2.1勾股定理（1）教学设计及反思

江西省东乡县实验中学  黄树华

一、教材分析

（一）教材的地位与作用

勾股定理（1）是九年制义务教育初级中学教材北师大版七年级第二章第一节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

（二）教学目标

 基于以上分析和数学课程标准的要求，制定了本节课的教学目标。

1、知识目标：了解勾股定理的文化背景，掌握勾股定理的内容，体验勾股定理的探索过程及定理简单应用，了解利用拼图验证勾股定理的方法；

2、能力目标：让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，在定理的证明中培养学生的拼图能力，体会“从特殊到一般”和“数形结合”的数学思想；

3、情感目标：通过对勾股定理历史的了解，发展学生的探究意识和合作交流的良好学习习惯，感受数学价值，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，培养他们的民族自豪感；

（三）教学重、难点

重点：探索勾股定理及定理的简单应用；难点：用拼图方法证明勾股定理；

二、学情分析

学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，更希望教师满足他们的创造愿望。

三、教学策略

本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程。

四、教学流程

（一）创设情境，引入课题

活动1：

问题（1）：如图1，某年10月份的一次强台风把小明家门前的一棵5米高的大树从2米处折断了，折断的树枝会不会打到停在大树旁2.5米处的小轿车呢？为什么？（师生互动：教师提出问题，学生思考。）

问题（2）：如图2，20##年国际数学大会在我国北京召开，它是世界上最高水平的数学科学学术会议，被誉于数学的“奥运会”，这就是我们的会徽。该图案是由哪些图形拼成的？它有什么含义呢？（师生互动：教师解说并提出问题，学生观察图案回答问题，教师解说，引出课题：2.1勾 股 定 理（1））

设计意图：以实际问题为切入点，反映了数学来源于现实生活，数学是从人的需要中产生的这一认识论的基本观点，同时也便于激发学生的学习热情；从现实生活中提出“赵爽弦图”，展现我国古代对勾股定理的研究成果，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感。同时为探索勾股定理提供背景材料。

（二）实验操作，模型构建

1、探索勾股定理

活动2：

问题（3）：如图3，相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边之间的某种数值关系：

（1）我们也来观察一下，你有什么发现？

（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点？如图4

师生互动：教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现学们在网格上任意画一个直角三角形，类比上述方法探索直角三角形三边的数量关系。（特殊直接三角形通过数格子法、一般的直角三角形通过割补法探索三边关系）

师生互动：教师布置、巡视，引导，学生动手探索，得出结论。

2、同学们由以上探索，依据该图形，能否用一句话概括出以上结论呢？

命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么；（师生互动：教师提问，学生概括回答，教师板写结论。）

归纳勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a²＋b²=c² ，这个定理叫勾股定理。

3、证明勾股定理

活动5：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a²＋b²=c²。

⑴让学生课前准备不同颜色的四个全等的直角三角形，以小组为单位，用拼图的方法验证这个命题。(如图5)

师生互动：教师组织学生拼图验证结论，巡视参与并引导提示：①所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示；②所拼图形的面积要用两种不同方法表示，并用等号连结，化简验证；③学生小组交流，动手拼图验证结论，小组代表展示实践结果；④师生共同评价，概括归纳勾股定理。

⑵发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑶勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代数学家之手。

⑷通过“谈一谈”让学生进一步理解，利用面积法探索出勾股定理。（师生互动，进一步了解勾股定理的结论的合理性）

利用( 面积 )法，探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理：即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。A的面积+B的面积=C的面积，即a²+b²=c².（如图6）

设计说明:

1.探索定理采用面积法，为学生创设一个和谐、宽松的情境，让学生体会数形结合及从特殊到一般的思想方法．

2.让学生人人参与，注重对学生活动的评价，一是学生在活动中的投入程度；二是学生在活动中表现出来的思维水平、表达水平.

(三)知识拓展，巩固新知

活动6：

练习：1、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

若a=12,b=5,则c等于多少？若a=6,c=10,则b等于多少？若b=7，c=8则a等于多少？

师生互动：学生动手操作；教师巡视引导，展示学生解答结果；师生共同评价，归纳定理应用注意事项。

2、如图7，某年10月份的一次强台风把小明家门前一棵5米高的大树从2米处折断了，折断的树枝会不会打到停在大树旁2.5米处的小轿车呢？为什么？

师生互动：教师引导学生分析题意，思考，帮助学生数学建型，并提问学生用什么办法来判断？学生思考、回答、动手操作解决问题；教师巡视引导，展示学生解答结果，师生共同评价。

（四）课时小结，归纳新知

请同学畅所欲言谈谈本节课的收获；师生互动：教师提出问题，学生回答，教师补充共同归纳。

（五）感悟收获，布置作业

课本习题2.1第1、2题

思考题：

1、如表一，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

2、某楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼房高3米，消防队员搬来一架6.5米长的梯子，要求梯子的底部离墙脚2.5米，请问消防队员能否顺利进入三楼灭火？

六、板书设计

备用练习：

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=       。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=       。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=       ，b=       。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为         。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为          。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为        ，面积为          。

