作为文化的传播读书笔记

第一章

传播的传递观：传播被认为是一种过程和技术，它达到控制空间和人的目的，更远、更快、传送、散播知识、思想和信息。

传播的仪式观：并非直至讯息在空中的扩散，而是时间上的一个社会的维度，不是信息分享的行为，而是共享信仰的表征。

传播的起源以及至高经济并不是智力信息的传递，而是建构并维系一个有秩序的、有意义、能够用来支配和容纳人类行为的文化世界。

“社会作为世界的替代向我们展示了一个完全不同的存在，它是社会共同体所创造的理想的投影。”

符号体系不是为了提供信息，而是为了确认。不是为了改变态度或思想，而是代表食物的基本秩序；不是为了旅行功能，而是为了表明一个正在进行的、易逝的社会过程。

美国，传播的仪式观变成了一种戏剧性的表演。展现了权力的纷争。所以，新闻不是信息而是戏剧。（对经验的渴望是不断变化的，具有中产阶级趣味，不具有普遍性）

传播是一种现实得以生产、维系、修正和转变的过程。

艺术就是使现象陌生化，迫使其成为我们思考的前景。

现实是由命名系统创造的。这并不是符号形态的唯一功能，以特定的命名强调了存在。

传播再造提供一种途径，为重塑共同文化提供价值。

第二章：大众传播与文化研究

传播学的质疑：1、把传播看作行为科学，其目的在于阐明规律

2、把传播看作正规科学，其目的在于阐明结构

3、把传播看作文化科学，其目的在于阐明意义。

在行为科学中，因果理论（利益理论）意识形态根植于社会结构的立场

在功能解释中（紧张理论），意识形态被认为并不是由结构型性力量引起的，

而是为了满足人格或社会的某种需要或功能。——释放紧张。强调行为的意义和后果。 以上都存在用命名来解释现象的科学形式的疏忽。

文化研究不是预测人类的行为，时而试图诊断人类的意义。

理解意味着能够领会行为者的行为作为符号所呈现出来的想象空间。

传播的文化把人类的行为看作一种可以去理解的文本。

笛卡尔的客观主义：世界并不被当作一种宇宙秩序，而是一个只有当人作为旁观者与实际发生联系时的中性的、偶然的事实领域。这一领域最终被人的意图所操纵。

一直相对的是表现主义：现实有所表现。表现了人类的目的、愿望、意图。

文化的自然化。现实为人造就。思维最重要的产物是对现实的生产与维系。

功利主义认为人类的行为的目的是随机的或由外因造成的。人类价值或目标不可能由理性知识获得。我们最多能用理性判断目的和手段是否相符。自由的环境就能获得完善的信息。

李普曼认为自由的环境不能获得完整的信息。自由的敌人不再是国家和不完善的市场，而恰恰是新闻采集的不能只、受众的心理以及现代社会的模型。李普曼认为，真实可以通过图像来展示，不是通过语言来展示。

杜威觉得听觉隐喻比视觉隐喻更加重要。

杜威提出的是交流而不是照相。即我们不能将新闻当做交换刻板印象的科学的退化形式甲乙评判，而是将新闻当做可以听到另一种声音的公开讨论和行为甲乙评判。我们缺乏的是开展交流的公众得以形成并能够产生意见的公共生活机制。

李普曼认为当个体的大脑拥有对外部世界的准确再现时，才可能出现有效的舆论。当报纸这传递了关于世界的准确信息室，报纸履行了他的民主功能。在统计学上可以形成有效的舆论。尽管有很多相关局限，但是最大的局限就是新闻的本质不具备足够的再现性，只是许多时间的信号灌输并引起刻板陈见。所以需要社会科学骨干在公共机构。认为公众是二等旁观者。 杜威认为：个体在拥有环境准确再现时也无法形成舆论。舆论只能在讨论中才能得以形成。新闻的主要缺陷不在于他无法再现事实。令人满意的图像与刻板陈见之间的界限难以划分，新闻的目的并不是再现或者告知，而是发出讯号，讲述事件以及引发对真相的调查。我们缺乏的是商讨观点的能力。我们不是既定世界的观察者和旁观者，我们是真正创造这一世界的参与者。（对于民主的构想是一个平等的社会。）

