《数列的单调性》教学反思

第一部分：课前设计

考情分析：

（一）数列地位

数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一。在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察。因此，在历届高考中，数列作为必考题，其难度属于中、高档难度.

（二）考查动向

数列在高考中始终不变的是一小一大，小题为中难度题，解答题几乎都为难题，考查内容都是关于等比及等差数列的问题，小题几乎都涉及到等比数列，大题几乎都为等差数列，因此复习必须系统地掌握数列知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。

1、关于等差、等比数列的基本量问题，一般是求项、求和，较高的要求是求项数

2、通过递推或探索来判断数列及其性质的问题，常用的方法有构造、累加、累乘法；

3、等差、等比数列与方程、不等式或简单的整数问题的综合。

如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力。

学情分析：

我所带的班级是理科班里基础最薄弱的物理、地理班，学生反应不是很灵活，运算功底也比较差，在接受知识方面比较缓慢，运用知识方面也很呆板。

设计思想：

虽然班级学生基础比较差，但是学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。再加上数列是高考必定考察的内容，而且等级达到C级，因此在数列基本内容复习后，我设计了这节课的内容。

第二部分：教学案

教学目标：

1、知道求数列最大最小项的常见题型；理解数列的单调性与函数单调性的联系；掌握利用函数单调性、数列单调性、等求数列最大最小项的方法。

2、体会从特殊到一般的解题的思想方法；在利用数列单调性求最大最小项的过程中，体会函数思想和数形结合的思想。

3、在探求求较复杂数列的最大最小项的过程中，体验多角度解决问题的方法，提高综合 分析、解决问题的能力，树立学习好数列、学习好数学的自信心，初步养成勇于质疑、 善于反思的品格。

教学重点：求数列最大最小项的方法的综合应用

教学难点：综合分析、解决问题的能力

教学过程设计：

一、复习相关知识

1、复习等差等比数列的单调性

2、总结数列单调性定义：

（1）递增数列

（2）递减数列

二、课堂教学内容

引例：设已知是数列的前项和，若，

则数列中的最小的项是第        项

变式：已知数列的通项公式，若数列是递增数列，

则实数的取值范围是        

例1、已知是数列的前项和，若，

    （1）设，求数列的通项公式；

（2）若数列为递增数列，求实数的取值范围

例2、已知无穷数列的通项公式，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。

课堂练习：已知……（），记，求数列的最小值

课后作业：

1、已知等差数列的前项和满足，，

则使的最小的整数        

2、已知数列，则该数列中的最大项是第           项

3、设，若，且数列是递增数列，

则实数的取值范围是                

4、数列的前项和为，，，等差数列满足，

（1）分别求数列，的通项公式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

5、已知是数列的前项和，若，且满足，

求数列的最小项。

第三部分：课后反思

一、复习数列的相关知识

1、复习等差等比数列的单调性

这个内容由于之前复习过，因此叫了一个学生回答，这个学生回答完全正确。

分析：由于班级实际情况，有同学可能遗忘了的，应该对等比数列的单调性举个例子再体会一下。

2、总结数列单调性定义：

（1）一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面一项（即），这样的数列叫递增数列。

（2）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面一项（即），这样的数列叫递减数列。

分析：这里应该对比一下与函数单调性的不一致之处。这样学生在做课后作业第3题时就不会全部出错，给出的答案是

题目：设，若，且数列是递增数列，

则实数的取值范围是                

学生的答案中的是用得到的，事实上应该是，这就是没有注意到数列的单调性与函数单调性的区别，这是本节课比较遗憾的地方之一。

二、课堂教学内容

引例：设已知是数列的前项和，若，

则数列中的最小的项是第        项

第一个学生的回答很含糊，表述不清，但是说跟有关；

第二个同学才根据前项和的特点发现数列为等差数列，公差为，该数列单调递增，最小项是第项。

分析：对于我们这样一个班级，以后这写小的总结性的知识应该要多提。

变式：已知数列的通项公式，若数列是递增数列，

则实数的取值范围是        

分析：此处的本意是希望学生通过观察通项公式的形式，利用二次函数的对称轴来研究问题，但是由于学生的基础比较差，无法联系上二次函数，因此，需要用下面的引例2过度一下。

引例2、若函数在上单调递增，则实数的取值范围是        

分析：在经过提示后，学生练习上了二次函数的知识，得到了我所需要的错误答案：

，即

在引导正确答案的过程了，我的过程是：对称轴除了满足，能不能有其他情况，（稍微思考后，有同学发现了问题，然后我趁势拿出图形投影）

（1）对称轴，如下图1所示，此时由于与对称轴的距离比与对称轴的距离要远，因此也就有，也不能保证数列是递增数列。从而，此种情况也不成立！

（2）对称轴，如下图2所示

，此时由于 和 与 距离相等，故 ，不能保证数列 是递增数列。从而，此种情况不成立！

（3）对称轴，如右图3所示，显然，与对称轴的距离比与对称轴的距离要近，此时显然有，且以后各点在二次函数的单调增区间对应的图像上，

从而也可以保证数列是递增数列！

 