2．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则：

⑴c=               。（已知a、b，求c）

⑵a=               。（已知b、c，求a）

⑶b=               。（已知a、c，求b）

3．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

4．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

5．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

七、教学反思

新课程标准要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教学设计中注重了以下几点：

一、让学生主动想学

通过欣赏20##年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案，让学生了解我国古代辉煌的数学成就，引入课题。接下来，让学生欣赏传说故事：相传2500年前，毕达格拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。通过故事使学生明白：科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的；生活中处处有数学，我们应该学会观察、思考，将学习与生活紧密结合起来。这样，一方面激发学生的求知欲望，另一方面，也对学生进行了学习方法指导和解决问题能力的培养。

二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究

首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。

三、教会学生思维，培养学生多种能力

课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力……

四、注重了数学应用意识的培养

数学来源于实践，而又应用于实践。因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。

整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在例举勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔。

 

第二篇：勾股定理教学设计[1]

教 学 设 计

课题：  18.1勾 股 定 理（第1课时）

教师：  刘荣

单位：  温香镇第一初级中学

时间：  20##年5月

《18.1 勾 股 定 理（第1课时）》教学设计

【教材分析】

勾股定理是数学中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系.由勾股定理及其逆定理，能够把直角三角形中“形”的特征转化为“数”的关系，因此它可以解决直角三角形中的许多计算问题.勾股定理不仅体现出完美的“形数统一”思想，而且其成为数学上最引人注目的定理之一．

对学生来说，用面积的“割补”证明一个定理应该是比较陌生的，尤其觉得不像证明，因此，勾股定理的证明是一个难点.但是，八年级学生经过一年的几何学习，已具有初步的观察和逻辑推理能力，他们更希望独立思考和发表自己的见解.因此，教师要创设一种便于学生观察、思考、交流的教学情境，激发兴趣，培育他们学习的热情．

【教学目标】

知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程．

数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

解决问题：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．

2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果．

情感态度：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．

2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．

【教学重点与难点】

重点：探索和证明勾股定理.

     难点：用拼图的方法证明勾股定理.

【课型】新授课.

【教具】多媒体课件（演示文稿）.

【教学方法】讲授法、讨论法.

【教学过程】

[活动1]引课

教师活动：以中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头为引，介绍周公向商高请教数学知识时的对话，为勾股定理的出现埋下伏笔.

周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.既方其外，半之一矩，环而共盘.得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩.故禹之所以治天下者，此数之所由生也.”

           提问：你听说过“勾股定理”吗？

教师展示图片并介绍第二情景

    毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性．

（1）现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？

（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？

 

（3）你有新的结论吗？

学生自己画图，并观察图片，分组交流讨论．

（安排学生代表上讲台板演）

[活动2]教师引导学生总结：

等腰直角三角形的两条直角边平方的和等于斜边的平方．

在独立探究的基础上，学生分组交流．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积．

学生活动：每组派代表分别自己总结的观点，在教师的引导下，慢慢发现能否将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系，并用自己的语言叙述出来；

用弯曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，板书勾股定理，进而给出字母表达式．

[活动3]

      教师多媒体展示：20##年在北京召开了第24届国际

数学家大会，它是最高水平的全球

性数学科学学术会议，被誉为数学

界的“奥运会”．这就是本届大会的

会徽的图案．

 你见过这个图案吗？

教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在

证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”

是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面，我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．

（1）以直角三角形ABC的两条直角边a、b为边作两个正方形．你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？

（2）面积分别怎样表示？它们有什么关系呢？

教师解释文言原话：「按弦图，又可勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘为中黄实，加差实，亦称弦实」.

再用现在的数学符号，分别用a、b、c记勾、股、弦之长，赵爽所述

即 2ab+(a-b)²=c²， 化简之得a²+b²=c².

学生活动：学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接．

[活动4] 教师介绍刘徽的“青朱出入图”

      学生类比的从面积的角度做出合理的解释和说明.

 

[活动5] 随堂练习

1、如图：一块长约80 m、宽约60 m的长方形草坪，

被几个不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，

这种情况在生活中时有发生.请问同学们：

（1）这几位同学为什么不走正路，走斜“路”？
（2）他们知道走斜“路”比正路少走几步吗？

（3）他们这样做值得吗？适时对学生进行行为规范教育.

2、古代有关勾股定理的典型问题“红莲出水”

波平如镜一湖面，半尺高处出红莲；

鲜艳多姿湖中立，猛遭狂风吹一边.

红莲斜卧水淹面，距根生处两尺远；

渔翁发现忙思考，湖水深浅有多少？

本课小结：通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你认为还有什么要继续探索的问题？

学生谈体会．教师进行补充、总结，为下节课做好铺垫．

今天，我们学习 了勾股定理“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”.从几何上看，勾股定理是讲：以RtΔ 斜边为一边的正方形的面积等于分别以两直角边为边的正方形的面积之和.

我国古代学者，就是用这种思路来证明勾股定理的.

勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理.它为利用计算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径.

作业布置：

利用网页找到有关勾股定理的丰富的内容，收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流．