传播的本质可以归结为人们要么寻求影响要么逃避焦虑，它们分别根源于社会科学的因果模式和功能主义模式。这些构成了新闻已经一切文化产品。

语言逐渐被定义为操纵客体的工具，它不是确立真理的装置。对话的个人关系已经被宣传和攻歼所替代。因此我们切断了通过语言建立真正关系或者创建公共领域的威力。

语言应该是对世界的塑造和构建。

第四章：克服文化研究的阻力

功利主义观点：促进人类行动的欲望是个体的、主观的。主观欲望的作用为了得到最大限度的满足。

（弊端：没有考虑社会秩序的问题；另外一种客观功利：对功利的追求能够产生进步的社会秩序）

行为主义是美国心理学家华生（Watson,J.B.）反对构造学派的观点，创立了行为主义。这一学派认为，构造主义研究人的意识，而意识是看不见、摸不着的。研究意识很难使心理学成为一门科学。因而他主张心理学要抛开意识，径直去研究行为。

结构主义企图探索一个文化意义是透过什么样的相互关系（也就是结构）被表达出来。根据结构理论，一个文化意义的产生与再创造是透过作为表意系统（systemsofsignification）的各种实践、现象与活动。

知识分子意识到，他们的地位不是建立在知识的基础之上，而是建立在他们在社会结构中队权力和影响的垄断能力上。

第五章 电子革命神话

19世纪70年代，英国资本主义经过了一段和平发展和繁荣时期，阶级矛盾相对缓和。但到80年代初，资本主义危机来临，马克思主义的影响增强。在这种情况下，一批对资本主义社会不满,同情劳动人民,希望推动社会改革，但又对无产阶级暴力革命的前景感到恐惧的知识分子,于1884年在伦敦创立了“费边社”,其宗旨是在英国建立民主的社会主义国家。他们借用善于采用回避决战、待机缓进策略的古罗马名将Q.费边的名字，意在效法费边的策略实行社会改革。费边社提出的社会改革思想被称为费边社会主义。

对伊尼斯的评价：空间上偏向的商业主义，最终发展成技术专家治国论。

时间束缚上的偏向偏爱关系亲近等等群体、形而上学的思考和传统的权威。

通俗的讲，形而上学有两种意思。一是指用孤立、静止、片面、表面的观点去看待事物（在马克思主义哲学中，这一含义的形而上学与辩证法相对立）。二是指研究单凭直觉（超经验）来判断事物，研究超自然的哲学。有时也指研究哲学的本体论。黑格尔则反对康德的不可知的观点，他提出，如果跳出非此即彼的思维怪圈，就不会陷入矛盾、混乱。这就是辩证法。有人主张必须通过理性的逻辑推演去认识世界的本质（理性主义），有人主张必须通过直观经验去把握（经验主义）。 这个就是“认识论”，广义上的形而上学，应该包括本体论和认识论。唯物辩证法与形而上学是两种根本对立的世界观和方法论，它们的分歧表现在四个方面，

1.即联系的观点与孤立的观点的对立；2.发展的观点与静止的观点的对立；3.全面的观点与片面的观点的对立；4.是否承认矛盾，是否承认事物的内部矛盾是事物发展的源泉则是二者的根本分歧。

伊尼斯认为：只有通过刻意减少技术和技术挂钩的机构的影响；通过艺术、伦理、政治领域的教化，才能阻止现代社会中文化的消亡。

伊尼斯认为电子通讯的速度和距离的扩大了社会组织的规模，极大提高了文化和政治领域集权化和帝国主义的可能性。

人文主义与技术分离，而不是提供“人文化技术”这一自相矛盾的概念。

麦克卢汉认为每一种媒介都提高了控制空间的能力。

新技术乌托邦

措施：去除电子至上论的神秘性。技术只是手段而已。（政治的问题不是集权和分权的问题是民主化的问题。不是代表性权力对参与性机构的问题，而是以自由和平等的理想协调权力和财富的问题。）

