数学教学中学生反思能力的培养

摘要：培养学生的反思能力旨在用控制论的原理剖析课堂信息交流的规律，促使学生多层次、多侧面地分析和解决问题。通过渗透数学审美观点，激发学生的反思意识，而具有反思性的课堂教学是培养学生反思能力的主渠道；开展研究性学习，建立反思小档案都是培养其反思能力的有效途径。

关键词：反思能力 激发 培养 开展 建立

反思能力是指自觉地对数学的认知活动进行考察、分析、总结、评价、反馈，控制和调节的能力。这种能力主要分为两大部分：一是认知过程中的自我监控能力，二是自我调节能力。培养学生的反思能力旨在用控制论原理剖析课堂信息交流的规律。荷兰著名数学家费赖·登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力。英国数学教育心理学家斯根普在《学习数学的心理学》一书中指出，在进行数学思考活动时，尽管有些结论和方法是显而易见的，但思维不能就此而止，还需要做进一步的逻辑分析，加以确认和证明。培养学生的反思能力可以促使他们从新的角度、多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考虑、分析于思考，从而深化对问题的理解，揭示问题的本质，探索出问题的一般规律。反思能力具备如下的特征：

（1）独立性：反思能力表现为善于独立思考问题，不盲从，不迷信，不唯上，并且能善于提出问题，进而发表自己的独到的见解的能力。

（2）批判性：反思能力的实质是批判性思维，习惯于反复深入地思考问题，知识结构会更完善，更牢固，思考会更开阔，更灵活，见解会更深刻，更新颖。

（3）习惯性：反思能力需要长期、持续的逐渐培养，更重视对知识形成过程的反思，因而对思维进程具有方向和策略的控制作用。

一、   培养学生反思能力的重要性和必要性  

数学教学之中之所以要培养学生的反思能力是为了改进学生的学习方法，这实质上是向更合理的学习实践努力迈进。倡导反思是提高学生学习效率的有效途径之一，从而更快地提高学生的元认知能力和水平，从根本上保证学生真正成为学习的主人。

反思是思考和探索，是探究整个数学学习过程中的读、听、讲、写、用等各个环节中存在的问题。旨在用控制论的原理剖析课堂信息交流的规律，引导学生反思自身的学习现状和学习方式，不断的发现问题和解决问题，从而培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

二、   培养学生反思能力的目标

培养学生的反思能力的总的目标是培养学生成为学习的主人，发挥学生在学习中的主体作用，具备目标是：

（1）理念层面目标：学生形成反思意识，树立在批判中学习的理念。

（2）技术层面目标：学生学会发现学习中的问题，分析问题，解决问题并及时评价纠正等。

（3）实践层面目标：学生学会与同学合作、交流、与教师讨论，对纠错后的知识、方法掌握等。

三、   培养学生反思能力的途径和方法

1．渗透数学的审美观点，激发学生的反思意识。

哲学数学家罗素写道：“数学如果正确看待它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美”。数学美经常表现于数学对象的外表，如美妙的曲线和对称的方程等。数学是一门艺术，数学美也深深蕴藏在它的基本结构之中。我们在数学教学中经常向学生揭示内在美、对称美、和谐美、奇异美、简单美、统一美和类比美。

例如在“椭圆的定义和标准方程”的教学中，就应始终抓住椭圆具有的和谐、对称美的基本特征，让学生在美的追求中将其组织成为具有美学结构，从而促使学生在积极思维于兴奋状态中完成学习任务的教学过程。下面是化简过程的教学设计：

由定义得|MF1|+|MF2|=2a，又由距离公式知  （1）

教师：方程（1）能不能作为椭圆的方程？（稍后）可以！追问：这个形式你满意吗？（稍后）不满意！因为它不符合数学美的简洁性特征，有继续化简的必要。

学生：（此时求简的意识油然而生）经两次平方（根据化简的常规方法）整理得：

教师：此方程虽比（1）简单多了，但是从椭圆的对称性，我们期望它的方程也应具有对称性，你能根据的正负特点做出变换吗？在教师的诱导下，学生轻松地设想下列方法：

学生：设则，即为椭圆的标准方程。

教师给学生及时的赞扬，最后指出引进字母纯粹是由于对美的追求，让学生体会到数学原来也是妙趣横生，充满了美的音符，从而激发学生对数学的兴趣，使学生带着一种高涨的激动情绪从事学习和思维，这样反思才能成为自觉的行为。

