二次函数y=ax2+k图像和性质的教学案例及教学反思

22.1.3.1 二次函数y=ax2+k 图像和性质的教学案例及教学反思 教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。

教学重难点：

会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。

正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?

二次函数yax2k图像和性质的教学案例及教学反思

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什

么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。

教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?

由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。

问题5： 让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 2

问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗? 完成填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?

问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?

11 问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－32＋2图象与函数y＝－3x2的图

象有什么关系?

1 问题10：你能说出函数y＝－32＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标

吗?

问题11：这个函数图象有哪些性质?

1 让学生观察函数y＝－3x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x

的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。

四、练习：

五、小结1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?

2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?

六、作业设置

教学反思：

先让学生自己上黑板或者动笔画图，学生表现得非常积极，热情高涨，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的平移关系，学生很容易就掌握好了，从巩固练习的回答情况来说，学生对这个知识点的掌握情况很好，通过多媒体显示平移的动画效果，所以就更加容易理解。

函数y＝ax2＋k的性质，也是从一般到特殊来归纳，所以思维过度幅度不大，基础好的同学基本上通过特殊函数就可以推广到一般来，但是还是有些基础差一点的学生，要通过后期的复习和练习，慢慢让他们熟练和理解。所以在讲解特殊函数时要细，慢，一般函数y＝ax2＋k的性质也就理解起来容易。

 

第二篇：62二次函数的图象和性质(第二课时)教学案例

6.2二次函数的图象和性质（第二课时）教学案例

镇江市第四中学 蒋红

义务教育课程标准实验教科书（苏科版）以"生活数学"，"活动思考"为主线，注重课程内容的"整合"，注重引导学生"做"数学，注重"过程"和"数学思想方法"。引导学生在活动中思考，更好的感受知识的价值，获得"情感、态度、价值观"方面的体验。鉴于此我对苏科版实验教科书九年级下册《二次函数的图象和性质（第二课时）》进行了教学尝试。

教材分析：

《二次函数的图象和性质》选自义务教育课程标准实验教科书（苏科版）九年级下册，本节内容是第六章二次函数的第二节。在日常生活中，比如在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数学的思想方法，函数的内容在其中有相当的地位，是非常重要的，二次函数更是重中之重。而在本节课之前，学生已学习了二次函数的概念和二次函数y=x2、y=-x2的图象和性质。因此本课的教学是在学生学过二次函数基础知识的基础上，引导学生进一步观察二次函数y=ax2的图象特征,从特殊到一般，最终得到二次函数y=ax2的图象的性质。这样不仅符合学生的认知规律，而且还使学生进一步体会了数形结合的思想方法，培养了学生的创造性思维能力和动手实践能力，突出体现了辩证唯物主义观点。同时，二次函数和以前学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程及方程组有着密切的联系，因此学好二次函数是解决相关综合问题的基础。 学情分析

九年级的学生已具有了一定的分析问题的能力和逻辑推理的能力，他们勤于动手、乐于探究、有较强的表现欲，同时也具备了一定的归纳总结、表达的能力，因此，在教学中更应体现学生的主体地位，让学生动手、动脑，培养他们自主探索、勇于实践的能力。通过合作交流，激发学生的学习兴趣，提高学习效率，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的。

设计理念

1、 教师在整节课的活动中，扮演的是学生学习的参与者、合作者、指导者和支持者的角色。

2、 本节课的设计体现了“学会学习，为终身学习作准备”的教育理念，最大限度地实现学生的主体地位，使数学教学成为一种“过程”教学，让学生在“数学活动”中获得数学的“思想、方法、能力、素质”，同时获得对数学的情感。

3、 《数学课程标准》指出，“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆”，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。在本节课中，着力改善学习方式，强调学习方法，变学会为会学。

4、 注重学生在活动过程中的表现，如：参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意识，等。

教学目标：

依据课程标准，结合新课程理念，在确定教学目标时要坚持以育人为本，以学生发展为本，以学生终生学习能力作为课堂教学的价值取向为本，由此确定本节课的教学目标如下：

(一)知识与能力

1、会用列表描点法画二次函数y=ax2的图象。

2、结合二次函数y=ax2的图象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及y随x的变化情况。

(二)过程与方法

1、学生尝试去发现二次函数的图象特征。

2、在画图象过程中充分引导学生有目的的观察，体会其性质。

3、让学生经历操作、观察、归纳、概括等数学活动，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点和数形结合的数学思想，培养观察能力和分析问题、解

决问题的能力。

(三)情感、态度与价值观

1、培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。

2、通过细心画图，培养学生严谨细致的学习态度。

教学重点、难点

（一）教学重点

二次函数y=ax2的图象及其性质。

[突出重点的措施]

