透视２０１２年高考 反思归纳

——例谈函数与导数问题的有关解题思想

嘉兴三中 顾红俏

论文摘要：函数与导数有关的综合问题在高考试卷中属于压轴题，多数学生都为之畏惧．作为教师在平时对学生的引导与训练显得尤为重要．要培养学生的函数思想，极限思想，等价转化思想，分类讨论思想，倒数曲线思想，数形结合思想，洛比达法则思想．透过高考真题，反思归纳，概括总结，达到举一反三、触类旁通的效果．

关键词：函数，导数，等价转化，分类讨论，反思归纳．

自从导数进入高中数学教材之后，它给传统的中学数学内容注入了生机和活力．它作为一种处理数学问题的重要工具，有着十分广泛的应用．在高考试卷中，函数与导数的问题一直是让学生感到棘手和困难的问题，甚至有些学生束手无策．如果在平时学习和复习备考中，教师和学生都能以赏析的眼光来看待全国各省市高考真题，不断归纳总结，概括题型与解题方法，便会达到事半功倍的效果．

现以２０１２年部分省市的高考真题为例，谈一谈赏析高考，反思归纳．

题目１（２０１２年高考新课标文２１题）设函数f?x??ex?ax?2

（Ⅰ）求f?x?的单调区间

(Ⅱ)若a?1，k为整数，且当x?0时，?x?k?f

解法：（Ⅰ）f?x?的定义域为R，f

若a?0，则f///?x??x?1?0，求k的最大值 ?x??ex?a， ?x??0，所以f?x?在???,???上单调递增．

/若a?0，则当x????,lna?时，f

单调递增．

(Ⅱ)由于a?1，所以?x?k?f/当x??lna,???时，f/?x??0，所以f?x?在???,lna?单调递减，在?lna,????x??0；?x??x?1??x?k??ex?1??x?1

故当a?0时，?x?k?f

令g?x??

则g?x??//?x??x?1?0等价于k?x?1e?1x?x(x?0)，① x?1ex?1?x， ?xex?1

ex?12?1?exex?x?2x?e?12?．由（Ⅰ）知，函数h?x??ex?x?2在?0,???上单调递增，而h?1??0，h?2??0，所

以h?x?在?0,???上存在唯一的零点，故g/?x?在?0,???上存在唯一的零点．设此零点为?，则???1,2?．

当x??0,??时，g/?x??0；x???,???时，g/?x??0，

所以g?x?在?0,???上的最小值为g???．又由g/?x??0可得e????2，

所以g??????1??2,3?，由于①式等价于k?g???，故整数k的最大值为2．

赏析：第（Ⅰ）题是常规题目，通过导函数的正负情况就可以求出原函数的单调性．难点是：分类讨论．对学生而言，分类的难点在于“为什么要这样分类？”，本题分类的原因是ex?0恒成立，所以考虑?a?0和?a?0，即a?0和a?0这两类.第（Ⅱ）题，难点1：由分离参数思想把?x?k?f/?x??x?1?0（x?0）转化成k?x?1

e?1x?x(x?0)恒成立的问题，也x?1?x?1??x的最小值.难点2：求函数g?x?的最小值g???的取值范围．通过?x?，继而研究新的函数g?x??x就是k??xe?1e?1??min

g/?x??0得e????2，也就是e?可以用??2来替换，所以有g????

的难点与技巧． ??1e?1?????1??2?1???1????2,3?，这是计算中

反思归纳：分类问题要引导学生找出分类的依据，分类要全面细致，不能重复，也不能遗漏，通过参数的分类的交集可知是否重复，通过参数的分类的并集可知是否遗漏．关于恒成立的问题在高考试卷中经常出现，如k?f?x?恒成立，即k??f?x??min；k?f?x?恒成立，即k??f?x??max，这些想法要经常向学生渗透，使之理解并学会灵活运用．函数与导数问题的解决过程中，计算也是难点，要善于前后观察，化繁为简，从而使问题得以顺利解决．

题目２（２０１２年高考全国文２１题）已知函数f(x)?

