整式的乘除与因式分解知识点总结

1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：的 系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、 整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、 同底数幂的乘法法则：（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：

5、 幂的乘方法则：（都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：

幂的乘方法则可以逆用：即

如：

6、 积的乘方法则：（是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（=

7、 同底数幂的除法法则：（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：

8、 零指数和负指数；

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。

如：

9、 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

10、     单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即(都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]

如：

11、     多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

12、              平方差公式：注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：   

13、              完全平方公式：

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

       

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

14、              三项式的完全平方公式：

15、              单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

16、              多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

17、              因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法

 

第二篇：整式的乘除与因式分解小结与复习

整式的乘除与因式分解小结与复习

知识梳理

1. 有关概念

⑴因式分解：把一个多项式化为               的形式，叫做多项式的因式分解.

⑵提公因式法：把多项式各项的      提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即               .提公因式法的实质是逆用              律.

⑶公式法：把乘法公式        、              逆用，就得到分解因式的公式            ，             ，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法.

2. 有关法则

⑴幂的四个运算性质：

⑵单项式与单项式相乘的法则：把它们的       、        分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同      一起作为积的一个因式.

⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据     律用单项式去  

多项式的每一项，再把所得的   相     .

⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项     另一个多项式的每一项，再把所得的积相     .

⑸单项式除以单项式的法则：把      、           分别相除后，作为商的     ；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的      一起作为商的一个        ．

⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的          除以这个单项式，再把所得的       商       ．

3. 有关公式：

⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的        ，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=          .

⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的       再加上（或减去）这两数的        ，即：(a±b)²=              .

思想方法

1. 整体思想

例1  已知，求的值．

分析：根据已知条件，现有知识无法直接求出x的值，由于化简后的结果是，因此我们考虑用整体思想代入的方法来求解，即把代入中即可.

解：

      ．

当时，原式．

点评：整体思想是从整体上考虑研究对象的整体结构特征，不纠缠于问题的各项具体的细节，本题中现在无法求出x的值，而化简后发现已知和未知中都有，这样便找到了未知和已知之间的“桥梁”.

2. 数形结合思想

例2 如图1，边长为（m＋3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（     ）

      

A．2m＋3                    B．2m＋6                    C．m＋3               D．m＋6

分析：已知矩形的一边，要求另一边长．只要知道矩形的面积，问题就能解决，而矩形的面积可以由原来的大正方形面积减去小正方形的面积.

解：（m＋3）²－m²＝6m＋9，（6m+9）÷3=2m＋3，所以另一边长就是2m＋3.故选A.

点评：本题以图形的形式出现，是对整式运算能力的考查，通过图形将数量与形状巧妙结合，体现数形结合思想.通过图形发现面积图形面积间的关系是解决本题的关键.另外但从解题的角度，若将大正方形进行分割也能得出结果，同学们不妨一试．

新题展示

1. 逆向思维题

例1  计算的结果是     （   ）

A．－2                        B．－1                C．2                            D．3    

分析：直接计算本题非常繁琐，仔细观察算式发现如果逆用同底数幂相乘与积的乘方公式，就可以化繁为简，柳暗花明.

解：由于＝＝＝2，所以原式＝1－2＝－1．故选B.

点评：本题考查幂的运算法则，灵活运用幂的运算公式是计算正确的关键．

2. 结论开放题

例2  给出三个单项式：，，.

（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；

（2）当，时，求代数式的值.

分析：答案不唯一，只要任意两个单项式排列组合所得均可，注意分解的结果必须是每一个因式都不能分解为止.

解：（1）a²-b²=（a+b）（a-b）；b²-a²=（b+a）（b-a）；a²-2ab=a（a-2b）；

2ab-a²=a（2b-a）； b²-2ab=b（b-2a）；  2ab-b²=b（2a-b）.

（2）a²+b²-2ab=（a-b）²，把a=2010，b=2009代人得a²+b²-2ab=1.

点评：本题是一道与整式的加减及因式分解有关的开放性问题，在解决此类问题时注意把握问题的实质，写出符合条件的结论即可.

3. 阅读理解题

例3由m（a+b+c）＝ma+mb+mc，可得（a+b）（a²－ab+b²）＝a³－a²b+ab²+a²b－ab²+b³＝a³+b³，即（a+b）（a²－ab+b²）＝a³+b³． ………………………①

我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.