2．反思性的教和学的课堂教学是培养学生反思能力的主渠道

培养学生的反思能力和反思解题的途径是建构主义指导下数学课的重要组成部分，英国著名的思维教育专家德·波诺指出：“学校课本上的问题通常是封闭型的，也就是说，都有一个确定的答案，而且给出了所有的已知信息。实际生活中的问题却往往是开放的，没有确定的答案，还缺少很多信息。”为此教师应摒弃传统的“三中心”为主的教育模式，可采用开放的探究性教学模式。教师要引导学生在观察中反思，在矛盾中反思，在自主学习中反思。

2.1创设意境，诱导反思

教师要转变教学观念，形成开放的心态和自我反思的意识，敢于并勇于把主权教给学生，营造一个宽松和谐的教学环境，发扬民主教学，对于学生的大胆设想给予充分的肯定，合理成分给予及时鼓励。抓住学生思维中萌发的反思欲望，让其体会反思带来的喜悦。让学生感受到自己是一个思考者、发现者、探求者和成功者。教师应针对数学问题的不同类型，采取不同的策略，诱导学生提出问题，可以通过观察、类比、想象等，提出猜想型问题。例如在高一新教材第五章“平面向量”中，两向量的数量积是陌生的全新的知识点，学生对其理解和掌握都有一定的困难。在学习有关的概念、性质和运算律后，可提出以下问题引导学生反思：

通过学生辨析和判断，加深了学生对这部分知识的理解，深化了学生的认知结构。教师还应该重视引导学生对相似概念、公式、定理之间的不同结构与本质区别的反思。

2.2精选例题，探究反思

例题教学是一节必不可少的一个环节，对于某些例题，教师可适当改变叙述方式，从而给学生留下充分的思考空间。应引导学生对题中的信息进行整合，以寻求破题点，运用有关知识组块和形象直感对当前的问题进行敏锐的分析、推理类比，并能迅速发现解决问题的方向或途径。得出答案之时并不意味着思维活动的结束，而是深入认识的开始。总之教师要让学生认识简洁灵活的解题方法是通过反思而发现的，同化、迁移和创新能力是在反思过程中形成的。所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，应引导学生从解决问题的思路、方法、规律等方面进行多角度、多方位的观察反思，不断总结，从而提高解题能力。

例1、        求函数的最值。

解：当x＞0时，，当时取等号，故

当x＜0时，，当时去等号，故

[借题发挥]此题比较简单，利用均值不等式求解学生基本都会，该题同时也体现了分类讨论的思想。若就此搁笔浅尝则止，没有真正体现此题的价值，没有挖掘其深层次的内涵，故引导学生不妨就此题的结构特点、解题规律和方法的典型性与可行性等方面进行反思、探讨、从而达到横向拓宽和纵向延伸之境界。

反思一、具备怎样特征的表达式可以化为此类结构式？

（1）   （2） （3）

（4）  （5）

（6）

反思二、具备此结构特点的表达式一定能用均值不等式求解吗？反思其解题方法。

（1）  （2） 

（3）

以上利用均值不等式求解不可行，因为等号取不到，只能改为利用函数的单调性求解，利用导数求出函数的单调增（减）区间。（解题略）

反思三、由此及彼，若将结构式中的“+”改为“-”解题方法又如何？能否推广到一般情形？

（1）均值不等式不适用，可用函数单调性求解

（2）

通过对本题解题过程的反思，引导学生总结出如下解题规律：

（Ⅰ）当ab＞0时，首选均值不等式求最值，若等号取不到则改为函数单调性求解。（a＞0,b＞0其图象如图1所示）

    ( 图1)

（Ⅱ）当ab＜0时，利用函数单调性求解。（a＞0,b＜0如图2；a＜0,b＞0如图3所示）

通过创设问题情境，巧妙地设障立疑,引起学生反思，对题进行多方面加工与整合，使学生思维从单一性向多维性发展，真正做到举一反三、触类旁通;同时也培养了学生思维的广阔性和发散性。

