
(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数;
(2)正整数、0、负整数统称为整数;
(3)有理数的分类:
??正整数?正有理数?正分数? ?有理数?零
??负整数?负有理数??负分数???正整数?整数?零? ??有理数??负整数??正分数?分数??负分数?
(4)数轴:规定了原点、正方向、单位长度的一条直线;(即数轴的三要素)
(5)一般地,当a是正数时,则数轴上表示数a的点在原点的右边,距离原点a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,距离原点a个单位长度;
(6)两点关于原点对称:一般地,设a是正数,则在数轴上与原点的距离为a的点有两个,它们分别在原点的左右,表示-a和a,我们称这两个点关于原点对称;
(7)相反数:只有符号不同的两个数称为互为相反数;
(8)一般地,a的相反数是-a;特别地,0的相反数是0;
(9)相反数的几何意义:数轴上表示相反数的两个点关于原点对称;
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(10)a、b互为相反数?a+b=0 ;(即相反数之和为0)
(11)a、b互为相反数?ab??1 或??1;(即相反数之商为-1) ba
(12)a、b互为相反数?|a|=|b|;(即相反数的绝对值相等)
(13)绝对值:一般地,在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值;(|a|≥0)
(14)一个正数的绝对值是其本身;一个负数的绝对值是其相反数;0的绝对值是0;
(a?0)?a(15)绝对值可表示为:a??(a?0) ?0
???a(a?0)
a
aaa(16)?1?a?0 ; ??1?a?0;
(17)有理数的比较:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序。即左边的数小于右边的数;(①正数大于0,0大于负数,正数大于负数;②两个负数,其绝对值大的反而小;)
1.3 有理数的加减法
(1)有理数的加法法则:①同号的两数相反,取相同符号,并把绝对值相加;
②绝对值不相等的两数相加,取绝对值大的符号,并用绝对值大的减去绝对值 小的。互为相反数的两个数相加为0;
③一个数与0相加仍得这个数;
(2)有理数加法的运算律:①加法交换律:a+b=b+a; ②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
(3)有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即:a-b=a+(-b);
1.4 有理数的乘除法
(1)有理数的乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
②任何数与0相乘均为0;
(2)倒数:在有理数中仍然成立,即乘积是1的两个数互为倒数;
(3)积的符号与负因数个数之间的关系:几个不是0的数相乘,当负因数的个数为偶数时,积是正数;当负因数的个数为奇数时,积是负数;几个数相乘时,当有因数是0时,积为0;
(4)有理数的乘法运算律:①乘法交换律:ab=ba; ②乘法结合律:(ab)c=a(bc);
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③乘法分配律: a(b+c)=ab+ac;
(5)有理数的除法法则:除以一个不为0的数,等于乘以其倒数;即:a?b1?a?(b?0) b
(6)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任一不为0的数,都得0;
(7)在有理数的加减乘除混合运算中,若无括号,则按照先“先乘除后加减”的顺序进行运算;
1.5 有理数的乘方
(1)乘方:相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;(在a中,a是底数,n是指数)
(2)有理数的乘方运算法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;②正数的任何次幂是正数; ③0的任何正次幂是0;
(3)有理数的混合运算顺序:①先乘方,再乘除,最后加减;
② 同级运算,从左到右;
③如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号的顺序进行;
(4)科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法
叫科学记数法;
(5)近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
(6)有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字. n
第二章 整式的加减
2.1 整式
(1)单项式:表示数或字母的积的式子;(单独一个数或一个字母也是单项式)
(2)单项式的系数:单项式中的数字因数; 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数和;
(3)多项式:几个单项式的和;
(4)多项式的项:每个单项式叫做多项式的项; 多项式的次数:多项式里次数最高项的次数;
(5)常数项:不含字母的项;
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(6)整式:单项式与多项式统称为整式;
2.2整式的加减
(1)同类项:所含字母相同,并且相同的字母的指数也相同的项;(几个常数项也是同类项)
(2)合并同类项法则:把多项式中的同类项合并成一项;
(3)合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变;
(4)去(添)括号:①若括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; ②若括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反;
(5)一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项;
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
(1)方程:含未知数的等式;
(2)一元一次方程:只含一个未知数(元)且未知数的次数都是1的方程;
标准式:ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0);
(3)方程的解:使方程等号左右两边相等的未知数的值;
(4)等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等;
如果a=b,那么a±c=b±c;
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等;
如果a=b,那么ac=bc;
如果a=b,c?0,那么ab?; cc
3.2、3.3解一元一次方程——合并同类项与移项、去括号与去分母
(1)合并同类项:把含x的项合并在一起;
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(2)移项:把等式一边的某项变号反移到另一边;
(3)一元一次方程解法的一般步骤:
去分母----------两边同乘最简公分母
去括号----------注意符号变化
移项----------注意要变号
合并同类项--------合并后注意符号
系数化为1---------等式右边除以x的系数
3.4实际问题与一元一次方程
(1)“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系;
“工作量=人均效率×人数×时间”是计算工作量的常用数量关系式;
(2)列一元一次方程解应用题:
①读题分析法: 多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套……”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
②画图分析法: 多用于“行程问题”
仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
(3)列方程常用公式
1)行程问题: 距离=速度·时间 ;
(2)工程问题: 工作量=工效×工时;
工程问题常用等量关系: 先做的+后做的=完成量
(3)顺水逆水问题:
顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
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顺水逆水问题常用等量关系: 顺水路程=逆水路程
(4)商品利润问题: 售价=定价 , 利润率?售价?成本?100%; 成本
利润问题常用等量关系: 售价-进价=利润
(5)配套问题:
(6)分配问题:
第四章 图形认识初步
4.1多姿多彩的图形
(1)几何图形:把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形;
(2)立体图形:各部分不都在同一平面内的几何图形;(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)
(3)平面图形:各部分都在同一平面的几何图形;(如线段、三角形、长方形、圆等)
(4)立体图形与平面图形互相联系,立体图形中某些部分是平面图形;(如长方体的侧面是长方形)
(5)立体图形的三视图:主视图(从正面看)、左视图(从左面看)、俯视图(从上面看)
(6)展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图;
(7)几何体简称为体;
(8)包围着体的是面;(面有平的面和曲的面两种)
(9)面和面相交的地方形成线;线和线相交的地方形成点;
(10)点动成线、线动成面、面动成体;
(11)几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素;
4.2 直线、射线、线段
(1)一个关于直线的基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线;
简述为:两点确定一条直线;
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(2)直线的表示方法:①用一个小写字母表示直线(如直线l)
②用一条直线上的两点来表示这条直线(如直线AB)
射线和线段的表示方法类似;
(3)两条直线相交:当两条不同的直线有一个公共点,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的 交点。
(4)射线和线段都是直线的一部分;(由一条线段可以得到一条射线和一条直线)
(5)线段的长度比较:①度量法;②叠合法;
(6)线段的中点:把一条线段分成相等两个部分的点叫做这条线段的中点;(类似有三等分点、四等分…)
(7)一个关于线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短;
简述为:两点之间,线段最短;
(8)距离:连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离;
4.3 角
(1)角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边。
角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
(2)把一个周角360等分,每一分就是1度的角,记作1°;把1度的角60等分,每一份叫做1分的角, 记作1′;把1分的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″;
(3)角度制:以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制;
(4)角的比较:①度量法;②叠合法;
(5)角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线;(类似 地有角的三等分线等)
(6)互为余角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角;(即其中一个角是另一个角的余角)
(7)互为补角:如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角;(即其中一个角是另一个角的补角)
(8)补角的性质:等角的补角相等;
(9)余角的性质:等角的余角相等;
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