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； 13x?x2?ax 3

（Ⅱ）设f(x)有两个极值点x1,x2，若过两点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y?f(x)上，求a的值．

解法：（Ⅰ）f/?x??x2?2x?a??x?1??a?1， 2

（ⅰ）当a?1时，f/?x??0，且当a?1,x??1时，f/?x??0，所以f?x?是R上的增函数． （ⅱ）当a?1时，f/?x??0有两个根

x1??1??a，x2??1??a 当x???,?1??a时，f/?x??0，f?x?是增函数． 当x??1??a,?1??a时，f/?x??0，f?x?是减函数． 当x??1??a,??时，f/?x??0，f?x?是增函数．

（Ⅱ）由题设知，x1,x2是方程f/?x??0的两个根，故有 ??????

a?1，x12??2x1?a,x22??2x2?a．

13112222x1?x1?ax1?x1??2x1?a??x1?ax1?x1?ax1 3333

122a???2x1?a??ax1??a?1?x1?． 3333

2a同理，f?x2???a?1?x2? 33

2a因此直线l的方程为y??a?1?x?． 33因此f?x1??

设l与x轴的交点为x0,0，得x0?

32??a． 2a?1a21?a??a?a22?12a?17a?6 f?x0????????33?2a?1??2a?1?2a?124a?1??

由题设知，点x0,0在曲线y?f?x?上，故由f?x0??0，解得a?0，或a???23，或a?． 34

2赏析：第（Ⅰ）题的解法与题目１的第（Ⅰ）题相类似，难点仍然是分类．该题的分类依据是：在f/?x???x?1??a?1

中，?x?1??0恒成立，因此考虑a?1?0和a?1?0，即a?1和a?1两类．第（Ⅱ）题的难点１：计算化简，能把2

132a222f?x1??x1?x1?ax1化成?a?1?x1?的关键是降次，由前面计算可知x1??2x1?a,所以把f?x1?中的x1代换成333

2a2a2a?2x1?a．难点２：由f?x1???a?1?x1?，f?x2???a?1?x2?可知直线l的方程为y??a?1?x?，原因是形同变333333

量异．

反思归纳：方程的思想，函数的思想，代换的思想在解题中常见，在平时的练习中要善于归类，达到举一反三的效果． 题目３（２０１２年高考湖南文２２题）已知函数f?x??ex?ax，其中a?0.（Ⅰ）若对一切x∈R，f?x??1恒成立，求a的取值集合；（Ⅱ)在函数f?x?的图像上去定点A（x1, f?x1?）,B(x2, f?x2?)(x1?x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使f?(x0)?k恒成立.

解法：（Ⅰ）f/?x??ex?a，令f/?x??0得x?lna．

当x?lna时f/?x??0，f?x?单调递减；当x?lna时f/?x??0，f?x?单调递增，

故当x?lna时，f?x?取最小值f?lna??a?alna．于是对任意x?R，f?x??1恒成立，当且仅当a?alna?1． ① 令g?t??t?tlnt，则g/?t???lnt．当0?t?1时，g/?t??0，g?t?单调递增；当t?1时，g/?t??0，g?t?单调递减．

故当t?1时，g?t?取最大值g?1??1，因此，当且仅当a?1时，①式成立．

综上所述，a的取值集合为??1

f?x2??f?x1?ex2?ex1（Ⅱ)由题意知，k???a x2?x1x2?x1

ex2?ex1ex1令??x??f?x??k?e?，则??x1???ex2?x1??x2?x1??1， x2?x1x2?x1/x??

ex2??x2??ex1?x2??x1?x2??1． x2?x1??