结合上例我们不难得出解题反思过程的图示：

反思是各个连续的部分相辅相成、来往有序的一系列知识链条。通过反思让学生了解思维过程是怎样产生的，怎样由此及彼相互联系的，从而更好地指导学生有效的思维。对解题后的反思，不难发现高中的每个知识点几乎都可以形成或大或小的板块，这样在看到有关条件或遇到某种熟悉的结构时就可以实行“网络化”，大大加速了思维的过程。

3、建立反思小档案，养成反思的习惯

人最有价值的行为和语言往往是自省和反思，而数学思维本身就是一种反思性思维，力求从最少的问题中发现最多的规律，受到最好的启发，得到最佳的学习效果。首先让班级同学准备一本学习记录册和错题集，要求学生做好课前预习的工作，写下下节课的教学内容和预习中遇到的困难，记下不明白之处。同时要求写下学习心得、个人反思，不断重温当天、当周、当月所学的知识。做到对知识进行分阶段的大搜索、大盘点，以求达到不断寻求建构知识的目的。其次要求学生把作业、练习卷、测试卷中的较典型的、易混淆的题记到错题本中，而后进行两个层次的反思。第一层次：找出错在哪里？为什么出错？是知识性错误，还是粗心、计算等其他原因导致错误？怎样才能避免错误？另外可让学生对同一类型的错题做上标记，以便下一次翻阅。第二层次反思：鼓励学生在整理错题时，利用知识点是一环扣一环，层层拓展开去的特点，可写下当初解此题时的心路历程，不断地剖析自己、责问自己、对学习行为做出自我评价，并在批判的基础上对知识进行解构与重组，以便对思维进程具有更好的方向和策略的调控作用。事实上整理错题的过程又是一次深刻理解、巩固知识的学习过程。以下是摘自一位学生的错题集中的题。

例2、椭圆的焦点为F1 ，F2 ，点 p为其上的动点，当∠F1PF2 为钝角时点p的横坐标的取值范围是

错因：（1）用余弦定理cos∠F1PF2＜0求解时计算错误，因为在考试时心态浮躁，只求速度计算不仔细；（2）没有想到用极限思想先求90°的情形。

对策：要在平时的学习过程中尽量改掉有了思路就不太愿意具体计算的毛病，另外解题速度也有待提高。

心得：平时要养成一题多思和一题多变的学习习惯，要学会象老师那样对题进行一些加工和引申，这样在考试时才能运筹帷幄。

变题：（1）椭圆的焦点为F1 ，F2 ，点 p为其上的动点，当∠F1PF2 为锐角时点p的横坐标的取值范围是      。

（2）若椭圆的焦点为F1 ，F2 ，点 p为其上的动点，当∠F1PF2 为锐角时点p的横坐标的取值范围是    。（不会）

该学生带着疑问来寻求答案，教师应对学生提出的问题给予高度的评价，让学生感受到自己是一个思考者，发现者、探求者和成功者，并在课堂上以此为范例与同学们一起探讨解决。

当反思成为学习生活中必不可少的一个重要环节时，当真正养成反思习惯时，这种力量定能使人厚积薄发，获得成功。那些喜欢反思并在此基础上提高自己的学生才能真正成为学习的主人。那些学会反思的人，才能不断超越自我、完善自我。天天反思，天天出新，天天有一个新的自我，天天就会有新的收获。

4、开展研究性学习是培养学生反思能力的沃土

研究性学习是课堂教学的延伸与发展，是一个寻找知识的“生长点“的绝佳时期。学生从现实生活和学习实践中透视数学问题，互相交流，互相切磋，互相启发，构建数学模型，通过反思这一纽带把以往所获得的知识进行归并、删节、提取、整理。同时在整个研究学习的过程中会暴露学习的一些弱点，要不失时机地引导学生对自我的学习态度、方法、计划进行反思，从中“吸取精华，剔除糟粕”，以致最大限度得激发学生的潜能。同时有助于培养学生坚忍不拔、奋发有为的人格品质和不断追求新知识的学习态度。