米勒：机械文明时代的思想责任

确保听到去神秘化的民主的语言，政治词语要与政治目标和政治过程联系起来。思想的团体。

第六章：空间、时间与传播手段

芝加哥学派：1、在方法论上反对形式主义 2、迷恋边境理论。认为社会重建和机构设立过程就是美国民主的成型过程。传播的能动过程单过社会秩序与凝聚力的源泉。（对公众生活的性质密切关注）4、设法找出公共空间产生理性、批判性话语和行为的条件（消失得公众：

大众媒介使得公众得以产生，但他们后来威胁到公共生活，以及随之产生的理性话语和启迪公共舆论的可能性）

拉扎斯菲尔德：传播作为一种控制的方式，标志着传播被纳入一种统治机制。独立知识分子批判功能的丧失。

传播作为一种疗法。

伊尼斯认为，学识不是产生于历史与文化的真空中，而是反映了民族文化的希望、渴求与离经叛道。（伊尼斯的传播理论是历史的、经验的、阐述的、批判的）

铁路的发展使个别城市的文化覆盖了其他地域的文化，于是个别特殊地区认识世界的方式逐渐界定了整个国家的文化，甚至界定了国际的文化。

伊尼斯认为，地方社区的建立对形成民主经验很关键。

现代传播媒介大多处于商业的利益，建立了本质上私人的传播体系。私人悦读和悦读受众代替了阅读公众以及讨论和争论的公共性。

传播的偏向理论：任何形式的传播都有偏向，它擅长缩短发送信息的时间并控制空间，当有些团体开始控制传播形式并在政治上将他们的利益与传播性能联系在一起的时候，这种偏向就固定成为一种垄断。

所谓窄化，就是人们对事物的躯体感觉、认知、情感或思维意识向某一方面或某一方向高度集中，使其所及的范围越来越狭窄,越来越收缩，越来越局限的过程，窄化过程同时表现为对窄化对象的感受性增加、敏感程度增强。网络的社交化带来的信息窄化，本质上就是排除一种“信息偶遇”：你获得的信息都是你想要的。常年厮混在一个意见趋同的群体中，反过来会使得这个群体越来越“小团体思考”，而天下所有的原教旨主义群体和激进主义者群体，都来源于这种思想结构。信息窄化的极度深化（所幸现在还没发生），将破坏一个社会的基本共识，普世价值观也将会荡然无存。受众依赖于集中化的供应源，知识与构成知识的结构呈垄断性，同时也在衰退获取知识的能力，通向传统的权力丧失。

未来传媒性帝国的扩张是技术完美主义和民族虚无主义的社会。

第七章：未来的历史 未来成为一种解决方式。于是，时间的迁移等同于从过去的问题和当前的困难中得以脱身。未来超越了人类的局限，不再有政治，实现了和平与民主的幸福阶段。

三次传播革命：印刷业革命：信息生产的机械化（识字率的提高扩大了政治统治）；电话、电报、电视；互联网

控制论革命：通过量子跃迁提高可获得的信息，保证对政策选择权的明确界定、对措施可能产生的结果的准确预见，还来自于社会的反馈机制??

还有一种更为严格的知识垄断。对整个思想和范式体系的垄断，这种体系决定了什么事宗教的事实，决定了评估任何阐释这些事实之真实性的标准，界定了什么才能构成知识。现代计算机拥有者分项数据，垄断的不是数据本身而是一种被认同、被确认的模式。这就是信息与

知识的混乱。

政治组织（政治共同体）分崩离析。我们仍然处在精英主义的统治之下。技术精英意味着社会的原子化（孤独的个体）

知识是范式的，不像数据存在于经验之中。他们是元信息。

修正的原意是改正、修改使正确。中文中修正主义特指对马克思主义的修正。反对修正主义的人认为：修正主义的反动性在于，它不是对错误的修正，而是对真理的修正。“修正主义”中的修正是贬义，涵讽刺的意味。国际共产主义运动中打着马克思主义旗号的资产阶级思潮。19世纪90年代首先出现于德国社会民主党内。

