〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：．

（2）几个重要的对数恒等式:　　 ，，．

（3）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

（4）对数的运算性质   如果，那么

①加法：        

②减法：

③数乘：     

④

⑤    

⑥换底公式：

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

(6)反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数与反函数的图象关于直线对称．

②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

一、选择题：

1．的值是                                                                         （   ）

A．                      B．1                        C．                      D．2

2．已知x=+1,则log₄(x³－x－6)等于         （   ）

A.                        B.                       C.0                            D.

       3．已知lg2=a，lg3=b，则等于              （   ）

A．           B．           C．           D．

4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则的值为      （   ）

A．1                               B．4                        C．1或4                 D．4或-1

5.函数y=的定义域为                                          （    ）

A．(，＋∞)  B．［1，＋∞                       C．(，1             D．(－∞，1)

6.已知f(e^x)=x，则f(5)等于                                                          （     ）

       A．e⁵                                              B．5^e                                              C．ln5                     D．log₅e

7．若的图像是         （    ）

A       B             C            D

8．设集合等于            （   ）

       A．                                            B．

       C．                                          D．

9．函数的反函数为   （    ）

A．                            B．

C．                            D．

二、填空题：

10．计算：log_2.5 6.25＋lg＋ln＋=         

11．函数y=log₄(x－1)²(x＜1的反函数为__________ ．

12．函数y=(logx)²－logx²＋5在2≤x≤4时的值域为______．

三、解答题：

13．已知y=log_a(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)=lg[(a²－1)x²＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

15．已知f(x)=x²＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

一、选择题：ABBCBCDCBAAB13.，14.y=1－2^x(x∈R)，15.(lgm)^0.9≤(lgm)^0.8，16.

17.解析：因为a是底，所以其必须满足 a>0  且a不等于1
a>0所以2-ax为减函数，要是Y=loga(2-ax)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1
又知减函数区间为[0,1]，a必须满足 2-a*0>0    2-a*1>0 即得a<2
综上所述，啊的取值范围是（1,2）

18、解：依题意(a²－1)x²＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．

当a²－1≠0时，其充要条件是：解得a＜－1或a＞

又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．

所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(，＋∞)

19、解析：由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，

∴=10，a=10b．又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x²＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x²＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，由Δ=lg²a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)²－4lgb≤0即(lgb－1)²≤0，只有lgb=1，不等式成立．即b=10，∴a=100．∴f(x)=x²＋4x＋1=(2＋x)²－3当x=－2时，f(x)_min=－3．

 

第二篇：高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：．

（2）几个重要的对数恒等式:　　 ，，．

（3）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

（4）对数的运算性质   如果，那么

①加法：        

②减法：

③数乘：     

④

⑤    

⑥换底公式：

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

(6)反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数与反函数的图象关于直线对称．

②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

一、选择题：

1．的值是                                                                         （   ）

A．                      B．1                        C．                      D．2

2．已知x=+1,则log₄(x³－x－6)等于         （   ）

A.                        B.                       C.0                            D.

       3．已知lg2=a，lg3=b，则等于              （   ）

A．           B．           C．           D．

4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则的值为      （   ）

A．1                               B．4                        C．1或4                 D．4或-1

5.函数y=的定义域为                                          （    ）

A．(，＋∞)  B．［1，＋∞                       C．(，1             D．(－∞，1)

6.已知f(e^x)=x，则f(5)等于                                                          （     ）

       A．e⁵                                              B．5^e                                              C．ln5                     D．log₅e

7．若的图像是         （    ）

A       B             C            D

8．设集合等于            （   ）

       A．                                            B．

       C．                                          D．

9．函数的反函数为   （    ）

A．                            B．

C．                            D．

二、填空题：

10．计算：log_2.5 6.25＋lg＋ln＋=         

11．函数y=log₄(x－1)²(x＜1的反函数为__________ ．

12．函数y=(logx)²－logx²＋5在2≤x≤4时的值域为______．

三、解答题：

13．已知y=log_a(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)=lg[(a²－1)x²＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

15．已知f(x)=x²＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

一、选择题：ABBCBCDCBAAB13.，14.y=1－2^x(x∈R)，15.(lgm)^0.9≤(lgm)^0.8，16.

17.解析：因为a是底，所以其必须满足 a>0  且a不等于1
a>0所以2-ax为减函数，要是Y=loga(2-ax)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1
又知减函数区间为[0,1]，a必须满足 2-a*0>0    2-a*1>0 即得a<2
综上所述，啊的取值范围是（1,2）

18、解：依题意(a²－1)x²＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．

当a²－1≠0时，其充要条件是：解得a＜－1或a＞

又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．

所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(，＋∞)

19、解析：由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，

∴=10，a=10b．又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x²＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x²＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，由Δ=lg²a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)²－4lgb≤0即(lgb－1)²≤0，只有lgb=1，不等式成立．即b=10，∴a=100．∴f(x)=x²＋4x＋1=(2＋x)²－3当x=－2时，f(x)_min=－3．