四、它山之石，可以攻玉

无论是学校组织的专家、学者的专题讲座或学术报告，还是优秀的在校生或毕业生的成功经验介绍会，以及通过报刊杂志、网络、广播电视等多方渠道为学生搜集相关信息资料等等。这些都是别人多年潜心探索的结晶，因而要让学生抓住每一个学习机会，在扼腕叹息时仔细观察，细心体会，积极思考，用心揣摩，反复推敲，探其精微，寻其奥妙，找出自己的差距，然后博采众长，不断充实和提高自我。切忌抱消极心态和逆反心理，拒先进经验于千里之外。平时要引导学生不要封闭自我，不要与同学相互保密，“老死不相往来”，而应积极主动地与同学密切合作，坦诚交流，取长补短，创建一个富有团结性和发展性的学习“共同体”，随时随地的相互学习，相互“碰撞”，相互鞭策，学习也就有了方向，有了信心，有了力量，从而共同成长。

五、评价中反思自我

如今各行各业都倡导科学合理、灵活多样、富有实效的评价方式，因此对学生学习的评价应主意多种评价相结合，如采取自评与互评、形成性评价与终结性评价、成长记录评价与课堂观察、激励评价，课后访谈与实践活动、定量与定性等形式相结合。改变过去那种在期末“算总帐”的方式，改变单纯由教师评价学生的方式，倡导管理者、教师、学生、家长共同参与的多主体评价。无论那种评价，都是对学生学习活动的一种反馈，有利于学生在学习活动“坐标”中找到自己的位置，能为学生的反思提供较为客观的信息。由于各种原因人们往往会“当局者迷”，因此要引导学生正确对待各种评价，将其看作是自己准确了解自身优势、不足和进步情况的大好机会；要分析自己进步和不足的各种原因，以获得成就感，增强自信；重新制定学习目标、学习计划，改进学习方式、方法，促使学生在不断的反思中提高自我，发展自我。

总之，在数学教学中培养学生的反思能力是新世纪将数学教育改革推向深入的一个新举措，是我们数学教育工作者面临的一个新的课题，如何培养学生的反思能力，是一个从理论到实践都需要认真研究的课题，需要我们在教学实践中不断探索和完善。

参考文献：

1．      罗增儒·“圆满答案”的反思，“教学价值”的拓延 中学数学，2003，6

2．      林 婷·反思及其教学功效　 数学教学通讯 2002，11

3．      任璋辉· 数学思维论 　广西教育出版社。1994

4．      《高中数学教与学》20##年第5期

 

第二篇：高中数学教学论文 数学教学中培养学生的创新能力

数学教学中培养学生的创新能力

摘要新课程改革下的课程是教材、教师、学生、环境四因素的整合。创新教育已成为当今新课程教育教学改革研究和实验的一个重要课题，进入到21世纪以后，社会越来越需要创新型的人才，数学教育是创新教育的主阵地之一。数学教学要发挥知识的智力因素，激励学生大胆探索，培养创新能力。人人具有创造力，建立新型的师生关系，创设宽松氛围，营造创造性思维的环境；以“数学”自身特点为依据，引导学生学会科学的思维方法，发展学生的创造性思维；浅谈一些培养学生数学创造力的具体操作方法。

关键词创造力创新思维创新能力新课程新型的师生关系

小学教育是教育的基础，也是个体身心健康发展的基础。进入到21世纪以后，社会越来越需要创新型的人才。小学生进入小学时，对新鲜的事物总想追根究底，总喜欢问个为什么，然而，一旦读了几年书，有大部分的学生失去了问问题的乐趣，一个对未知事物没有探索兴趣的孩子如何能成长为一个具有创新素质的人，如何具备创新能力呢？这就需要课堂教学中注重鼓励这种质疑精神，注重培养学生的创新能力。

创新教育已成为当今新课程教育教学改革研究和实验的一个重要课题，就学校教育而言，数学教育是创新教育的主阵地之一，因此在数学教学中开展创新教育、培养学生的创新能力具有重要意义。

