高二数学选修2－1知识点

11、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．

12、椭圆的几何性质：

13、设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．

14、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．

18、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．

20、焦半径公式：

若点在抛物线上，焦点为，则；

若点在抛物线上，焦点为，则；

若点在抛物线上，焦点为，则；

若点在抛物线上，焦点为，则．

21、抛物线的几何性质：

22、空间向量的概念：

在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

向量的大小称为向量的模（或长度），记作．

模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．

与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．

方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．

24、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．

25、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：；结合律：．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

29、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．

30、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．

31、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．

32、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．

33、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．

34、若，为非零向量，为单位向量，则有；

；，，；

；．

35、向量数乘积的运算律：；；

．

36、若，，是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，，为向量在，，上的分量．

37、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．

38、若三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是

．这个集合可看作是由向量，，生成的，

称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

39、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．

40、设，，则．

．

．

．

若、为非零向量，则．

若，则．

．

．

，，则．

41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量．

42、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点．

43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．

44、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．

45、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则

，．

46、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则

，．

47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则

，．

48、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有

．

49、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．

50、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．

51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

52、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．

53、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．

 

第二篇：高中数学文科选修1-2知识点总结

高中数学选修1-2知识点总结

第一章  统计案例

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：（最小二乘法）

其中，    

注意：线性回归直线经过定点.

2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；

⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

1．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为                                               (　　)．

A．63.6万元                    B．65.5万元

C．67.7万元                    D．72.0万元

解析　∵＝＝，＝＝42，

又＝x＋必过(，)，∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.

∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.

∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．

答案　B

2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

则y对x的线性回归方程为                                     (　　)．

A.＝x－1                    B.＝x＋1

C.＝88＋x                  D.＝176

解析　因为＝＝176，

＝＝176，

又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，

所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.

答案　C

3．(2011·陕西)设(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(　　)．

A．x和y的相关系数为直线l的斜率

B．x和y的相关系数在0到1之间

C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D．直线l过点(，)

解析　因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的

绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n

为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回

归直线方程一定经过样本中心点可知D正确，所以选D.

答案　D

4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

解析　小李这5天的平均投篮命中率

＝＝0.5，

可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得＝0.01，＝

0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的

投篮命中率约为0.53.

答案　0.5　0.53

5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析　由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.

答案　0.254

6．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地20##年的粮食需求量．

解　(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：

对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.

＝

＝＝6.5，＝－b＝3.

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

－257＝(x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2，

即＝6.5(x－2 006)＋260.2.                                                                                ①

(2)利用直线方程①，可预测20##年的粮食需求量为

6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

7．(2010·新课标全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？

说明理由．

附：

K²＝

解　(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.

(2)K²＝≈9.967.

由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据

能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此

在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两

层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

8．(2010·辽宁)为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm²)

表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．

表3：

附：K²＝

解　(1)

从频率分布直方图中可以看出注射药物A后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．

(2)表3：

K²＝≈24.56.

由于K²＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．