从中考中因式分解题型看因式分解

所谓因式分解是把一个整式分成几个因式乘积的形式，由于这种变形蕴含着变换的数学思想和方法，并且对于代数式的求值、化简具有重要的意义，所以中考中除考察学生对因式分解的方法的选用外，还考察了学生恒等变形的能力。因式分解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大，其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。因此在历届中考中因式分解总是以直接和间接的方式出题，且在分值上占有一定的比例，总之因式分解的归类分解学好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用

   

一、  知识梳理

1.因式分解

  定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

              即：多项式几个整式的积

   例：

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

 （1）提公因式法：

      ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

     公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

         

例：的公因式是               ．

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式的公因式是2.

②提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把分解因式.

     解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

        解：

例2：把多项式分解因式

解析：由于，多项式可以变形为,我们可以发现多项式各项都含有公因式（）,所以我们可以提取公因式（）后,再将多项式写成积的形式.

解：

=

=

例3：把多项式分解因式

        解：=

 （2）运用公式法

     定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

  

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

      ②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解

     解：=

例2：因式分解

     解：=

 （3）分组分解法（拓展）

      ①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；

例：把多项式分解因式

     解：==

      ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

 例：将多项式因式分解

解：

=

 （4）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

       方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数

             

          

       

   

例：分解因式                         分解因式

补充点详解                                     补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式，              我们可以将100分解成p×q的形式，

使p+q=-1, p×q=-30,我们就有p=-6,              使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2,

q=5或q=-6,p=5。                              q=50或q=2,p=50。

所以将多项式可以分           所以将多项式可以分

解为                            解为

        5                                       2

               -6                                     50

                      

3.因式分解的一般步骤：

       如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

二、   例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

【例 1】 分解因式：

       ⑴(为正整数)

⑵(、为大于1的自然数)

【巩固】   分解因式： ，为正整数.

【例 2】 先化简再求值，，其中，．

【巩固】    求代数式的值：，其中.

【例 3】 已知：，求的值.

【巩固】    分解因式：.

公式法

平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

一些需要了解的公式：

                    

                   

 

第二篇：因式分解知识点小结

因式分解知识点小结

提公因式法

【知识要点】

知识点1  因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

【注】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

知识点2 公因式：

一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.    

知识点3 提公因式法：

把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.

【知识点总结】

 1. 方法规律：

     一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：

     (1)、各项整数系数的最大公约数；

     (2)、各项相同的字母；

     (3)、相同因式的指数取最小次数.

2. 解题方法：

     (1)、用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；

     (2)、公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.

3. 方法技巧：

     (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：

          1 确定公因式

          2 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.

     (2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.

运用公式法

【知识要点】

1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算.

2．提公因式法；

（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

                   ②字母：各项都含有的相同字母；

                   ③指数：相同字母的最低次幂.

3．公式法：

（1）常用公式          平 方 差：

完全平方：

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①；     ②．（为正整数）

十字相乘、分组分解

【知识要点】

1.十字相乘法

（1）二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数的值，那么它就可以把二次三项式分解成

（2）二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数的值，那么它就可以把二次三项式分解成：

.

2．分组分解法

（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如，既没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

          =，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可提取公因式或可以直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）注意：有些多项式在用分组分解法时，分组的方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。