下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（     ）

A．（x+4y）（x²－4xy+16y²）=x³+64y³               B．（2x+y）（4x²－2xy+y²）=8x³+y³  

C．（a+1）（a²＋a+1）=a³+1                       D．x³+27=（x+3）（x²－3x+9）

解析：等式①用语言叙述就是：两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和．这种变形的本质是根据立方公式进行整式的乘法运算或因式分解，选项A、B、D都满足使用立方公式的条件，其中A、B是用立方公式进行乘法运算，选项D是进行因式分解.只有C不满足“两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差”这一条件，不是题目要求的变形，所以选C．

点评：本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则.

基础盘点

1. 下列运算正确的是 （  ）

A．      B．         C．      D． 

2. 计算的结果是（   ）

A.              B.           C.　 　     D.

3. 整式(－x－y)(      )=x²－y²中括号内应填入下式中的（    ）

A. －x－y            B. －x+y                     C. x－y          D. x+y

4. 把代数式ax²－4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（    ）

A. a(x－2)²        B. a(x+2)²             C. a(x－4)²            D. a(x+2)(x－2)

5. 因式分解(x－1)²－9的结果是（　　）

A. (x+8)(x+1)       　B. (x+2)(x－4)  　C. (x－2)(x+4)   　D. (x－10)(x+8)

6. 学校买来钢笔若干支，可以平均分给（－1）名同学，也可以平均分给（－2）名同学（为正整数）．用代数式表示钢笔的数量不可能的是（     ） 

A．3（－1）（－2）      B．

C．             D．

7. 多项式ax²－4a与多项式x²－4x+4的公因式是             ．

8. 计算:＝　　　　　　　.

9. 计算: =             ．

10. 多项式是一个完全平方式，则M等于（填一个即可）          ．

11. 分解因式：a(x－y)－b(y－x)+c (x－y)＝             .

12. M和N表示单项式，且3（M－5）＝6＋N，则M＝_________，N＝________．

跟踪训练

1.（－2x³y⁴）³的运算结果是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A. －6x⁶y⁷　　　B. -8x²⁷y⁶⁴　　　C. -6x⁹y¹²　　　D. -8x⁹y¹²

2. 下列计算题中，能用公式（a+b）(a-b)=a²-b²的是　　　　　　　　　　（　　）

A. (x-2y)(x+y)　　　B. (n+m)(-m-n)

C. (2x+3)(3x-2)　　　D. (-a-2b)(-a+2b)

3. 在下列各多项式中，各项的公因式是6x²y³的是　　　　　　　　     （　　）

A. 6x²y+12xy²-24y³ 　　　　　　　　B. x⁴y³-3x³y⁴+2x²y⁵

C. 6x⁴y³+12x³y⁴-24x²y⁵　　　　　　 D. x²y-3xy²+2y³

4. 下列各多项式：① x²-y²；②x²+1；③x²+4x；④x²-10x+25．其中能直接运用公式法分解因式的个数是                                                       （　　）

A. 1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个

5. 已知xⁿ=5，yⁿ=3，则（xy）²ⁿ=       ．

6. 已知（x²+nx+3）（x²－3x+m）的展开式中不含x²和x³项，则m=    ，n=      .

7.（－a－b）（a－b）=－[（     ）（a－b）]=－[（    ）²－（   ）²]=       .

8. =                  .

9. 计算：（1）(-xy)(-xy)(-xy)；

（2）.

10. 因式分解：（1）；（2）.

11. 先化简，再求值：

，其中.

知识梳理：1. （1）几个整式的积

（2）公因式    m（a+b+c）   乘法分配

（3）a²-b²            （a+b）（a-b）    (a±b)²

2.（1）底数    指数     a^m+n        a^m+n+p

底数    相乘       a^mn       a^mnp

乘方    相乘       aⁿ bⁿ         a^mkb^nkc^pk

底数     相减

（2）系数   相同字母的幂     它的指数

（3）乘法分配      乘     积      加

（4）乘以     加

（5）系数     同底数幂     因数     指数    因式

（6）每一项    相加

3. （1）  平方差    a²-b² 

（2）平方      积的2倍    

基础盘点：

1.C  2.B   3.B   4.A  5.B   6.B     7.  x－2    8. -64z    9.  -3y+4x²+1

10. ±12xy     11. (x－y)(a+b+c)     12.  2xy³   -15x²

跟踪训练：1.D  2.D  3.C   4.B

5．225    6．6   3    7． a+b   a   b   b²－a²     8.

9.（1）原式=-xyxy(-xy)=-54xy(-xy)=2xy；

（2）原式==-9x+2.

10. 解：（1）原式==；

  （2）原式=.

11. 原式==.

当时，原式= -.