人教B版必修三“3.3.1几何概型”教案

   

《几何概型》教案

一．课题：几何概型

二．课型：新授课

三．课时：一课时

四．教学内容分析：

几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的

延伸。几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。课本从两者的比较入手，通过分析两个简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。

五．学情分析：

学生学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有了一定的了解，对概率的求法也有了一定的方法。现在进行几何概型的学习，可以通过对比进行学习，通过分辨两种概型的区别与联系，可以达到学习几何概型。

六．教学目标：

1．知识与技能：

（1）通过本节课的学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典概型的区别。

（2）通过学生玩转盘游戏，分析得出几何概型概率计算公式。

（3）通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。

2．过程与方法：

（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3．情感、态度与价值观：

通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。

七．教学重点与难点：

重点：（1）几何概型概率计算公式及应用。

        （ 2）如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。

难点：正确判断几何概型并求出概率。

八．教学策略与方法

教学方法：“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。

九．教学资源与教学手段：

1．教学资源：计算机及多媒体教学．

2．教学手段：

（1）    发现教学法，通过师生共同研究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系。

（2）    通过模拟试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 

十．教学过程：

 【知识回顾】

古典概型的特点及其概率公式：

【课前练习】

(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷色子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？

学生分析：色子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可能性的，因而可以利用古典概型；

学生求解：

（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?

学生分析：

1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；

2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；

学生求解：法一（利用B区域所占的弧长）：

法二（利用B区域所占的圆心角）：

法三（利用B区域所占的面积）：

【问题猜想】

⑴两个问题概率的求法一样吗？若不一样,请问可能是什么原因导致的？                                                                                                     

    ⑵你是如何解决这些问题的？                                          

    ⑶有什么方法确保所求的概率是正确的？

学生对比分析：

⑴ (赌博游戏)：色子的六个面上的数字是有限个的，且每次投掷都是等可能性的，因而可以利用古典概型；

转盘游戏：指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指的方向却是无限个的，因而无法利用古典概型。

⑵借助几何图形的长度、面积等分析概率；

⑶对转盘游戏进行模拟试验，确保所求的概率是正确的。

【统计验证】

计算机模拟试验演示，分析验证所求概率的正确性。

【新知学习】

1.几何概型的定义：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2、几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

3、几何概型求事件A的概率公式：

4、古典概型与几何概型的区别：

【对比迁移】

下列概率问题中哪些属于几何概型？

⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。

⑵随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。

⑶箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？

⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率。

学生分析：对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型。

【巩固应用】

（1）          一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率

分析：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何概型。

 

求解：

 

（2）  平面上画了一些彼此   相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求这枚硬币不与任一条行线相碰的概率。

分析：设事件A:“硬币不与任一条平行线相碰”。为了确定 硬币的位置。由硬币的中心O向靠的最近的平行线引垂线OM，垂足为M

 

计算：

                                                                                                

十一．板书设计：

十二．、教学反思：

几何概型是新课程新增加的内容，我认为增加几何概型的原因有两个：一是使概率的公理化定义更完备，即概率的统计学定义、古典定义、几何定义；二是几何概型在这里只是要求了解，程度较低，所以学生可以接受；三是因为在今后的应用中能体现建模的思想。

我认为作为新增内容，几何概型在高考中必然要有所体现，但是大纲要求仅为了解、以及会简单的应用，所以会在填空或选择题中出现。而向这样的条件不清晰，甚至基本事件不是等可能的几何概型，需要讨论的情况一定要避免出现。

 

第二篇：(教案1)3.3几何概型_20xx020xx91044359

课题：几何概型（Geometric Probability）

教学目标：

1.了解几何概型的定义

2.会求简单的几何概型的概率问题

3.会用比较类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力

教学重点

关于几何概型的概率计算

教学难点：

准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。

教学过程：

一、创设情景，引入新课

玩一个转盘游戏

提问：在转盘游戏中，当指针停止时，为什么指针

指向代号为B的区域的可能性大？

（因为代号为B的区域的面积大，

所以指针落在代号为B的区域可能性大。）

二、学生活动（分组讨论）

问题1．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

问题2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛

靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运

动员在70m外射。假设射箭都能中靶，且射中

靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的

概率有多大？

 

分析1:在问题1中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.

如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段落的长度等于绳子长的,于是事件A发生的概率P(A)=

分析2:在问题2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.

如图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为的大圆内,而当中靶点落在面积为的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率为P(B)=

归纳:在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解.那怎样处理呢?

三、数学建构

几何概型定义

1.从上面的分析和解题可知,对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

古典概型的本质特征：

1、样本空间中样本点个数有限，

2、每一个样本点都是等可能发生的。

将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。

几何概型的本质特征：

1、有一个可度量的几何图形S

2、试验E看成在S中随机地投掷一点

3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中 

2、几何概型的计算

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为:

指出:D的测度不能为0,其中“测度”的意义依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.

四、数学应用

例1、一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。

略解：S=，A=[2，3]，L(S)=5-0=5,L(A)=3-2=1

例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.

分析:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的,于是豆子落入圆上的概率应等于圆面积与正方形面积的比.

解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

答:豆子落入圆内的概率为

例3.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?

分析:病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的,取得10mL种子可视作区d,所有种子可视作区域D.

解:取出10mL种子,其中“含有病种子”这一事件高为A,则

答:含有麦锈病种子的概率为0.01

五、回顾反思

本节课我们首先从游戏中提出问题，然后由特殊到一般去分析问题，再解决问题。

我们还学习了几何概型的定义及关于几何概型问题的概率计算公式：

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率为:

几何测度--------指长度、面积或体积

六、作业布置

1、练习1、2、3

2、思考：一个随机事件的概率经过计算等于 e – 2 ，这可能是古典概率问题还是一个几何概率问题？