数学物理方程课程教与学

一． 课程定位

本课程定位：为非数学系学生介绍求解来自物理等自然学科的偏微分方程定解问题的方法，它处于数学和物理等学科交叉的交叉点上；它的作用是承上启下，一方面，它综合利用前期数学课程（微积分、线性代数，以及复变函数等）的概念、思想和方法，求解经典物理等自然学科中的典型问题；另一方面，它为后期的数学课程（数值计算等）提供理论和解析方法的支持，也为后期物理课程（理论力学和量子力学等理论物理课程）提供数学思想和方法。

二． 课程核心内容

第一章偏微分方程定解问题：定解问题及其适定性；叠加原理和齐次化原理；一阶偏微分方程的求解；波动方程的行波解；二阶线性偏微分方程的分类和标准式。

第二章分离变量法：典型例子；一般格式，固有值问题；非齐次问题。

第三章特殊函数及其应用：正交曲线坐标系下的变量分离；常微分方程的幂级数解法；勒让德函数的性质及其应用；贝塞尔函数的性质及其应用。

第四章积分变换法：傅里叶变换法；拉普拉斯变换法，一般积分变换简介。

第五章基本解方法：δ函数和广义函数的性质和运算；椭圆方程的基本解；椭圆边值问题的格林函数法；初值问题的基本解方法。

第六章微分方程的变分方法：泛函和泛函的极值；泛函的变分和欧拉方程；变分问题的直接法与微分方程的变分法；泛函的条件极值（约束变分）。

三． 课程内容间的联系

第一章偏微分方程定解问题，总领各章，引入本课程的基本概念，提出本课程的核心问题；对于一阶线性或拟线性偏微分方程给出通解法（首次积分法）和特征线法；利用行波法求解全空间上波动方程的初值问题；利用自变量变换，将二阶（二元）线性偏微分方程化简、分类，得出各类方程的标准形式，以说明本课程求解的是三类方程，而不仅仅是三个方程；最后，对线性的定解问题提出叠加原理，这个原理将是后续各种方法的灵魂所在；齐次化原理也是有叠加原理得到的；这两条原理将贯穿本课程学习的始终，虽然，对不同的方程和不同的边界条件，其表现形式会有所不同，但是自觉地运用这两个原理将有助于理解本课程纷繁复杂的求解方法。

第二、三章分离变量法和特殊函数及其应用，本质上是一体的，首先从具体定解问题入手，导出分离变量法求解的过程和步骤；进而总结出分离变量法的一般格式，提出分离变量法的关键步骤——固有值问题及其施图姆-刘维尔定理；结合齐次化原理，利用分离变量法可以求一般的线性方程在规则有界求解区域上的各种定解问题。（很有成就感哦，找到一种适用范围比较广泛的求解方法，急于应用它打到一切，手痒了??。 等等，你会在不规则区域上求解吗？吐血！）

接下来，针对不同的有界规则区域（长方体、柱状、球状等），

应用分离变量法求解定解问题，进而在不同的坐标系下导出不同的固有值问题，对这些固有值问题的求解又衍生出不同的特殊函数。为了将一般函数按照由特殊函数表达的固有函数系展开，需要深入地学习特殊函数的性质，这就是第三章特殊函数及其应用的核心内容。虽然，不同特殊函数的表达形式不同，但是它们具有类似的性质，故应对它们作类比式学习，可以说它们是兄弟一家的。（此处，还是要应用简介的思想统领各个特殊函数，总结共性，理解个性，既要掌握全局，又能动手计算推导每个公式。）

第四章积分变换法，主要用于求解全空间或半空间上的定解问题，是对第二、三章分离变量法的补充，也是分离变量法在无界区域上的应用。相应于有界区域上固有值问题的固有值是离散的，无界区域上的固有值是连续变化的。对连续变化参数的叠加原理为积分形式，这也是积分变化法的本质所在。傅里叶变换和拉普拉斯变换仅是两个特殊而应用广泛的积分变换。类似于第三章特殊函数的不同形式，在不同坐标系下推导积分变换法将导出一般积分变换的不同形式。（这又一次验证思想是简介和普适的。）

第五章基本解方法是叠加原理应用的又一例证，其核心思想是将连续的源看成点源的叠加，而点源的数学表达就是Dirac的δ函数。因此，为解决一般带有连续源的问题，我们首先解决带有点源的问题，求出的解称为基本解；然后，利用基本解表达出一般问题的解，通常是用积分形式。

第六章微分方程的变分法，是微分方程的现代理论，它不仅可以

用来导出方程，也可以用来解决一些在微分方程古典理论框架下难以解决的重要理论问题，如一般区域上固有值问题的可解性，即固有值和固有函数的存在性；固有函数系的完备性等等。它更是现代数学物理的表达语言，许多现代数学物理理论正是在这种语言体系下得到同意的，进而升华为一种普适性的原则和原理，学习和理解，进而掌握它，对学习《理论力学》等课程大有帮助。

四． 学习方法

本课程学习过程中一定要贯彻“思想统领方法”：思想具有简洁和普适性，方法会有不同表现形式，具有易变性。但是，“万变不离其宗”，思想就是方法的“宗”；思想和方法两手抓，两手都要硬：没有方法的实践，思想就变成空想；没有思想指导的方法，是没有头的苍蝇，抓瞎！