一、人人具有创造力

创造力是一种综合能力，是知识、能力、人格的有机融合和促进，是外在知识内化过程中多种智力因素契合、碰撞后灵感火花的闪现，有时显得那么“随意”自然。创造力是人的一种潜能，等待着唤醒和激发。这是一门艺术，决不仅仅是一种简单的“教”，它需要营造有利于创造力培养的好的氛围。创造力和智力的关系是：高智有高创，高智也有低创。低智有低创，低智也有高创，即人人具有创造力，关键取决于后天教育和个人的努力。例如：曾经被人认为反应迟钝的爱因斯坦，后来成为了著名的科学家。

(一)克服对创新认识上的偏差

我在实习的过程中，发现一些新课改在数学教学过程中的一些问题。一提到创新教育，往往想到的是脱离教材的活动，如小制作、小发明等等，或者是借助问题，让学生任意去想去说，说得离奇，便是创新，走入了另一个极端。其实，每一个合乎情理的新发现，别出心裁的观察角度等等都是创新。一个人对于某一问题的解决是否有创新性，不在于这一问题及其解决是否别人提过，而关键在于这一问题及其解决对于这个人来说是否新颖。学生也可以创新，也能够有创新的能力。教师完全能够通过挖掘教材，高效地驾驭教材，把与时代发展相适应的新知识、新问题引入课堂，与教材内容有机结合，引导学生再去主动探究。让学生掌握更多的方法，了解更多的知识，培养学生的创新能力。

(二)建立新型的师生关系，创设宽松氛围，营造创造性思维的环境。

罗杰斯提出：“有利于创造活动的一般条件是心理的安全和心理的自由”。新课程观认为课程是教材、教师、学生、环境四因素的整合，教师与学生都是课程资源的开发者，共创共生，形成“学习共同体”，每个学生都带着自己的经验背景，带着自己独特的感受，来到课堂进行交流。在课堂中，老师和学生是平等的关系。他们之间应该互相沟通，一起去发现问题。这样学生才能充分发挥自己的聪明才智和创造想象的能力。

(三)教师应注重学生发现--提出--讨论--解决问题的过程，通过质疑、解疑，让学生具备创新 1

能力。

教师运用适度的语言，创设情境，激励学生打破自己的思维定势，从独特的角度提出疑问。鼓励学生进行批判性质疑，批判性质疑是创新思维的集中体现，科学的发明与创造正是通过批判性质质疑开始。让学生敢于对教材上的内容质疑，敢于对教师的讲解质疑，特别是同学的观点，由于商榷余地较大，更要敢于质疑。能够打破常规，进行批判性质疑，并且勇于实践、验证，寻求解决的途径，是具有创新意识的学生必备的素质。

二、培养学生数学创造力的具体操作方法

（一）完善学生的知识结构

合理的知识结构是进行创造的基础，要完善学生的知识结构：①丰富学生的知识。掌握与问题相关的知识越少，产生新设想的机会就越小，因此，教师应鼓励学生丰富自己的知识。②有选择地学习，丰富的知识能促进创造性思维，因此应在思考和基础上吸取前人的知识，否则就会妨碍自己创造力的延伸。③知识间建立有机和联系。数学中学的每一个知识点都是为以后学的知识做铺垫，它们之间都存在着盘根错节的联系。

（二）以“数学”自身特点为依据，引导学生学会科学的思维方法，发展学生的创造性思维 数学是思维的体操，数学思维能力是指人们对数学问题本质的认识能力。创造性思维能力是数学思维能力的重要组成部分，它以逻辑思维能力为基础而又高于逻辑思维能力，它是数学中发现新问题、解决新问题的重要能力。它主要体现在发散思维能力和直觉思维能力上。 发散思维能力又称求异思维能力，是要求产生多种可能的答案而不是单一的正确答案的思维能力，包括举一反三、触类旁通，善于从正反两方面考虑问题，能够用多种方法解决问题并从中择优等。数学中的转化思想、“变式”方法、逆向思维、打破定势、克服负迁移等都是逐渐地培养学生的发散思维。而思维发散后评价择优又体现的是聚合式思维，创造思维是聚合思维与发散思维的统一。

例如在学习小学数学应用题时，可以给学生提供一个答案不唯一的问题，让学生先讨论，然后可以给出不同的解法，这是培养学生的发散思维，然后教师再归纳总结，这时是锻炼学生的聚合式思维。