1、通过比较二次函数y?ax2与y?x2、y??x2的图象,让学生感受二次函数y?ax2的图象的性质，同时体会对比及由特殊到一般的思想.。

2、通过操作、思考，组织学生动手操作、合作交流，培养学生归纳、总结的能力。

（二）教学难点

1、从图象的“走势”看图象特征，用函数的观点解释这一特征，并有条理地表达二次函数的图象的性质 。

2、渗透数形结合的数学思想方法。

[突破难点的措施]

1、通过设计“知识回顾2”这一环节，让学生回顾一次函数的增减性,为归纳二次函数y=ax2的增减性作铺垫。

2、增加问题1-问题4再次让学生用列表描点法画形如二次函数y=ax2的图

象,使学生进一步从图象上认识此类二次函数的性质,体会数形结合的思想方法。

3、自主探索、合作交流,形成生动的课堂氛围。

教学策略

（一）教法:

在教学上主要采用了操作、观察、合作交流、尝试、归纳等方法，并结合 多媒体演示，激励学生积极参与，在知识的发生、发展中渗透对比及数形结合的数学思想，学生通过操作、观察、思考、归纳、尝试、交流等一系列探究活动，层层推进，环环相扣，体现数学的严密性与系统性。

（二）学法

教学过程是师生互相交流的动态过程。从学生的认知特点来看，这一阶段的

学生爱问好动，求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知较强。因此，在学习中，应鼓励学生动手操作，自己观察，进行小组讨论和交流，使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。同时，师生共同归纳总结，体验学习。

教学过程

知识回顾

1、师：请同学们回顾二次函数y=x2和 y=-x2 的图象有哪些特征？

停顿片刻，引导学生思考。

学生容易从开口方向、对称轴、顶点坐标三个方面加以描述，即二次函数 22y?x和 y??x的图象都是抛物线,开口向上或向下,对称轴都是 y 轴,顶点都

在原点（0，0）.

（通过知识的回忆提供学习的基础，符合教学可接受性原则和知识建构的需要。）

2、观察图象,回答下列问题：

y y

x

① ②

⑴当x为何值时,图象从左到右呈上升趋势?当x为何值时,图象从左到右呈下降趋势?

停顿片刻，引导学生思考。

学生通过观察图象的走势容易得出结论：图①中，当-4＜x＜0时图象从左到右呈上升趋势，当0＜x＜2时图象从左到右呈下降趋势；图②中，当-3＜x＜-1时图象从左到右呈下降趋势，当-1＜x＜2时图象从左到右呈上升趋势。 ⑵当x为何值时,y随x的增大而增大?当x为何值时,y随x的增大而减小? 这一结论你是如何得到的?

师引导学生思考：如何用函数的观点解释问题⑴中图象的走势？

由于学生已经学习了一次函数与反比例函数图象的增减性，因此这一问题学生不会觉得很困难。

⑶你能说出图①的最高点的坐标吗？图②的最低点的坐标呢？

（这一环节的设计改变了传统的从复习一次函数及其图象的性质引入新课的模式，而是通过问题串的形式，从“形”（函数图象）上观察得到结论，再将

2得到的结论转化为“数”（函数）的性质，为归纳二次函数y=ax的增减性作了

铺垫，从而突破了本节课的一个难点。）

2师引出课题：这节课我们继续探索、研究二次函数y=ax的图象特征。

y 操作、思考

问题1

画二次函数y=2x2的图象。

师引导学生采用列表描点法画出图象。

x X

（1）列表（2）描点（3）连线

（培养学生的画图能力以及严谨的学习态度。）

问题2

2二次函数y=2x 的图象有什么特征？你是怎样判断的？

停顿片刻,引导学生思考。

（引导学生认真观察二次函数y=2x2 的图象，积极思考，让学生充分感受到解决问题带来的愉悦。）

生：二次函数y=2x2 的图象是一条抛物线，且开口向上，对称轴是y轴，顶点在原点（0，0）.

师：你还有其他发现吗？

组织学生分组讨论、交流。

师：观察图象何时呈上升“走势”？何时呈下降“走势”？图象上升与下降的分界点位于何处？

学生归纳：当x＜0时, y随x的增大而减小;

当x＞0时, y随x的增大而增大. 当x=0时, y的值最小,最小值是0.

教师适当点评。

x 问题3

画二次函数y=-2x2的图象。

师引导学生采用列表描点法画出图象。

（1） 列表（2）描点（3）连线

（通过设计问题3再次让学生用列表描点法画二次函数

的图象，引导学生进一步观察此类二次函数的图象特征，

加深对图象的认识。）

问题4

师:二次函数y=-2x2 的图象有什么特征？你是怎样判断的？

停顿片刻,引导学生思考。

生：二次函数y=-2x2 的图象是一条抛物线，且开口向下，对称轴是y轴，顶点在原点（0，0）。

师：你还有其他发现吗？

师：观察图象何时呈上升“走势”？何时呈下降“走势”？图象上升与下降的分界点位于何处？

在问题2的基础上，学生通过讨论、交流容易归纳出结论。

学生归纳：当x＜0时,y随x的增大而增大;当x＞0时,y随x的增大而减小.当x=0时,y的值最大,最大值是0.