未来只不过是乌托邦传统的一部分。乌托邦就是无处，在空间上不存在的，通常在时间上也不存在。

现代知识界在解构任何作为某种价值观的过去意向都是粗暴的，但是未来只不过是修辞上与政治上替代了过去，它并没有改变这两个意向的社会含义。未来变成了永远被修正的东西。

一个有效的、真正的参与公共领域的丧失，杜威说，这种真正参与的共同的政治生活回避了控制。就我们处在田园分为来看，对未来的怀恋是有害的，因为缺乏自觉。

第八章：技术与意识形态：以电报为个案

电报的作用：1、被第一个大型工业垄断着——西屋联合电报公司所控制，随之出现了第一个通讯王国和许多工业王国的雏形。电报+铁路——现代技术工业的综合管理

2、电报是电子工业的第一个真正奠基品。经济信息问题。

3、电报带来了语言性质的转变，带来了日常知识与意识解构的变化。

电报不仅改变了传播与运输的关系，还改变了人们想到传播一词的思维方式。 割裂了城邦资本主义的模式。

电报与意识形态：

电报与垄断资本主义的关系：生产力的机构化。匿名者之间的买卖关系，需要第三方管理机构的维护。（加剧了生产力的组织形式和管理技巧更科学，垄断控制发展趋于合法）

电报与公众的想象：技术至上论（电子至上论：对和平、和谐和自我满足的渴望，加之对能量、利润和生产力的希冀，电报消除时空，意味着国家将联成一体；莫尔斯的地球村理论），电报看不见的神秘力量，颇具宗教色彩。（身体二元论的神秘性）

传播的宗教观是一种中介物——一种渐渐消失得中介物——介于中场阶级的渴望与资本主义及日渐滋生的帝国主义之间。

通讯社要求一种不带地方性或区域性且通俗化的语言形式。它们要求采用一种科学的语言，一种严格意义上含义明确的语言，并将口语中所含的言外之意得到严格控制。语言平实且标准化。电报导致了方言形式、新闻及报道风格——即夸张的报道的消失，更多依赖符号在传统意义上的作用。即信用作用。电报语言以对等性关系，替代了作者与读者之间的关系。

电报淘汰了用书信告知时间、对时间进行详细描述、对内容作了一定分析的通讯员，代之以提供单纯事实的特约记者。电报费用的昂贵，导致 观察者与写作者分离。新闻判断必须程序化，新闻部这一组织也必须像工厂一样工作。简洁的文笔和篇幅迫使新闻像商品一样被对待。

电报促进了军事帝国的协调作战，政治记者；跨国贸易。（帝国主义一词出自1870年代——跨大西洋海底电缆建设。）帝国的边缘控制能力加强。（电报使海底电缆物尽其用，但是扩张能力语统治能力之间制造了紧张关系）

市场不再是空间意义的市场，信息的传递也摆脱了时空，交易虚拟化。统一价格体系在空间上扩散。思想被数据化。

关于传播仪式观（詹姆斯凯瑞）的探讨

《仪式观传播视觉下的营销活动》：仪式观营造一种得到传播对象普遍认可的信念，以此联系为一个整体，使受众潜移默化的过程中理解和接受信息内容。（eg 护身符）——无形的权威影响和信仰塑造。（想象共同体的构建）

操作：利用具有某种文化价值的集体无意识符号，将人带入一种与他人有意义的关系中，达到以情动人的效果。促进消费者与企业文化（质量要保证：美女放粽子？）的沟通。 《传播仪式观：一种独特的传播研究方法》

陈力丹教授用方法论的角度讲传播学研究分为“经验-功能主义学派（通过科学的求证寻求传播现象背后的规律）”；“技术控制论（伊尼斯、麦克卢汉、梅格维茨）”；“结构主义符号-权利（法兰克福学派、英国文化研究学派）