直觉思维能力是指在长期积累的知识和经验的基础上，从整体上而不是经过严格的逻辑分析，迅速地预见问题结果的能力。它包括能在各种条件和结论中迅速取舍，善于在一题多解的各种解法中择优,大胆猜想,善于在不同问题之间建立起联系。

（三）鼓励与引导学生大胆猜测与探索，发展创新精神

1、教育激励常常有如下的几种方式：（1）榜样激励，要以学生中创新的事例为榜样，常言道榜样的力量是无穷的。（2）前景激励，青少年学生向往美好的理想，积极进取，大胆创新，开拓前进的道路。（3）参与激励，实践出真知，训练出才干，培养学生的创新精神和实践能力。（4）表现激励，勇于表现自我是青少年的特点，要让学生充分的展示自己的特长，对培养和发展学生的爱好与技能产生了无形的推动力。

我认为教师要提倡和鼓励学生“标新立异”、“无中生有”、“异想天开”和“纵横驰骋”，从而培养学生勇于探索、敢于创造的独创精神。想象力是引导学生创造性思维的源泉，人类思维中无与伦比的想象力是使科学不断进入未知领域的原始动力。而观察力是激发学生创造思维活动的关键。教师要指导和鼓励学生伸展智慧的触角去观察和探索，去想象和创新，做开拓创新的优秀人才。

2、引导学生独立思考，大胆探索，让学生在课堂中做真正的主人。

结合教学内容指导学生研究性学习，发挥知识的智力因素，大胆探索解题思路，勇敢地提出新解法。数学教学的核心是发展学生的数学思维能力，创造能力。数学不能仅仅停留在传授知识上，而应进一步围绕数学思维能力的基本特征，认真进行思维训练，大力提高学生创造力。

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（1）观察力

教学中让学生在观察图形，算式时展开想象，找到解决问题的思路。如算一算一个零件的体积等问题，如果从表面上看，它不是一个规格几何体，很难求出它的体积。让学生仔细观察，可能会发现这个几何体是由某些规则几何体组成的。又如先找出数的排列规律，再在（）里填适当的数

151618192122（）（）

可见在教学过程中，培养学生观察力的重要性。经常通过这样的观察，活跃思维，可以培养创造力。

（2）多向思考

多向思考即多向思维。教师在教学中要善于引导学生从正向、逆向、横向、纵向等多向去探索问题，广开思路有的放矢地转化解题方法，从一条途径转化为另一途径，变单向思考为多向思考。

（3）质疑精神

勇于怀疑，是数学创造活动的特征。质疑，表现了一种求知欲，质疑是一种探索精神，孕育着创造。教师要培养学生勇于探索的精神，要为学生提供良好的探索环境。比如鼓励学生“勇于质疑”、“寻根问底”，并使得这种质疑精神一直保持下去。

（4）猜想

猜想是一种直觉思维，猜想是一种高级创造思维。因而教师要精心设计问题情境，激起学生强烈的猜想愿望，猜想的正、误都应该提倡并且予以鼓励，错误的猜想往往成为正确猜想的先导。

（三）让学生有一个创造的环境与氛围

学校教育有一个重要的作用，就是为学生提供了一个充满活力的创造氛围。要让学生创造意识和创新精神在自由、安全、愉悦的氛围中表现出来：1信任：教师要创设一种信任的氛围，使每个学生能够处处感受到教师的热情和关怀，教师要大胆放手让学生有选择地、较自由地开展实践活动，让学生由不敢动手到敢于动手，再由敢于动手到有创新；2尊重：尊重意味着把人看作是独特价值、有能力、有自我指导能力的行为主体。在教学中教师要尊重学生在教学中的主体地位，授之以法，教与学相结合，在广泛的教学合作中，优化教学效果。为了让学生有充分的自由创新时间，要减少一些不必要的限制和规定。

总之，在数学教学中培养学生的创新能力，目的在于培养学生的各种思维能力、应用知识的能力和实践能力，以及学生的创新精神，以达到教育的最终目的——为社会培养创新型人才奠定基础。

参考文献

1．朱慕菊，走进新课程．北京师范大学出版社

2．布鲁纳，教育过程．上海人民出版社

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