第一节：函数

一、知识归纳

函数的概念

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

函数的三种表达式：

（1）图象；（2）表格；（3）关系式。

要使函数的解析式有意义。

函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。

④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。

4 常见函数关系式

几何

物理

生活

二、经典题型

题型考点一 求简单的函数关系式，识别自变量与因变量，给定自变量的值，相应地会求出函数的值。

例1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。

⑴写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：

①用水量小于等于3000吨                       ；

②用水量大于3000吨                            。

⑵某月该单位用水3200吨，水费是       元；若用水2800吨，水费       元。

⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？

参考答案： (1)y=0.5 x  、y=1500＋ 0.8(x－3000)

           (2)1660   1400

(3) 3050

例2.函数是研究                                     (    )

A．常量之间的对应关系的            B．常量与变量之间的对应关系的

C．变量与常量之间对应关系的        Ｄ．变量之间的对应关系的

题型考点二 确定函数的自变量取值范围，

例1 ．（2010四川凉山）在函数中，自变量的取值范围是____

题型考点三  能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数图像

例1、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用了1小时爬了2千米，休息0.5小时后，又用了1小时爬上了山顶。游客爬山所用时间t与登山高度h间的函数关系用图形表示是（）

第二节 一次函数

一、知识归纳

知识点一：一次函数的定义

函数y=______(k、b为常数，k_____,自变量x的次数是U__  _U次)叫做一次函数.

知识点二：正比例函数的定义

当b_____时，函数y=_____ (k______,比例系数U____)叫做正比例函数.

知识点三：一次函数与正比例函数的异同

（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）。

（2）正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数中y=kx+b的b=0时，一次函数就变成正比例函数y=kx

二 经典题型

 题型考点一： 理解一次函数和正比例函数的概念与定义

例1   已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,

           (1)此函数为正比例函数

此函数为一次函数

题型考点二：根据实际情况，确定一次函数解析式，求出相应的值

例1  气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11km处，每升高1 km,气温下降6℃．高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为38℃，高空中xkm的气温为y℃．

（1）当0≤x≤11时，求y与x之间的关系式？

（2）求当x=2、5、8、11时，y的值。

（3）求在离地面13 km的高空处、气温是多少度？

（4）当气温是一16℃时，问在离地面多高的地方？

第三节  一次函数图像

知识归纳

知识点一

1、函数图象的的概念：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫这个函数的图象；

   2、画函数图象的步骤：

      ①列表；②描点；③连线． 

知识点二：一次函数的图象

比例函数y=k x (k≠0)的图象是过原点和（1，___）两点的_____________

⑵一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，_____)、(______，0)的___________

（3）一次函数y=kx+b的k、b的值对一次函数图象的影响。                

y               y               y              y

o       x       o        x     o        x        o      x

①　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　③　　　　　　　④

①k﹥0,b﹥0,  y＝kx +b的图象在一、二、三象限；

②k﹥0, b﹤0,  y＝kx +b的图象在一、三、四象限；

③k﹤0,b﹥0,  y＝kx +b的 图象在一、二、四象限；

k﹤0, b﹤0,  y＝kx +b的图象在二、三、四象。

知识点三：一次函数的性质

比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过______象限，y随x的增大而______；当k<0时，图象过_______象限；y随x的增大而______.

⑵一次函数y=kx＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y随x的增大而______；当k<0时，y随x的增大而______

知识点四：三个“一次”的关系

⑴在一次函数y=kx＋b中，令y=0，得一元一次方程kx＋b=0，它的根就是一次函数y=kx＋b的图象与x轴交点的          .

⑵一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx＋b当函数值大于或小于0时相应的自变量x值的             .

⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的______________的解.

二 经典题型

题型考点一：函数图象的概念

例 1.列表：

2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点.

3.连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线.

图象：

题型考点二：通过图像确定函数的解析式

例1．（2010山东聊城）如图，过点Q（0，3.5）的一次函数与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（     ）

A．3x－2y+3.5＝0　   B．3x－2y－3.5＝0　C．3x－2y+7＝0       D．3x+2y－7＝0

题型考点三：一次函数的增减性

例1   已知关于x的一次函数．

(1)m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?

(2)m为何值时，y随x的增大而减小？

解：(1)由题意，m需满足，

故m=4时，函数的图象平行于直线y=－x；

当3－m<0时，即m>3时，y随x的增大而减小．

题型考点四：一次函数图像与象限关系

1.一次函数的图象只经过第一、二、三象限，则(     )

A．            B．

C．         D．

2（20##年湖北十堰市）一次函数y=2x－2的图象不经过的象限是（   ）．

A．第一象限      B．第二象限     C．第三象限      D．第四象限

3.已知直线y=(5－3m)x+m－4与直线y=x+6平行，求此直线的解析式.

题型考点五：自变量与因变量取值范围

例1、已知y－1与x成正比例，当x=－2时，y=4

（1）求出y与x函数表达式

（2）把（1）中函数图象向上平移2个单位，设点（a，－2）在这个平移图象上求a值。

（3）如果x取值范围0≤x≤5，求y取值范围

第四节  确定一次函数的表达式

一、知识归纳

知识点一：求一次函数的表达式

          用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:                        .

二 经典题型

   题型考点一：用待定系数法求一次函数解析式

1  .当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx－4的值相同，那么k和y的值分别为（    ）

A.1,11                          B.－1,9                        C.5,11                          D.3,3

2  .若直线y=kx+b经过A（1，0），B（0，1），则（    ）

A.k=－1,b=－1                                                B.k=1,b=1

C.k=1,b=－1                                                   D.k=－1,b=1

3、已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

  题型考点一：一次函数图像与面积

例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

第五节  一次函数图像的应用

知识点一：

    若直线与直线关于

    （1）x轴对称，则直线l的解析式为

    （2）y轴对称，则直线l的解析式为

    （3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为

    （4）直线对称，则直线l的解析式为

    （5）原点对称，则直线l的解析式为

    例1. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

    解：由（2）得直线l的解析式为

  题型考点一：利用图像信息解决实际问题

 1、某自来水公司中为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（t）的函数，其图象如图所示

（1）与出x≤8时，函数表达式。

（2）写出x＞8时，函数表达式。

（3）由图象知收费标准为。

（4）当某户居民该月用水15吨，则应交水费_____元。

题型考点二：一次函数的应用

1．（11分）小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图4所示．请你根据图象提供的信息完成以下问题：

(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的函数关系式．

(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?

(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?

题型考点三：通过两种函数的图像解决问题

 1、已知两个一次函数y=x+3k和y=2x－6的图象交点在y轴上，则k值为     

          。

 

第二篇：一次函数知识点总结

一次函数

（一）函数

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

   常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

   *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

  （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

  （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

  （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

  （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

  （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

6、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数                         

1、一次函数的定义

一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．

⑵当，时，仍是一次函数．

⑶当，时，它不是一次函数．

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

2、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零)  ① k不为零  ② x指数为1 ③  b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2) 必过点：（0，0）、（1，k）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

3、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零)   ① k不为零  ②x指数为1  ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)         （2）必过点：（0，b）和（-，0）

（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

            b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限         直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限         直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

5、正比例函数与一次函数之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

6、正比例函数和一次函数及性质

6、直线（）与（）的位置关系

（1）两直线平行且    （2）两直线相交

（3）两直线重合且    （4）两直线垂直

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.