芝加哥学派代表人物：米德、库利、罗伯特.帕克、欧文.戈夫曼 借鉴芝加哥学派：传播是符号的再造，创造和谐社会。（道德代替本能，社会的社会性成为可能）

借助批判学派：不能忽视对人行为的理解。（沿着美国反实证主义的观点；行为主义）维护社会秩序，使失去的秩序恢复。

三种批判模式：生产研究的批判、文本的批判、文本与行为之间关系的批评。

交流和理解。

《杜威、戈尔茨队凯瑞传播仪式观的影响》

杜威早年芝加哥社会学倡导理解、共享观，而不是传递；传播构建社会；传播创造符号和意义；传播是共同参与的社会实践。

克利福德.格尔茨：《文化的阐释》文化是意义的象征体系。社会行为按照意义模式运作。公开的仪式就是文化表演，是一种世界观。

 

第二篇：数学文化学之读书笔记

《什么是数学》读书笔记

---------从自然数到实数

读完《什么是数学》之后，我深受内容的影响，感触很深，对于数学的演化有种震撼的感受，我想这种感触我一定要用笔记下来，好让我以后忘了再把它想起来。我为什么要把它用笔写下来，不用我多说，我想大家肯定知道其中的秘密。

现在，我们将从一系列公理开始，从自然数的产生一直说到实数理论的完善。或许会对数学的“科学性”有一个新的认识。

自然数是数学界中最自然的数，它用来描述物体的个数，再抽象一些就是集合的元素个数。在人类文明的最早期，人们就已经很自然地用到了自然数。可以说，自然数是天然产生的，其余的一切都是从自然数出发慢慢扩展演变出来的。数学家Kronecker曾说过，上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。 (God made the natural numbers; all else is the work of man.)。

随着一些数学理论的发展，我们迫切地希望对自然数本身有一个数学描述。从逻辑上看，到底什么是自然数呢？历史上对自然数的数学描述有过很多的尝试。数学家Giuseppe Peano提出了一系列用于构造自然数算术体系的公理，称为Peano公理。Peano公理认为，自然数是一堆满足以下五个条件的符号：

1. 0是一个自然数；

2. 每个自然数a都有一个后继自然数，记作S(a)；

3. 不存在后继为0的自然数；

4. 不同的自然数有不同的后继。即若a≠b，则S(a)≠S(b)；

5. 如果一个自然数集合S包含0，并且集合中每一个数的后继仍在集合S中，则所有自然数都在集合S中。（这保证了数学归纳法的正确性）

形象地说，这五条公理规定了自然数是一个以0开头的单向有序链表。 自然数的加法和乘法可以简单地使用递归的方法来定义，即对任意一个自然数a，有：

a + 0 = a

a + S(b) = S(a+b)

a · 0 = 0

a · S(b) = a + (a·b)

其它运算可以借助加法和乘法来定义。例如，减法就是加法的逆运算，除法就是乘法的逆运算，“a≤b”的意思就是存在一个自然数c使得a+c=b。交换律、结合率和分配率这几个

基本性质也可以从上面的定义出发推导出来。

Peano公理提出后，多数人认为这足以定义出自然数的运算，但Poincaré等人却开始质疑Peano算术体系的相容性：是否有可能从这些定义出发，经过一系列严格的数学推导，最后得出0=1之类的荒谬结论？如果一系列公理可以推导出两个互相矛盾的命题，我们就说这个公理体系是不相容的。Hilbert的23个问题中的第二个问题就是问，能否证明Peano算术体系是相容的。这个问题至今仍有争议。

在数学发展史上，引进负数的概念是一个重大的突破。我们希望当a<b时a-b能够继续成立，并让此时的a-b参与运算。现在我们还不知道当a<b时a-b应该如何参与运算，但请注意到(a-b)与(c-d)总是满足下面两个看上去很符合常理的式子：

(a-b) + (c-d) = (a+c) - (b+d)

(a-b) · (c-d) = (ac + bd) - (ad + bc)