令F?t??et?t?1，则F/?t??et?1．

当t?0时，F/?t??0，F?t?单调递减；当t?0时，F/?t??0，F?t?单调递增．

故当t?0时，F?t??F?0??0，即e?t?1?0．从而etx2?x1??x2?x1??1?0，ex1?x2ex1?0，??x1?x2??1?0，又x2?x1

ex2所以??x1??0，因为函数y???x?在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在x0??x1,x2???x2??0．?0，x2?x1

使??x0??0，即f/?x0??k成立．

赏析：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，不等式恒成立问题等，考查运算能力，分类讨论思想，函数与方程思想等数学思想．第（Ⅰ）题利用导函数法求出f?x?最小值f?lna??a?alna对一切x?R，f?x??1恒成立转化为f?x?min?1，从而得出a的取值集合．第（Ⅱ)题在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断，实在是妙．

反思归纳：函数与方程的思想在解决函数与导数的综合问题中经常使用．第（Ⅰ）题可以使用参数分离法，由ex?ax?1，

得ax?ex?1，接下来分三类讨论：x?0,x?0和x?0，分别求出a的范围再求交集即．在这过程中也会有难点，还需要有极限思想，学会倒数曲线，如果有机会可以向学生介绍洛比达法则，这样可以使问题从多种角度都可以解决，条条大路通罗马．第（Ⅱ)题其实际是大学数学中的拉格朗日中值定理的另一种说法，证明方法是构造函数法，对高中学生来说，＂构造＂是很难想到的．透过本题可以看到，大学数学中的一些解题思想和技巧也会在今后的高考中再次出现，这就要求教师经常向学生渗透一些大学数学中的证题技巧和解题思想，如极限思想，闭区间套思想，洛比达法则思想等，使学生的解题思想站在一个新的高度，有一览众山小的感觉．

题目４（２０１２年高考湖北文２２题）设函数f?x??axn?1?x??b?x?0?，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f?x?在（1，f?1?）处的切线方程为x+y=1.（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求函数f?x?的最大值（Ⅲ）证明：f?x?<

解法：（Ⅰ）因为f?1??b，由点?1,b?在直线x?y?1上，可得1?b?1，即b?0． 1. ne

因为f/?x??anxn?1?a?n?1?xn，所以f/?1???a．又因为切线x?y?1的斜率为?1，所以?a??1，即a?1，故a?1,b?0

n?n??x?，令f/?x??0，解得x?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f?x??xn?1?x??xn?xn?1，f/?x???n?1?xn?1?，即f/?x?在n?1?n?1?

?0,???上有唯一零点x0?n?n??n?/,???上，f/?x??0，故f?x?单调．在?0,?上，f?x??0，故f?x?单调递增；在?n?1?n?1??n?1?

nn?nn?n??n??递减．因此f?x?在?0,???上的最大值为f?． ?????1???n?1n?1n?1n?1??????n?1

t?11?t?0?．在?0,1?上，?/?t??0，故??t?单调递减；而在?1,???上，??t?0?，则?/?t??1?1

tttt

1?/?t??0，故??t?单调递增．因此??t?在?0,???上的最小值为??1??0，所以??t??0?t?1?，即lnt?1??t?1?． t（Ⅲ）令??t??lnt?1?

1n?11?n?1?令t?1?，得ln，即ln???nnn?1n??n?1?n?1??lne，所以??n??n?1nn1?e，即．由（Ⅱ）知?n?1n?1ne

nn1，故所证不等式成立． f?x???nen?1赏析：本题考查多项式函数的求导的几何意义，由导函数判断原函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式的综合应用问题．考查转化与化归，分类讨论的数学思想，以及运算求解的能力．第（Ⅰ），（Ⅱ）题比较容易解决．第（Ⅲ）题证明不等式，通过构造函数使得问题得以解决．难点是：这个函数??t??lnt?1?1?t?0?是怎样构造出来的？其实这是数学解t

