20##级数本《数学史》复习提纲（要点）

一、历史人物或历史事件（线索）

古希腊第一个数学家：泰勒斯

 0符号由哪国家创造：印度

哪个学派信仰“万物皆数”:毕达哥拉斯学派

体现中国古代数学成熟的著作:九章算术

流数是指什么:微商

数学符号系统化归功于哪个数学家:法国数学家韦达

第一个中译本《几何原本》是谁翻译:徐光启、利玛窦

三角形内角和小于180度是哪种几何:罗巴切夫斯基几何

二次互反律谁证明:高斯

中国古代数学三次发展高潮：东西汉、魏晋南北朝、宋元时期

通过哪两本纸草书研究古埃及的：莱茵德纸草书、莫斯科纸草书

费尔马大定理及谁攻破：方程对任意大于2的自然数n无整数解

哪年希尔伯特发表23个问题：1900年8月

笛卡尔万能方法：任何问题数学问题代数问题方法求解

中国第一位获得数学博士:胡明复

国际数学发展中心的转移:意大利英国法国德国美国

“后继数”谁提出:皮亚诺

谁创立信息论:香农

谁创立四元数:哈密顿

阿波罗尼奥斯关于曲线著作:圆锥曲线论

第一个证明一般五次及五次以上方程没有根式解的数学家:阿贝尔

代数学一词来源于谁著作;花拉子米，《缉古算经》作者:王孝通

用现存什么研究美索不达米亚数学成就:泥版文书

中文“代数”“法线”一词谁创造:李善兰

古希腊作图只用什么工具:圆规和不带刻度的直尺

历史上最伟大的数学家:阿基米德、牛顿、高斯

数学最高奖:菲尔兹奖和沃尔夫奖

欧拉创立哪些符号：函数符号、求和符号、自然对数底数e、虚数符号i

我思故我在是谁的名言：笛卡尔

数理统计奠基人：费希尔

托勒玫定理是什么：圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边之积的和

控制论谁创立：美国维纳

谁创造对数：苏格兰贵族数学家纳皮尔

中国最早的经书：《周髀算经》

物不知其数在哪本著作出现：《孙子算经》

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，......（T=T(n-1)+T(n-2)）

毕达哥拉斯如何解释数学：数学为学到的知识

20世纪纯数学特征：更高的抽象性，更强的统一性，更深入的探讨性

公理化三个原则：相容性、独立性、完备性

历史上最伟大女数学家：爱米.诺特

二、简答题

1、试述欧几里得的伟大贡献及其《原本》的缺陷。

欧几里得的伟大贡献：

1）开创性地引进公理化方法，建立了数学的演绎体系；

2）总结古希腊数学成就，使数学知识特别是几何知识成为一门学科体系，开创了数学教材的先河。

《几何原本》的缺陷：

1）某些定义借助于直观描述，或措辞含糊不清；有的概念本可以定义，却没有定义；有的定义在以后推理或定义中并没有再使用，等等；

2）公理系统不完备，有些公理不独立；

3）公理系统的三个基本条件：相容性、独立性和完备性。

2、19世纪初数学家们面临18世纪遗留下来的三个最突出的数学问题是什么？

1）高于四次的代数方程的求解问题；

2）欧几里德几何中平行公理的证明问题；

3）牛顿.莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题。

3、从传统数学到近代数学，经历了哪几个重要的转折点？

1）数学研究的基本思想从以常量观念为中心转移到以变量观念为中心；

2）数学研究的基本方法从希腊传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法；

3）新的观点和新的方法使数学具有更强大的生命力。

4、九章算术中的九章是什么？简述《九章算术》的特点。

九章是什么：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。

《九章算术》的特点：

1）内容丰富，涉及算术、代数、几何各方面知识，且实用性强；

2）以计算为主，重视算法的总结概括，并且有数形结合的特点；

3）以题解为中心，在题解中给出算法；

4）没有以概念和命题为核心的演绎体系的痕迹，实用性及以算为主是其基本特点。

5、试述近代数学发展的几个重要特点。

1）算术、代数与几何相结合并共同发展；

2）纯粹数学与应用数学密切结合，互相促进，并产生新的结合发展的趋势；

3）数学研究走向社会化和专业化。

6、试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史意义。

要点：非欧几何的基本思想：用与欧氏第五公设相反的命题作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，这些定理并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，即新的几何学——非欧几何学。

罗氏非欧几何创立的历史意义：1）罗氏面对传统的数学观，敢于抗争和批判，勇于坚持真理，为后人树立了良好的榜样；2）这是一次数学思想上的巨大突破，它扩大了人们对空间的认识，从此几何学将从欧氏几何的狭窄天地里转到研究各种不同的几何空间，如欧氏空间、罗氏空间、黎氏空间、放射空间等。

