每日一练7

1.若函数的定义域为R，则实数的取值范围    。  

2.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（  A  ）

A．1                    B．2                     C．3                     D．4

3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（   A ）

A．向右平移个单位               B．向右平移个单位

C．向左平移个单位               D．向左平移个单位

4.已知数列{}的前项和，第项满足，则（　　）

  A．         B．          C.          D．

5.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　 　）

A．2      B．3      C．4      D．5

6.已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

解：（I）由题意知，因此，从而．

又对求导得．

由题意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，从而，

解得或．所以的取值范围为．

 

第二篇：20xx届高三数学一轮复习专讲专练 ：7.6 直接证明与间接证明

巩固双基,提升能力

一、选择题

1．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是(　　)

A．P＞Q　　　　　　　　        B．P＝Q

C．P＜Q                                     D．由a的取值确定

解析：∵要证P＜Q，只要证P²＜Q²，

只要证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2，

只要证：a²＋7a＜a²＋7a＋12，

只要证：0＜12，

∵0＜12成立，

∴P＜Q成立.

答案：C

2．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(　　)

A．至少有一个不大于2  B．都小于2

C．至少有一个不小于2  D．都大于2

解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，

因此a，b，c至少有一个不小于2.

答案：C

3．要使－＜成立，则a，b应满足(　　)

A．ab＜0且a＞b

B．ab＞0且a＞b

C．ab＜0且a＜b

D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b

解析：要使－＜成立，

只要(－)³＜()³成立，

即a－b－3＋3＜a－b成立，

只要＜成立，

只要ab²＜a²b成立，

即要ab(b－a)＜0成立，

只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立.

答案：D

4．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　)

A．b＜2ab＜＜a²＋b²

B．2ab＜b＜a²＋b²＜

C．2ab＜a²＋b²＜＜b

D．2ab＜a²＋b²＜b＜

解析：方法一：由条件，得a²＋b²＞2ab，＞＝b，

b－(a²＋b²)＝b(1－b)－a²＝ab－a²＝a(b－a)＞0，

故b＞a²＋b²，∴2ab＜a²＋b²＜b＜.

方法二：特值法，令a＝，b＝.

答案：D

5．已知a＞b＞0，且ab＝1，若0＜c＜1，p＝log_c，q＝log_c²，则p、q的大小关系是(　　)

A．p＞q                                      B．p＜q

C．p＝q                                      D．p≥q

解析：∵＞ab＝1，∴p＝log_c＜0.

又q＝log_c²＝log_c

＞log_c＝log_c＞0，

∴q＞p.

答案：B

6．已知函数f(x)＝^x，a，b∈R^＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系是(　　)

A．A≤B≤C                               B．A≤C≤B

C．B≤C≤A                               D．C≤B≤A

解析：≥≥，又函数f(x)＝^x在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，

∴f≤f()≤f.

答案：A

二、填空题

7．在等比数列{a_n}和等差数列{b_n}中，a₁＝b₁＞0，a₃＝b₃＞0，a₁≠a₃，则a₅和b₅的大小关系为________．

解析：方法一：设公比为q，公差为d，

则a₃＝a₁q²，b₃＝b₁＋2d＝a₁＋2d，

故由a₃＝b₃，得2d＝a₁(q²－1)．

又∵a₁≠a₃，∴q²≠1.

∴a₅－b₅＝a₁q⁴－(a₁＋4d)

＝a₁q⁴－[a₁＋2a₁(q²－1)]

＝a₁(q²－1)²＞0.

∴a₅＞b₅.

方法二：∵在等比数列{a_n}中，a₁≠a₃，

∴公比不为1.∴a₁≠a₅.

又∵a₁＝b₁，a₃＝b₃，a₅＝a₃q²＞0(q为公比)，

∴b₃＝＝a₃＝＜＝.

∴a₅＞b₅.

答案：a₅＞b₅

8．若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，那么aⁿ＋bⁿ与cⁿ(其中n∈N^*且n＞2)的大小关系是__________．

解析：方法一：△ABC为直角三角形，且c为斜边，

则c²＝a²＋b²，

∴c＞a＞0，c＞b＞0，即0＜＜1,0＜＜1.

当n＞2时，

ⁿ＋ⁿ＜²＋²＝＝1，

即aⁿ＋bⁿ＜cⁿ.

方法二：特值法，令c＝，a＝b＝1.

答案：aⁿ＋bⁿ＜cⁿ

9．已知点A_n(n，a_n)为函数y＝的图像上的点，B_n(n，b_n)为函数y＝x图像上的点，其中n∈N^*，设c_n＝a_n－b_n，则c_n与c_n＋1的大小关系为__________．

解析：a_n＝，b_n＝n.

方法一：c_n＝－n＝随n的增大而减小，为减函数，

∴c_n＋1＜c_n.

方法二：c_n＋1＝－(n＋1)，

c_n＝－n，

∴＝＝＞1.

∴c_n＞c_n＋1.

答案：c_n＞c_n＋1

三、解答题

10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.

解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，

要证≤，只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，

只需证|a|²＋2|a||b|＋|b|²≤2(a²＋2a·b＋b²)，

只需证|a|²＋2|a||b|＋|b|²≤2a²＋2b²，

只需证|a|²＋|b|²－2|a||b|≥0，

即(|a|－|b|)²≥0，上式显然成立，故原不等式得证．

11．设f(x)＝3ax²＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：a＞0且－2＜＜－1.

解析：∵f(0)＞0，∴c＞0，

又∵f(1)＞0，即3a＋2b＋c＞0①

而a＋b＋c＝0即b＝－a－c代入①式，

∴3a－2a－2c＋c＞0，即a－c＞0，∴a＞c.

∴a＞c＞0.

又∵a＋b＝－c＜0，a＋b＜0.

∴1＋＜0.∴＜－1.

又c＝－a－b，代入①式得，

3a＋2b－a－b＞0，∴2a＋b＞0.

∴2＋＞0.

∴＞－2.故－2＜＜－1.

综上，a＞0且－2＜＜－1.

12．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于.

解析：∵abc＝1，

∴a，b，c三者得同为正或一正两负；

又∵a＋b＋c＝0，

∴a，b，c三者中只能是一正两负．

不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则b＋c＝－a，又bc＝，

∴b，c为方程x²＋ax＋＝0的两个负根．

∴Δ＝a²－≥0.

∴a≥ ＞ ＝.

∴a＞.