图1                            图2                           图3

但是讲完之后，我觉得如果按照下面的顺序引导，会更合理：

提问：对称轴除了满足，能不能有其他情况？

比如，行不行？

学生画图后肯定可以发现不行。再提问，那对称轴还有没其他情况，

学生肯定会答，还有，然后按照下面的顺序投影个图形

（1）对称轴，如下图1所示

，此时由于 和 与 距离相等，故 ，不能保证数列 是递增数列。从而，此种情况不成立！

（2）对称轴，如下图2所示，此时由于与对称轴的距离比与对称轴的距离要远，因此也就有，也不能保证数列是递增数列。从而，此种情况也不成立！

（3）对称轴，如右图3所示，显然，与对称轴的距离比与对称轴的距离要近，此时显然有，且以后各点在二次函数的单调增区间对应的图像上，

从而也可以保证数列是递增数列！

 

图1                            图2                           图3

这样更符合学生的思维习惯。

提示：

这种用图像解决问题的方法有很大的局限性，因此我们可以借助函数单调性的思想，利用数列单调性定义求解，从而避免繁琐的讨论。

因此有如下解法：

为递增数列

=

          =对任意正整数恒成立

即对任意正整数恒成立

也就是只要大于的最大值即可

又当时

小结：这种作差法具有一般性，所有知道通项公式的数列的单调性都可以用这种方法来完成。

分析：在这里，遗忘了介绍作商法，是本节课比较遗憾的地方之二。

例1、已知是数列的前项和，若，

    （1）设，求数列的通项公式；

（2）若数列为递增数列，求实数的取值范围

分析：由于最近对配凑等比数列的训练比较多，这道题目的第一问学生基本都解答出来了，所以我就投影了一个学生的答案，一带而过了，没有跟学生总结，为什么设，导致课后作业的第5题学生不能顺利解答：

题目：已知是数列的前项和，若，且满足，求数列的最小项。

分析：学生做不出来的主要原因是在化简到这个步骤时进行不下去了，（两式作差后得到），他凑不出等比数列{}，如果上课提示一下那个数列中的怎么来的，这个题目学生应该能够解决

例2、已知无穷数列的通项公式，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。

分析：这个题目投影了学生的两种解答过程：

方法一：解：假设有最大项，设为

设：，即，两边约分，解得，

因此最大的项为第、两项

方法二：，

时，最大的项为第、两项

上课时，我只注意纠正了第二种解法要补充以下过程：令，解得

令，解得

令，解得

……，……最大的项为第、两项

没有注意到两种解法的共同注意点，我们解出的值外，还要注意回答时确定出的值，

如果本题用，或者用来计算，解出来的值就不一样，但是结果是一样的，所以我们回答时一定要注意，或者就规定学生用作最大、最小项

课堂练习：已知……（），记，求数列的最小值

解：，

则

为递增数列

中的最小项为

分析：本题是在讲完变式后让学生紧接着训练的，在编制学案时，本题的顺序比较靠后，幸好及时调整，让学生在接受一个知识后及时得到了训练。

第四部分：对复习课的一点感想

一、认真分析学生学习数学的能力和状态，做好分层教学。

二、注意回归课本。回归课本,不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上。

三、复习课中的例题选择要注意以下几点1、例题的选择要有针对性。即要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状。2、例题的选择要有可行性。即应在学生“最近发展区”内进行选择,不宜过易也不宜过难,要把握好“度”。选择的例题可分步设问,由浅入深,由易到难,使学生掌握新东西,提高解题能力。适当安排综合提高型和创新应用型习题,有利于程度较好的学生的学习和提高。3、例题的选择要有典型性。例题的安排要有非常强的示范性,再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。

四、高三复习注意到低起点、重探究、求能力的同时，还注重抓住分析问题、解决问题中的信息点、易错点、得分点，培养良好的审题、解题习惯，养成规范作答、不容失分的习惯。

五、切实重视基础知识、基本技能和基本方法。众所周知，近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，因此忽视基础知识、基本技能、基本方法的教学，会使学生在考试时因为解题速度的原因无法完成全部试卷的解答。可见，在切实重视基础知识的落实中同时应重视基本技能和基本方法的培养。

总之，在新课程背景下的数学课堂教学中，要提高学生在课堂40分钟的学习效率，要提高教学质量，我们就应该多思考、多准备，充分做到用教材、备学生、备教法，提高自身的教学机智，发挥自身的主导作用。

 

