1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2的性质

（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

2

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）.

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

b4ac?b2

，k?4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中h??. 2a4a

2

2

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④

2

y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

2

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

b?4ac?b2?2

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是??

2a?4a?

bb4ac?b2

（?），对称轴是直线x??.

2a2a4a

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称

2

2

轴是直线x?h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛

物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线

x??

bbb

，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③?0

aa2a

（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.

2

当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）：

2

①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

b

?0. a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2

2

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).

2

（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判

定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

2

（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程组

y?kx?ny?ax?bx?c

2

?l与G有两个交点; ②方程组只有

一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于

2

x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故 bc

x1?x2??,x1?x2?

aa

AB?x1?x2?

x1?x22

b2?4ac?b?4c2

?x1?x2?4x1x2???????

aaa?a?

2

 

第二篇：二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.

2.二次函数 的性质

（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.

（2）函数 的图像与 的符号关系.

①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；

②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .

3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.

4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线 中， 的作用

（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.

（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线

，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.

（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.

当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：

① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标