及时归纳整理总结： 及时归纳、整理和总结，如每个方法是用的范围即得到的结论，比较不同方程、不同边界条件、不同求解区域，对求解方法和解的表达形式所产生的影响等等，通过及时的归纳、整理和总结，对所学内容作一个全局性的把握，不至于纷繁复杂的公式海洋之中。

结合物理与几何的背景和应用：本课程处于数学和物理交叉的交叉点上，一方面本课程的经典方程都是来源于物理和几何等实际问题，求解过程中的许多量都具有明确的物理和几何意义；另一方面，方程的解有助我们进一步地理解物理和几何等实际问题。只有结合物理与几何的背景和应用，才能够显示出本课程的重要性，也说明其理

论是生动和具体的。

运用Mathematica等数学软件制作函数图形和动画，仿真和模拟物理和几何上实际问题的发展和变化，加深对数学理论的理解。

 

第二篇：数学物理方程课程教学大纲

《数学物理方程》课程教学大纲

一．《实变函数》课程说明

     （一）课程代码：08130022

     （二）课程英语名称：Mathematics and Physical Equation

      (三) 开课对象：信息与计算科学专业本科生

     （四）课程性质：

      数学物理方程指从物理学及其他各门自然科学、技术科学所产生的偏微分(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。

     （五）教学目的：

通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩大数学知识面提供了必要的数学基础。

     （六）教学内容：

      本课程主要包括波动方程、传导方程、调和方程、二阶线性偏微分方程的分类、一阶偏微分方程组等几个部分。通过教学的各个环节使学生达到各章中所提的基本要求。习题课是重要的教学环节，教师要予以重视。

     （七）学时数、学分数及学时数具体分配

      学时数：72学时

      学分数：4学分

      学时数具体分配：

      (八)教学方式:以教师讲解为主的课堂教学方式

      (九)考核方式和成绩记载说明:

考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学记管理的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占30％，期末成绩占70％。

二．讲授大纲与各章的基本要求

第一章   波动方程

教学要点：

通过本章的教学使学生初步了解数理方程方法及特点，掌握方程的解法，及所表示的物理意义。

1．  使学生了解波动方程的导出方法。

2．  领会定解条件及意义。

3．  熟练掌握初边值问题的分离变量法解方程。

4．  能解高维波动方程的柯西问题。

5．  明确波的传播与衰减的意义。

6．  用能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。

教学时数：20学时

    教学内容：

第一节    方程的导出、定解条件

第二节    达朗贝尔公式、波的传播

第三节    初边值问题的分离变量法

第四节    高维波动方程的柯西问题

第五节    波的传导与衰减

第六节    能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性

考核要求：

第一节    方程的导出、定解条件   （领会与应用）

第二节    达朗贝尔公式、波的传播  （领会）

第三节    初边值问题的分离变量法  （领会与应用）

第四节    高维波动方程的柯西问题  （领会与应用）

第五节    波的传导与衰减  （领会）

第六节    能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性  （领会与应用）

第二章   热传导方程

教学要点：

    通过本章的教学使学生初步了解通过物理原理建立热传导方程，能用分离变量法解初边值问题，用傅立叶变换对柯西问题求解，用极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。

教学时数：15学时

教学内容：

第一节    热传导方程及其定解问题的导出

第二节    初边值问题的分离变量法

第三节    柯西问题

第四节    极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性  

考核要求：

第一节    热传导方程及其定解问题的导出  （领会）

第二节    初边值问题的分离变量法 （领会与应用）

第三节    柯西问题 （领会与应用）

第四节    极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性  （领会与应用）

第三章   调和方程

教学要点：

通过本章的教学使学生能够建立调和方程，明确定解条件，熟练掌握格林公式及其应用，了解格林函数，及用强极值原理判定第二边值问题解的唯一性。

教学时数：15学时

教学内容：

第一节    建立方程、定解条件

第二节    格林公式及其应用

第三节    格林函数

第四节    强极值原理、第二边值问题解的唯一性

考核要求：

第一节    建立方程、定解条件 （应用）

第二节    格林公式及其应用 （领会与应用）

第三节    格林函数 （领会）

第四节    强极值原理、第二边值问题解的唯一性  （领会与应用）

第四章            二阶线性偏微分方程的分类与总结

教学要点:

    通过本章的教学使学生初步掌握二阶线性方程的分类方法，二阶线性方程的特征理论，三类方程的特点。

教学时数：12学时

教学内容：

第一节    二阶线性方程的分类

第二节    二阶线性方程的特征理论

第三节    三类方程的比较

考核要求：

第一节    二阶线性方程的分类 （识记与领会）

第二节    二阶线性方程的特征理论 （识记与领会）

第三节    三类方程的比较 （识记与领会）

第五章 积分论

教学要点:

    通过本章的教学使学生初步了解一阶偏微分方程组的概念及特征理论，明确两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题及定解问题，掌握二级数解法。

教学时数：10学时

教学内容：

第一节  引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的关系，

第二节  两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论.

第三节  两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题

第四节  两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题

第五节  二级数解法  (应用)       

考核要求：

第一节  引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的关系，(领会)

第二节  两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论. (识记与领会)

第三节  两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 (识记与领会)

第四节  两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题 (识记与领会)

三.推荐教材和参考数目

1.《数学物理方程》，谷超豪等编，第二版，高等教育出版社，2002

2．《数学物理方程》，吉洪诺夫等编，黄克顾译,第二版，高等教育出版社，1961

3．《数学物理方法》，南京工学院数学教研组编，高等教育出版社， 1982

4．《高等数学》，四川大学数学系编，第四版，人民教育出版社，1979