7、概述数学史上的三次数学危机及其影响。

要点：第一次数学危机是不可通约量即无理数的发现，它导致希腊数学家在数的概念面前止步了，结果阻碍了代数学的发展，但却促进了综合几何学的形成和发展。第二次数学危机是微积分的基础问题，特别是无穷小量概念问题，它导致数学陷入自相矛盾的境地，结果出现了一场针对微积分基础的大论战。微积分基础问题的解决导致众多数学分支的创立，如数学分析、微分方程、复变函数、变分法、微分几何等。第三次数学危机是集合论的基础问题，它使许多数学家卷入了关于数学基础的大辩论，结果导致数学三大学派的形成。

8、简述20世纪应用数学的特点。

1）数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透；

2）纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透，如数论在密码学中的应用；

3）现代数学在生产技术中的应用变得越来越直接，如现代大规模生产的管理决策、产品质量控制等直接依赖于线性规划算法与统计方法；

4）现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论等。

9、牛顿创立微积分，必须解决哪几个基本问题？

1）纯净概念——特别是建立变化率的概念；

2）提炼方法——提炼各种解决具体问题的方法，使其具有普遍意义；

3）改变形式——把概念和方法的几何形式变成解析形式，使之应用更广。

10、简述20世纪数学的特点。

1）以集合论、数理逻辑为基础，开创了数学元认知的研究，出现了针对数学基础的三大学派；

2）数学理论更加抽象，出现代数化、拓扑化的趋势，如代数几何、代数数论、代数拓扑等；

3）电子计算机进入数学计算，开创了新的数学分支——计算数学，并开始机器证明；

4）应用数学出现众多的新分支，数学向生物学、经济学、社会学、语言学等几乎所有的领域进军。

11、简述笛卡尔创立解析几何的思想P137

    解析几何的思想是在平面几何上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y)之间建立一一对应的关系。每一对实数（x,y)对应于平面上的一个点；每一个点都对应于它的坐标（x,y).以这种方式可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来。

12、简述元末明初中国数学停滞不前的原因P104

1）皇朝更迭，在晚期出现日趋严重的停滞性和腐朽性。

2）数学家社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。

3）筹算存在很多局限性，筹式运算笨拙累赘，对五个以上未知数的方程组无能为力。

4）算法创造是数学进步的必要因素。但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。

13、与19世纪相比，二十世纪数学发展有什么特征？P271

1）更更高的抽象性

2）强的统一性

3）更深入的基础探讨

14、古希腊三大作图难题P41

1)画圆为方，即做一个与给定的圆面积相等的正方形。

2)倍立方体，即求做一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。

3)三等分角，即分任意角为三等分。

15、对数学基础有不同理解的三大学派是什么？P304

1）以罗素为代表的逻辑主义

2）以布劳威尔为代表的直觉主义

3）以希尔伯特为代表的形式主义

16、在文艺复兴时期，变量数学产生主要背景是什么？P137

1）机械的普通的使用引起了对机械运动的研究。

2）世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题，要求准确地研究天体运动的规律。

3）武器的攻进刺激了弹道问题的探究等等。

4）对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学即近代数学的诞生。

三、论述题（要点仅供参考）

1．试述早期古希腊数学的特点，并分析其局限性。

早期古希腊数学的特点：

1）既继承了前一时期巴比伦数学和古埃及数的丰硕成果，又进行了创造性的研究活动，提出了关于数学的观点、理论和方法；

2）与他们的数学观相联系，希腊数学家把数学研究的领域大大扩充了，数学的范围涉及几何、算术、数论、天文学和音乐等；

3）希腊数学家把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题的真理性的一个基本方法，从而建立了数学的演绎体系，使数学从经验知识上升为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生（其标志是欧几里得《几何原本》）。早期古希腊数学的缺陷：

1）只接受有理数，不承认无理数，结果限制了数的概念的发展，阻碍了代数学的研究。这种状况使古希腊的几何学是理论的、演绎的，而它的算术则主要是经验的、计算的，因而导致几何学与算术，数与形之间的长期分裂；

2）即使在他们最擅长的几何学里，也只是局限于研究那些能用直尺、圆规构造出来的那些图形。这种做法极大限制了几何学的研究范围。

2．函数概念的发展经历了哪几个阶段？试给出最后两个阶段的函数定义，并分析其异同。

要点：函数概念发展经历了几何定义、解析定义、变量定义、对应定义和集合定义等五个阶段。其中对应定义是黎曼给出的，即：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值与它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量。集合定义是康托尔给出的，即：A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为集合A到B的函数。对应定义与集合定义的共同点是：二者都明确了函数的“对应关系”，并强调“唯一对应”；不同点是：前者只有变量概念，没有集合概念，并将变量y称为自变量x的函数；后者用集合及其元素代替变量概念，并将对应关系称为集合到集合的函数。

