初中数学二次函数知识点总结 原文阅读

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

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二次函数知识点总结

二次函数知识点：

1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a、b、c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b、c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二次函数的基本形式

y?a(x?h)2?k的性质：

总结：

二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a(x?h)?k，确定其顶点坐标(h,k)； ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：

2

2

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】 2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成“自变量加减左右移，函数加减上下移”．

二次函数y?ax?bx?c的性质 对称轴为x??

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二次函数的性质

二次函数的最值：

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二次函数的结构特征：

二次函数的结构特征：

x2．

⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b二次函数的解析式：

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二次函数图像与性质口诀：

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象限；

开口、大小由a断，c与Y轴来相见，ba相关联；顶点位置先

找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0式，不同表达能互换。

二次函数图像平移规律：

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二次函数与一元二次方程的关系：

x

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二次函数知识点总结——题型分类总结

一、二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）

1、下列函数中，是二次函数的是 .

222 ①y=x－4x+1； ②y=2x； ③y=2x+4x； ④y=－3x；

2 ⑤y=－2x－1； ⑥y=mx+nx+p； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x。

22、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t+2t，则t＝4秒时，该物体所经过

的路程为 。

223、若函数y=(m+2m－7)x+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。

m －24、若函数y=(m－2)x+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为 。

6、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

2二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)+k，则对称轴为： ，最值为： ；

如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为： ，最值为： ；

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一元二次函数知识点总结

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.

2.二次函数的性质

(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.

(2)函数的图像与的符号关系：

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①决定抛物线的开口方向：

当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.

③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,)。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

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二次函数的图象与性质

二次函数 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最大（小）值

y = ax2 a>0时，开口向上；a<0抛时，开口向下。

x=0 （0，0） 当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。 当a>0时，当x=0时，=0；

当a<0时，当x=0时，=0；

y = ax2+c x=0 （0，c） 当a>0时，当x=0时，=c；

当a<0时，当x=0时，=c；

y = a（x-h）2 x=h （h，0） 当a>0时，当x=h时，y最小=0；

当a<0时，当x=h时，y最大=0；

y = a（x-h）2 +k x=h （h，k） 当a>0时，当x=h时，y最小=k；

当a<0时，当x=h时，y最大=k；

y = ax2+bx+c x= （，） 当a>0时，当x=h时，y最小=k；

当a<0时，当x=h时，y最大=k；

其中h=，k=

★二次函数y = ax2 、y = ax2+c、y = a（x-h）2 以及y = a（x-h）2 +k的形状相同，只是位置不同，相互之间可以通过平移得到，一般式y = ax2+bx+c可以通过配方化成y = a（x-h）2 +k的形式。

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二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

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1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y?ax2的性质

（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；

②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.

2

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax（a?0）.

3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

b4ac?b2

，k?4.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中h??. 2a4a

2

2

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④

2

y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

2

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.

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