?e? nn1?n?题重要思想之一：等价转化思想．????n?1ne?n?1?n?11?n?1?????e?n?n?1

?n?1?lnn?1?1?lnn?1?nn111?1??ln?1????lnt?1??t?1?? n?1t?n?n?1

1lnt?1??0，通过这一系列的等价转化，便构造了解决问题的函数． t

反思归纳：导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等．用导数证明不等式通常通过构造函数来实现，函数的构造通常通过以下几种方式产生：移项即可产生；变形之后产生；转化途中产生；挖掘隐含条件产生；借助已知函数产生．难点是化成何种函数才能达到证明结论的需要，通常是化成熟悉的函数或化成单调性容易判断的函数．教师在教学中要有意识的进行含有ex,lnx等基本初等函数的求导运算及不等式证明等综合应用问题的训练，使学生达到对这一类问题不陌生或者熟练的程度．

题目５（２０１２年高考陕西文２１）设函数fn(x)?xn?bx?c

（Ⅰ）设n?2，b?1,(n?N?,b,c?R) ?1?c??1，证明：fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点； ?2?

（Ⅱ）设n为偶数，f(?1)?1，f(1)?1，求b+3c的最小值和最大值；

（Ⅲ）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有|f2(x1)?f2(x2)|?4，求b的取值范围．

解法：（Ⅰ）当b?1,c??1，n?2时，f?x??xn?x?1．

?1??11??1??f??f?1???n???1?0，?f?x?在?,1?内存在零点． 2??2??2?2?

?1??1?又当x??,1?时，f/?x??nxn?1?1?0，?f?x?在?,1?上是单调递增的． ?2??2?

?1??f?x?在?,1?内存在唯一零点． ?2?

??1?f??1??1?0?b?c?2（Ⅱ）由题意知，?，即?．把b看成是c的函数，再由线性规划的知识可得b?3c在点?0,?2?取

??1?f?1??1??2?b?c?0

到最小值?6，在点?0,0?取到最大值0．

?b?3c到最小值为?6，最大值为0．

（Ⅲ）当n?2时，f?x??x2?bx?c，对任意x1,x2???1,1?都有f2?x1??f2?x2?4等价于f?x?在??1,1?上的最大值与最小值之差M?4，据此分类讨论如下： ①当b?1，即b?2时，M?f?1??f??1?2b?4，与题设矛盾． 2

2b?b??b?②当?1???0，即0?b?2时，M?f?1??f??????1??4恒成立． 2?2??2?

b?b??b?③当0???1，即?2?b?0时，M?f??1??f??????1??4恒成立． 2?2??2?

综上所述，?2?b?2．

赏析：本题考查函数的零点，代数式的最值，参数的取值范围．第（Ⅰ）题通过单调函数的零点存在性定理较容易解决．第（Ⅱ）题利用函数思想和线性规划知识解决问题．第（Ⅲ）题利用等价转化思想，对任意x1,x2???1,1?，有2

f2?x1??f2?x2??4?f2?x1??f2?x2max?4

?f2?x?max?f2?x?min?4，再分类讨论使得问题得以解决．

反思归纳：求解函数零点有关的问题，在全国各省市高考题中都曾经出现过，在解答题中多数与函数的单调性相关，或者通过导数这一工具画出函数的大致图像，再根据极大值，极小值的正负情况来确定零点的情况．关于代数式的值的取值范围问题，求解方法通常考虑构造函数法，线性规划法，不等式性质法，数形结合法等．关于＂任意的＂，＂存在的＂，＂恒成立＂等词语的问题在近几年高考题中经常出现．解决问题的办法是：首先弄懂题意，其次找到其等价的可解决的问题．这一方面的知识要求教师在平时就经常对学生进行训练．

纵观高考中的函数与导数的问题，教师要有意识地对知识点及考点进行归纳，同时有意识地引导学生通过类比，推广，变式等方式构造题目，不能就题论题，浅尝辄止．解题后的反思是提高解题质量的关键环节，归纳是对解题过程的重新整理，对其中涉及的基础知识、数学思想方法进行高度细致的归纳总结，对不同的解题思路进行比较，并思考优化与创新．教师要透视高考，反思归纳，更要培养学生进行反思归纳稳步提高．

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