3．为什么中国古代数学没有形成严密的逻辑演绎体系？试从社会制度、文化观念、筹算系统、研究风格等因素进行分析。

1）元代以后，科举考试制度中的《明算科》被完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下；

2）中国古代文化强调实用性，务实之风在数学研究中盛行，尽管有算法的总结，但缺乏深入的思辨和逻辑论证的处理，因而数学知识难于形成抽象性的演绎体系；

3）筹算系统有很大的局限性，它无法演进为彻底的符号代数，同时也使复杂的演算无能为力；

4）中国古代数学家一般以《九章算术》为研究起点，尽管以后编撰了许多数学著作，但都没有摆脱《九章算术》的风格，即一直以具体问题的解决为核心内容，缺乏整个理论的研究与创造。

4．论述欧氏几何的意义和非欧几何产生的过程

意义P51，过程P226——P231：

意义：是数学史上的一座理论丰碑，它最大的功绩，是在于数学史中演绎范式的确立，这种范式要求 的每个命题必须是在它之前已经建立的一些命题和逻辑结论，而所有这样的推理链的共同的出发点，是一 些基本定义和被认为是不证自明的基本原理。

过程：

1）最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧式几何一样正确的新几何 学的是高斯，但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任 何关于非欧几何的论著，这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的 攻击。

2）波约希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世；

3）、在非欧几何的三位发明人 中，只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思 想的一位。

5．什么是赌注分配问题？并论述概率论产生的过程。

（1）合理赌注问题是：甲乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点，若反面朝上，乙得一点，先满S点者赢全部赌注，现假定甲乙各得a(a<s),b(b<s)点时，赌局中止了，问应该怎样分配赌注问题才算合理。

（2）概率论产生的背景：概率论起源于赌博问题的研究。十六世纪的意大利学者卡丹与塔塔利亚等人已从数学角度研究过赌博问题。卡丹等人的思想并未引起重视，概率概念要旨也不明确，很快就被人遗忘

a.概率概念的要旨只是在帕斯卡与费尔玛的讨论中才比较明确。他们研究的问题“合理分配赌注问题”实际上是一特定场合下“数学期望”问题。费尔玛和帕斯卡虽然在通信中没有明确定义概率的概念，但是他们定义了使某某赌徒取胜的机遇，也就是赢的情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率。所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费尔玛开始的

b.第一个提出“数学期望”这一概念的是荷兰数学家惠更斯。他在1657年发表《论赌博中的推理》，文中提出：“在赌局开始之前，对每一个赌徒来说已有了关于结局的一种期望……”。在数学史上，顺序是这样产生的，先有“期望”概念，而古典概型的概率定义，完成可以从期望概念中导出来。

c. 雅各.伯努利将概率论这门科学牢固地建立在数学的基础上，提出来了大数律。他认为：先前人们对概率概念，多半从主观方面来解释，即说成一种“期望”，这种期望是先验的等可能性的假设，是以古典型为依据的。这种方法有极大的局限性，也许在赌博中可用，但在更多的场合，这种方法就不可行。需要从主观的“期望”解释转到了客观的“频率”来解释。伯努利是现代概率论真正的奠基人。

6．试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史意义，并说明数学发展的曲折性。同简答题6，曲折性：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录，数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊、要经历艰难曲折，甚至会面临危机。数学史也是数学家克服困难和战胜危机的斗争，无理量的发现，微积分和非欧几何的创立，乃至费马大定理的证明……无不充分说明了这一点。

四、计算题：主要是九章算术中的题目，如P72，P73，还有百鸡问题

。

1.（《九章算术》）今有共买物，人出八，盈三钱;人出七，不足四，问人数，物价各几何，并说明这个问题属于《九章算术》中的什么类型，相当于现在的什么数学问题。

解：设人数为x,物价为y，由已知得两个方程，

8x-3=7,7x+4=y

联立方程组并解得，x=7,y=53

答：人数共有7人，物价为53钱。

盈亏类，盈不足术，相当与现在一种线性插值法。

2.白鸡问题：(《张邱健算经》）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，凡百钱买白鸡，问鸡翁母雏各几何（正整数解）？并说明相当与现在的什么数学问题。

解：设鸡翁为x，母鸡为y，鸡雏为z，

由已知得两个方程，

X+y+z=100

5x+3y+1/3*z=100

并解得，

x1=4,y1=18,z1=78

X2=8,y2=11,z2=81

X3=12,y3=4,z3=84，

“白鸡问题”是世界著名的不定方程问题。

五、解释题：

1、P85关于祖冲之计算圆周率叙述；

“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺，四寸一分五厘九毫二秒七忽，.数三丈一尺四寸一分五里=厘九毫二秒六忽，正数在盈 .二数之间”

