高 中 新 课 标 理 数 学（文理）

必修选修 所 有 知 识 点 总 结引言1.课程内容：必修课程由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 3—1：数学史选讲。选修 3—2：信息安全与密码。选修 3—3：球面上的几何。选修 3—4：对称与群。选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修 3—6：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修 4—1：几何证明选讲。选修 4—2：矩阵与变换。选修 4—3：数列与差分。选修 4—4：坐标系与参数方程。选修 4—5：不等式选讲。选修 4—6：初等数论初步。选修 4—7：优选法与试验设计初步。选修 4—8：统筹法与图论初步。选修 4—9：风险与决策。选修 4—10：开关电路与布尔代数。2．重

难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 第 2 页 共 102 页 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 ⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性（.2）常用数集及其记法 N 表示自然数集， N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.

（4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法： x x 具有的

性质，其中 x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做 空集 . 第 - 3 页 共 102 页

【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 A B 1A A （或 A 中的任一元素都 2 A AB 子集 B A 属于 B 3若 A

B 且 B C ，则 A C B A 4若 A B 且 B A ，则 A B 或 AB （1） A （A 为非空子集） A B ， B 中至 且 真子集 （或 少有一元素不属于 2若 A B 且 B

C ，则 A C B A A B A） A 中的任一元素都 集合 1A B AB 属于 B，B 中的任 AB 相等 2B A 一元素都属于 A（7）已知集合 A 有 n n 1 个元素，则它有 2 个子集，它有 2 1 个真子集，它有 2 1 个非空子集，它有 2 2 n n n n 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称 记号 意义 性质 示意图 （1） A A A x x A 且 A B （2） A交集 （3） A B A A B x B A B

B （1） A A A x x A 或 A B （2） A A并集 （3） A B A A B x B A B B 1 A U A x x U 且x A 痧 A B U A U B 补集 U A U A 痧 A B U A U B U 2 A U A U

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 x a a 0 x a x a x a a 0 x x a 或 x a 把 ax b 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 x a ， ax b c ax b cc 0 x a a 0 型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 第 - 4 - 页 共 102 页 判别式 0 0 0 b 2 4ac 二次函数 y ax 2 bx ca 0 O L O O 的图象 一元二次方程 b b 2 4ac x12 2a b ax 2 bx c 0a 0 x1 x2 无实根 2a 的根 （其中 x1 x2 ax 2 bx c 0a 0 b x x x1 或 x x2 x x R 2a 的解集 ax 2 bx c 0a 0 x x1 x x2 的解集 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法

则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有 唯一确定的数 f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : A B ． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设 a b 是两个实数，且 a b ，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 a b ；满足 a x b 的 实数 x 的集合叫做开区间，记做 a b ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间， 分 别 记 做 a b ， a b ； 满 足 x a x a x b x b 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做 a a b b ． 注意：对于集合 x a x b 与区间 a b ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必须 ab．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① f x 是整式时，定义域是全体实数． ② f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． 第 - 5 - 页 共 102 页 ③ f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1． ⑤ y tan x 中， x k k Z ． 2 ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若 f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义 域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f x 的定义域为 a b ，其复合函数 f g x 的定义域 应由不等式 a g x b 解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小 （大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求

函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度 不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或 最值． 若函数 y f x 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a y x b y x c y 0 ， 2 ③判别式法： 则 在 a y 0 时，由于 x y 为实数，故必须有 b y 4a y c y 0 ，从而确定函数的值域或最值． 2 ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的 元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，记 作 f :A B． ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a A b B ．如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元 素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象． 第 - 6 - 页 共 102 页 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 如果对于属于定义域 I 内 （1）利用定义 某个区间上的任

意两个 y yfX （2）利用已知函数 自变量的值 x1、x2当 x1lt fx2 的单调性 ． ．． x2 时，都有 fx1ltfx2， （3）利用函数图象 ．． ． ．． ．． ．． ．．．． fx1 （在某个区间图 那么就说 fx在这个区 o x1 x2 x 象上升为增） 间上是增函数． ．．． 函数的 （4）利用复合函数 单调性 如果对于属于定义域 I 内 （1）利用定义 某个区间上的任意两个 y yfX （2）利用已知函数 自变量的值 x1、 2， x1lt x 当． 的单调性 ．． fx 1 （3）利用函数图象 x2 时，都有 fx1gtfx2， ．． ．． ．．． ．． ．． ． ． fx 2 （在某个区间图 那么就说 fx在这个区 o x1 x2 x 象下降为减） 间上是减函数． ．．． （4）利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数 y f g x ，令 u g x ，若 y f u 为增， u g x 为增，则 y f g x 为增；若 y f u 为减，u g x 为减，则 y f g x 为增；若 y f u 为增，u g x 为减，则 y f g x 为 减；若 y f u 为减， u g x 为增，则 y f g x 为减． a（2）打“√”函数 f x x a 0 的图象与性质 y x f x 分别在 a 、 a 上为增函数，分别在 a 0 、 0 a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数 y f x 的定义域为 I ，如果存在实数 M .

 

第二篇：高中数学知识点总结

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

10. 何求复合函数的定义域？ 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域。 12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：

**在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

17. 你熟悉周期函数的定义吗？(T是一个周期。）

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。 *利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值。

21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法

（1）名的变换：化弦或化切

（2）次数的变换：升、降幂公式

（3）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

34. 不等式的性质有哪些？ 35. 利用均值不等式：（一正、二定、三相等）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）（按不等号方向放缩）

38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（转化为最值问题或“△”问题）

43. 等差数列的定义与性质

44. 等比数列的定义与性质

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？（1）求差（商）法 （2）叠乘法（3）等差型递推公式 （4）等比型递推公式 （5）倒数法

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

（2）错位相减法：

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列。

（2）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组。 50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

（重点）51. 二项式定理

（1）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大 52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

（2）对立事件（互逆事件）：

（3）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法）（2）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件）；而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

了解54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数 较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法

（1）决定组距和组数；（2）决定分点；（3）列频率分布表； （4）画频率直方图

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为

56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（2）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 （ 规定：零向量与任何向量平行）

（3）向量的加、减法

（4）平面向量基本定理（向量的分解定理） （5）向量的坐标表示

57. 平面向量的数量积: (1)数量积的几何意义（2）数量积的运算法则 58. 线段的定比分点

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

* 线面平行的判定 *线面平行的性质 *三垂线定理（及逆定理） *线面垂直 *面面垂直

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

63. 球有哪些性质？

（1）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（2）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（3）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 65. 如何判断两直线平行、垂直？

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？

(1) 圆心到直线的距离与圆的半径比较 (2) 直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

68. 分清圆锥曲线的定义

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。