第二篇：数列教学反思

数列教学反思

20##-05-26 10:53:45|  分类： 默认分类 |  标签： |字号大中小 订阅

一、教学背景

1.教材

（1）数列是函数的延伸，是函数性质特殊情境下的再现，同时也是函数思想的再应用。“等比数列”是在复习了函数、数列的概念、等差数列的基础上所复习的又一种重要数列。

（2）等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，主观题多是考察等比数列的知识交汇题或实际应用问题，解决问题时往往涉及到数学思想的应用，例如递推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等。

2.学情

通过第一轮复习，学生对函数、数列概念、等差数列有了系统的认识，这是复习“等比数列”的重要基础和能力起点。同时，学生刚复习完等差数列，有助于对“等比数列”的类比迁移和同化。

3.教学目标

(1)知识与技能：熟练掌握等比数列的相关概念和基本公式、基本性质，并能灵活运用定义、公式、性质解决相关问题。

(2)过程与方法：通过自主探究、合作交流、反思质疑，体验数学发现和再创的过程。

(3)情感态度和价值观：通过自主探究，养成独立思考问题的能力；通过合作交流，养成良好的合作交流素养；通过反思质疑，养成批判性的思维品质。

4.教学重难点

教学重点：等比数列的相关概念和基本公式、基本性质。

教学难点：灵活利用等比数列的定义、公式、性质解决相关问题。

二、 教法和学法

建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，学生应与一定的知识背景即情景相联系，在实际情景下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且容易迁移到陌生的问题情景中。

按照建构式教学法的思想，围绕重难点，不断设置问题情境，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，不断暴露思维障碍和认知缺陷，主动建构、优化知识网络。

1.坚持“知识和能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，博采启发教学法、引探教学法等教学法的长处，以教师为主导，学生为主体，通过例题、变式训练，及时归纳、小结。

2.重视学生的主体参与，引导学生全员、全过程参与，教学中的每个环节，都应通过学生的自主、合作、探究来完成；引导加强师生、生生之间的多向交流，不断反思质疑，深化认识。

等差数列教学反思

20##-03-21 20:59:51|  分类： 默认分类 |  标签： |字号大中小 订阅

等差数列这节我们已经学习完了，回过头清理一下，感觉学生对定义和通项公式掌握不错，对一些基本问题，能按照要求转化为首项和公差来处理；能使用简单的性质；对五个基本量之间的转化比较灵活；课堂展示、质疑气氛活跃。重要的一个原因是数列主要解决是数的问题，求数列的通项实质是寻找一列数所具有的规律，这一部分与学生以前学过的找规律问题类似，因而学起来轻松有兴趣，他们也有对其进行探究的热情，如，学生由定义推导出通项公式a_n=a₁+(n-1)d , a_n-a_m=(n-m)d ,若m+n=p+q , 则a_n+a_m =a_p+a_q 等。培养了学生的推理论证能力和思维的严谨性。学生解题具有一定的规范性。

但是也存在着一些不尽人意的地方，学生对题目中的条件不能用在恰当的位置，计算能力有待进一步培养，对证明一个数列是等差数列，受课本例题的影响，过程复杂，写成a_n+1-a_n= a_n-a_n-1，没有抓住定义的内涵，将问题的形式简单化，写成a_n+1-a_n=常数，因而在做题时出现3a_n+1-3a_n=2，这样的式子看不出此数列是等差数列。对等差数列前n项和的含义的理解不够透彻，导致奇数项和与偶数项和不能正确表达。对求等差数列前n项的最值问题，有求和公式求最值比较熟练，但从通项研究最值问题不够熟练。针对以上问题，我们将在后续的等比数列的教学中有意识地进行针对性的训练，力求使学生对重点内容和重要方法熟练掌握。

等比数列教学反思

20##-05-19 15:07:13|  分类： 默认分类 |  标签： |字号大中小 订阅

                                                                                                                                                 马德富

        等比数列通项公式是重要内容，应使学生达到掌握应用的层次，所比教学目标定位在能推导公式，并能熟练解决求项数、公比、通项等问题。能力上要求培养学生的归纳方法，推广一些结论。这些是学习数列的思想方法，学生第一次接触，教学要遵循从易到难，循序渐进的过程。

       很多学生认为数学很重要，但很难，太枯燥，太抽象，许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不提问题，也不知如何提问题，对数学有恐惧心理，没有信心，这样怎能学好数学。采用“数学情境与提出数学问题”学习方式，便学生能主动思考，从过去的被动接受知识过渡到主动探索。

       课程练习是教学过程中重要一环，起到及时巩固反馈了解作用。学生完成练习后，增加小结一环，可以帮学生提高认识，归纳方法。整合知识作用。叫学生分析通项公式中几个量，只要知道了三个量就可求另一个量。同时，也告戒学生养成解题后反思回顾的习惯，培养良好的学习习惯。