这就是说祖冲之算出了圆周率的值的上下限，3.1415926（ ）<<3.1415927（盈数）,史料上并没有关于祖冲之推算圆周率的记载，一般认为是按照刘徽的割圆术，事实上按照刘徽的方法从正大边形连续割到24576边形时，恰好得到结果，史料上还记载了祖冲之在计算圆周率的另一项重要结果，”密率”也称“祖率”，16世纪德国人奥托和荷兰人按托尼兹曾重新推算出圆周率的这个分数的近似值。

2、P44四个悖论的说明；

1）两分法：运动不存在，因为位移事物在到达目的地之前必先抵达抵达一半处；在抵达一半之前又必须四分之一处，......，以此类推可至无穷。

2）阿基里德：阿基里德永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段距离，阿基里德必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬行一段距离。

3）飞箭：飞着的箭是静止的，因为任何的事物当它是一个和自己大小相同的空间里，它是静止的，而飞箭在飞行的过程中的每一“瞬间”都是如此。

4）运动场：空间和时间不能由不可分割的单元组成。假设不然，运动场跑道上三排队列A,B,C,令C往右移动，A往左移动，其速度相对于B而言都是每瞬间移动一个点。这样一来，A上的点就在每瞬间离开C两个点的距离，因而必存在一更小的时间单元。

3、P186大教主伯克莱攻击牛顿微积分的原因及后人的解决；

伯克莱攻击微积分：伯克莱认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他们的算法提出合理的证明，他集中攻击了牛顿流数中关于无限小量的混乱假设，他指出0的消失的假设前后的矛盾，他发表的个人小册子《分析数学家》的矛头指向牛顿的流数术。伯克莱对微积分学说的攻击主要出于宗教的动机，目的是要证明流数原理并不比基督教义“构思更清晰”，“推理更明白”。但他批判刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力，英国的麦克劳林的《流数论》最为典型，，但还未能巩固微积分基础，到了18世纪，达朗贝尔用极限的概念代替了牛顿的含糊的最大化及最终化，欧拉提出“无限小就是零，但却存在着”不同阶的零“，也就是不同阶的无限小。后人（欧洲大陆的数学家们）力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难。在18世纪，这方的代表人物是达朗贝尔，欧拉和拉格朗日。

4、P79刘徵的话及其意义；

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割，则与圆周合体而无所失矣。

意义：圆内正多边形的边数越来越多时，正多边形的面积，周长与圆的面积，周长相差不大，当边数无大限时，他们相等。

5、P298罗素悖论的说明及其对数学发展的意义。

    以M表示其自身成员的集合（如一切概念的集合是一个概念）的集合，N表示不是其自身成员的集合（如所以人的集合不是一个人）的集合。

意义：

1）形成第一个集合论的公理系统，达到了避免罗素悖论的目的。

2）为了进一步解决集合悖论，导致关于数学基础的三大学派的形成，即逻辑主义，直觉主义和形成主义。

3）罗素的悖论打破了人们对集合论相容性得以证明的希望，引起了关于数学基础的讨论，对数学基础的更深入探讨及由此及彼引起的数理逻辑的发展，是20世纪纯粹数学的又一重要趋势。

六、分析题：

1、哈密顿四元数及其意义；

哈密顿四元数形如：a+bi+cj+dk,其中，a,b,c,d为实数，i,j,k满足于ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.i,j,k的平方和为-1.

意义:四元数也是历史上第一次构造的不满足乘法交换律的数系，它本身虽无广泛的使用，但它对近代数学的发展来说是革命性的，从此，数学家们可以更加自由地构造新的数系，通过减弱，放弃或替换普通代数中的不同定律和公理（如交换律，结合律等）就为众多代数系统的研究开辟了道路。

2、哥尼斯堡七桥问题及欧拉的解决方法；

欧拉解决七桥问题时，根据陆地，桥和人走过的关系特征运用，学的方法，巧妙的构造了一个网络图，把七桥问题归为网络图的一笔画问题，经过求解，欧拉证明了该图一笔画成是不可能的，并且得出重要结论：任何一笔图形或者没有奇点，或者只有两个奇点，没有奇点的不仅能一笔画成，而且能回到起点。所以人不能一次连续重复地走完七座桥。

3、举例说明费马是如何解决函数极值问题的，其方法相当于现今的什么数学方法。

费马是这样解答的：设线段长为B，一部分为A，则另一部分为B-A，则矩形面积S1=A*B-A*A,用A+E代替A，另一部分为B-A-E，得新矩形面积S2=(A+E)(B-A-E),若E很少时，S1=S2,即,A*B-A*A=(A+E)(B-A-E)

故，BE-2AE-E*E=0,约去E，得B=2A+E,令E=0,可得，B=2A,即正方形面积最大。

他的方法相当于现在用导数求函数极值的方法。