我们可以非常自然地把上面的规则扩展到a<b或c<d时的情况。现在，我们可以把自然数扩展到全体整数：把符号(a-b)直接当作一个数来处理。如果a>=b，符号(a-b)描述的是一个自然数；如果a<b，符号(a-b)描述的就是一个“负数”。当a+d=b+c时，(a-b)和(c-d)属于同一个等价类（可以证明它们同时加上或乘上一个(e-f)的结果相同），我们认为它们是同一个数（正如1/2和2/4是同一个数一样）。注意到(a-b)-(b-a) = (a+b)-(b+a) = 0，也就是说(a-b) = 0-(b-a)。而(a-b)和(b-a)两个数中，至少有一个在原来我们的自然数范围内。受这个的启发，我们想到了用这两个数中的其中一个去描述另一个：当a<b时，我们把(a-b)记作0-(b-a)；或者干脆不写那个0了，直接简记作-(b-a)。例如，我们可以把(3-5)直接写成-2。另外，注意到(a-b)+(c-d) = (a+c)-(b+d) = (c+a)-(d+b) = (c-d)+(a-b)，于是我们可以立即看出，引进负数后原有的加法交换律仍然成立。类似地，可以证明在上面的定义下，其它几个算术运算基本性质依然保持不变，因此从逻辑上看负数运算是合理的。

生活中遇到的另一个问题就是“不够分”、“不够除”一类的情况。三个人分六个饼，一个人两个饼；但要是三个人分五个饼咋办？此时，一种存在于两个相邻整数之间的数不可避免的产生了。为了更好地表述这种问题，我们用一个符号a/b来表示b个单位的消费者均分a个单位的物资。真正对数学发展起到决定性作用的一个步骤是把由两个数构成的符号a/b当成一个数来看待，并且定义一套它所服从的运算规则。借助“分饼”这类生活经验，我们可以看出，对于整数a, b, c，有(ac)/(bc)=a/b，并且(a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd), (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。为了让新的数能够用于度量长度、体积、质量，这种定义是必要的。但在数学历史上，数学家们经过了很长的时间才意识到：从逻辑上看，新的符号的运算规则只是我们的定义，它是

不能被“证明”的，没有任何理由要求我们必须这么做。正如我们定义0的阶乘是1一样，这么做仅仅是为了让排列数A(n,n)仍然有意义并且符合原有的运算法则，但我们绝对不能“证明”出0!=1来。事实上，我们完全可以定义(a/b) + (c/d) = (a+c)/(b+d)，它仍然满足基本的算术规律；虽然在我们看来，这种定义所导出的结果非常之荒谬，但没有任何规定强制我们不能这么定义。只要与原来的公理和定义没有冲突，这种定义也是允许的，它不过是一个不适用于度量这个世界的绝大多数物理量的、不被我们熟知和使用的、另一种新的算术体系罢了。

我们称所有形如a/b的数叫做有理数。有理数的出现让整个数系变得更加完整，四则运算在有理数的范围内是“封闭”的了，也就是说有理数与有理数之间加、减、乘、除的结果还是有理数，可以没有限制地进行下去。从这一角度来看，我们似乎不大可能再得到一个“在有理数之外”的数了。

当我们的数系扩展到有理数时，整个数系还出现了一个本质上的变化，这使我们更加相信数系的扩展已经到头了。我们说，有理数在数轴上是“稠密”的，任何两个有理数之间都有其它的有理数（比如它们俩的算术平均值）。事实上，在数轴上不管多么小的一段区间内，我们总能找到一个有理数（分母m足够大时，总有一个时刻1/m要比区间长度小，此时该区间内至少会出现一个分母为m的有理数）。这就使得人们会理所当然地认为，有理数已经完整地覆盖了整个数轴，所有的数都可以表示成a/b的形式。

难以置信的是，这样的数竟然不能覆盖整个数轴；除了形如a/b的数以外，数轴上竟然还有其它的数！这是早期希腊数学最重要的发现之一。那时，古希腊人证明了，不存在一个数a/b，使得其平方恰好等于2。平方之后等于2的数不是没有（可以用二分法找出这个数），只是它不能表示成两个整数之比罢了。用现在的话说就是，根号2不是有理数。根号2这种数并不是凭空想象出来的没有实际意义的数，从几何上看它等于单位正方形的对角线长。我们现有的数竟然无法表达出单位正方形的对角线长这样一个简单的物理量！因此，我们有必要把我们的数系再次进行扩展，使其能够包含所有可能出现的量。我们把所有能写成整数或整数之比的数叫做“有理数”，而数轴上其它的数就叫做“无理数”。它们合在一起就是“实数”，代表了数轴上的每一个点。