问题5

师:刚才我们画出了二次函数y=2x2 、y=-2x2 的图象，上节课我们还画出了二次函数y?

212x、y??1

2x2212x 的图象。那么二次函数 y?2x2、y?212x2与二次函数y??2x、y??的图象有哪些共同点和不同点？

y=2x2 y?12x2x x 1y=-2x2

引导学生思考并与同桌交流。 2

生：图象的共同点是：图象都是抛物线，对称轴都是y轴，顶点坐标是（0，0）。

图象的不同点是：二次函数y?2x2、y?

1

212x2y??x2的图象开口向上，当x＜0时, y随x的增大而减小，当x＞0时, y随x的增大而增大，当x=0时, y的值最小,最小值是0；二次函数y??2x2、y??x2的图象开口向下，当x＜0时,y随x

的增大而增大，当x＞0时,y随x的增大而减小。当x=0时,y的值最大,最大值是0。

（引导学生认真观察，积极思考，营造了良好的课堂氛围，同时在全体学生的参与中突出了重点，突破了难点。）

归纳

2师：通过上面的探究，同学们能归纳二次函数y=ax的图象的性质吗？

学生经历了问题1至问题5的操作、观察、思考，进一步感受了二次函数22y=ax的图象特征，因此容易归纳二次函数y=ax的图象的性质如下：

⑴顶点在原点（0,0）.

⑵对称轴是 y 轴.

⑶当a＞0 时,抛物线的开口向上;当a＜0 时,抛物线的开口向下.

⑷如果 a＞0 ,那么当x＜0 时, y 随 x 的增大而减小;当x＞0时, y 随 x 的增大而增大;当x=0时, y 的值最小,最小值是0.

⑸如果 a＜0 ,那么当x＜0时, y 随 x 的增大而增大;当x＞0时, y 随 x 的增大而减小;当x=0时, y 的值最大,最大值是0.

（通过归纳，促进学生知识的升华，让学生形成合理的知识结构，同时培养学生自主发展的意识。）

尝试、交流

1、函数y=3x2的图象开口____,对称轴是____,顶点是____;在对称轴的左侧,y随x的增大而_____，在对称轴的右侧,y随x的增大而_____。

2、函数y=-3x2的图象开口_____,对称轴是_____,顶点是_____;在对称轴的左侧, y随x的增大而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____。

（设计“尝试、交流”有两个意图：1、及时巩固所学知识，加深学生对二次函

2数y=ax的图象性质的理解。2、通过问题的解决使学生获得成功的喜悦，感受数学学习的价值。）

例 题

已知二次函数y=ax2的图象经过点A（-2，-8）.

（1）求这个二次函数的关系式.

（2）判断点B（-1，- 4）是否在二次函数的图象上.

（3）说明这个函数的增减性.

分析：要求二次函数的关系式，只要将点A的坐标代入y=ax2即可，学生易

2 求出这个二次函数的关系式为y=-2x； 判断一个点是否在二次函数的图象上，

实际上就是验证点B的坐标是否满足方程y=-2x2；由于图象开口向下，因此当x＜0时,y随x的增大而增大，当x＞0时,y随x的增大而减小。

（由于课本没有安排用待定系数法确定二次函数关系式的例题，因此设计了这个例题，让学生领会用待定系数法确定二次函数y=ax2关系式的实质，同时再次巩固二次函数y=ax2的增减性。）

小结与思考

师:1、本节课主要学习了哪些知识？

2、在学习中应用了哪些重要的思想方法？

3、你对本节课还有哪些收获？

教师首先组织学生讨论并小结本节课的内容，师作适当点评。最后师生共同总结如下：

基础知识：

⑴归纳二次函数y=ax2的图象特征. ⑵根据题设条件用待定系数法确定二次函数的关系式.

基本思想方法：

⑴根据图象研究性质,体现了数形结合的思想方法.

⑵y=x2 、y=-xy=ax2体现由特殊到一般的思想。

（培养学生反思自己学习过程的意识，充分发挥学生的主体作用，从而培养归纳、整理、表达的能力。）

问题思考：

如图,A、B分别为y=x2上两点,且线段AB⊥y轴，

若AB=6，试求点B的坐标.

（设计“问题思考”有两个意图：

1、让学生带着问题走出课堂，同时

作为课堂教学内容的延伸与能力的拓展。

2、尊重学生的个体差异，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。）

个人介绍

蒋红，第五届全国青年教师优秀课评比一等奖，江苏省优秀课评比一等奖，镇江市中青年骨干教师，镇江市“黄奕聪奖学金”园丁奖，“省优质教学资源送教下乡”主讲教师。

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