其实，构造一个无理数远没有那么复杂。我们可以非常轻易地构造出一个无理数，从而说明无理数的存在性。把所有自然数串起来写在一起所得到的Champernowne常数0.123xxxxxxxxxxxx3141516...显然是个无理数。考虑用试除法把有理数展开成小数形式的过程，由于余数的值只有有限多种情况，某个时刻除出来的余数必然会与前面重复，因此其结果必然是一个循环小数；而Champernowne常数显然不是一个循环小数（不管你宣称它的循

环节是什么，我都可以构造一个充分长的数字串，使得你的循环节中的某个数字根本没在串中出现，并且显然这个串将在Champernowne常数中出现无穷多次）。这个例子说明，数轴上还存在有大量的无理数，带根号的数只占无理数中微不足道的一部分。这个例子还告诉我们，不是所有的无理数都像pi一样可以用来测试人的记忆力和Geek程度。

在定义无理数的运算法则中，我们再次遇到了本文开头介绍自然数时所面临的问题：究

竟什么是无理数？无理数的运算该如何定义？长期以来，数学家们一直受到这个问题的困惑。19世纪中期，德国数学家Richard Dedekind提出了Dedekind分割，巧妙地定义了无理数的运算，使实数理论得到了进一步的完善。

在此之前，我们一直是用有序数对来定义一种新的数，并定义出有序数对之间的等价关系和运算法则。但Champernowne常数这种让人无语的无理数的存在使得这种方法能继续用于无理数的定义的希望变得相当渺茫。Dedekind不是用两个或多个有理数的数组来定义无理数，而是用全体有理数的一个分割来定义无理数。我们把全体有理数分成两个集合A和B，使得A中的每一个元素都比B中的所有元素小。显然，满足这个条件的有理数分割有且仅有以下三种情况：

1. 1.A中有一个最大的元素a*。例如，定义A是所有小于等于1的有理数，B是所有大于1

的有理数。

2. 2. B中有一个最小的元素b*。例如，定义A是所有小于1的有理数，B是所有大于等于1

的有理数。

3. 3. A中没有最大的元素，且B中没有最小的元素。例如，A由0、所有负有理数和所有平

方后小于2的正有理数组成，B由所有平方后大于2的正有理数组成。每一次出现这种情况，我们就说这个分割描述了一个无理数。

4. 4.注意，“A中有最大元素a*且B中有最小元素b*”这一情况是不可能出现的，

这将违背有理数的稠密性。a*和b*都是有理数，它们之间一定存在其它的有理数，而这些有理数既不属于集合A，也不属于集合B，因此不是一个分割。 为什么每一种情况3都描述了一个确定的无理数呢？其实这非常的形象。由于A里面没有最大的元素，因此我们可以永不停息地从A里面取出越来越大的数；同样地，我们也可以不断从B里面取出越来越小的数。这两边的数将越来越靠近，它们中间夹着的那段区间将越来越小，其极限就是数轴上的一个确定的点，这个点大于所有A里的数且小于所有B里的数。但集合A和B已经包含了所有

的有理数，因此这个极限一定是一个无理数。因此从本质上看，Dedekind分割的实质就是用一系列的有理数来逼近某个无理数。

现在我们可以很自然地定义出无理数的运算。我们把一个无理数所对应的Dedekind分割记作(A,B)，则两个无理数(A,B)和(C,D)相加的结果就是(P,Q)，其中集合P中的元素是由A中的每个元素与C中的每个元素相加而得到，余下的有理数则都属于集合Q。我们也可以用类似的办法定义出无理数的乘法。另外，我们能够很快地验证，引入无理数后我们的运算仍然满足交换律、结合率等基本规律，这里就不再多说了。

相关推荐

专栏推荐